1
Dynamika
Dynamika w przeciwieństwie do kinematyki zajmuje się
związkiem ruchu z jego przyczyną, tzn. z siłą.
PODSTAWOWE WIELKOŚCI
• Siła jest sposobem opisu oddziaływania ciał.
- Siła ma zdolno
ść
nadawania ciału (ciałom) przyspieszenia, czyli
rozp
ę
dzania ciała.
- Skutkiem działania siły mo
ż
e by
ć
te
ż
deformacja ciała.
- Siła jest wielko
ś
ci
ą
wektorow
ą
:
F
.
2
Masa (bezwładna) jest miar
ą
bezwładno
ś
ci ciała. Bezwładno
ść
, to
pewna cecha ciała, która objawia si
ę
podczas rozp
ę
dzania lub
zatrzymywania, czyli gdy wskutek działania siły ciało doznaje
przyspieszenia lub opó
ź
nienia.
Im wi
ę
ksza masa tym wi
ę
kszej siły (proporcjonalnie do masy)
nale
ż
y u
ż
y
ć
aby uzyska
ć
dane przyspieszenie:
masy mo
ż
na porównywa
ć
:
a
a
m
m
0
0
=
Jednostk
ą
masy jest kilogram: 1 kg
wzorzec jest wykonany ze stopu platyny z irydem i przechowywany w
Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres koło Paryża.
a
F
m
=
• P
ę
d jest wielko
ś
ci
ą
stosowan
ą
do opisu ciał w ruchu.
Im wi
ę
kszy p
ę
d tym „trudniej” zatrzyma
ć
ciało (tzn. trzeba u
ż
y
ć
wi
ę
kszej siły w okre
ś
lonym czasie).
Na wielko
ść
p
ę
du wpływa masa ciała oraz pr
ę
dko
ść
z jak
ą
si
ę
ciało porusza.
Jednostk
ą
p
ę
du jest
Ś
cisła definicja p
ę
du:
v
p
m
=
s
m
kg
3
const
dt
d
wyp
=
⇒
=
=
=
=
∑
v
v
a
F
F
0
0
I.
Jeżeli na ciało (o stałej masie) nie działa żadna siła lub
wypadkowa działających sił wynosi zero to ciało porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w
spoczynku.
II.
Jeśli na ciało o stałej masie m działa siła
F
to nadaje
ona ciału przyspieszenie
a
, przy czym związek między
tymi wielkościami jest następujący:
a
F
m
=
ZASADY (PRAWA) DYNAMIKI NEWTONA
1686 –Isaac Newton: „Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica”
(Matematyczne podstawy filozofii przyrody)
III.
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało
pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na
drugie (siła akcji równa jest sile reakcji).
F
akcji
F
reakcji
a)
B
A
F
AB
F
BA
b)
BA
AB
F
F
−
=
* Definicja układu inercjalnego: jest to taki układ, w którym spełnione są
zasady dynamiki Newtona.
UWAGA:
const
m
dla
m
dt
d
m
=
=
=
a
v
F
WNIOSKI:
1)
II zas. dynamiki Newtona
.
0
0
const
dt
d
wyp
=
⇒
=
⇒
=
=
∑
p
p
F
F
2)
zasada zachowania pędu
dt
d
m
dt
m
d
dt
)
d(m
v
v
v
F
+
=
=
czyli:
Ogólniejsze prawo (analogiczne do drugiej zasady dynamiki Newtona) mówi, że tempo
zmian pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało:
Punkt materialny: uogólnienie II zasady dynamiki Newtona
i zasada zachowania p
ę
du.
t
t
const
dla
t
∆
=
∆
⇒
∆
∆
=
=
=
F
p
p
F
F
p
F
.
d
d
4
Układ ciał –
ś
rodek masy i zasady dynamiki Newtona
m
m
=
i
N
=1
i
i
N
=1
i
∑
∑
r
R
i
sm
m
+
m
m
+
m
=
2
1
2
1
r
r
R
2
1
sm
ś
rodek masy
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
N
i
i
N
i
i
N
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
m
m
m
m
m
m
dt
dt
d
1
1
1
1
1
1
1
d
ca ł
i
i
i
sm
sm
p
p
v
r
R
V
⇒
∑
=
=
N
i
i
m
M
1
oznaczmy:
sm
V
P
M
=
całkowity pęd = pęd sm
cał
p
P
=
Układ ciał – zasady dynamiki Newtona i srodek masy
sm
sm
a
V
F
P
M
dt
d
M
dt
d
zew
=
=
=
⇒
sm
a
F
M
zew
=
siła zewnętrzna powoduje przyspieszenie sm
const.
t
=
⇒
=
⇒
=
∑
cał
cał
zew
p
p
F
0
d
d
0
zasada zachowania pędu dla układu ciał
0
:
32
23
31
13
21
12
=
+
+
+
+
+
F
F
F
F
F
F
ch
wewnetrzny
sił
suma
∑
=
=
N
i
i
m
M
1
cał
p
P
=
sm
V
P
M
=
5
Przykład zasady zachowania p
ę
du
-
wystrzał z armatki
prawo zachowania pędu:
+
+
=
+
=
Ziemi
Ziemi
a
py
p
a
a
px
p
M
M
m
M
m
)v
v
v
v
(
0
0
>>
≈
+
−
=
−
=
−
=
p
Ziemi
Ziemi
a
py
p
Ziemi
a
p
p
a
px
p
a
m
M
ponieważ
M
M
m
M
m
M
m
0
(
cos
)
v
v
v
v
v
α
Pomimo, że siła wypadkowa = 0 to ciało może być wprawione w ruch - obrót
ZASADY DYNAMIKI NEWTONA
DLA RUCHU OBROTOWEGO
0
=
wyp
F
0
d
d
=
t
p
0
=
a
p
r
L
×
=
⊥
=
=
p
r
p
r
L
θ
sin
Wielkościami, używaną do opisu ruchu obrotowego są:
moment pędu L (analogiczny do pędu) i moment siły M (analogiczny do siły)
F
r
M
×
=
⊥
=
=
F
r
F
r
M
θ
sin
6
t
d
dL
M
=
Zmiana pędu w czasie jest równa sile (F), a zmiana momentu pędu w czasie momentowi
siły (M). Uwaga: moment siły i moment pędu zdefiniowane są względem tego samego
punktu.
t
d
dp
F
=
II zas. dynamiki Newtona:
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:
0
=
M
.
const
=
L
Jeśli wypadkowy moment sił działających na ciało jest równy zeru, to moment pędu
tego ciała jest zachowany (względem okreslonego punktu).
Zasada zachowania momentu pędu dla ruchu obrotowego:
Przykład zasady zachowania momentu p
ę
du
Ciało o masie m porusza się w płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu r
1
(a). Prędkość
liniowa ciała wynosi v
1
. Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek
jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r
2
(b) . Zakładamy, że nie działa siła
grawitacji.
a)
1
1
v
r
m
L
m
=
=
1
1
v
r
L
x
1
1
v
r
⊥
const.
0
d
d
0
=
⇒
=
⇒
=
=
L
L
F
r
M
1
t
x
b)
siła F działa wzdłuż sznurka i zawsze prostopadle
do prędkości ciała , czyli:
F
r
1
||
2
2
1
1
v
v
r
m
r
m
L
=
=
1
2
1
2
v
v
r
r
=
1
1
v
r
m
L
m
=
=
1
1
v
r
L
x
7
const.
t
wyp
=
⇒
=
⇒
=
p
p
F
0
d
d
0
Zasada zachowania pędu :
const.
t
wyp
=
⇒
=
⇒
=
L
L
M
0
d
d
0
Zasada zachowania momentu pędu :
ZASADY ZACHOWANIA:
PĘDU I MOMENTU PĘDU
Punkt materialny:
Układ punktów materialnych:
const.
t
=
⇒
=
⇒
=
∑
cał
cał
zew
p
p
F
0
d
d
0
Zasada zachowania pędu :
const.
t
=
⇒
=
⇒
=
∑
cał
cał
zew
L
L
M
0
d
d
0
Zasada zachowania momentu pędu :
Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi
siły kontaktowe
.
PRZYKŁADY SIŁ RZECZYWISTYCH
Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami, jest to siła elektromagnetyczna.
a
a
F
1
2
m
m
=
−
Siła kontaktowa
F
k
to siła z jaką klocek o masie m
1
działa na klocek o masie m
2
nadając mu przyspieszenie.
=
=
−
a
F
a
F
F
2
1
m
m
k
k
+
=
+
=
F
F
F
a
2
1
2
2
1
m
m
m
m
m
k
8
Każde dwa ciała o masach m
1
i m
2
przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost
proporcjonalną do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości
między nimi (tj. między ich środkami mas).
2
2
1
r
m
m
G
F
=
r
r
m
m
G
r
m
m
G
g
r
r
F
2
2
1
2
2
1
ˆ
−
=
−
=
lub wektorowo
Masy m
1
i m
2
występującą we powyższym wzorze
nazywamy masami grawitacyjnymi.
Siła grawitacji
Masa występująca w II zasadzie dynamiki
Newtona ( F=ma) to masa bezwładna.
Masa grawitacyjna jest źródłem oddziaływania
grawitacyjnego.
2
2
11
kg
Nm
10
6754
.
6
G
−
−
×
=
Siła grawitacji – masa grawitacyjna i bezwładna
Czy masa bezwładna i masa grawitacyjna ciała są sobie równe ???
Obliczamy przyspieszenia jakie uzyskuje masa
m (bezwładna)
spadająca swobodnie w
pobliżu powierzchni Ziemi.
ma
Q
=
II zasada dynamiki Newtona mówi, że:
m
m
R
M
G
a
Z
Z
'
2
=
Obliczamy przyspieszenie:
Masa grawitacyjna i bezwładna są sobie równe !!!
Doświadczalnie stwierdzono, że wszystkie ciała spadają (w próżni) w pobliżu Ziemi z tym
samym przyspieszeniem a = g.
const
m
m
=
'
dobierzmy G tak aby:
1
'
=
m
m
wtedy:
2
Z
Z
R
M
G
g
=
2
'
Z
Z
R
M
m
G
Q
=
Na masę
m’ (grawitacyjną)
działa siła ciężkości:
9
Siła tarcia to siła, która działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i przeciwdziała
przesunięciu jednego ciała po drugim.
• Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy
tarciem statycznym T
s
Prawa dotyczące tarcia:
- T
s (max)
(maksymale tarcie statyczne) jest w przybliżeniu niezależna od wielkości pola
powierzchni makroskopowego styku ciał (uwaga powierzchnia styku rzeczywistego może być
nawet 10000 razy mniejsza),
- T
s (max)
jest proporcjonalna do siły z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
N
s
s
F
T
f
(max)
=
Stosunek maksymalnej siły T
s(max)
do siły nacisku F
N
nazywamy
współczynnikiem tarcia statycznego f
s
Tarcie
Stosunek siły T
k
do siły nacisku F
N
nazywamy
współczynnikiem tarcia kinetycznego f
k
• Gdy ciało porusza się, to mamy do czynienia z siłą
tarcia
kinetycznego T
k
Prawo:
T
k
nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.
N
k
k
F
T
f
=
Tarcie – przykład 1
Rodzaj powierzchni
f
s
f
k
Stal po stali
0.15
0.03- 0.09
Drewno po drewnie
0.54
0.34
Drewno po kamieniu
0.7
0.3
Stal po lodzie (np. łyżwy)
0.027
0.014
10
Tarcie – przykład 2
Ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej, której kąt nachylenia θ stopniowo zwiększamy.
Przy jakim granicznym kącie nachylenia ciało zacznie się zsuwać jeżeli współczynnik
tarcia statycznego klocka o równię wynosi f
s
?
θ
cos
max
Q
f
T
s
=
=
=
θ
θ
cos
sin
Q
N
Q
F
θ
tg
f
s
<
θ
θ
sin
cos
max
Q
Q
f
F
T
s
<
⇒
<
ciało zsuwa się
SIŁY POZORNE
0
bez
a
F
m
−
=
)
(
)
(
)
(
'
0
t
x
t
x
t
x
−
=
x
x
x
a
a
a
,
0
'
−
=
2
0
2
2
2
2
2
'
t
d
x
d
t
d
x
d
t
d
x
d
−
=
rozpatrzmy składową x:
bez
rzecz
0
0
F
F
a'
a
a
a'
a
a
a'
+
=
−
+
=
−
=
m
m
m
m
)
(
Iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia (ze
znakiem minus) nazywamy siłą bezwładności F
bez
.
Ogólnie:
11
Ruch prostoliniowy
- dwaj obserwatorzy opisuj
ą
ruch klocka znajduj
ą
cego
si
ę
w samochodzie
jeden z obserwatorów stoi na Ziemi,
a drugi znajduje się w samochodzie,
samochód jedzie ze stałą prędkością (rys. 1)
v
klocka
= 0 ⇒
⇒
⇒
⇒ F = 0
(O’ )
v
klocka
= v = const. ⇒
⇒
⇒
⇒ F = 0
(O)
(obserwatorzy O i O’ znajdują się w inercjalnych układach odniesienia)
samochód hamuje ze stałym opóźnieniem a (rys. 2),
(między klockiem, a podłogą samochodu nie ma tarcia)
a
F
klocka
m
−
=
(O’)
(obserwator O’ znajduje się w układzie nieinercjalnym a obserwator O jest w układzie inercjalnym)
v
klocka
= v = const. ⇒
⇒
⇒
⇒ F = 0 (O)
Ruch prostoliniowy
- wyrywanie obrusu
mg
f
T
≤
12
Siła odśrodkowa
– stan nieważkości
r
r
F
odś
2
2
ˆ
ω
m
r
m
=
=
v
jeden z obserwatorów (O) stoi na Ziemi,
a drugi znajduje się w sputniku (O’)
Siła odśrodkowa
- kamień na sznurku
rg
=
min
v
13
Biedronka porusza się wzdłuż
promienia tarczy ze stałą prędkością v
r
(względem tarczy !!)
Siła Coriolisa
r
r
F
odś
2
2
ˆ
ω
m
r
m
=
=
v
ω
v
a
F
cor
cor
×
=
−
=
m
m
2
Siły bezwładno
ś
ci działaj
ą
ce w układzie obracaj
ą
cym si
ę
:
ω
v
a
cor
×
−
=
2
Mieszkamy na Ziemi – wirującej planecie
Ruch obrotowy Ziemi powoduje zmianę kierunku poruszających się po jej powierzchni ciał.
• silniejsze podmywanie prawych brzegów rzek na półkuli północnej i lewych na
półkuli południowej
• odchylenie kierunków wiatrów stałych
• układ prądów morskich
• odchylenie toru ciał spadających
RITA 2005
KATRINA 2005
Siła Coriolisa
na Ziemi
14
Siła Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł
w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca
ustawione wokoło klocki.
Wahadło Foucaulta - Kościół św. Piotra i Pawła w Krakowie: 46,5m , 25 kg