Ć w i c z e n i a z m a t e m a t y k i
Janusz Górczyński
Zeszyt 2
Granice ciągów i funkcji.
Pochodna i jej zastosowania
Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu
Sochaczew 2001
2
Zeszyt ten jest trzecią pozycją w serii materiałów dydaktycznych
Ćwiczenia z matematyki.
Dotychczas ukazały się pozycje:
Zeszyt 1. Funkcje i ciągi liczbowe
Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych
W najbliższym czasie ukażą się kolejne pozycje:
Zeszyt 3. Całki i ich zastosowanie
Zeszyt 5. Równania różniczkowe i ich zastosowania
Wydanie I
Materiały do druku zostały w całości przygotowane przez Autora.
ISBN 83-88781-02-2
Wydawca: Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu w Sochaczewie
Arkuszy wydawniczych 2,75
Arkuszy drukarskich 2,75
3
Spis treści
OD AUTORA
...................................................................................4
1. GRANICA CIĄGU...................................................................................5
1.1
C
IĄGI ZBIEŻNE
.......................................................................................5
1.2
C
IĄGI ROZBIEŻNE
...................................................................................7
1.3
O
BLICZANIE GRANIC CIĄGÓW
................................................................9
2. GRANICA FUNKCJI ............................................................................13
2.1
G
RANICA FUNKCJI W PUNKCIE
.............................................................13
2.2
G
RANICE JEDNOSTRONNE
....................................................................16
2.3
G
RANICA W NIESKOŃCZONOŚCI
...........................................................18
2.4
C
IĄGŁOŚĆ FUNKCJI
..............................................................................19
2.5
A
SYMPTOTY FUNKCJI
...........................................................................21
3. POCHODNA FUNKCJI ........................................................................23
3.1
G
RANICA ILORAZU RÓŻNICOWEGO
......................................................23
3.2
I
NTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ
.....................................24
3.3
R
ÓŻNICZKA FUNKCJI
............................................................................25
3.4
O
BLICZANIE POCHODNYCH
..................................................................26
3.5
P
OCHODNA A MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
...........................................28
3.6
P
OCHODNA A EKSTREMA FUNKCJI
........................................................28
3.7
D
RUGA POCHODNA I JEJ ZASTOSOWANIA
.............................................30
3.8
B
ADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
.........................................32
3.9
R
EGUŁA DE L
’H
OSPITALA
....................................................................38
3.10
E
LEMENTY EKONOMICZNEJ INTERPRETACJI POCHODNEJ
....................40
4. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH ......................................................43
4.1
P
OCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU
......................................45
4.2
Z
ASTOSOWANIE POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH
...................................47
5. LITERATURA .......................................................................................48
4
Od autora
U podstaw decyzji o wydaniu serii zeszytów pod wspólnym tytułem „Ćwiczenia z ma-
tematyki” są moje wieloletnie doświadczenia nauczyciela akademickiego w zakresie
nauczania przedmiotów ilościowych (matematyka, statystyka matematyczna, doświadczal-
nictwo, ekonometria) jak i informatycznych (arkusze kalkulacyjne, relacyjne bazy danych).
Od szeregu lat obserwujemy narastające problemy znacznej grupy studiujących ze
zrozumieniem tych przedmiotów, przy czym jest to szczególnie groźne w przypadku osób
studiujących w trybie zaocznym.
Seria „Ćwiczenia z matematyki” została pomyślana z jednej strony jako materiał
ułatwiający przypomnienie programu matematyki z zakresu szkoły średniej. Z drugiej
strony materiał zawarty w tej serii jest już pewnym przygotowaniem pod nauczanie takich
przedmiotów jak właśnie statystyka, ekonometria, arkusze kalkulacyjne, bazy danych czy
badania operacyjne.
Seria „Ćwiczenia z matematyki” powinna być traktowana raczej jako literatura uzupeł-
niająca klasyczną literaturę przedmiotu (podawaną przez prowadzących poszczególne
przedmioty) niż jako jedyny i wystarczający do zrozumienia matematyki skrypt. Mam
jednak nadzieję, że przedstawiony materiał z szeregiem szczegółowych przykładów ułatwi
zrozumienie tych wybranych działów matematyki.
W serii „Ćwiczenia z matematyki” ukażą się następujące pozycje:
• Zeszyt 1. Funkcje i ciągi liczbowe
• Zeszyt 2. Granice ciągów i funkcji. Pochodna i jej zastosowanie
• Zeszyt 3. Całki i ich zastosowania
• Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych
• Zeszyt 5. Równania różniczkowe i ich zastosowania.
Zeszyty pierwszy i czwarty ukażą się w roku 2000, a pozostałe trzy w roku 2001.
Janusz Górczyński
5
1. Granica ciągu
W poprzednim zeszycie rozważaliśmy ciąg geometryczny, którego wyrazy powstawały
w wyniku kolejnych podziałów odcinka o jednostkowej długości:
...
;
16
1
;
8
1
;
4
1
;
2
1
.
Łatwo możemy zauważyć, że wraz ze zwiększaniem indeksu n wyrazy tego ciągu
różnią się coraz mniej od pewnej liczby, w tym przykładzie od zera. O takich ciągach
będziemy mówić, że są zbieżne, a liczbę do której dążą wyrazy ciągu będziemy nazywać
jego granicą. Przejdziemy teraz do bardziej formalnych określeń granicy ciągu.
1.1 Ciągi zbieżne
Określenie: Przedział otwarty
)
;
(
0
0
ε
ε
+
−
x
x
nazywamy otoczeniem punktu
0
x
i ozna-
czamy
)
;
(
0
ε
x
U
. Liczbę ε nazywamy promieniem otoczenia.
Z tak podanego określenia otoczenia punktu wynika, że:
ε
ε
ε
+
<
<
−
⇔
∈
0
0
0
)
;
(
x
x
x
x
U
x
lub z wykorzystaniem symbolu wartości bezwzględnej (modułu):
ε
ε
<
−
⇔
∈
0
0
)
;
(
x
x
x
U
x
Wracając raz jeszcze do wyrazów naszego ciągu zauważmy, że różnią się one od liczby
zero dowolnie mało, jeżeli tylko numery (indeksy) tych wyrazów są wystarczająco duże:
3
1
,
0
2
1
2
1
1
>
⇒
<
⋅
−
n
n
(skorzystaliśmy z wzoru na wyraz n-ty ciągu geometry-
cznego zdefiniowanego przez
2
1
1
=
a
i
2
1
=
q
)
6
01
,
0
2
1
2
1
1
>
⇒
<
⋅
−
n
n
9
001
,
0
2
1
2
1
1
>
⇒
<
⋅
−
n
n
.........................
ε
ε
5
,
0
1
log
2
1
2
1
>
⇒
<
⋅
−
n
n
(obustronne logarytmowanie przy podstawie 0,5
i uporządkowanie).
Określenie: Liczbę zero nazywamy granicą ciągu
)
(
n
a
, jeżeli dla każdego
0
>
ε
istnieje taka liczba δ , że dla każdego
δ
>
n
spełniona jest nierówność:
ε
<
n
a
.
6
Fakt, że liczba zero jest granicą ciągu
)
(
n
a
zapisujemy następująco:
0
lim
=
+∞
→
n
n
a
(lim to skrót od greckiego limes).
Z równości tej wynika, że do otoczenia punktu
)
;
0
(
ε
U
należą prawie wszystkie
wyrazy ciągu (wszystkie z wyjątkiem skończonej ich liczby).
Ciąg nieskończony, który ma granicę zero nazywamy ciągiem zbieżnym. Ważnym
przykładem ciągu zbieżnego do zera jest ciąg geometryczny nieskończony z ilorazem
mniejszym co do wartości bezwzględnej od jedności:
0
lim
1
1
=
⋅
−
+∞
→
n
n
q
a
dla
1
<
q
.
Określenie: Liczbę g nazywamy granicą ciągu
)
(
n
a
, jeżeli
0
)
(
lim
=
−
+∞
→
g
a
n
n
.
Z tego określenia wynika, że:
ε
δ
δ
ε
<
−
⇔
=
∧
∨
∧
>
>
+∞
→
g
a
g
a
n
n
n
n
0
lim
.
Przykład 1. Granicą ciągu o wyrazie ogólnym
n
n
a
n
1
2 +
=
jest liczba 2, ponieważ:
0
1
lim
2
1
2
lim
2
1
2
lim
=
=
−
+
=
−
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Przykład 2. Korzystając z definicji granicy ciągu wykażemy, że
3
1
1
3
lim
=
+
−
+∞
→
n
n
n
.
Dla dowolnej liczby
0
>
ε
rozwiązujemy nierówność
ε
<
−
+
−
3
1
1
3
n
n
:
ε
ε
ε
ε
ε
−
>
⇒
<
+
−
⇒
<
+
−
−
−
⇒
<
−
+
−
4
1
4
1
3
3
1
3
3
1
1
3
n
n
n
n
n
n
n
.
Jeżeli przyjmiemy, że
ε
ε
δ
−
=
4
, to dla każdego
δ
>
n
spełniona jest nierówność
ε
<
−
+
−
3
1
1
3
n
n
, a to oznacza, że
3
1
1
3
lim
=
+
−
+∞
→
n
n
n
.
7
Przykład 3. Korzystając z definicji granicy ciągu wykażemy, że
1
)
1
(
1
lim
2
=
+
−
+∞
→
n
n
n
n
.
Dla dowolnej liczby
0
>
ε
rozwiązujemy nierówność
ε
<
−
−
−
1
)
1
(
1
2
n
n
n
:
ε
ε
ε
ε
ε
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
2
2
2
>
⇒
<
⇒
<
−
−
⇒
<
−
+
−
−
⇒
<
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Jeżeli przyjmiemy, że
ε
δ
1
=
, to dla każdego
δ
>
n
spełniona jest nierówność
ε
<
−
−
−
1
)
1
(
1
2
n
n
n
, a to oznacza, że
1
)
1
(
1
lim
2
=
+
−
+∞
→
n
n
n
n
.
Określenie: Jeżeli
a
a
n
n
=
+∞
→
lim
oraz
b
b
n
n
=
+∞
→
lim
, to:
(
)
b
a
b
a
n
n
n
+
=
+
+∞
→
lim
(
)
b
a
b
a
n
n
n
−
=
−
+∞
→
lim
(
)
b
a
b
a
n
n
n
⋅
=
⋅
+∞
→
lim
b
a
b
a
n
n
n
=
+∞
→
lim
pod dodatkowym warunkiem, że
0
0
≠
∧
≠
∧
b
b
n
n
.
Określenie: Jeżeli
a
a
n
n
=
+∞
→
lim
i
0
>
a
, to
( )
a
a
n
c
c
n
=
+∞
→
lim
dla
0
>
c
.
1.2 Ciągi rozbieżne
Określenie: Ciąg nieskończony, który nie ma granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym.
Określenie: Ciąg
)
(
n
a
nazywamy ciągiem rozbieżnym do nieskończoności, jeżeli dla
każdej liczby
M
prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od
M
:
∞
=
+∞
→
n
n
a
lim
.
Określenie: Ciąg
)
(
n
a
nazywamy ciągiem rozbieżnym do minus nieskończoności, jeżeli
dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M :
−∞
=
+∞
→
n
n
a
lim
.
8
Przykład 4. Wykażmy na podstawie definicji ciągu rozbieżnego do plus nieskończo-
ności, że
∞
=
+
+
+∞
→
n
n
n
1
lim
2
.
Zgodnie z definicją dla każdej liczby M nierówność
M
n
n
>
+
+ 1
2
ma być
spełniona dla prawie wszystkich wyrazów ciągu. Rozwiązując tę nierówność mamy:
(
)
M
M
n
n
Mn
M
n
n
M
n
M
n
n
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
−
>
⇒
+
−
>
+
⇒
−
>
+
⇒
>
+
+
.
Ostatecznie mamy, że
M
n
n
>
+
+ 1
2
jest spełniona dla
M
M
n
2
1
2
−
>
, a to oznacza, że
∞
=
+
+
+∞
→
n
n
n
1
lim
2
.
Określenie. Przy wyznaczaniu granic ciągów rozbieżnych do plus czy minus nieskoń-
czoności obowiązują następujące ogólne reguły (zapis symboliczny):
a)
+∞
=
+∞
+
+∞
)
(
b)
−∞
=
−∞
+
−∞
)
(
c)
−∞
=
+∞
−
−∞
)
(
d)
+∞
=
+∞
⋅
+∞
)
(
e)
−∞
=
+∞
⋅
−∞
=
−∞
⋅
+∞
)
(
)
(
f)
+∞
=
−∞
⋅
−∞
)
(
g)
±∞
=
±∞
+
)
(
a
h)
0
=
∞
±
a
i)
±∞
=
∞
±
±∞
=
±∞
⋅
⇒
>
a
a
a
)
(
0
j)
∞
=
∞
±
∞
=
±∞
⋅
⇒
<
m
m
a
a
a
)
(
0
.
Przykład 5. Obliczmy granicę ciągu o wyrazie ogólnym
3
4
1
2
+
−
−
=
n
n
n
a
n
(
)
(
)
0
1
4
1
lim
4
1
lim
3
4
1
lim
3
1
3
1
2
=
∞
+
=
+
−
−
=
+
−
⋅
−
⋅
=
+
−
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Tę samą granicę można było obliczyć także inaczej (w rozwiązaniu powyższym
chodziło o pokazanie zastosowania punku h. z ostatniego określenia). Poniżej wyznaczymy
granicę naszego ciągu w sposób bardziej ogólny.
(
)
(
)
0
1
0
1
lim
1
lim
3
4
1
lim
2
2
2
2
3
4
1
1
3
4
2
1
1
2
2
=
=
+
−
−
=
+
−
⋅
−
⋅
=
+
−
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
9
1.3 Obliczanie granic ciągów
Przy obliczaniu granic ciągów istotne są dwie implikacje:
0
1
lim
lim
=
⇒
∞
=
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
a
a
(
)
∞
=
⇒
=
∧
>
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
a
a
a
1
lim
0
lim
0
.
Przykład 6. Kilka przykładów obliczania granic ciągów:
2
1
2
0
2
1
2
lim
2
1
2
2
1
lim
2
)
2
1
(
lim
2
2
lim
)
2
1
2
2
2
2
2
2
=
⋅
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+∞
→
−
+∞
→
−
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
.
2
1
2
)
(
lim
1
)
(
lim
)
(
lim
2
)
(
lim
2
1
2
2
lim
)
1
(
)
2
2
(
lim
1
1
2
2
lim
)
1
)(
1
(
1
2
2
lim
)
3
3
2
1
3
3
2
1
3
3
3
2
1
3
3
2
3
2
2
3
=
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
−
+
+
+
−
−
+∞
→
−
+∞
→
−
+∞
→
−
+∞
→
−
−
−
−
+∞
→
−
−
−
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
n
n
n
n
n
n
n
n
c)
2
1
)
1
(
lim
...
3
2
1
lim
2
2
1
2
=
+
=
+
+
+
+
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
.
(
)
.
0
2
1
4
1
lim
2
1
4
4
1
4
lim
2
1
4
2
1
4
2
1
4
lim
2
1
4
lim
)
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
−
+
=
=
+
+
+
+
⋅
−
+
=
−
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
n
n
n
n
2
1
3
2
2
1
lim
)
3
2
2
(
)
1
(
lim
3
2
2
lim
)
3
2
2
3
2
3
2
3
3
3
−
=
+
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
−
−
−
+∞
→
−
−
−
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
n
n
n
.
4
1
4
5
4
5
4
5
lim
4
5
4
lim
4
5
lim
)
0
1
lim
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f
10
Określenie: Jeżeli
g
b
a
n
n
n
n
=
=
+∞
→
+∞
→
lim
lim
i dla prawie wszystkich
n spełniona jest nierów-
ność
n
n
n
b
c
a
≤
≤
, to
g
c
n
n
=
+∞
→
lim
(jest to tzw. twierdzenie o trzech
ciągach).
Przykład 7. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczymy granicę ciągu o wyra-
zie ogólnym
n
n
n
n
a
1
4
3
2
+
⋅
+
=
.
Aby skorzystać z tego twierdzenia musimy znaleźć takie dwa ciągi
)
(
n
a
i
)
(
n
b
, które
ograniczą wyrazy naszego ciągu z dołu i z góry oraz będą zbieżne do tej samej liczby.
Proszę zauważyć, że dla
2
≥
n
spełniona jest następująca nierówność:
n
n
n
n
n
n
n
4
5
1
4
3
2
4
⋅
≤
+
⋅
+
≤
.
Granice ciągów ograniczających
n
n
4 i
n
n
4
5 ⋅
są takie same (równe 4; zobacz
przykład 6f), tym samym także
4
1
4
3
2
lim
=
+
⋅
+
+∞
→
n
n
n
n
.
Przykład 8. Powiedzmy, że chcemy obliczyć
n
n
n
n
2
5
3
2
lim
−
⋅
+
+∞
→
.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie szukamy takich dwóch ciągów
ograniczających wyrazy naszego ciągu z dołu i z góry, których granice będą takie same.
Proszę zauważyć, że dla wszystkich
2
≥
n
spełniony jest warunek:
n
n
n
n
n
n
n
5
6
2
5
3
2
5
⋅
≤
−
⋅
+
≤
.
Ponieważ
5
5
6
lim
5
lim
=
⋅
=
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
, to także
5
2
5
3
2
lim
=
−
⋅
+
+∞
→
n
n
n
n
.
Określenie: Granicą ciągu o wyrazie ogólnym
n
a
n
a
+
1
1
, gdzie
∞
=
+∞
→
n
n
a
lim
jest tzw.
liczba
e
(stała Eulera, w przybliżeniu 2,71828...):
e
a
n
a
n
n
=
+
+∞
→
1
1
lim
.
W szczególności
e
n
n
n
=
+
+∞
→
1
1
lim
. Liczba
e
odgrywa szczególną rolę w zastosowa-
niach matematyki i statystyki, zwłaszcza w opisie wielu zjawisk przyrodniczych i eko-
nomicznych. Warto w tym miejscu przypomnieć funkcję wykładniczą
)
exp(x
e
y
x
=
=
oraz funkcję logarytmiczną
x
y
ln
=
.
11
Przykład 9. Obliczmy
1
3
2
lim
+
+∞
→
+
n
n
n
n
.
Przy obliczaniu granicy tego ciągu nie możemy skorzystać ze „standardowych” metod,
ponieważ w wyrazie ogólnym ciągu parametr n występuje jednocześnie jako podstawa
potęgi i jej wykładnik. Dość łatwo możemy jednak zauważyć, że wyraz ogólny naszego
ciągu jest podobny do wyrazu ogólnego ciągu, którego granicą jest liczba e .
Mamy więc:
.
1
2
lim
1
2
1
lim
2
1
lim
2
1
lim
2
1
2
1
lim
2
lim
6
6
3
2
2
3
3
1
3
e
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
⋅
=
+
⋅
+
=
=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
=
+
+∞
→
⋅
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+
+∞
→
Przy obliczaniu
2
2
1
lim
n
n
n
+
+∞
→
skorzystaliśmy z:
e
a
n
n
a
n
n
n
n
=
+
=
+
+∞
→
+∞
→
1
1
lim
2
1
lim
2
, gdzie
2
n
a
n
=
.
Przykład 10. Obliczmy granicę ciągu o wyrazie ogólnym
n
n
n
n
n
a
1
3
3
7
2
+
+
+
=
.
Przy obliczaniu granicy tego ciągu, gdzie zmienna jest zarówno podstawa jak i wykła-
dnik potęgi będziemy musieli skorzystać z wielu podanych wcześniej reguł obliczania
granic ciągów.
Mamy kolejno:
.
3
1
2
lim
3
1
2
lim
3
1
2
3
1
2
lim
3
1
)
3
(
2
lim
3
7
2
lim
1
3
1
3
1
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
⋅
+
+
=
=
+
+
⋅
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+
+∞
→
+
+∞
→
Granica pierwszego ciągu jest stosunkowo łatwa do policzenia:
(
)
8
2
0
2
3
1
2
lim
3
3
3
=
=
+
=
+
+
+∞
→
n
n
.
12
Przy obliczaniu granicy drugiego ciągu mamy zaś:
n
n
n
n
n
n
3
1
2
lim
3
1
2
lim
1
+
+
=
+
+
+∞
→
+∞
→
.
Dalsze obliczenia granicy tego ciągu wymagają skorzystania z twierdzenia o trzech
ciągach. Dla każdego
n wyrazy naszego ciągu spełniają warunek:
n
n
n
n
3
3
1
2
2
≤
+
+
≤
.
Granice ciągów ograniczających są odpowiednio równe:
1
2
2
2
lim
2
lim
0
lim
1
1
=
=
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
1
3
3
3
lim
3
lim
0
lim
1
1
=
=
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
.
Ciągi ograniczające są zbieżne do tej samej granicy, w takim razie granicą ciągu
n
n
3
1
2
+
+
jest także liczba 1. Ostatecznie mamy więc, że
8
1
8
3
7
2
lim
1
3
=
⋅
=
+
+
+
+∞
→
n
n
n
n
n
.
Przykład 11. Obliczmy korzystając z definicji granicy liczbę wyrazów ciągu
1
2
3
5
+
−
=
n
n
a
n
pozostających poza przedziałem
)
3
;
2
(
.
Zaczniemy od obliczenia granicy ciągu:
5
,
2
2
5
1
2
3
5
lim
=
=
+
−
+∞
→
n
n
n
. Z warunków
zadania mamy więc, że przedział
)
3
;
2
(
jest otoczeniem granicy naszego ciągu o promieniu
5
,
2
=
ε
.
Jeżeli liczba 2,5 jest granicą badanego ciągu, to musimy teraz ustalić, dla jakich n
warunek
ε
<
−
+
−
2
5
1
2
3
5
n
n
będzie spełniony dla dowolnego
0
>
ε
.
ε
ε
ε
ε
ε
4
2
11
2
4
11
2
4
5
10
6
10
2
5
1
2
3
5
−
>
⇒
<
+
−
⇒
<
+
−
−
−
⇒
<
−
+
−
n
n
n
n
n
n
n
.
Dla
5
,
0
=
ε
warunek ten będzie spełniony dla
5
2
1
11
=
−
>
n
, stąd poza przedziałem
)
3
;
2
(
znajduje się tylko pierwszych pięć wyrazów ciągu
1
2
3
5
+
−
=
n
n
a
n
.
13
2. Granica funkcji
Rozważania o granicy funkcji zaczniemy od wprowadzenia pojęcia sąsiedztwa punktu.
Określenie: Przedział liczbowy
{
}
)
;
(
)
;
(
0
0
0
0
r
x
x
x
r
x
+
∪
−
nazywamy sąsiedztwem
punktu
0
x
o promieniu r i oznaczamy symbolem
)
;
(
0
r
x
S
.
Proszę zauważyć, że zgodnie z podanym określeniem sam punkt
0
x
nie należy do
sąsiedztwa punktu.
2.1 Granica funkcji w punkcie
Powiedzmy, że interesuje nas funkcja
)
(x
f
y =
określona w pewnym sąsiedztwie
punktu
0
x . W samym punkcie
0
x funkcja
)
(x
f
może być określona lub nie.
Określenie: Funkcja
)
(x
f
y =
ma w punkcie
0
x
granicę g , jeżeli dla każdego ciągu
)
(
n
x
o wyrazach należących do sąsiedztwa
)
;
(
0
r
x
S
i zbieżnego do
0
x
, ciąg
(
)
)
(
n
x
f
jest zbieżny do liczby g .
Podana w określeniu definicja jest tzw. definicją Heinego granicy funkcji w punkcie
0
x
.
Przykład 12. Wyznaczmy z definicji Heinego granicę funkcji
2
4
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f
w punkcie
2
0
=
x
.
Zauważmy, że rozpatrywana funkcja nie jest określona w punkcie
2
0
=
x
, jest
natomiast określona w dowolnym sąsiedztwie tego punktu. Zgodnie z definicją Heinego
bierzemy dowolny ciąg
)
(
n
x
taki, że
2
≠
n
x
oraz
2
lim
=
+∞
→
n
n
x
.
Obliczamy teraz granicę ciągu:
(
) (
)
(
)
4
2
2
2
lim
2
lim
2
2
2
lim
2
4
lim
2
=
+
=
+
=
+
=
−
+
⋅
−
=
−
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
.
Uproszczenie licznika z mianownikiem (czyli podzielenie licznika i mianownika przez
wyrażenie
)
2
(
−
n
x
) było dopuszczalne, ponieważ z założenia
2
≠
n
x
. Ostatecznie więc:
4
2
4
lim
2
2
=
−
−
→
x
x
x
.
14
Przykład 13. Wyznaczmy granicę funkcji
x
x
x
x
f
−
+
=
1
2
3
)
(
2
w punkcie
3
0
=
x
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór
{ }
1
−
= R
X
, bierzemy więc dowolny ciąg
)
(
n
x
spełniający warunki:
X
x
n
∈
,
3
≠
n
x
i
3
lim
=
+∞
→
n
n
x
. Obliczamy teraz granicę ciągu:
2
33
2
6
27
3
1
3
2
3
3
)
1
(
lim
)
2
3
(
lim
1
2
3
lim
2
2
2
−
=
−
+
=
−
⋅
+
⋅
=
−
+
=
−
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
.
Ostatecznie więc:
2
33
1
2
3
lim
2
3
−
=
−
+
→
x
x
x
x
.
Określenie: Liczba g jest granica funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
wtedy i tylko wtedy, jeżeli
dla dowolnego
0
>
ε
istnieje takie sąsiedztwo
)
;
(
0
r
x
S
, że dla wszystkich
S
x ∈
spełniony jest warunek
ε
<
− g
x
f
)
(
. Definicja powyższa jest tzw.
definicją Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie
0
x
.
Określenie powyższe można także zapisać w równoważnej postaci:
ε
ε
<
−
⇔
=
∧
∨
∧
∈
>
→
g
x
f
g
x
f
S
x
r
x
x
)
(
)
(
lim
0
0
.
Przykład 14. Korzystając z definicji Cauche’go granicy funkcji w punkcie
0
x
wykażemy, że funkcja
2
4
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f
ma w punkcie
2
0
=
x
granicę równą 4.
Dla dowolnego
0
>
ε
i
2
≠
x
rozwiązujemy nierówność:
(
)
ε
ε
ε
ε
<
−
⇒
<
−
+
⇒
<
−
−
−
⇒
<
−
2
4
2
4
2
4
)
(
2
x
x
x
x
g
x
f
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
<
<
−
⇒
+
<
<
+
−
⇒
<
−
<
−
⇒
<
−
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
.
Widzimy z tego, że warunek
ε
<
− g
x
f
)
(
jest spełniony wtedy, gdy
x należy do
sąsiedztwa
)
;
2
(
ε
S
.
Określenie: Jeżeli przy obliczaniu granicy funkcji
)
(x
f
otrzymamy, że
+∞
=
g
lub
−∞
=
g
, to mówimy, że funkcja ma w tym punkcie granicę niewłaściwą.
15
Przykład 15. Obliczmy, korzystając z definicji Heinego, granicę funkcji
2
1
)
(
x
x
f
=
w punkcie
0
0
=
x
.
Dziedziną rozpatrywanej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu
zero, czyli
{ }
0
−
∈ R
x
. Zgodnie z definicją Heinego bierzemy dowolny ciąg
)
(
n
x
zbieżny
do zera i taki, że
0
≠
n
x
. Obliczamy teraz granicę ciągu:
+∞
=
=
+∞
→
+∞
→
2
2
lim
1
1
lim
n
n
n
n
x
x
(korzystamy z implikacji podanej w rozdz. 1.3).
Ostatecznie mamy, że
+∞
=
→
2
0
1
lim
x
x
.
Określenie: Jeżeli
a
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
0
i
b
x
g
x
x
=
→
)
(
lim
0
, to prawdziwe są następujące granice:
(
)
b
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
±
=
±
=
±
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
(
)
b
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
⋅
=
⋅
=
⋅
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
b
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
=
=
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
, pod warunkiem, że
0
≠
b
i
0
)
(
≠
x
g
w otoczeniu
0
x
.
Wzory powyższe są prawdziwe także wtedy, gdy rozpatrujemy granicę funkcji w plus
lub minus nieskończoności, a także wtedy, gdy granice
a lub b są niewłaściwe (postaci
±∞ ), przy czym nie dotyczy to sytuacji nieokreślonych typu:
"
"
∞
−
∞
,
"
"
∞
∞
,
"
0
"
∞
⋅
.
Przykład 16. Obliczmy granicę funkcji
)
6
2
3
(
2
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
x
w punkcie
2
=
x
.
Korzystając z podanych wyżej reguł mamy:
(
)
(
)
(
)
56
14
4
6
2
2
2
3
2
6
2
3
lim
2
lim
)
6
2
3
(
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
=
+
⋅
−
⋅
⋅
=
+
−
⋅
=
+
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Przykład 17. Obliczmy granicę funkcji
x
x
x
f
4
sin
)
(
=
w punkcie
0
=
x
.
Przy obliczaniu granicy funkcji tego typu skorzystamy z podstawowego w teorii
granicy wzoru
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
16
Mamy kolejno:
4
1
4
4
4
sin
lim
4
lim
4
4
sin
4
lim
4
sin
lim
0
0
0
0
=
⋅
=
⋅
=
=
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Przykład 18. Czy istnieje granica funkcji
x
x
x
x
f
2
)
(
+
=
w punkcie
0
0
=
x
?
Rozpatrywana funkcja nie jest określona w punkcie
0
0
=
x
, z uwagi na postać funkcji
musimy rozpatrzyć dwa ciągi
)
(
n
x
zbieżne do zera, ale oddzielnie o wyrazach mniejszych
od zera i oddzielnie o wyrazach większych od zera. Oznaczmy te ciągi i warunki zbieżności
odpowiednio przez:
( )
−
n
x
; taki, że
0
<
−
n
x
i
0
lim
=
−
+∞
→
n
n
x
(np.
n
n
x
1
−
=
−
)
( )
+
n
x
; taki, że
0
>
+
n
x
i
0
lim
=
+
+∞
→
n
n
x
(np.
n
n
x
1
=
+
).
Dla tak zdefiniowanych ciągów mamy następującą granicę:
0
2
0
lim
2
lim
=
⋅
=
⋅
−
−
+∞
→
−
−
−
+∞
→
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
1
2
2
lim
2
lim
=
=
+
+
+
+∞
→
+
+
+
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
Widzimy z tego, że granice jednostronne (odpowiednio lewostronna i prawostronna)
nie są jednakowe, tym samym funkcja
x
x
x
x
f
2
)
(
+
=
nie ma granicy w punkcie
0
0
=
x
.
Przejdziemy teraz do bardziej formalnego określenia granic jednostronnych.
2.2 Granice jednostronne
Określenie: Liczba g jest granicą lewostronną funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
x =
wtedy
i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu
)
(
n
x
należącego do dziedziny funkcji
i takiego, że
0
lim
x
x
n
n
=
+∞
→
i
0
x
x
n
<
, granicą ciągu
)
(
n
x
f
jest liczba
:
g
g
x
f
x
x
=
−
→
)
(
lim
0
17
Określenie: Liczba g jest granicą prawostronną funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
x =
wtedy
i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu
)
(
n
x
należącego do dziedziny funkcji
i takiego, że
0
lim
x
x
n
n
=
+∞
→
i
0
x
x
n
>
, granicą ciągu
)
(
n
x
f
jest liczba
:
g
g
x
f
x
x
=
+
→
)
(
lim
0
Przykład 19. Obliczmy granice jednostronne funkcji
4
)
(
2
−
=
x
x
x
f
w punktach
nieokreśloności tej funkcji.
Dziedziną funkcji
4
)
(
2
−
=
x
x
x
f
jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem
punktów 2
− i 2, czyli
{
}
2
;
2
−
−
∈ R
x
. Naszym zadaniem jest więc obliczenie czterech
granic jednostronnych:
−∞
=
−
=
−
+
−
→
−
"
0
"
"
2
"
4
lim
2
2
x
x
x
symbol
"
2
"−
oznacza, że licznik jest ‘prawie’ równy
–2, a symbol
"
0
"
+
oznacza, że mianownik jest
‘prawie’ równy zero, ale po stronie wartości
dodatnich; tak będzie, jeżeli za x przyjmiemy np.
0001
,
2
−
.
+∞
=
−
=
−
−
−
→
+
"
0
"
"
2
"
4
lim
2
2
x
x
x
Komentarz jak wyżej. Dla ułatwienia proszę sobie
podstawić np.
9999
,
1
−
=
x
.
−∞
=
=
−
−
→
−
"
0
"
"
2
"
4
lim
2
2
x
x
x
Komentarz jak wyżej. Dla ułatwienia proszę sobie
podstawić np.
9999
,
1
=
x
.
+∞
=
=
−
+
→
+
"
0
"
"
2
"
4
lim
2
2
x
x
x
Komentarz jak wyżej. Dla ułatwienia proszę sobie
podstawić np.
00001
,
2
=
x
.
Określenie: Jeżeli istnieją granice jednostronne funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
x =
i są sobie
równe, to istnieje także granica funkcji w tym punkcie:
g
x
f
g
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
=
⇒
=
=
→
→
→
+
−
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
.
Zależność powyższa prawdziwa jest także w „drugą” stronę: jeżeli funkcja
)
(x
f
ma
granicę w danym punkcie, to istnieją i są sobie równe granice jednostronne w tym punkcie.
18
2.3 Granica w nieskończoności
Określenie:
Funkcja
)
(x
f
y =
ma w +∞ ( −∞ ) granicę
g , jeżeli dla każdego ciągu
)
(
n
x
o wyrazach należących do dziedziny funkcji i
zbieżnego do
+∞
(
−∞
)
, ciąg
(
)
)
(
n
x
f
jest zbieżny do liczby g .
Przykład 20. Wyznaczmy granicę funkcji
4
)
(
2
−
=
x
x
x
f
w plus nieskończoności.
Bierzemy dowolny ciąg
)
(
n
x
taki, że
+∞
→
n
x
i obliczamy granicę ciągu (stosujemy
dokładnie te same techniki, co przy obliczaniu granic ciągu liczbowego):
0
0
1
0
4
1
lim
1
lim
4
1
1
lim
4
1
1
lim
4
lim
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
=
−
=
−
⋅
⋅
=
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Ostatecznie mamy, że
0
4
lim
2
=
−
+∞
→
x
x
x
Przykład 21. Obliczmy granice funkcji
)
exp(
)
(
x
x
f
=
na krańcach dziedziny.
Jak wiemy funkcja
)
exp(
)
(
x
x
f
=
lub inaczej
x
e
x
f
=
)
(
jest funkcją wykładniczą, a jej
dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Tym samym nasze zadanie sprowadza się do
obliczenia granicy tej funkcji odpowiednio w minus i plus nieskończoności.
Bierzemy więc ciąg
)
(
n
x
taki, że
−∞
→
n
x
i obliczamy granicę:
0
lim
lim
=
=
=
∞
−
+∞
→
+∞
→
e
e
e
n
n
n
x
x
n
.
Analogicznie dla ciągu
)
(
n
x
rozbieżnego do plus nieskończoności otrzymamy:
+∞
=
=
=
∞
+
+∞
→
+∞
→
e
e
e
n
n
n
x
x
n
lim
lim
.
Przy obliczaniu tych granic warto przypomnieć sobie wykres funkcji wykładniczej
rosnącej.
19
2.4 Ciągłość funkcji
Określenie. Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest określona w punkcie
0
x
x =
, jeżeli istnieje granica
funkcji w tym punkcie i jeżeli granica ta jest równa wartości funkcji w tym
punkcie, to funkcja
)
(x
f
jest ciągła w punkcie
0
x
x =
:
)
(x
f
jest ciągła w punkcie
0
x
x =
)
(
lim
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x→
=
⇔
.
Przykład 22. Sprawdzimy, czy funkcja
4
)
(
2
−
=
x
x
x
f
jest ciągła w punkcie
1
=
x
.
Zauważmy, że punkt
1
=
x
należy do dziedziny tej funkcji (zobacz poprzedni przykład).
Obliczamy więc wartość funkcji w tym punkcie:
(
)
3
1
3
1
4
1
1
1
2
−
=
−
=
−
=
=
x
f
.
Obliczamy granicę funkcji w punkcie
1
=
x
(bierzemy dowolny ciąg
n
x
(
) taki, że
1
≠
n
x
i
1
→
n
x
)
3
1
4
1
1
4
lim
lim
4
lim
2
2
−
=
−
=
−
=
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
, stąd
3
1
4
lim
2
1
−
=
−
→
x
x
x
.
Jak widzimy wszystkie trzy warunki ciągłości funkcji w punkcie są spełnione:
• Funkcja jest określona w punkcie
1
=
x
• Istnieje granica funkcji w tym punkcie:
3
1
4
lim
2
1
−
=
−
→
x
x
x
• Granica funkcji równa jest wartości funkcji w tym punkcie:
)
1
(
3
1
4
lim
2
1
f
x
x
x
=
−
=
−
→
tym samym funkcja
4
)
(
2
−
=
x
x
x
f
jest ciągła w punkcie
1
=
x
.
Określenie: Funkcje
)
(x
f
ciągłą w każdym punkcie
X
x ∈
0
nazywamy funkcją ciągłą
w zbiorze
X .
Potocznie pod pojęciem funkcji ciągłej (w pewnym przedziale) rozumie się taką
funkcję, której wykres (w tym przedziale) można narysować bez odrywania ołówka.
Przykładowo funkcja
)
exp(
)
(
x
x
f
=
jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych,
zaś funkcja
4
)
(
2
−
=
x
x
x
f
jest ciągła w przedziałach
(
) (
) (
)
∞
+
−
−
∞
−
;
2
,
2
;
2
,
2
;
.
20
Określenie: Funkcję
( )
x
f
nazywamy ciągłą lewostronnie (prawostronnie) w punkcie
0
x
wtedy i tylko wtedy, jeżeli:
• Istnieje wartość funkcji w tym punkcie,
• Istnieje granica lewostronna (prawostronna) w tym punkcie,
• Granica lewostronna (prawostronna) równa jest wartości funkcji w tym
punkcie.
Przykład 23. Sprawdzimy, czy funkcja
>
−
≤
+
=
2
dla
8
2
dla
3
)
(
2
x
x
x
x
x
f
jest ciągła w punkcie
2
=
x
.
Obliczamy wartość funkcji w punkcie
2
=
x
:
5
3
2
)
2
(
=
+
=
=
x
f
.
Przejdziemy teraz do obliczenia granicy tej funkcji w punkcie
2
=
x
, ale ponieważ
funkcja zdefiniowana jest dwoma różnymi wzorami po obu stronach tego punktu, to
musimy obliczać granice jednostronne. Mamy kolejno:
5
3
2
)
3
(
lim
)
(
lim
2
2
=
+
=
+
=
−
−
→
→
x
x
f
x
x
4
8
4
)
8
(
lim
)
(
lim
2
2
2
−
=
−
=
−
=
−
+
→
→
x
x
f
x
x
.
Jak widzimy
)
(
lim
)
(
lim
2
2
x
f
x
f
x
x
+
−
→
→
≠
,
tym samym nie istnieje granica tej funkcji w punkcie
2
=
x
, a to oznacza, że funkcja ta nie
jest ciągła w tym punkcie.
Proszę jednak zauważyć, że spełniony jest warunek:
)
(
lim
)
2
(
2
x
f
f
x
−
→
=
a to oznacza, że rozpatrywana funkcja jest ciągła lewostronnie w punkcie
2
=
x
.
21
2.5 Asymptoty funkcji
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(
x
f
nie istnieje w punkcie
0
x i przynajmniej jedna z granic
jednostronnych w tym punkcie jest granicą niewłaściwą (czyli ±∞ ), to
prosta
0
x
x =
jest asymptotą pionową tej funkcji:
0
x
x =
jest asymptotą pionową
⇔
)
(
x
f
±∞
=
−
→
)
(
lim
0
x
f
x
x
lub
±∞
=
+
→
)
(
lim
0
x
f
x
x
.
Przykład 24. Wyznaczmy, jeżeli istnieją, asymptoty pionowe funkcji
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
.
Funkcja
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
jest funkcją wymierną określoną w zbiorze liczb rzeczywistych
z wyłączeniem tych punktów, które są miejscami zerowymi wielomianu w mianowniku,
czyli
2
−
=
x
i
2
=
x
. W punktach tych mogą istnieć asymptoty pionowe, żeby tak
było, to co najmniej jedna z granic jednostronnych w tych punktach musi być granicą
niewłaściwą. Obliczamy więc granice (zobacz
przykład 19):
−∞
=
−
=
−
+
−
→
−
"
0
"
"
2
"
2
lim
2
2
x
x
x
+∞
=
−
=
−
−
−
→
+
"
0
"
"
2
"
2
lim
2
2
x
x
x
−∞
=
=
−
−
→
−
"
0
"
"
2
"
2
lim
2
2
x
x
x
+∞
=
=
−
+
→
+
"
0
"
"
2
"
2
lim
2
2
x
x
x
.
Warunki istnienia asymptot pionowych są spełnione, w takim razie badana funkcja
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
posiada dwie asymptoty pionowe o równaniach
2
−
=
x
i
2
=
x
.
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(
x
f
ma granicę równą g w +∞ lub −∞ , to prosta
g
x
f
=
)
(
jest asymptotą poziomą funkcji
)
(
x
f
:
g
x
f
=
)
(
jest asymptotą poziomą
⇔
)
(
x
f
g
x
f
x
=
−∞
→
)
(
lim
lub
g
x
f
x
=
+∞
→
)
(
lim
.
Przykład 25. Ustalmy, czy funkcja
x
x
f
3
)
(
=
ma asymptotę poziomą.
Zgodnie z podanym wyżej określeniem funkcja
x
x
f
3
)
(
=
będzie miała asymptotę
poziomą wtedy i tylko wtedy, jeżeli co najmniej jedna z granic tej funkcji w minus lub plus
nieskończoności będzie granicą właściwą. W naszym przypadku mamy:
0
3
3
lim
=
=
−∞
−∞
→
x
x
+∞
=
=
+∞
+∞
→
3
3
lim
x
x
.
Jak widzimy granica w minus nieskończoności jest właściwa, tym samy prosta o równa-
niu
0
=
y
(lub
0
)
(
=
x
f
) jest asymptotą poziomą funkcji
x
x
f
3
)
(
=
.
22
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(x
f
ma w nieskończoności obie granice niewłaściwe, to nie
istnieje asymptota pozioma tej funkcji. Nie wyklucza to jednak istnienia
asymptoty ukośnej.
Określenie: Prosta o równaniu
b
ax
y
+
=
(gdzie
0
≠
a
) jest asymptotą ukośną funkcji
)
(x
f
wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieją właściwe granice postaci:
x
x
f
a
x
)
(
lim
±∞
→
=
[
]
ax
x
f
b
x
−
=
±∞
→
)
(
lim
.
Przykład 26. Sprawdźmy, czy funkcja
4
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
ma asymptotę ukośną.
Zgodnie z podanym określeniem wyznaczamy kolejno granice:
2
1
2
1
lim
4
2
lim
)
4
2
(
lim
4
2
lim
)
(
lim
4
2
2
2
2
=
−
=
−
=
−
=
−
=
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
[
]
1
8
4
4
lim
8
4
4
2
2
lim
2
1
4
2
lim
)
(
lim
2
2
2
=
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
f
x
x
x
x
.
Obie granice są właściwe, tym samym prosta
1
5
,
0
+
=
x
y
jest asymptotą ukośną
funkcji
4
2
)
(
2
−
=
x
x
x
f
.
Przykład 27. Zbadajmy, czy funkcja
5
2
3
−
=
x
x
y
ma asymptotę ukośną.
Z uwagi na postać funkcji łatwo zauważyć, że ± nieskończoności granice są
niewłaściwe, tym samym funkcja ta nie posiada asymptoty poziomej. Nie wyklucza to, jak
wiemy, istnienia asymptoty ukośnej. Zaczniemy od sprawdzenia, czy istnieje skończona
(właściwa) i różna od zera granica określająca współczynnik kierunkowy potencjalnej
asymptoty ukośnej:
±∞
=
−
=
−
=
−
=
−
=
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
5
2
3
3
3
1
2
lim
5
2
lim
)
5
(
2
lim
5
2
lim
)
(
lim
.
Jak widzimy z powyższego warunek ten nie jest spełniony, tym samym funkcja
5
2
3
−
=
x
x
y
nie posiada asymptoty ukośnej.
23
3. Pochodna funkcji
3.1 Granica ilorazu różnicowego
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest określona w przedziale
R
b
a
∈
)
;
(
i w pewnym
punkcie
)
;
(
0
b
a
x ∈
istnieje granica właściwa
)
(
'
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
x
f
x
x
f
x
=
∆
−
∆
+
→
∆
,
to funkcję
)
(x
f
nazywamy różniczkowalną w tym punkcie.
Liczbę
)
(
'
0
x
f
nazywamy pochodną funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
.
W podanym określeniu symbol
x
∆ oznacza przyrost argumentu funkcji (czasami
oznaczamy go także symbolem h ), a wyrażenie
y
x
f
x
x
f
∆
=
−
∆
+
)
(
)
(
oznacza odpowia-
dający mu przyrost wartości funkcji.
Dla oznaczenia pochodnej funkcji
)
(x
f
y =
w pewnym punkcie
x możemy stosować
wymiennie kilka oznaczeń:
x
x
f
x
x
f
x
y
dx
x
df
dx
dy
x
f
y
x
x
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
=
=
=
→
∆
→
∆
)
(
)
(
lim
lim
)
(
)
(
'
'
0
0
.
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest różniczkowalna w każdym punkcie
)
;
(
0
b
a
x ∈
, to
funkcję tę nazywamy różniczkowalną w tym przedziale.
Przykład 28. Obliczmy z definicji pochodną funkcji
2
2x
y =
w dowolnym punkcie
R
x ∈
0
.
Zgodnie z podanym określeniem obliczamy granicę ilorazu różnicowego:
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
0
4
4
lim
)
(
4
lim
2
)
(
4
2
lim
2
)
(
2
lim
0
2
0
2
2
2
0
2
2
0
=
+
=
∆
+
=
∆
∆
+
∆
=
=
∆
−
∆
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
Określenie
:
Pochodna funkcji w danym punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieją
i są sobie równe pochodne jednostronne tej funkcji w tym punkcie:
)
(
)
(
)
(
'
0
'
0
'
0
x
f
x
f
x
f
+
−
=
=
,
gdzie
x
x
f
x
x
f
x
f
x
∆
−
∆
+
=
−
→
∆
−
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
'
x
x
f
x
x
f
x
f
x
∆
−
∆
+
=
+
→
∆
+
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
'
.
24
Przykład 29. Sprawdźmy, czy funkcja
x
y =
jest różniczkowalna w punkcie
0
0
=
x
.
Funkcja
x
y =
jest różniczkowalna w punkcie
0
0
=
x
, jeżeli ma w tym punkcie
pochodną. Z uwagi na postać funkcji (moduł) musimy obliczyć pochodne jednostronne
w tym punkcie. Mamy odpowiednio:
1
lim
0
0
lim
)
0
(
)
0
(
lim
0
0
0
−
=
∆
∆
−
=
∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
−
−
−
→
∆
→
∆
→
∆
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
1
lim
0
0
lim
)
0
(
)
0
(
lim
0
0
0
=
∆
∆
=
∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
−
−
+
→
∆
→
∆
→
∆
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
.
Jak widzimy pochodne jednostronne nie są sobie równe, tym samym nie istnieje
pochodna funkcji
x
y =
w punkcie
0
0
=
x
, czyli badana funkcja nie jest różniczkowalna
w tym punkcie.
3.2 Interpretacja geometryczna pochodnej
Rozważmy funkcję
)
(x
f
różniczkowalną w punkcie
0
x
x =
. Zgodnie z definicją
pochodnej mamy:
x
x
f
x
x
f
x
f
x
∆
−
∆
+
=
→
∆
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
0
0
0
.
Poniżej pokazany jest schematyczny wykres tej funkcji, jej wartość dla argumentu
0
x
,
przyrost wartości argumentu i odpowiadający mu przyrost wartości funkcji.
)
(x
f
0
x
x
x
∆
+
0
)
(
0
x
f
)
(
0
x
x
f
∆
+
)
(
)
(
0
0
x
f
x
x
f
−
∆
+
x
∆
α
l
prosta
25
Proszę zauważyć, że iloraz przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu:
x
x
f
x
x
f
∆
−
∆
+
)
(
)
(
0
0
jest tangensem kąta α , jaki tworzy prosta l z osią x-ów.
Jeżeli przejdziemy do granicy ilorazu różnicowego, to:
α
tg
x
x
f
x
x
f
x
f
x
=
∆
−
∆
+
=
→
∆
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
0
0
0
czyli pochodna funkcji w punkcie
0
x
jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do
wykresu funkcji
)
(x
f
w tym punkcie.
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest różniczkowalna w punkcie
0
x
, to styczna do wykresu
funkcji w tym punkcie dana jest wzorem:
)
(
)
(
'
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
−
⋅
=
−
.
Przykład 30. Wyznaczmy równanie stycznej do wykresu funkcji
2
2
)
(
x
x
f
=
w punkcie
1
0
=
x
.
Zgodnie z podanym określeniem równanie stycznej do wykresu tej funkcji dane jest
wzorem:
)
1
(
)
1
(
'
)
1
(
−
⋅
=
−
x
f
f
y
, czyli
2
4
)
1
(
4
2
−
=
⇒
−
⋅
=
−
x
y
x
y
.
3.3 Różniczka funkcji
Z definicji pochodnej wynikają przybliżone równości:
x
x
f
x
f
x
x
f
∆
⋅
≈
−
∆
+
)
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
f
x
f
x
x
f
∆
⋅
+
≈
∆
+
)
(
'
)
(
)
(
0
0
0
.
Pierwsza z tych równości pozwala oszacować przybliżony przyrost wartości funkcji,
druga zaś pozwala oszacować nową wartość funkcji przy zmianie argumentu z
0
x
na
x
x
∆
+
0
. Błąd tych szacunków jest tym mniejszy, im mniejszy jest przyrost argumentu
funkcji x
∆ .
Określenie: Wyrażenie
x
x
f
∆
⋅
)
(
'
0
nazywamy różniczką funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
dla
przyrostu argumentu x
∆ .
Przykład 31. Korzystając z różniczki funkcji wyznaczymy przybliżoną wartość funkcji
2
2
)
(
x
x
f
=
w punkcie
01
,
1
0
=
x
.
Korzystając z drugiej równości mamy (przyjmujemy
1
0
=
x
i
01
,
0
=
∆x
)
04
,
2
01
,
0
4
2
)
1
(
'
)
1
(
)
01
,
1
(
=
⋅
+
=
∆
⋅
+
≈
x
f
f
f
(gdzie
x
x
f
4
)
(
'
=
).
Proszę zauważyć, że prawdziwa wartość różni się od naszego szacunku nieznacznie:
0402
,
2
)
01
,
1
(
2
)
01
,
1
(
2
=
⋅
=
f
.
26
3.4 Obliczanie pochodnych
Obliczanie pochodnych funkcji wyłącznie z definicji byłoby zajęciem żmudnym,
dlatego też w praktyce będziemy korzystać z szeregu wzorów na obliczanie pochodnych.
Określenie: Przy obliczaniu pochodnych funkcji elementarnych będziemy korzystać
z następujących wzorów:
0
)'
(
=
c
pochodna stałej
1
)'
(
−
=
n
n
nx
x
pochodna funkcji potęgowej
a
a
a
x
x
ln
)'
(
=
x
x
e
e
=
)'
(
pochodna funkcji wykładniczej
(
)
a
x
x
a
ln
1
'
log
=
x
x
1
)'
(ln
=
pochodna funkcji logarytmicznej
x
x
cos
)'
(sin
=
pochodna funkcji sinus
x
x
sin
)'
(cos
−
=
pochodna funkcji cosinus
Określenie: Przy obliczaniu pochodnych funkcji obowiązują następujące reguły:
(
)
)
(
'
'
)
(
x
f
c
x
f
c
⋅
=
⋅
pochodna iloczynu stałej
i funkcji
(
)
)
(
'
)
(
'
'
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
±
=
±
pochodna sumy lub różnicy
funkcji
(
)
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
'
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
+
=
⋅
pochodna iloczynu funkcji
2
'
))
(
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
−
=
pochodna ilorazu funkcji
(oczywiście
0
)
(
≠
x
g
)
Przykład 32. Korzystając z podanych wzorów obliczmy pochodne funkcji
tgx
y =
oraz
ctgx
y =
.
Korzystając z wzoru na pochodną ilorazu mamy:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tgx
2
2
2
2
2
'
cos
1
cos
sin
cos
cos
)'
(cos
sin
cos
)'
(sin
cos
sin
)'
(
=
+
=
⋅
−
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ctgx
2
2
2
2
2
'
sin
1
sin
cos
sin
sin
)'
(sin
cos
sin
)'
(cos
sin
cos
)'
(
−
=
−
−
=
⋅
−
=
=
.
27
Przykład 33. Obliczmy pochodną funkcji
x
y
4
sin
=
.
Zauważmy, że pochodnej tej funkcji nie możemy obliczyć z żadnego z dotychczas
podanych wzorów. Wynika to z faktu, że funkcja
x
y
4
sin
=
nie jest funkcją elementarną,
lecz funkcją złożoną z dwóch funkcji elementarnych:
=
=
⇒
=
x
t
t
y
x
y
4
sin
4
sin
Zauważmy także, że spełniony jest następujący warunek:
dx
dt
dt
dy
dx
dy
y
⋅
=
=
'
.
W naszym przykładzie mamy więc:
x
t
x
t
dx
dt
dt
dy
y
4
cos
4
4
cos
)'
4
(
)'
(sin
'
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
.
Określenie: Pochodna funkcji złożonej
))
(
(
x
g
f
y =
równa jest iloczynowi pochodnej
funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej:
[
]
)
(
'
))
(
(
'
)
(
(
'
'
x
g
x
g
f
x
g
f
y
⋅
=
=
.
Przykład 34. Obliczmy pochodną funkcji
x
e
y
3
sin
2
=
.
Zauważmy, że naszą złożoną funkcję możemy rozpisać na następujące funkcje
elementarne i odpowiadające im pochodne:
( )
(
)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
=
=
=
=
⇒
=
−
3
)'
3
(
cos
2
'
sin
2
2
1
3
sin
2
'
2
1
'
3
sin
2
2
1
2
1
x
dx
dp
p
p
dp
dt
e
e
dt
dz
z
z
z
dz
dy
x
p
p
t
e
z
z
y
e
y
t
t
t
x
.
Możemy już przejść do obliczenia pochodnej funkcji wyjściowej jako iloczynu
kolejnych pochodnych (w pewnym momencie wracamy do oryginalnych zmiennych):
3
3
cos
2
2
1
3
cos
2
2
1
3
sin
2
3
sin
2
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
x
e
e
p
e
z
dx
dp
dp
dt
dt
dz
dz
dy
dx
dy
x
x
t
Ostatecznie, po uporządkowaniu mamy:
x
x
x
x
e
x
e
e
x
e
y
3
sin
2
3
sin
2
3
sin
2
'
3
sin
2
3
cos
3
2
3
cos
6
'
⋅
⋅
=
⋅
=
=
.
28
3.5 Pochodna a monotoniczność funkcji
Zauważmy, że zgodnie z definicją pochodnej funkcji dodatnia wartość pochodnej
w pewnym przedziale wskazuje na funkcję rosnącą w tym przedziale, a ujemna na funkcję
malejącą:
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
'
>
−
∆
+
⇔
>
∆
−
∆
+
⇔
>
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
'
<
−
∆
+
⇔
<
∆
−
∆
+
⇔
<
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
.
Określenie: Jeżeli pochodna funkcji
)
(x
f
jest dodatnia w pewnym przedziale
)
;
(
b
a
należącym do dziedziny funkcji, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.
Podobnie, jeżeli w tym przedziale pochodna jest ujemna, to funkcja jest
malejąca.
Przykład 35. Wyznaczmy przedziały monotoniczności funkcji
1
2
−
=
x
x
y
.
Dziedziną rozpatrywanej funkcji są liczby rzeczywiste z wyłączeniem 1
± . Obliczamy
pochodną:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
1
)
1
(
2
1
)
1
(
)
2
(
1
)
1
(
)'
1
(
)
1
(
)'
(
'
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Z uwagi na kwadrat funkcji w mianowniku o znaku pochodnej decyduje wyłącznie
wyrażenie w liczniku, mamy więc:
0
1
0
1
0
'
2
2
<
+
⇒
>
−
−
⇔
>
x
x
y
(nierówność sprzeczna)
0
1
0
1
0
'
2
2
>
+
⇒
<
−
−
⇔
<
x
x
y
(nierówność prawdziwa dla każdego
R
x ∈
).
Z rozwiązania tych nierówności wynika, że funkcja
1
2
−
=
x
x
y
jest funkcją malejącą
w całej swojej dziedzinie.
3.6 Pochodna a ekstrema funkcji
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w przedziale
)
;
(
b
a
należącym do dziedziny
funkcji, jeżeli jej pochodna jest równa zero w punkcie
)
;
(
0
b
a
x ∈
i zmienia
znak w otoczeniu tego punktu, to w punkcie
0
x
funkcja
)
(x
f
osiąga
ekstremum lokalne.
Jeżeli pochodna zmienia znak z „+” na „−”, to w punkcie
0
x
funkcja
osiąga maksimum lokalne.
Jeżeli pochodna zmienia znak z „−” na „+”, to w punkcie
0
x
funkcja
osiąga minimum lokalne.
29
Przykład 36. Wyznaczmy ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji
3
2
3
−
=
x
x
y
.
Dziedziną rozpatrywanej funkcji są
(
) (
) (
)
{
}
∞
+
∪
−
∪
−
∞
−
∈
;
3
3
;
3
3
;
x
, funkcja
przyjmuje wartość zero dla
0
=
x
. Wyznaczymy pochodną tej funkcji, przyrównamy ją do
zera i zbadamy jej znak:
( )(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
3
)
9
(
3
9
3
2
)
3
(
3
3
'
3
3
'
'
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Pochodna '
y równa jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik równy jest zero:
0
)
3
)(
3
(
0
)
9
(
0
'
2
2
2
=
−
+
⇔
=
−
⇔
=
x
x
x
x
x
y
stąd
3
0
3
0
'
=
∨
=
∨
−
=
⇔
=
x
x
x
y
.
Zauważmy, że o znaku pochodnej decyduje wyłącznie wyrażenie w liczniku, bowiem
mianownik jest zawsze dodatni. Musimy więc rozwiązać dwie nierówności:
3
3
0
9
0
)
9
(
0
'
2
2
2
>
∨
−
<
⇒
>
−
⇔
>
−
⇔
>
x
x
x
x
x
y
.
3
3
0
9
0
)
9
(
0
'
2
2
2
<
<
−
⇒
<
−
⇔
<
−
⇔
<
x
x
x
x
y
.
Dla lepszej przejrzystości wyniki badania pochodnej zapiszemy w tabelce:
x
−∞
....
3
−
....
0
....
3
....
+∞
'
y
+
0
−
0
−
0
+
maks.
min.
Jak widzimy pochodna jest równa zero w trzech punktach: −3, 0 i 3, ale tylko w otocze-
niu punktów −3 i 3 zmienia znak.
W otoczeniu punktu −3 zmienia znak z „+” na „−”, tym samym funkcja osiąga w tym
punkcie maksimum lokalne.
W otoczeniu punktu 3 pochodna zmienia znak z „−” na „+”, tym samym funkcja osiąga
w tym punkcie minimum lokalne.
W punkcie 0 wprawdzie pochodna jest równa zero, ale w otoczeniu tego punktu nie
zmienia znaku, tym samym w tym punkcie nie ma ekstremum.
Przy okazji proszę zauważyć, że z badania pochodnej mamy także przedziały mono-
toniczności rozpatrywanej funkcji.
Uwzględniając dziedzinę funkcji mamy, że funkcja
3
2
3
−
=
x
x
y
jest rosnąca dla
(
) (
)
{
}
∞
+
∪
−
∞
−
∈
;
3
3
;
x
, a malejąca dla
(
) (
) (
)
{
}
3
;
3
3
;
3
3
;
3
∪
−
∪
−
−
∈
x
.
30
3.7 Druga pochodna i jej zastosowania
Określenie: Drugą pochodną funkcji
)
(x
f
nazywamy pochodną jej pochodnej:
[
]
'
)
(
'
)
(
"
x
f
x
f
=
.
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest różniczkowalna w pewnym przedziale
)
;
(
b
a
i jej pierwsza
pochodna jest w tym przedziale różniczkowalna, to możemy wyznaczyć pochodną
(pierwszej) pochodnej. Przy wyznaczaniu drugiej pochodnej obowiązuje te same wzory
i reguły co przy wyznaczaniu pierwszej pochodnej. Często pochodną pochodnej nazywa się
pochodną rzędu drugiego, a (pierwszą) pochodną odpowiednio pochodną rzędu pierwszego.
Istnieje oczywiście możliwość wyznaczania dalszych pochodnych, ale nie wchodzi to
w zakres materiału prezentowanego w tym zeszycie.
Przykład 37. Obliczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji
x
y
4
sin
=
.
Obliczamy pierwszą pochodną:
x
x
y
4
cos
4
)'
4
(sin
'
=
=
Obliczamy druga pochodną:
x
x
x
x
y
4
sin
16
4
)
4
sin
(
4
)'
4
(cos
4
)'
4
cos
4
(
−
=
⋅
−
⋅
=
⋅
=
=
′′
.
Druga pochodna znajduje zastosowanie w szczegółowym badaniu przebiegu zmien-
ności funkcji, pozwala bowiem na określenie kształtu funkcji, a tym samym tempa
zwiększania czy zmniejszania wartości funkcji.
Określenie. Jeżeli druga pochodna funkcji
)
(x
f
jest równa zero w punkcie
0
x
i zmienia
znak w otoczeniu tego punktu (nie jest istotne jak), to w punkcie
0
x
istnieje
punkt przegięcia (p.p). W punkcie przegięcia styczna do wykresu funkcji
przechodzi z jednej strony wykresu na drugą.
Określenie: Jeżeli druga pochodna funkcji
)
(x
f
jest dodatnia w przedziale
)
;
(
b
a
, to
wykres funkcji jest w tym przedziale wklęsły. Jeśli druga pochodna jest
ujemna w przedziale
)
;
(
b
a
, to wykres funkcji jest w tym przedziale
wypukły.
Przykład 38. Powiedzmy, że chcemy sprawdzić, czy funkcja
3
2
3
−
=
x
x
y
ma punkt
przegięcia, chcemy też zbadać, jak zmienia się kształt tej funkcji w poszczególnych
przedziałach.
W przykładzie 36 wyznaczyliśmy pierwszą pochodną tej funkcji otrzymując:
( )(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
3
)
9
(
3
9
3
2
)
3
(
3
3
'
3
3
'
'
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Korzystając z przedostatniej postaci obliczmy pochodną pierwszej pochodnej:
31
(
)
[
]
4
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
3
'
2
2
2
4
)
3
(
)
27
3
)(
3
(
2
)
3
(
)
9
(
2
)
3
)(
9
2
(
)
3
(
2
)
3
(
2
)
3
(
2
)
9
(
)
3
(
)
18
4
(
3
9
"
−
+
−
=
−
−
−
−
−
−
=
=
−
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−
⋅
−
=
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Z otrzymanego rozwiązania mamy, że:
3
0
3
0
)
3
(
6
0
"
2
3
=
∨
=
∨
−
=
⇔
=
−
⇔
=
x
x
x
x
x
y
.
Biorąc pod uwagę dziedzinę funkcji pozostaje nam tylko jedno miejsce zerowe drugiej
pochodnej:
0
0
"
=
⇔
=
x
y
.
W punkcie
0
=
x
może istnieć punkt przegięcia funkcji
3
2
3
−
=
x
x
y
(chwilowo spełnio-
ny jest warunek wystarczający: druga pochodna równa jest zero w tym punkcie). Aby być
pewnym, że jest to punkt przegięcia, musimy zbadać znak drugiej pochodnej w otoczeniu
tego punktu.
Z uwagi na postać drugiej pochodnej wiemy, że o jej znaku decyduje wyłącznie
wyrażenie w liczniku (mianownik jest zawsze dodatni dla x-ów należących do dziedziny
funkcji).
Dla lepszej przejrzystości zbadamy znak drugiej pochodnej budując tabelkę jej
zmienności.
x
−∞
...
3
−
...
0
...
3
...
+∞
3
+
x
−
0
+
+
+
0
−
x
−
−
0
+
+
3
−
x
−
−
−
0
+
"
y
−
wyp.
0
+
wkl.
0
p.p
−
wyp.
0
+
wkl.
Z badania znaku drugiej pochodnej wynika więc, że funkcja
3
2
3
−
=
x
x
y
ma w punkcie
0
=
x
punkt przegięcia, że jej kształt jest wypukły w przedziałach
)
3
;
(
−
−∞
i
)
3
;
0
(
,
a w pozostałych przedziałach jej dziedziny jest to kształt wklęsły.
32
Określenie: Znaki pierwszej i drugiej pochodnej informują nie tylko o tym, czy funkcja
jest rosnąca lub malejąca (pierwsza pochodna), ale także o tempie wzrostu
czy zmniejszania wartości funkcji (druga pochodna). Można ten związek
przedstawić tabelarycznie:
0
"<
y
Funkcja malejąca, kształt
wypukły, funkcja maleje coraz
szybciej.
0
'<
y
0
">
y
Funkcja malejąca, kształt
wklęsły, funkcja maleje coraz
wolniej.
0
"<
y
Funkcja rosnąca, kształt
wypukły, funkcja rośnie coraz
wolniej.
0
' >
y
0
">
y
Funkcja rosnąca, kształt
wklęsły, funkcja rośnie coraz
szybciej.
3.8 Badanie przebiegu zmienności funkcji
Rozdział ten poświęcimy na pełne badanie przebiegu zmienności funkcji obejmujące
następujące etapy:
Wyznaczenie dziedziny funkcji i ewentualnie miejsc zerowych;
Wyznaczenie granic funkcji na krańcach dziedziny wraz z ewentualnymi
asymptotami;
Wyznaczenie pierwszej pochodnej, ustalenie przedziałów monotoniczności
i ewentualnych ekstremów (minimum, maksimum);
Wyznaczenie drugiej pochodnej, zbadanie jej znaku, ewentualnego punktu
przegięcia, kształtu wykresu funkcji;
Sporządzenie tabelki zmienności funkcji;
Naszkicowanie wykresu funkcji.
33
Przykład 39. Przeprowadźmy pełne badanie przebiegu zmienności funkcji
3
2
2
−
=
x
x
y
.
Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu
3
=
x
, dla którego
mianownik jest równy zero. Fakt ten możemy zapisać jako
{ }
3
−
∈ R
x
lub zapisując
dziedzinę jako sumę przedziałów:
{
}
)
;
3
(
)
3
;
(
∞
+
∪
−∞
∈
x
.
Proszę także zauważyć, że badana funkcja przyjmuje wartość zero wtedy, gdy licznik
jest równy zero, stąd mamy miejsce zerowe:
0
0
2
0
3
2
2
2
=
⇔
=
⇔
=
−
=
x
x
x
x
y
.
Wyznaczamy teraz granice na krańcach dziedziny. Kolejno mamy:
−∞
=
−
=
−
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
3
2
1
2
lim
3
2
lim
+∞
=
−
=
−
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
3
2
1
2
lim
3
2
lim
−∞
=
=
−
−
→
−
"
0
"
"
18
"
3
2
lim
2
3
x
x
x
+∞
=
=
−
+
→
+
"
0
"
"
18
"
3
2
lim
2
3
x
x
x
.
Punkt
3
=
x
jest punktem nieciągłości badanej funkcji, widzimy także, że obie granice
jednostronne w tym punkcie są niewłaściwe, tym samym prosta
3
=
x
jest asymptotą
pionową funkcji
3
2
2
−
=
x
x
y
.
Ponieważ granice w ±∞ nieskończoności były niewłaściwe, to wiemy także, że badana
funkcja nie posiada asymptoty poziomej.
Z wcześniejszych rozważań wiemy także, że nieistnienie asymptoty poziomej nie
wyklucza istnienia asymptoty ukośnej
b
ax
y
+
=
, musimy więc przeprowadzić odpo-
wiednie badanie. Obliczamy granice określające parametry asymptoty:
2
)
3
(
2
lim
)
(
lim
2
=
−
=
=
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
f
a
x
x
6
3
6
lim
3
6
2
2
lim
2
3
2
lim
]
)
(
[
lim
2
2
2
=
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
=
±∞
→
±∞
→
±∞
→
±∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
f
b
x
x
x
x
.
Obie granice są właściwe, tym samym prosta
6
2 +
= x
y
jest asymptotą ukośną badanej
funkcji.
Obliczymy teraz pierwszą pochodną, przyrównamy ją do zera i zbadamy jej znak.
Korzystając z wzorów na pochodną ilorazu mamy:
2
2
2
2
2
'
2
)
3
(
)
6
(
2
)
3
(
12
2
)
3
(
1
2
)
3
(
4
3
2
'
−
−
=
−
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Wyznaczona pochodna jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie w liczniku
jest równe zero, stąd
0
=
x
lub
6
=
x
.
34
Znak wyznaczonej pochodnej zależy wyłącznie od znaku wyrażenia w liczniku
(mianownik jest dodatni dla wszystkich x należących do dziedziny tej funkcji). Ponieważ
wyrażenie w liczniku jest trójmianem kwadratowym (wykresem jest parabola o gałęziach
skierowanych do góry), to:
6
0
0
)
3
(
)
6
(
2
'
2
>
∨
<
⇔
>
−
−
=
x
x
x
x
x
y
)
6
;
0
(
0
)
3
(
)
6
(
2
'
2
∈
⇔
<
−
−
=
x
x
x
x
y
.
Z badania znaku pierwszej pochodnej wynika, że w punktach
0
=
x
i
6
=
x
jest ona
równa zero i zmienia znak w otoczeniu tych punktów, czyli są to punkty ekstremów
lokalnych (odpowiednio minimum i maksimum). Z kolei ze znaku pierwszej pochodnej
wnioskujemy, że badana funkcja jest rosnąca w przedziałach
)
0
;
(−∞
i
)
;
6
(
∞
+
, a malejąca
w przedziałach
)
3
;
0
(
i
)
6
;
3
(
.
Wyznaczymy teraz drugą pochodną i zbadamy jej znak. Najwygodniej będzie, jak
wyznaczymy ją z przedostatniej postaci pierwszej pochodnej. Mamy więc:
(
)
.
)
3
(
)
3
(
36
)
3
(
)
6
9
6
)(
3
(
4
)
3
(
)]
6
(
)
3
)[(
3
(
4
)
3
(
1
)
3
(
2
)
12
2
(
)
3
(
)
12
4
(
)
3
(
)
3
(
)
12
2
(
)
3
(
)'
12
2
(
)
3
(
12
2
'
4
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
'
2
2
2
2
'
2
2
−
−
=
−
+
−
+
−
−
=
=
−
−
−
−
−
=
−
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−
⋅
−
=
=
−
−
⋅
−
−
−
⋅
−
=
−
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Jak łatwo zauważyć, pochodna ta nigdy nie jest równa zero, a o jej znaku decyduje
wyłącznie wyrażenie w liczniku. Stąd:
3
0
"
<
⇔
<
x
y
oraz
3
0
"
>
⇔
>
x
y
.
Z badania drugiej pochodnej mamy ostatecznie, że funkcja nie posiada punktu
przegięcia (bo druga pochodna nie jest równa zero dla żadnego punktu należącego do
dziedziny funkcji i nie zmienia znaku w otoczeniu tego punktu). Z kolei ze znaku drugiej
pochodnej mamy, że dla
3
<
x
wykres funkcji jest wypukły, a dla
3
>
x
wklęsły.
Możemy już przygotować tabelkę zmienności badanej funkcji.
x
−∞
...
0
...
3
...
6
...
+∞
'
y
+
0
−
−
0
+
"
y
−
−
+
+
y
−∞
0
n.i
24
+∞
maksimum
minimum
−∞
+∞
35
Pozostało nam przygotowanie szkicu wykresu, wykorzystamy do jego wykonania
informacje zawarte w tabelce zmienności funkcji plus informacje o asymptotach.
3
2
2
−
=
x
x
y
6
24
y=2x+6
Z przedstawionego wykresu (i wcześniej uzyskanych informacji wynika), że funkcja
rośnie od minus nieskończoności do wartości zero, którą osiąga dla
0
=
x
. W przedziale od
zera do trzech funkcja maleje do minus nieskończoności. Z uwagi na kształt wykresu
funkcji możemy powiedzieć, że w przedziale
)
0
;
(−∞
funkcja rośnie coraz wolniej (tym
samym wartościom zmiennej x odpowiadają coraz mniejsze przyrosty wartości funkcji).
Z kolei w przedziale od zera do trzech funkcja maleje coraz szybciej (tym samym
wartościom zmiennej x odpowiadają coraz mniejsze wartości funkcji). Po drugiej stronie
asymptoty w punkcie
3
=
x
funkcja maleje od plus nieskończoności do wartości minimum
równej 24, która osiąga dla
6
=
x
, przy czym z uwagi na kształt wykresu funkcja maleje
coraz wolniej. W przedziale od sześciu do plus nieskończoności funkcja rośnie coraz
szybciej aż do plus nieskończoności.
Przykład 40. Zbadajmy przebieg zmienności funkcji
1
2
−
=
x
x
y
Dziedziną analizowanej funkcji są
{
}
)
;
1
(
)
1
;
1
(
)
1
;
(
∞
+
∪
−
∪
−
−∞
∈
x
, w punkcie
0
=
x
funkcja przyjmuje wartość zero (miejsce zerowe).
Wyznaczamy granice tej funkcji na krańcach dziedziny, mamy odpowiednio:
0
1
lim
1
lim
2
1
1
2
=
−
=
−
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
0
1
lim
1
lim
2
1
1
2
=
−
=
−
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
36
−∞
=
−
=
−
+
−
→
−
"
0
"
"
1
"
1
lim
2
1
x
x
x
+∞
=
−
=
−
−
−
→
+
"
0
"
"
1
"
1
lim
2
1
x
x
x
−∞
=
=
−
−
→
−
"
0
"
"
1
"
1
lim
2
1
x
x
x
+∞
=
=
−
+
→
+
"
0
"
"
1
"
1
lim
2
1
x
x
x
.
Ponieważ granice w ±∞ są właściwe i równe zero, to prosta
0
=
y
jest asymptotą
poziomą badanej funkcji. Z kolei z faktu, że granice jednostronne w punktach nieciągłości
funkcji są niewłaściwe wynika, że badana funkcja posiada dwie asymptoty pionowe
o równaniach odpowiednio
1
−
=
x
i
1
=
x
.
Obliczamy teraz pierwsza pochodną:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
'
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
2
)
1
(
1
1
'
−
+
−
=
−
−
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Jak widzimy pierwsza pochodna badanej funkcji nie posiada miejsc zerowych i jest
zawsze ujemna (wyrażenie
)
1
(
2
+
− x
jest mniejsze od zera dla wszystkich x-ów), tym
samym funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Obliczamy drugą pochodną:
.
)
1
(
)
3
)(
1
(
2
)
1
(
)
3
)(
1
(
2
)
1
(
)]
1
(
2
1
)[
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
]'
)
1
[(
)]
1
(
[
)
1
(
)'
1
(
)
1
(
)
1
(
"
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
'
2
2
2
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
=
−
+
−
−
−
−
=
−
⋅
−
⋅
⋅
+
+
−
⋅
−
=
=
−
−
⋅
+
−
−
−
⋅
+
−
=
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Druga pochodna jest równa zero wtedy, gdy wyrażenie w liczniku jest równe zero, stąd:
0
0
)
3
)(
1
(
2
0
"
2
2
=
⇔
=
+
−
⇔
=
x
x
x
x
y
(wyrażenie
3
2
+
x
jest zawsze dodatnie, a rozwiązań związanych z
1
2
−
x
nie bierzemy pod
uwagę ze względu na postać mianownika).
O znaku drugiej pochodnej decyduje wyrażenie
)
1
)(
1
(
2
)
1
(
2
2
−
+
=
−
x
x
x
x
x
, aby
zbadać znak tego wyrażenia sporządzimy pomocniczą tabelkę:
x
−∞
...
1
−
...
0
...
1
...
+∞
1
+
x
−
0
+
+
+
x
−
−
0
+
+
1
−
x
−
−
−
0
+
)
1
)(
1
(
2
−
+
x
x
x
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
Mamy stąd informacje o kształcie wykresu funkcji:
1
0
1
0
"
<
<
∨
−
<
⇔
<
x
x
y
, czyli w tych przedziałach wykres jest wypukły;
1
0
1
0
"
>
∨
<
<
−
⇔
>
x
x
y
, a w tych wklęsły.
37
Proszę także zauważyć, że w otoczeniu punktu
0
=
x
druga pochodna zmienia znak
z plus na minus, a w punkcie
0
=
x
jest równa zero. Tym samym jest to punkt przegięcia
funkcji.
Możemy już sporządzić tabelkę zmienności funkcji:
x
−∞
...
1
−
...
0
...
1
...
+∞
'
y
−
−
−
−
"
y
−
+
0
−
+
y
0
0
p.p
0
Pozostało naszkicowanie wykresu badanej funkcji.
1
2
−
=
x
x
y
Jak widzimy z wykresy w całej swojej dziedzinie funkcja maleje, ale odbywa się to
w różnym tempie.
W przedziałach
)
1
;
(
−
−∞
i
)
1
;
0
(
funkcja maleje coraz szybciej (kształt wypukły),
a w przedziałach
)
0
;
1
(−
i
)
;
1
(
∞
+
funkcja maleje coraz wolniej (kształt wklęsły).
W punkcie
0
=
x
funkcja ma punkt przegięcia (styczna do wykresu funkcji w tym
punkcie przechodzi z jednej strony wykresu na drugą).
W punktach
1
−
=
x
i
1
=
x
istnieją asymptoty pionowe, a prosta
0
=
y
jest asymptotą
poziomą.
Badana funkcja nie posiada ekstremów lokalnych.
−∞
+∞
−∞
+∞
38
3.9 Reguła de l’Hospitala
Przy obliczaniu granic funkcji postaci
)
(
)
(
x
g
x
f
y =
w punkcie
0
x może się zdarzyć taka
sytuacja, że otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone typu
"
0
0
"
lub
"
"
∞
∞
. Sytuacja taka
będzie wtedy, gdy
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
lub
±∞
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
.
W przypadku zaistnienia takiej sytuacji nie możemy skorzystać z klasycznych reguł
obliczania granic funkcji, możemy natomiast obliczyć tę granicę (jeżeli istnieje) korzystając
z reguły de l’Hospitala (czytaj: delopitala).
Określenie: Jeżeli funkcja
)
(
)
(
x
g
x
f
y =
w punkcie
0
x jest wyrażeniem nieoznaczonym typu
"
0
0
"
lub
"
"
∞
∞
, jeżeli funkcje
)
(x
f
i
)
(x
g
są różniczkowalne w otoczeniu
0
x
oraz istnieje
g
x
g
x
f
x
x
=
→
)
(
'
)
(
'
lim
0
, to
g
x
g
x
f
x
x
=
→
)
(
)
(
lim
0
.
Przykład 41. Obliczmy granice funkcji
1
2
3
+
−
−
=
x
x
y
w punkcie
3
0
=
x
.
Jak łatwo zauważyć
(
)
0
1
2
lim
)
3
(
lim
3
3
=
+
−
=
−
→
→
x
x
x
x
, tym samym mamy wyrażenie
nieoznaczone typu
"
0
0
"
. Tym samym przy obliczaniu granicy możemy skorzystać z reguły
de l’Hospitala:
(
)
(
)
4
1
1
2
lim
1
2
1
1
lim
1
2
'
3
lim
1
2
3
lim
3
3
'
3
3
−
=
−
+
=
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Przy obliczaniu granic z wykorzystaniem reguły de l’Hospitala mogą zdarzyć się takie
sytuacje, że musimy tę regułę zastosować kilkukrotnie.
Regułę de l’Hospitala można stosować także w sytuacjach, gdy wyznaczamy granice
w
±∞
, a także przy wyznaczaniu granic jednostronnych.
Reguły de l’Hospitala nie można stosować bezpośrednio przy innych postaciach
nieoznaczoności niż
"
0
0
"
lub
"
"
∞
∞
. Jeżeli jednak nieoznaczoność jest typu
"
0
"
∞
⋅
,
"
"
∞
−
∞
lub
"
1
"
∞
, to można je sprowadzić do jednej z dwóch postaci, przy której wolno
już zastosować regułę de l’Hospitala.
39
Przykład 42. Obliczmy granicę funkcji
2
3
sin
x
x
x
y
−
=
w punkcie
0
=
x
.
W punkcie
0
=
x
mamy wyrażenie nieoznaczone typu
"
"
0
0
, funkcje występujące
w liczniku i mianowniku są różniczkowalne, korzystamy więc z reguły de l’Hospitala.
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
cos
1
lim
3
)'
sin
(
lim
3
sin
lim
0
'
2
0
2
0
−
=
−
=
−
→
→
→
.
Widzimy, że po zastosowaniu reguły de l’Hospitala mamy w dalszym ciągu wyrażenie
nieoznaczone typu
"
"
0
0
, zastosujemy więc tę regułę raz jeszcze.
( )
6
1
6
sin
1
lim
)'
6
(
)'
cos
1
(
lim
6
cos
1
lim
3
)'
sin
(
lim
3
sin
lim
0
0
0
'
2
0
2
0
=
+
=
−
=
−
=
−
=
−
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Przykład 43. Obliczmy granicę funkcji
x
e
x
y =
w plus nieskończoności.
Jak łatwo zauważyć w plus nieskończoności mamy wyrażenie nieoznaczone typu
"
"
∞
∞
,
obie funkcje są różniczkowalne, stosujemy więc regułę de l’Hospitala.
( )
0
1
1
lim
'
lim
lim
'
=
∞
=
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
e
e
x
e
x
.
Przykład 44. Obliczmy granicę funkcji
3
2
2
+
−
=
x
e
x
y
w plus nieskończoności.
Proszę zauważyć, że tym razem mamy w nieskończoności wyrażenie nieoznaczone typu
"
0
"
⋅
∞
(ponieważ
+∞
=
+∞
→
2
lim x
x
, a
0
lim
3
2
=
=
−∞
+
−
+∞
→
e
e
x
x
), tym samym nie możemy
bezpośrednio zastosować reguły de l’Hospitala. Możemy jednak naszą funkcję zapisać
następująco:
3
2
2
)
3
2
(
2
3
2
2
−
−
−
+
−
=
=
=
x
x
x
e
x
e
x
e
x
y
.
W tej postaci możemy już zastosować regułę H (de l’Hospitala), ponieważ mamy
wyrażenie nieoznaczone typu
"
"
∞
∞
.
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
2
4
2
lim
2
2
lim
lim
lim
3
2
'
3
2
'
'
3
2
'
2
3
2
2
=
∞
=
=
=
=
−
+∞
→
−
+∞
→
−
+∞
→
+
−
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
e
x
e
x
.
Podobnie jak w przykładzie 42 konieczne okazało się dwukrotne zastosowanie reguły
de l’Hospitala.
40
3.10 Elementy ekonomicznej interpretacji pochodnej
W podrozdziale 3.3 mówiliśmy o różniczce funkcji i jej wykorzystaniu przy obliczaniu
przybliżonego przyrostu wartości funkcji jak i nowej wartości funkcji przy zmianie
argumentu z
0
x
na
x
x
∆
+
0
. Wrócimy teraz do tych zagadnień, ale w aspekcie
ekonomicznym.
Powiedzmy, że koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego produktu
wyrażony jest funkcją
)
(x
K
(dla
0
≥
x
). Funkcję tę będziemy nazywać funkcją kosztów
całkowitych, a funkcję
x
x
K
x
k
p
)
(
)
(
=
funkcją kosztów przeciętnych.
Jak pamiętamy wzór
x
x
K
x
K
x
x
K
∆
≈
−
∆
+
)
(
'
)
(
)
(
0
0
0
pozwala oszacować przybliżony przyrost wartości funkcji. Po podstawieniu
1
=
∆x
otrzymamy zależność
)
(
'
)
(
)
1
(
0
0
0
x
K
x
K
x
K
≈
−
+
,
którą można zinterpretować następująco: przyrost kosztów całkowitych spowodowany
zwiększeniem wielkości produkcji o jednostkę z poziomu
0
x
jest w przybliżeniu równy
wartości pochodnej w tym punkcie.
Funkcję
)
(
' x
K
(dla
0
>
x
) nazywamy funkcją kosztów krańcowych.
Analogicznie można zdefiniować funkcje podaży, popytu, utargu itd., odpowiednio
wprowadzamy wtedy funkcje przeciętnej i krańcowej podaży, popytu, utargu itd.
Przykład 45. Powiedzmy, że koszt całkowity wyprodukowania x jednostek produktu
dany jest funkcją
3
01
,
0
50
2500
)
(
x
x
x
K
−
+
=
dla
>
∈<
35
;
1
x
. Wyznaczmy rzeczywisty
i przybliżony koszt wytworzenia jednostki produktu przy poziomie produkcji
10
0
=
x
.
Rzeczywisty koszt jest równy:
69
,
46
31
,
3
50
)
1000
1331
(
01
,
0
50
)
10
11
(
01
,
0
)
10
11
(
50
10
01
,
0
10
50
2500
11
01
,
0
11
50
2500
)
10
(
)
11
(
3
3
3
3
=
−
=
−
⋅
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
=
⋅
+
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
=
−
=
∆
K
K
K
Przybliżony koszt jest równy:
47
3
50
10
03
,
0
50
)
10
(
'
2
=
−
=
⋅
−
=
≈
∆
K
K
.
Jak widać z powyższego przykładu wyznaczenie przybliżonego kosztu wytworzenia
dodatkowej jednostki produkcji przy zadanym poziomie jest znacznie łatwiejsze.
Przy obliczaniu przybliżonego kosztu wytworzenia dodatkowej jednostki produkcji
korzystaliśmy z pochodnej
2
03
,
0
50
)
(
'
x
x
K
−
=
.
41
Wartość pochodnej funkcji w danym punkcie określa kierunek i szybkość zmian
wartości funkcji w otoczeniu tego punktu. Przykładowo, dla funkcji kosztów całkowitych
z ostatniego przykładu wartość pochodnej w punkcie
10
0
=
x
jest równa 47, co oznacza, że
wzrost argumentu funkcji o jedną jednostkę (czyli do 11) powoduje przyrost wartości
funkcji o 47 jednostek.
W zastosowaniach ekonomicznych istotna jest także, poza znajomością szybkości
zmian funkcji znajomość granicy stosunku zmian względnych przyrostu wartości funkcji
do przyrostu argumentu w otoczeniu punktu
0
x .
Określenie: Elastycznością funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
0
>
x
i takim, że
0
)
(
0
>
x
f
nazywamy liczbę
)
(
)
(
'
lim
)
(
0
0
0
0
0
x
f
x
x
f
x
f
E
x
x
y
y
x
x
=
=
∆
∆
→
∆
.
Warto zauważyć, że znak tak zdefiniowanej liczby zależy tylko i wyłącznie od znaku
pochodnej w danym punkcie. Tym samym elastyczność funkcji rosnącej jest nieujemna,
a elastyczność funkcji malejącej niedodatnia.
Elastyczność funkcji w punkcie
0
x
można zinterpretować jako przybliżoną miarę
procentowej zmiany wartości funkcji odpowiadającej przyrostowi argumentu o 1%.
Przykład 46. Powiedzmy, że funkcja kosztów przeciętnych pewnego przedsiębiorstwa
jest dana wzorem
1
2
40
3
1
,
0
)
(
−
+
+
−
=
x
x
x
x
k
p
(dla
0
>
x
). Obliczmy elastyczność kosztu
przeciętnego i kosztu całkowitego w punkcie
10
0
=
x
.
Zgodnie z podanym wyżej wzorem musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji kosztu
przeciętnego w punkcie
10
0
=
x
. Kolejno mamy:
2
'
3
2
,
0
)
(
−
−
−
=
x
x
x
k
p
,
01
,
1
01
,
0
3
2
10
3
10
2
,
0
)
10
(
2
0
'
−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
=
−
x
k
p
.
Musimy jeszcze wyznaczyć wartość funkcji kosztów przeciętnych w punkcie
10
0
=
x
:
1
,
20
1
,
0
40
30
10
10
40
10
3
10
1
,
0
)
10
(
1
2
0
=
+
+
−
=
+
+
⋅
−
⋅
=
=
−
x
k
p
.
Możemy już wyznaczyć elastyczność funkcji kosztów przeciętnych:
502
,
0
1
,
20
1
,
10
1
,
20
10
01
,
1
)
(
)
(
)
10
(
0
0
0
'
0
−
≈
−
=
⋅
−
=
⋅
=
=
x
k
x
x
k
x
k
E
p
p
p
p
.
Wynik ten można zinterpretować następująco: wzrost wielkości produkcji o 1%
z poziomu
10
0
=
x
spowoduje zmniejszenie kosztów przeciętnych o 0,502%.
Przed obliczeniem elastyczności kosztu całkowitego musimy odtworzyć funkcję kosztu
całkowitego
)
(x
K
z zależności
x
x
K
x
k
p
)
(
)
(
=
, stąd
)
(
)
(
x
k
x
x
K
p
⋅
=
.
42
W naszym przypadku mamy:
(
)
1
40
3
1
,
0
40
3
1
,
0
)
(
2
3
1
2
+
+
−
=
+
+
−
⋅
=
−
x
x
x
x
x
x
x
x
K
.
Podobnie jak poprzednio wyznaczamy pomocnicze wartości:
40
6
3
,
0
)
(
'
2
+
−
=
x
x
x
K
10
40
60
30
40
10
6
10
3
,
0
)
10
(
'
2
0
=
+
−
=
+
⋅
−
⋅
=
=
x
K
201
1
400
300
100
1
10
40
10
3
10
1
,
0
)
10
(
2
3
0
=
+
+
−
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
=
=
x
K
.
Możemy już wyznaczyć elastyczność funkcji kosztów całkowitych w
10
0
=
x
:
5
,
0
201
100
201
10
10
)
(
)
(
'
)
10
(
0
0
0
0
≈
=
⋅
=
⋅
=
=
x
K
x
x
K
x
K
E
k
.
Uzyskany wynik można zinterpretować następująco: wzrost wielkości produkcji o 1%
z poziomu
10
0
=
x
spowoduje wzrost kosztów całkowitych przedsiębiorstwa o około 0,5%.
Przykład 47. Obliczmy elastyczność funkcji utargu w punkcie
16
0
=
x
, jeżeli wiemy, że
cena jest funkcją podaży opisaną wzorem
x
x
p
1
,
0
30
)
(
−
=
dla
50
1
≤
≤ x
.
Rozwiązanie tego przykładu musimy zacząć od wyznaczenia funkcji utargu
)
(x
U
,
która będzie iloczynem ilości sprzedanych produktów przez ich cenę:
2
1
,
0
30
)
1
,
0
30
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
p
x
x
U
−
=
−
⋅
=
⋅
=
.
Dalsze obliczenia przebiegają już analogicznie jak w poprzednim przykładzie.
x
x
U
2
,
0
30
)
(
'
−
=
8
,
26
2
,
3
30
16
2
,
0
30
)
16
(
'
0
=
−
=
⋅
−
=
=
x
U
4
,
28
16
)
6
,
1
30
(
16
16
1
,
0
16
30
)
16
(
2
0
⋅
=
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
=
x
U
Możemy już wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w
16
0
=
x
:
94
,
0
4
,
28
8
,
26
4
,
28
16
16
8
,
26
)
(
)
(
'
)
16
(
0
0
0
0
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
x
U
x
x
U
x
U
E
u
.
Uzyskany wynik można zinterpretować następująco: wzrost wielkości sprzedaży o 1%
z poziomu
16
0
=
x
spowoduje wzrost utargu o 0,94%.
43
4. Funkcje wielu zmiennych
Dotychczas zajmowaliśmy się funkcjami jednej zmiennej. W zastosowaniach
praktycznych z reguły będziemy korzystać z funkcji wielu zmiennych. Przykładowo, jeżeli
pewien zakład z branży spożywczej sprzedaje sok jabłkowy po
a złotych, a sok
marchwiowy po b złotych, to funkcja:
y
b
x
a
y
x
f
Z
⋅
+
⋅
=
=
)
;
(
,
gdzie
x i y są ilością sprzedanych soków, jest funkcją utargu.
Formalną definicję funkcji wielu zmiennych poprzedzimy wprowadzeniem pojęcia
wektora kolumnowego i przestrzeni n -wymiarowej.
Wektorem kolumnowym o
n składowych nazywamy następujący uporządkowany
układ liczb:
=
n
x
x
:
1
x
Zbiór wszystkich możliwych wektorów
n elementowych będziemy nazywać
przestrzenią n -wymiarową i oznaczać symbolem
n
R
.
Określenie: Jeżeli każdemu wektorowi
X
∈
x
, gdzie
n
R
X ⊆
, jest przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
Y
y ∈
, to została określona funkcja rzeczywista
n zmiennych przekształcająca zbiór X w zbiór Y .
Funkcję tę będziemy zapisywać symbolicznie w postaci
Y
X
f
→
:
, gdzie
)
...;
;
(
1
n
x
x
f
y =
. Zbiór
X
będziemy nazywać dziedziną funkcji i zwyczajowo oznaczać
symbolem
D
, a zbiór
Y
zbiorem wartości lub przeciwdziedziną funkcji.
Dla
2
=
n
mamy funkcję dwóch zmiennych i w dalszych rozważaniach ograniczymy
się do tego typu funkcji.
Przykład 48. Wyznaczmy dziedzinę funkcji postaci
)
ln(
)
;
(
2
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
f
−
=
.
Dziedziną będzie taki zbiór X , dla których podana funkcja ma sens. Z uwagi na
logarytm dziedziną będzie wiec zbiór
(
)
{
}
2
2
2
1
2
2
1
0
:
;
R
x
x
R
x
x
D
⊂
>
−
∈
=
.
Przykładowo wektor
[ ]
T
1
;
2
(symbol T oznacza transpozycję wektora, czyli w tym
przypadku wektor wierszowy) należy do dziedziny tej funkcji, ponieważ obie współrzędne
należą do zbioru liczb rzeczywistych, a obszar wyznaczony nierównością
2
2
1
x
x >
jest
podzbiorem płaszczyzny
2
R
. Możemy jeszcze wyznaczyć wartość funkcji dla tego
argumentu:
0
0
2
1
ln
2
)
1
2
ln(
2
)
1
;
2
(
2
=
⋅
=
⋅
=
−
⋅
=
f
.
44
Proszę także zauważyć, że wektor
[ ]
T
2
;
1
nie należy do dziedziny funkcji, bowiem nie
jest spełniona druga część warunku
0
2
2
1
>
− x
x
:
0
2
1
2
<
−
.
Przykład 49. Wyznaczmy dziedzinę funkcji
y
x
x
y
x
g
2
1
)
,
(
+
=
oraz obliczmy jej
wartość dla argumentu
[ ]
T
2
;
1
.
Przed wyznaczeniem dziedziny tej funkcji zapiszmy wyrażenie podpierwiastkowe
w trochę innej postaci:
xy
x
y
y
x
x
y
x
g
2
2
2
1
)
,
(
2
+
=
+
=
Z uwagi na funkcję pierwiastkową dziedziną będzie taki zbiór, dla którego spełnione
będą warunki:
0
0
2
2
2
≠
∧
≥
+
xy
xy
x
y
, stąd
(
) (
)
{
}
2
2
2
1
2
2
1
2
0
0
:
)
;
(
R
x
y
xy
x
y
xy
R
y
x
D
⊂
−
≥
∧
>
∨
−
≤
∧
<
∈
=
.
Obliczamy wartość funkcji g dla podanego argumentu:
12
,
1
25
,
1
25
,
0
1
2
2
1
1
1
)
2
;
1
(
≈
=
+
=
⋅
+
=
g
.
Przykład 50. W pewnym zakładzie ustalono, że funkcje miesięcznego popytu (w tys.
opakowań) na dwa produkty wytwarzane w tym zakładzie są funkcjami ich cen postaci:
y
x
y
x
P
y
x
y
x
P
2
22
)
;
(
5
,
2
5
,
1
30
)
;
(
2
1
−
+
=
+
−
=
.
Wyznaczmy na tej podstawie funkcję miesięcznej wartości sprzedaży (utargu).
Poszukiwana funkcja będzie sumą iloczynów ceny poszczególnych produktów przez
sprzedane ich ilości, stąd mamy:
.
2
5
,
1
5
,
3
22
30
2
22
5
,
2
5
,
1
30
)
;
(
)
;
(
)
;
(
2
2
2
2
2
1
y
x
xy
y
x
y
xy
y
xy
x
x
y
x
P
y
y
x
P
x
y
x
U
−
−
+
+
=
=
−
+
+
+
−
=
⋅
+
⋅
=
Przykład 51. Funkcję produkcji pewnego zakładu opisano znaną w zastosowaniach
ekonomicznych funkcją Cobba-Douglasa postaci:
2
,
0
8
,
0
52
,
1
)
;
(
L
K
L
K
P
⋅
⋅
=
.
gdzie parametr K oznacza wielkość zaangażowanego kapitału produkcyjnego, a L wielkość
zatrudnionej siły roboczej.
45
Obliczmy wielkość produkcji tego zakładu dla
80
=
K
(mln. zł) i
6
,
1
=
L
. Po
podstawieniu do podanej funkcji mamy następującą wartość produkcji (możemy skorzystać
np. z Excela):
6
,
55
0986
,
1
3021
,
33
52
,
1
6
,
1
80
52
,
1
)
6
,
1
;
80
(
2
,
0
8
,
0
≅
⋅
⋅
≅
⋅
⋅
=
P
.
Ogólnie funkcja Cobba-Douglasa ma postać
r
r
L
K
c
L
K
P
−
⋅
⋅
=
1
)
;
(
, gdzie parametr
0
>
c
,
)
1
;
0
(
∈
r
, a dziedziną jest
{
}
0
;
0
;
)
;
(
:
2
>
>
∈
L
K
R
L
K
D
p
.
Zobaczmy jeszcze, o ile zmieni się wartość funkcji Cobba-Douglasa, jeżeli oba jej
parametry zostaną jednocześnie powiększone o 10% w stosunku do wyjściowych wartości
podanych wyżej (
80
=
K
,
6
,
1
=
L
)?
Mamy teraz
K
K
⋅
= 1
,
1
1
oraz
L
L
⋅
= 1
,
1
1
, stąd
.
)
;
(
1
,
1
)
;
(
1
,
1
52
,
1
1
,
1
1
,
1
)
1
,
1
(
)
1
,
1
(
52
,
1
52
,
1
)
;
(
)
2
,
0
8
,
0
(
2
,
0
8
,
0
2
,
0
8
,
0
2
,
0
8
,
0
2
,
0
1
8
,
0
1
1
1
L
K
P
L
K
P
L
K
L
K
L
K
L
K
P
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
+
Jak widzimy z powyższego jednoczesna zmiana obu parametrów o 10 procent
spowoduje zwiększenie wartości funkcji produkcji również o 10 procent.
4.1 Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
W zastosowaniach praktycznych funkcji wielu zmiennych istotna jest możliwość
obliczania krańcowych zmian wartości tej funkcji dla wybranego argumentu i przy
ustaleniu wartości pozostałych argumentów jak również tempo tych zmian. W przypadku
funkcji jednej zmiennej odpowiedzi na podobne pytania były osiągalne dzięki
wprowadzeniu pojęcia pochodnej funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych będziemy
korzystać z tzw. pochodnych cząstkowych.
Określenie: Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji
)
...;
;
(
1
n
x
x
f
y =
w punkcie
)
...;
;
2
;
1
(
n
j
x
j
=
nazywamy granicę (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego
j
n
j
n
j
n
j
j
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
j
∂
∂
=
∆
−
∆
+
→
∆
)
;...;
(
)
;...;
;...;
(
)
;...;
;...;
(
lim
1
1
1
0
Dla oznaczenia pochodnej cząstkowej ze względu na zmienną
j
x można także stosować
zapis
'
j
x
f
zamiast
j
n
x
x
x
f
∂
∂
)
;...;
(
1
.
Dla funkcji n zmiennych rozpatrujemy n pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu,
choć niekoniecznie wszystkie muszą istnieć. Jeżeli pochodne cząstkowe istnieją dla
każdego punktu należącego do dziedziny funkcji wielu zmiennych, to taką funkcję
nazywamy różniczkowalną w zbiorze
f
D
X ⊆
.
46
Dla funkcji dwóch zmiennych
)
;
(
y
x
f
można więc wyznaczyć dwie pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu:
x
y
x
f
y
x
x
f
f
x
y
x
f
x
x
∆
−
∆
+
=
=
∂
∂
→
∆
)
;
(
)
;
(
lim
)
;
(
0
'
y
y
x
f
y
y
x
f
f
y
y
x
f
y
y
∆
−
∆
+
=
=
∂
∂
→
∆
)
;
(
)
;
(
lim
)
;
(
0
'
.
Przy wyznaczaniu pochodnych cząstkowych względem zmiennej
j
x pozostałe zmienne
traktujemy jako stałe, stąd przy wyznaczaniu pochodnych cząstkowych korzystamy z reguł
pochodnej jednej zmiennej.
Przykład 52. Wyznaczmy pochodne cząstkowe funkcji
3
sin
2
3
)
;
(
2
+
−
=
y
y
x
y
x
f
.
Traktując zmienną y jako stałą wyznaczamy pochodną cząstkową względem x:
xy
x
y
y
x
y
f
x
6
0
0
2
2
3
)'
3
(
)'
(sin
2
)'
(
3
2
'
=
+
⋅
−
⋅
=
+
⋅
−
⋅
=
.
Analogicznie obliczamy pochodną cząstkową względem zmiennej y:
y
x
y
x
y
y
x
f
y
cos
2
3
0
cos
2
1
3
)'
3
(
)'
(sin
2
)'
(
3
2
2
2
'
−
=
+
⋅
−
⋅
=
+
⋅
−
⋅
=
.
Przykład 53. Wyznaczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch
zmiennych
4
3
5
,
0
2
)
(
)
;
(
y
xy
x
y
x
f
+
−
=
.
Jedyna trudność w porównaniu z poprzednim przykładem związana jest z faktem, że
tym razem mamy funkcję złożoną:
)
2
(
)
(
4
3
3
5
,
0
2
'
x
x
y
xy
x
f
x
−
⋅
+
−
=
)
3
5
,
0
(
)
(
4
2
5
,
0
3
3
5
,
0
2
'
y
y
y
xy
x
f
y
+
−
⋅
+
−
=
−
.
Przykład 54. Wyznaczmy obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w przypadku
funkcji produkcji Cobba-Douglasa.
[
]
( )
1
1
1
1
1
1
1
'
1
)'
(
)
;
(
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∂
∂
r
r
r
r
r
r
r
r
r
L
K
cr
K
L
cr
K
r
L
c
K
L
c
L
K
c
K
L
K
P
[
]
r
r
r
r
r
r
r
r
r
L
K
r
c
L
K
r
c
L
r
cK
L
K
c
L
K
c
L
L
K
P
−
=
−
=
−
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∂
∂
−
−
−
−
−
)
1
(
)
1
(
)
)(
1
(
)'
(
)
;
(
1
1
1
'
1
.
Użyty w tych przekształceniach iloraz
L
K
nazywamy technicznym uzbrojeniem
pracy, gdzie K jest wartością majątku produkcyjnego, a L jest wielkością zatrudnienia
w sferze produkcyjnej.
47
4.2 Zastosowanie pochodnych cząstkowych
W interpretacji ekonomicznej wartość pochodnej cząstkowej względem zmiennej x
funkcji dwóch zmiennych
)
;
(
0
0
'
y
x
f
x
szacuje krańcową zmianę wartości funkcji w tym
punkcie spowodowaną zmianą wartości zmiennej x o
1
=
∆x
i przy ustalonej wartości
drugiej zmiennej.
Podobnie pochodna
)
;
(
0
0
'
y
x
f
y
szacuje krańcową zmianę wartości funkcji w tym
punkcie spowodowaną zmianą wartości zmiennej y o
1
=
∆y
i przy ustalonej wartości
drugiej zmiennej.
Tym samym dodatnia wartość pochodnej cząstkowej w danym punkcie oznacza wzrost
wartości funkcji w otoczeniu punktu
)
;
(
0
0
y
x
wywołany wzrostem wartości odpowiedniej
zmiennej. Analogicznie ujemna wartość pochodnej cząstkowej sygnalizuje spadek wartości
funkcji w otoczeniu punktu
)
;
(
0
0
y
x
wywołany wzrostem wartości odpowiedniej
zmiennej.
Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej możemy wprowadzić określenia
elastyczności (cząstkowej) względem poszczególnych zmiennych.
Określenie: Jeżeli dana jest funkcja
)
;
(
y
x
f
i taki pewien punkt
f
D
y
x
∈
)
~
;
~
(
w którym
funkcja f jest różniczkowalna, to:
Jeżeli
0
)
~
;
~
(
0
~
>
∧
>
y
x
f
x
, to wyrażenie
)
~
;
~
(
)
~
;
~
(
~
)
~
;
~
(
'
y
x
f
y
x
f
x
y
x
f
E
x
x
⋅
=
nazywa-
my elastycznością cząstkową ze względu na zmienną x funkcji f w punkcie
)
~
;
~
(
y
x
.
Jeżeli
0
)
~
;
~
(
0
~
>
∧
>
y
x
f
y
, to wyrażenie
)
~
;
~
(
)
~
;
~
(
~
)
~
;
~
(
'
y
x
f
y
x
f
y
y
x
f
E
y
y
⋅
=
nazywa-
my elastycznością cząstkową ze względu na zmienną y funkcji f w punkcie
)
~
;
~
(
y
x
.
Przykład 55. Wyznaczmy elastyczności cząstkowe funkcji
8
7
2
)
;
(
+
+
=
y
x
y
x
f
w punkcie
)
4
;
10
(
, a następnie zinterpretujemy uzyskany wynik.
Zgodnie z podanym wyżej określeniem mamy następujące wzory ogólne:
8
7
2
2
)
;
(
+
+
⋅
=
y
x
x
y
x
f
E
x
8
7
2
7
)
;
(
+
+
⋅
=
y
x
y
y
x
f
E
y
.
W podanym punkcie
)
4
;
10
(
elastyczności te wynoszą odpowiednio:
36
,
0
56
20
8
4
7
10
2
2
10
)
4
;
10
(
≈
=
+
⋅
+
⋅
⋅
=
f
E
x
50
,
0
56
28
8
4
7
10
2
7
4
)
4
;
10
(
=
=
+
⋅
+
⋅
⋅
=
f
E
y
.
48
Uzyskane wskaźniki można zinterpretować następująco:
Jeżeli zwiększymy wartość zmiennej
10
=
x
o 1% przy niezmienionej wartości
zmiennej
4
=
y
, to wartość funkcji
)
4
;
10
(
f
wzrośnie o około 0,36%.
Podobnie zwiększenie wartości zmiennej
4
=
y
o 1% przy niezmienionej wartości
zmiennej
10
=
x
spowoduje wzrost wartości funkcji
)
4
;
10
(
f
o 0,5%.
Materiał dotyczący funkcji wielu zmiennych został w tym zeszycie potraktowany
bardzo skrótowo, w miarę potrzeby odsyłam Czytelnika do obszernej literatury przedmiotu.
5. Literatura
1. E. Bańkowska i in. Egzamin wstępny na wyższe uczelnie. Zbiór zadań.
Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 1994
2. B. Gdowski, E. Pluciński. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982
3. J. Górczyński. Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 1. Funkcje i ciągi liczbowe.
WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew 2000
4. J.Górczyński. Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie
równań liniowych. WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew 2000
5. J. Kłopotowski i in. Matematyka dla studiów zaocznych (pod red. I. Nyko-
wskiego). Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1995
6. J. Laszuk. Matematyka. Studium podstawowe. Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 1996
7. J. Laszuk. Matematyka. Rozwiązania zadań. Wskazówki i odpowiedzi. Studium
podstawowe. Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1997
8. R. Leitner, W. Żakowski. Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie
techniczne. Część I. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1984
9. R. Leitner, W. Żakowski. Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie
techniczne. Część II. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1984
10. A. Zieliński. Wykłady z matematyki praktycznej. Fundacja „Rozwój SGGW”,
Warszawa 1997
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka Funkcja granice
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
Matematyka cw5 Granice funkcji Ciaglosc funkcji Asymptoty
matematyka, File173, GRANICA CIĄGU
Analiza Matematyczna I Skrypt UMK
3 Indukcja matematyczna, ciągi granice
Analiza matematyczna. Wykłady GRANICE FUNKCJI
Analiza matematyczna, Analiza matematyczna - szeregi, granice funkcji, Granice funkcji i szeregi
Matematyka Funkcja granice
Pogonowski Jerzy Logika Matematyczna (skrypt)
Matematyka cw5 Granice funkcji Ciaglosc funkcji Asymptoty
3 Matematyka ciągi i granice ciągu
3 Indukcja matematyczna, ciągi granice
Analiza Matematyczna 1 stary skrypt id 60884 (2)
Obliczanie granic stosując regułę de L, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
SKRYPT- matematyka finansowa, Szpital Miejski Gdańsk - Zaspa Gdańsk, 23.01.1996
więcej podobnych podstron