Definicja zdania
Zdaniem w logice nazywamy wypowied zbudowan zgodnie z zasadami ustalonego j zyka,
ź
ą
ę
której mo na przypisa jednoznacznie jedn z dwu ocen: prawd lub fa sz -nazywane
ż
ć
ą
ę
ł
warto ciami logicznymi danego zdania i oznaczane odpowiednio symbolami
ś
1,
0
.
Definicja formy zdaniowej
Form zdaniow nazywamy wypowied , która mo e zawiera zmienne, zbudowan wed ug
ą
ą
ź
ż
ć
ą
ł
takich samych regu gramatycznych jak zdanie. Fakt, e
ł
ż x jest zmienn formy zdaniowej
ą
oznaczamy pisz c
ą
)
(x
.
Uwaga 1. Ka de zdanie jest form zdaniow .
ż
ą
ą
Uwaga 2. Istniej formy zdaniowe nie b d ce zdaniami.
ą
ę ą
Zasada tworzenia zda z form zdaniowych
ń
Z formy zdaniowej mo na otrzyma zdanie na dwa sposoby:
ż
ć
(a) Przez podstawienie w miejsce zmiennych, obiektów w stosunku do których b dziemy
ę
mogli stosowa oceny logiczne prawdziwo ci i fa szu.
ć
ś
ł
(b) Przez stosowanie kwantyfikatorów w odniesieniu do wyst puj cych w formie zdaniowej
ę
ą
zmiennych. Stosowanie kwantyfikatora du ego do formy
ż
)
(x
oznacza utworzenie
zdania
)
(x
X
x
, które czytamy: „ dla ka dego elementu
ż
x ze zbioru X jest
)
(x
”.
Stosowanie kwantyfikatora ma ego do formy
ł
)
(x
oznacza utworzenie zdania
)
(x
X
x
,
które czytamy: „ istnieje element x ze zbioru
X taki, e
ż
)
(x
”.
Definicja
Je li zakresem zmienno ci zmiennej
ś
ś
x w formie
)
(x
jest zbiór
X
, to zbiór tych wszystkich
elementów zbioru
X , które podstawione w miejsce zmiennej x w formie
)
(x
daj zdanie
ą
prawdziwe oznaczamy jako
)
(
:
x
X
x
.
Przyk ad.
ł
Przedzia domkni ty
ł
ę
b
a, gdzie a ,
b
s liczbami rzeczywistymi takimi, e
ą
ż
b
a
mo na zapisa jako
ż
ć
b
x
a
R
x
:
.
Zasada weryfikacji prawdziwo ci zda z o onych
ś
ń ł ż
Oceny prawdziwo ci zda z o onych dokonujemy na podstawie informacji o prawdziwo ci
ś
ń ł ż
ś
ich sk adników zgodnie z nast puj cymi ustaleniami:
ł
ę
ą
(a)
p
q
p
~
q
p
q
p
q
p
q
p
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
(b)
)
(x
X
x
jest prawd wtedy i tylko wtedy gdy
ą
X
x
X
x
)
(
:
)
(x
X
x
jest prawd wtedy i tylko wtedy gdy
ą
)
(
:
x
X
x
1
Definicja tautologii
Prawem logicznym albo tautologi nazywamy zdanie z o one, które jest prawdziwe
ą
ł ż
niezale nie od warto ci logicznych zda sk adowych.
ż
ś
ń ł
Wykaz wa niejszych tautologii
ż
1)
p
p ~
2)
)
(~
~
p
p
3)
)
(
)
(
)
(
r
p
r
q
q
p
4)
)
~
(~
)
(
p
q
q
p
5)
)
(
)
(
p
q
q
p
6)
)
(
)
(
p
q
q
p
7)
r
q
p
r
q
p
)
(
)
(
8)
r
q
p
r
q
p
)
(
)
(
9)
)
(
)
(
)
(
r
p
q
p
r
q
p
10)
)
(
)
(
)
(
r
p
q
p
r
q
p
11)
)
~
(~
)
(
~
q
p
q
p
12)
)
~
(~
)
(
~
q
p
q
p
13)
)
~
(
)
(
~
q
p
q
p
14)
p
q
p
q
p
)
(~
)
~
(~
15)
)
(
)
(
x
x
X
x
X
x
16)
)
(
~
)
(
~
x
x
X
x
X
x
17)
)
(
~
)
(
~
x
x
X
x
X
x
18)
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
X
x
Y
y
Y
y
X
x
19)
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
X
x
Y
y
Y
y
X
x
20)
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
X
x
Y
y
Y
y
X
x
21)
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
X
x
X
x
X
x
22)
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
X
x
X
x
X
x
Zasada prowadzenia dowodu
Ka dy element rozumowania zwanego dowodem w dowolnej teorii matematycznej daje si
ż
ę
uzasadni tautologi albo aksjomatem tej teorii.
ć
ą
Definicja iloczynu kartezja skiego zbiorów
ń
Iloczynem kartezja skim zbiorów
ń
X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporz dkowanych
ą
)
,
( y
x
takich, e
ż
X
x
i
Y
y
. Iloczyn kartezja ski zbiorów
ń
X
i
Y
oznaczamy jako
Y
X
.
Definicja funkcji
Ka dy podzbiór
ż
f iloczynu kartezja skiego
ń
Y
X
zbiorów X i Y nazywamy funkcją
odwzorowuj c zbiór
ą ą
X w zbiór Y o ile spe nia on nast puj ce dwa warunki:
ł
ę
ą
(a)
f
y
x
Y
y
X
x
)
,
(
(b)
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
~
2
1
y
y
f
y
x
f
y
x
Y
y
Y
y
X
x
.
Fakt, e
ż f jest funkcj odwzorowuj c zbiór
ą
ą ą
X
w zbiór
Y
oznaczamy pisz c
ą
Y
X
f
:
.
Zbiór funkcji odwzorowuj cych
ą
X w Y oznaczamy jako
X
Y .
Definicja funkcji ró nowarto ciowej
ż
ś
Je li
ś
Y
X
f
:
to mówimy, e
ż f jest ró nowarto ciowa je li spe nia nast puj cy warunek:
ż
ś
ś
ł
ę
ą
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
~
2
1
x
x
f
y
x
f
y
x
Y
y
X
x
X
x
2
Definicja funkcji odwzorowuj cej zbiór X na zbiór Y
ą
Je li
ś
Y
X
f
:
to mówimy, e
ż
f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y je li spe nia
ś
ł
nast puj cy warunek:
ę
ą
f
y
x
X
x
Y
y
)
,
(
.
Definicja funkcji wzajemnie jednoznacznej
Je li
ś
Y
X
f
:
to mówimy, e
ż
f jest funkcj wzajemnie jednoznaczn je li jest funkcj
ą
ą ś
ą
ró nowarto ciow odwzorowuj c zbiór
ż
ś
ą
ą ą
X na zbiór Y .
Definicja funkcji odwrotnej
Niech
Y
X
f
:
b dzie funkcj wzajemnie jednoznaczn . Wówczas zbiór
ę
ą
ą
f
y
x
x
y
)
,
(
:
)
,
(
jest funkcj wzajemnie jednoznaczn odwzorowuj c zbiór
ą
ą
ą ą
Y
na zbiór
X . Nazywamy go funkcj odwrotn do funkcji
ą
ą
f i oznaczamy jako
1
f .
Definicja z o enia funkcji
ł ż
Niech
Y
X
f
:
,
Z
T
g
:
przy czym
T
Y
. Zbiór
g
z
y
f
y
x
z
x
Y
y
)
,
(
)
,
(
:
)
,
(
jest funkcj odwzorowuj ca zbiór
ą
ą
X
w zbiór
Z
. Nazywamy go z o eniem funkcji
ł ż
f i
g
i
oznaczamy jako
f
g
.
Definicja obrazu zbioru przez funkcję
Niech
Y
X
f
:
. Dla dowolnego zbioru
A
zbiór
f
y
x
Y
y
A
x
)
,
(
:
nazywamy
obrazem zbioru
A
przez funkcj
ę f i oznaczamy jako
A
f
.
Definicja przeciwobrazu zbioru przez funkcję
Niech
Y
X
f
:
. Dla dowolnego zbioru
B zbiór
f
y
x
X
x
B
y
)
,
(
:
nazywamy
przeciwobrazem zbioru
B przez funkcj
ę f i oznaczamy jako
B
f
1
.
Definicja dziedziny i zbioru warto ci funkcji
ś
Niech f : X
Y. Wówczas zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i oznaczamy jako Df
natomiast f[X] nazywamy zbiorem wartości funkcji i oznaczamy jako Wf.
Przyk ady rodzin funkcji
ł
Niech f : X
Y.
Jeśli X
R i Y = R, to funkcję f nazywać będziemy funkcją rzeczywistą zmiennej
rzeczywistej.
Jeśli X = N i Y = R, to funkcję f nazywać będziemy nieskończonym ciągiem
liczbowym o wyrazach rzeczywistych.
Jeśli X = N i Y = N i f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to f nazywać będziemy
permutacją zbioru liczb naturalnych.
Jeśli X = {1, 2, ..., m}
{1, 2, ..., n} oraz Y = R, to funkcję f nazywać będziemy
macierzą o m wierszach i n kolumnach.
3
Ciągłość. Niech x
0
R.
Definicja otoczenia, s siedztwa i punktu skupienia
ą
Niech a, b
R i a < x
0
< b. Otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, prawostronnym) punktu
x
0
nazywamy przedział (a, b) ((a, x
0
], [x
0
, b)). Rodzinę zbiorów będących otoczeniami
(otoczeniami lewostronnymi, prawostronnymi) punktu x
0
oznaczać będziemy symbolem O(x
0
)
(O
-
(x
0
), O
+
(x
0
)). Każdy zbiór postaci U \ {x
0
}, gdzie U
O(x
0
) (U
O
-
(x
0
), U
O
+
(x
0
))
nazywać będziemy sąsiedztwem (sąsiedztwem lewostronnym, prawostronnym) punktu x
0
.
Rodzinę zbiorów będących sąsiedztwami (sąsiedztwami lewostronnymi, prawostronnymi)
oznaczać będziemy symbolem S(x
0
) (S
-
(x
0
), S
+
(x
0
)).
Niech X
R. Mówimy, że x
0
jest punktem skupienia (lewostronnym, prawostronnym
punktem skupienia) zbioru X, jeśli
X
U
x
S
U
0
(
X
U
x
S
U
0
,
X
U
x
S
U
0
).
Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X
oznaczamy jako X
d
(X
d-
, X
d+
).
Niech f będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.
Definicja granicy funkcji
Niech x
0
(Df)
d
(x
0
(Df)
d-
, x
0
(Df)
d+
). Mówimy, że g
R jest granicą (granicą
lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
U
f
x
S
U
g
O
V
0
)
(
(
V
U
f
x
S
U
g
O
V
0
)
(
,
V
U
f
x
S
U
g
O
V
0
)
(
).
Fakt, że g jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) zapisujemy symbolicznie
)
(
lim
0
x
f
g
x
x
(
)
(
lim
0
x
f
g
x
x
,
)
(
lim
0
x
f
g
x
x
).
Definicja ciągłości funkcji
Niech x
0
Df.
f jest ciągła w x
0
x
0
(Df)
d
).
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
f jest lewostronnie ciągła w x
0
x
0
(Df)
d-
).
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
f jest prawostronnie ciągła w x
0
x
0
(Df)
d+
).
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
Niech X
R. Mówimy, że f jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru. Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczać będziemy przez Cf.
Uwaga. Funkcja jest ciągła w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła lewostronnie i
prawostronnie w tym punkcie.
Rodzaje nieci g o ci – definicja
ą ł ś
Niech x
0
Df. Mówimy, że x
0
jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji f, jeśli
istnieją i są skończone granice
)
(
lim
0
x
f
x
x
,
)
(
lim
0
x
f
x
x
przy czym
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
lub
).
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
Mówimy, że x
0
jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju, jeśli x
0
Cf i
x
0
nie jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju.
4
Twierdzenia o funkcjach ci g ych
ą ł
Twierdzenie Weierstrassa-Darboux. Niech a, b
R, a < b, [a, b] Cf. Wówczas funkcja f
jest ograniczona na [a, b]. Ponadto
1.
]
,
[
sup
)
(
]
,
[
b
a
f
c
f
b
a
c
;
2.
]
,
[
inf
)
(
]
,
[
b
a
f
d
f
b
a
d
;
3.
).
(
]
,
[
]
,
[
sup
,
]
,
[
inf
x
f
y
b
a
x
b
a
f
b
a
f
y
Twierdzenie o klasie funkcji ci g ych
ą ł
Funkcje elementarne są ciągłe. Działania algebraiczne wykonywane na funkcjach ciągłych
dają funkcje ciągłe. Złożenia funkcji ciągłych są funkcjami ciągłymi. Funkcje odwrotne do
funkcji ciągłych (o ile istnieją) też są funkcjami ciągłymi.
Uwaga. Jeśli x
0
Cf i f(x
0
) > 0, to
).
,
0
(
]
[
)
(
0
U
f
x
O
U
Definicja ciągłości jednostajnej
Niech X
Df. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła na X, jeśli
.
|
)
'
(
)
(
|
|'
|
'
,
0
0
x
f
x
f
x
x
X
x
x
Uwaga. Jeśli f jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, to jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru.
Uwaga. Istnieją funkcje ciągłe w każdym punkcie zbioru X lecz nie będące jednostajnie
ciągłymi na tym zbiorze.
Uwaga. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest na tym przedziale
jednostajnie ciągła.
SZEREGI LICZBOWE
Definicja szeregu
Niech
N
n
n
a
b dzie ci giem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ci g
ę
ą
ą
N
n
n
S
gdzie
n
k
k
df
n
n
a
a
a
a
S
1
2
1
. Taki szereg liczbowy oznaczamy symbolem
1
n
n
a .
Liczb
ę
n
a nazywamy n-tym wyrazem, a liczb
ę
n
S - n-t sum tego szeregu.
ą
ą
Definicja szeregu zbie nego, rozbie nego i sumy szeregu
ż
ż
Mówimy, e szereg
ż
1
n
n
a jest zbie ny je li ci g
ż
ś
ą
N
n
n
S
jest zbie ny do granicy sko czonej
ż
ń
zwanej w tym przypadku sum szeregu i oznaczanej symbolem identycznym z symbolem
ą
szeregu.
Mówimy, e szereg
ż
1
n
n
a jest rozbie ny gdy nie jest zbie ny.
ż
ż
5
Twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów
Je li szeregi
ś
1
n
n
a ,
1
n
n
b s zbie ne odpowiednio do liczb
ą
ż
A i B , to dla dowolnych liczb
rzeczywistych a ,
b
zbie ny jest równie szereg
ż
ż
1
n
n
n
bb
aa
przy czym suma tego szeregu
wynosi
bB
aA
.
Twierdzenie o zbie no ci szeregu geometrycznego
ż ś
Szereg
1
n
n
q zwany szeregiem geometrycznym o podstawie q jest zbie ny wtedy i tylko
ż
wtedy gdy
1
q
.
Twierdzenie o zbie no ci szeregu harmonicznego
ż ś
Szereg
1
1
n
p
n
zwany szeregiem harmonicznym rz du
ę
p jest zbie ny wtedy i tylko wtedy gdy
ż
1
p
.
Warunek konieczny zbie no ci szeregu
ż ś
Je li szereg
ś
1
n
n
a jest zbie ny to
ż
0
lim
n
n
a
.
Niech
1
n
n
a i
1
n
n
b oznaczaj szeregi liczbowe.
ą
Uwaga. Je li ci gi
ś
ą
N
n
n
a
i
N
n
n
b
ró ni si sko czon ilo ci wyrazów, to oba szeregi
ż ą ę
ń
ą
ś ą
1
n
n
a i
1
n
n
b s jednocze nie zbie ne lub rozbie ne.
ą
ś
ż
ż
KRYTERIA ZBIE NO CI SZEREGÓW
Ż
Ś
Kryterium porównawcze
Je li
ś
n
n
N
n
b
a
0
to ze zbie no ci szeregu
ż ś
1
n
n
b wynika zbie no szeregu
ż ść
1
n
n
a i z
rozbie no ci szeregu
ż ś
1
n
n
a wynika rozbie no szeregu
ż ść
1
n
n
b .
Kryterium ilorazowe
Je li
ś
0
b
i
0
n
n
N
n
a
oraz
,
0
lim
n
n
n
b
a
, to oba szeregi
1
n
n
a i
1
n
n
b s jednocze nie
ą
ś
zbie ne lub rozbie ne.
ż
ż
6
Kryterium Cauchy’ego
Je li
ś
g
a
n
n
n
lim
to
1
n
n
a jest zbie ny gdy
ż
1
g
i rozbie ny gdy
ż
1
g
.
Kryterium d’Alemberta
Je li
ś
0
n
N
n
a
oraz
g
a
a
n
n
n
1
lim
to szereg
1
n
n
a jest zbie ny gdy
ż
1
g
i rozbie ny gdy
ż
1
g
.
Kryterium Raabego
Je li
ś
0
n
N
n
a
oraz
g
a
a
n
n
n
n
1
lim
1
to szereg
1
n
n
a jest zbie ny gdy
ż
1
g
i rozbie ny
ż
gdy
1
g
.
Twierdzenie o zag szczaniu
ę
Je li
ś
N
n
n
a
jest ci giem nierosn cym o wyrazach nieujemnych to szeregi
ą
ą
1
n
n
a i
1
2
2
n
n
n
a
s jednocze nie zbie ne lub rozbie ne.
ą
ś
ż
ż
Kryterium Dirichleta
Je li ci g sum cz
ciowych szeregu
ś
ą
ęś
1
n
n
a jest ograniczony oraz
N
n
n
b
jest ci giem
ą
nierosn cym zbie nym do zera to szereg
ą
ż
1
n
n
n
b
a
jest zbie ny.
ż
Kryterium Abela
Je li szereg
ś
1
n
n
a jest zbie ny i ci g
ż
ą
N
n
n
b
jest monotoniczny i ograniczony, to szereg
1
n
n
n
b
a
jest zbie ny.
ż
Kryterium Leibniza
Je li
ś
N
n
n
a
jest ci giem nierosn cym zbie nym do 0, to szereg
ą
ą
ż
1
1
)
1
(
n
n
n
a zwany
szeregiem naprzemiennym jest zbie ny.
ż
Definicja zbie no ci bezwzgl dnej
ż ś
ę
Mówimy, e szereg
ż
1
n
n
a jest bezwzgl dnie zbie ny, gdy zbie ny jest szereg
ę
ż
ż
1
n
n
a .
Uwaga Ka dy szereg zbie ny bezwzgl dnie jest zbie ny.
ż
ż
ę
ż
Uwaga Istniej szeregi zbie ne lecz nie bezwzgl dnie zbie ne.
ą
ż
ę
ż
7
Definicja szeregu zbie nego warunkowo
ż
Szereg zbie ny lecz nie bezwzgl dnie zbie ny nazywamy szeregiem zbie nym warunkowo.
ż
ę
ż
ż
Twierdzenie
Je li szereg
ś
1
n
n
a jest bezwzgl dnie zbie ny, to dla dowolnej permutacji
ę
ż
N
n
n
m
liczb
naturalnych szereg
1
n
m
n
a jest zbie ny i ma tak sam sum jak szereg
ż
ą
ą
ę
1
n
n
a .
Twierdzenie Cauchy’ego
Je li szeregi
ś
1
n
n
a i
1
n
n
b s bezwzgl dnie zbie ne, to szereg
ą
ę
ż
1
1
1
)
(
n
k
n
k
n
k
b
a
jest
zbie ny przy czym suma tego szeregu wynosi
ż
B
A
gdzie A oznacza sum szeregu
ę
1
n
n
a , a
B sum szeregu
ę
1
n
n
b .
Twierdzenie Riemanna
Niech
1
n
n
a b dzie szeregiem warunkowo zbie nym. Dla dowolnego
ę
ż
,
R
A
istnieje permutacja
N
n
n
m
zbioru liczb naturalnych taka, e
ż A jest sum szeregu
ą
1
n
m
n
a .
CI GI I SZEREGI FUNKCYJNE
Ą
Przyjmijmy, e
ż
R
X
.
Definicja ci gu funkcyjnego
ą
Ci giem funkcyjnym okre lonym na zbiorze
ą
ś
X nazywamy ka d funkcj odwzorowuj c
ż ą
ę
ą ą
zbiór N w zbiór
R
X . Za ó my, e
ł ż
ż
R
X
f
n
N
n
:
. Wówczas dla oznaczenia ci gu
ą
funkcyjnego, którego n-tym wyrazem jest funkcja
n
f u ywamy oznaczenie
ż
N
n
n
f
.
Niech
N
n
n
f
oznacza ci g funkcyjny taki, e
ą
ż
R
X
f
n
N
n
:
. Niech
R
X
f
:
.
Definicja zbie no ci punktowej ci gu funkcyjnego
ż ś
ą
Mówimy, e ci g
ż
ą
N
n
n
f
jest punktowo zbie ny na zbiorze
ż
X do funkcji f je li
ś
)
(
)
(
lim
x
f
x
f
n
n
X
x
.
Definicja zbie no ci jednostajnej ci gu funkcyjnego
ż ś
ą
Mówimy, e ci g
ż
ą
N
n
n
f
jest jednostajnie zbie ny na zbiorze
ż
X
do funkcji f je li
ś
)
(
)
(
0
0
0
x
f
x
f
n
X
x
n
n
N
n
.
8
Fakt, e
ż
N
n
n
f
jest punktowo zbie ny do funkcji
ż
f na zbiorze
X
oznaczamy pisz c
ą
f
f
X
n
.
Fakt, e
ż
N
n
n
f
jest jednostajnie zbie ny do funkcji
ż
f na zbiorze X oznaczamy pisz c
ą
n
f
X
f .
Twierdzenie
Je li
ś
n
f
X
f to
f
f
X
n
.
Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie Weierstrassa
Niech
]
[
|
|
sup
X
f
f
n
n
dla
N
n
. Wówczas
0
lim
n
n
X
n
f
f
Twierdzenie
Je li
ś
f
f
X
n
i
n
N
n
f
jest ci g a na X, to równie
ą ł
ż f jest ci g a na
ą ł
X.
Definicja funkcji przedzia ami liniowej
ł
Niech
R
b
a
,
,
b
a
i niech
Df
b
a
]
,
[
. Funkcj
ę f nazywamy przedzia ami liniow na
ł
ą
przedziale
]
,
[ b
a
je li
ś
f jest ci g a na
ą ł
]
,
[ b
a
oraz je li istniej uk ady liczb
ś
ą
ł
b
a
a
a
a
a
n
2
1
0
oraz
n
c
c
c
,...,
,
2
1
oraz
n
d
d
d
,...,
,
2
1
takie, e
ż
k
k
a
a
x
n
k
d
x
c
x
f
k
k
)
(
]
,
[
}
,...,
2
,
1
{
1
Twierdzenie
Ka da funkcja ci g a w przedziale domkni tym jest granic jednostajnie zbie nego ci gu
ż
ą ł
ę
ą
ż
ą
funkcji przedzia ami liniowych na tym przedziale.
ł
Definicja szeregu funkcyjnego
Niech
N
n
n
f
b dzie ci giem funkcyjnym takim, e
ę
ą
ż
X
Df
n
N
n
. Szeregiem funkcyjnym
nazywamy ci g funkcyjny
ą
N
n
n
S
gdzie
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
f
x
S
n
n
X
x
N
n
. Taki
szereg funkcyjny oznaczamy symbolem
1
n
n
f . Funkcj
ę
n
f nazywamy n-tym wyrazem a
funkcj
ę
n
S nazywamy n-t sum tego szeregu.
ą
ą
Definicja zbie no ci punktowej i jednostajnej szeregu funkcyjnego
ż ś
Szereg funkcyjny
1
n
n
f jest punktowo (jednostajnie) zbie ny na zbiorze X gdy ci g
ż
ą
funkcyjny
n
S jest punktowo (jednostajnie) zbie ny na tym zbiorze.
ż
Funkcj b d c granic ci gu funkcyjnego
ę ę ą ą
ą ą
n
S o ile ona istnieje nazywamy sum szeregu
ą
1
n
n
f i oznaczamy tak jak sam szereg.
9
Wniosek. Szereg funkcyjny
1
n
n
f jest punktowo zbie ny na zbiorze
ż
X wtedy i tylko wtedy
gdy
)
(
1
x
f
n
n
X
x
jest zbie ny.
ż
Wniosek. Je li szereg funkcyjny
ś
)
(
1
x
f
n
n
jest jednostajnie zbie ny na zbiorze
ż
X, to jest
punktowo zbie ny na tym zbiorze.
ż
Twierdzenie Weierstrassa
Niech
1
n
n
f b dzie szeregiem funkcyjnym funkcji okre lonych na zbiorze X, a
ę
ś
1
n
n
a
szeregiem liczbowym zbie nym takim, e
ż
ż
n
n
X
x
N
n
a
x
f
|
)
(
|
.
Wówczas szereg
1
n
n
f jest jednostajnie zbie ny oraz
ż
)
(
1
x
f
n
n
X
x
jest bezwzgl dnie zbie ny.
ę
ż
Definicja szeregu pot gowego
ę
Niech
R
x
0
i niech
R
a
n
dla
}
0
{
N
n
. Za ó my, e
ł ż
ż
R
R
f
:
1
jest funkcj tak , e
ą
ą ż
0
1
)
(
a
x
f
R
x
R
R
f
n
:
jest funkcj tak , e
ą
ą ż
1
0
1
)
(
)
(
n
n
n
R
x
x
x
a
x
f
dla
N
n
i
1
n
.
Szereg funkcyjny
1
n
n
f nazywamy szeregiem pot gowym o rodku w punkcie
ę
ś
0
x i
wspó czynnikach
ł
,
,
,
2
1
0
a
a
a
. Oznaczamy go symbolicznie jako
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
.
Definicja promienia zbie no ci szeregu pot gowego
ż ś
ę
Liczb
ę
1
:
sup
n
n
n
r
a
R
r
nazywamy promieniem zbie no ci szeregu pot gowego
ż ś
ę
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
.
Uwaga. Promie zbie no ci szeregu pot gowego nie zale y od jego rodka
ń
ż ś
ę
ż
ś
0
x a jedynie od
wspó czynników
ł
n
a dla
N
n
n
0
.
Uwaga. Promie zbie no ci szeregu pot gowego jest zawsze liczb nieujemn .
ń
ż ś
ę
ą
ą
Niech R oznacza promie zbie no ci szeregu pot gowego
ń
ż ś
ę
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
.
10
Twierdzenie Cauchy'ego – Hadamarda
a)
Je li
ś
n
n
n
a
g
|
|
lim
, to
g
g
g
gdy
0
)
;
0
(
gdy
g
1
0
gdy
R
b)
Je li
ś
n
n
n
a
a
g
1
lim
, to
g
g
g
gdy
0
)
;
0
(
gdy
g
1
0
gdy
R
Twierdzenie o punktach zbie no ci szeregu pot gowego
ż ś
ę
Je li R = 0, to szereg
ś
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
jest zbie ny jedynie dla
ż
0
x
x
.
Je li R = , to szereg
∞
ś
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
jest zbie ny bezwzgl dnie dla dowolnego
ż
ę
R
x
.
Je li R
ś
)
;
0
(
, to szereg
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
jest zbie ny bezwzgl dnie dla dowolnego
ż
ę
)
R
;
R
(
0
0
x
x
x
oraz rozbie ny dla
ż
)
;
R
(
)
R
;
(
0
0
x
x
x
.
Definicja przedzia u zbie no ci szeregu pot gowego
ł
ż ś
ę
Przedzia em
zbie no ci
szeregu
ł
ż ś
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
nazywamy
zbiór
zbiezny
jest
)
(
:
0
0
n
n
n
x
x
a
R
x
Twierdzenie
Szereg pot gowy
ę
n
n
n
x
x
a
)
(
0
0
jest zbie ny jednostajnie w ka dym przedziale domkni tym
ż
ż
ę
zawartym w przedziale zbie no ci szeregu pot gowego.
ż ś
ę
Niech
f
będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej
Definicja ilorazu różnicowego
Niech
Df
x
x
,
0
oraz
0
x
x
. Ilorazem różnicowym funkcji
f
pomiędzy punktami
x
i
0
x
nazywamy liczbę
0
0
x
x
x
f
x
f
.
Załóżmy, że
Df
x
0
wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, otoczeniem
prawostronnym).
Definicja pochodnej
.
11
Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie
0
x nazywamy
granicę
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
(
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
,
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
x
) o ile ona istnieje.
Oznaczamy ją wtedy jako
0
' x
f
(
0
' x
f
,
0
' x
f
).
Definicja różniczkowalności funkcji.
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie, prawostronnie)
w punkcie
0
x jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną (pochodną lewostronną,
prawostronną).
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest różniczkowalna
w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest
różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz prawostronnie
różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna w prawym krańcu.
Definicja kąta nachylenia.
Niech
L
będzie dowolną prostą na płaszczyźnie XOY w której
X
oznacza oś odciętych. Jeśli
X
L
, to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej L jest zero. Jeśli
p
X
L
to
przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej L jest kąt, którego jednym z ramion jest
,
p
, a
drugim odcinek L przebiegający w górnej półpłaszczyźnie.
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.
Prostą przechodzącą przez punkty,
0
0
,
x
f
x
,
x
f
x,
nazywać będziemy sieczną.
Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji f pomiędzy punktami x i
0
x jest tangensem kąta
nachylenia siecznej. Przy ustalonym
0
x i x zmierzającym do
0
x zauważamy, że sieczne
wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy o ile ona istnieje położenie prostej, którą
nazwiemy styczną do wykresu funkcji w punkcie
0
0
,
x
f
x
. Pozwala to na spostrzeżenie, że
pochodna funkcji jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie
0
0
,
x
f
x
.
Wniosek.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie
0
0
,
x
f
x
ma postać
)
(
)
(
'
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
.
Definicja.
Normalną do wykresu funkcji f w punkcie
)
(
,
0
0
x
f
x
nazywamy prostą prostopadłą do
stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.
Definicja.
Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w
0
x . Kątem
przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego kąt , pomiędzy
stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.
12
Wniosek.
1
'
'
2
1
'
'
)
(
'
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
0
0
0
0
0
0
0
0
x
g
x
f
gdy
x
g
x
f
gdy
x
g
x
f
x
g
x
f
arctg
.
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie.
Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie
0
x oraz
R
a
, to funkcje
g
f
af
g
f
g
f
,
,
,
są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
'
0
0
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
0
0
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
0
'
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
x
f
a
x
f
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
f
Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że
0
0
x
g
.
Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych oraz
dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
0
x , zaś funkcja g jest różniczkowalna w
punkcie
)
(
0
x
f
to funkcja
f
g
jest różniczkowalna w punkcie
0
x przy czym
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
0
0
'
0
'
x
f
x
f
g
x
f
g
.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech
R
U
f
x
O
U
:
,
0
. Jeśli f jest ciągłą i różnowartościową funkcją różniczkowalną
w punkcie
0
x , taką, że
0
)
(
'
0
x
f
, to funkcja odwrotna
1
f jest różniczkowalna w punkcie
)
(
0
0
x
f
y
i
)
(
'
1
)
(
0
0
1
x
f
y
f
.
Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej są
prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie
występują symbole nieoznaczone.
13
Wzory na pochodne funkcji elementarnych
.
0
const
c
c
R
x
x
x
cos
)
(sin
R
x
x
x
sin
)
(cos
Z
k
k
x
x
tgx
,
2
)
1
2
(
cos
1
)
(
2
Z
k
k
x
x
ctgx
,
sin
1
)
(
2
0
1
)
(ln
x
x
x
1
,
0
,
0
ln
1
)'
(log
a
a
x
a
x
x
a
0
,
ln
)
(
a
R
x
a
a
a
x
x
R
x
e
e
x
x
)
(
R
R
x
x
x
,
)
(
1
1
)
(
n
n
nx
x
)
1
;
1
(
1
1
)
(arcsin
2
x
x
x
)
1
;
1
(
1
1
)
(arccos
2
x
x
x
R
x
x
arctgx
2
1
1
)
(
R
x
x
arcctgx
2
1
1
)
(
Definicja różniczki .
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie
0
x . Różniczką funkcji f w punkcie
0
x
nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej
h
przypisuje liczbę
h
x
f
)
(
'
0
. Różniczkę funkcji f w punkcie
0
x będziemy oznaczać jako
0
x
df
.
Uwaga
.
Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w dowolnym punkcie
przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej h nią samą. Stąd wniosek, że
h
h
dx
0
. Ponieważ
różniczka funkcji f w dowolnym punkcie
0
x to
0
x
df
, więc możemy zapisać, że
0
0
0
'
dx
x
f
x
df
. W powyższym wzorze
0
x
df
jest funkcją,
0
dx jest funkcją, a
)
(
'
0
x
f
jest liczbą. Wzór ten można zapisać w postaci
0
0
0
'
dx
x
df
x
f
. Jest on oczywiście
prawdziwy dla dowolnego argumentu
0
h
i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest
funkcją stałą. Argument h z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.
Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).
Załóżmy, że
Df
x
0
wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już pochodną
n
f
funkcji f rzędu n w każdym punkcie wspomnianego otoczenia. Jeśli
n
f
jest funkcją
14
różniczkowalną w punkcie
0
x to jej pochodną w tym punkcie nazywać będziemy pochodną
rzędu
1
n
funkcji f w punkcie
0
x . Pochodną rzędu n funkcji f w punkcie
0
x oznaczać
będziemy jako
0
x
f
n
. Przyjmujemy ponadto, że
0
0
0
x
f
x
f
.
Twierdzenie
Jeżeli f i g mają pochodne rzędu n w punkcie
0
x , to funkcja
g
f
ma pochodną rzędu n w
punkcie
0
x i wyraża się ona wzorem
n
k
k
k
n
n
x
g
x
f
k
n
x
g
f
0
0
)
(
0
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
(wzór Leibniza).
Załóżmy, że
b
a
R
b
a
,
,
.
Twierdzenie (ROLLE’A)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
]
,
[ b
a
, różniczkowalna w przedziale
b
a, , oraz
)
(b
f
a
f
, to istnieje przynajmniej jeden punkt
b
a
c
,
taki, że
0
)
(
'
c
f
.
Twierdzenie (CAUCHE’EGO )
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale
]
,
[ b
a
, różniczkowalne w przedziale
b
a, to
istnieje przynajmniej jeden punkt
b
a
c
,
taki, że
a
f
b
f
c
g
a
g
b
g
c
f
'
)
(
'
.
Twierdzenie (LAGRANGEA).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
]
,
[ b
a
i różniczkowalna w przedziale
b
a, , to istnieje
punkt
b
a
c
,
taki, że
a
b
a
f
b
f
c
f
'
.
Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.
Twierdzenie.
Niech funkcja
R
I
f
:
będzie różniczkowalna w przedziale I .
1)
Jeśli
0
)
(
'
x
f
I
x
to funkcja f jest stała w przedziale I.
2)
Jeśli
0
)
(
'
x
f
I
x
to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.
3)
Jeśli
0
)
(
'
x
f
I
x
to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.
4)
Jeśli
0
)
(
'
x
f
I
x
to funkcja f jest malejąca w przedziale I.
5)
Jeśli
0
)
(
'
x
f
I
x
to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja
R
I
f
:
jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca w tym
przedziale, to
0
)
(
'
x
f
I
x
.
Twierdzenie.
15
Jeżeli funkcja
R
I
f
:
jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca w tym
przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy
0
)
(
'
x
f
I
x
oraz zbiór
}
0
)
(
'
;
{
x
f
I
x
nie zawiera
przedziału.
Twierdzenie.
Niech
R
I
f
:
,
R
I
g
:
będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech
I
x
0
. Jeżeli
)
(
)
(
0
0
x
g
x
f
oraz
)
'
)
(
'
x
g
x
f
I
x
, to
)
(
)
(
x
g
x
f
I
x
.
Twierdzenie. (REGUŁA DE L’HOSPITALA)
Niech f i
g
będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie U punktu
0
x oraz
0
)
(
'
x
g
U
x
. Jeżeli
)
(
lim
0
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
, oraz istnieje granica
)
(
)
(
lim
'
'
0
x
g
x
f
x
x
(właściwa
lub nie), to istnieje również granica
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
x
przy czym
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
'
'
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
.
Uwaga: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie (WZÓR TAYLORA)
Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu n w przedziale
]
,
[ b
a
oraz pochodną rzędu
1
n
w
przedziale
b
a,
,
to
istnieje
punkt
)
,
( b
a
c
n
taki,
że
1
1
)
(
2
!
1
)
(
!
)
(
...
)
(
!
2
)
(
''
)
(
!
1
)
(
'
)
(
)
(
n
n
n
n
n
a
b
n
c
f
a
b
n
a
f
a
b
a
f
a
b
a
f
a
f
b
f
.
Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy jako
n
R i
nazywać resztą w postaci Lagrange’a. Tak więc
1
1
!
1
n
n
n
n
a
b
n
c
f
R
Wniosek. Dla
1
n
otrzymujemy twierdzenie Lagrange’a.
Uwaga Wzory twierdzeń o wartości średniej i wzór Taylora są prawdziwe również w
przypadku, gdy
a
b
.
Wniosek. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy
x
b
a
,
0
, to otrzymujemy wzór Maclaurina
1
1
)
(
2
!
1
)!
(
)
0
(
...
!
2
)
0
(
''
!
1
)
0
(
'
)
0
(
)
(
n
n
n
n
n
x
n
c
f
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
.
Twierdzenie.
Załóżmy, że funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu n w przedziale
b
a, . Jeśli
0
lim
n
n
R
, to
0
)
(
)
(
!
)
(
)
(
n
n
n
a
b
n
a
f
b
f
.
16
Uwaga
. Założenie istnienia pochodnych dowolnego rzędu n nie wystarcza do udowodnienia
powyższego wzoru nawet wtedy, gdy wzbogacić je założeniem zbieżności szeregu
0
)
(
)
(
!
)
(
n
n
n
a
b
n
a
f
.
Wniosek. Załóżmy, że funkcja f ma pochodną dowolnego rzędu n w przedziale pomiędzy
liczbami
0
i x . Jeśli
0
lim
n
n
R
, to
0
)
(
!
)
0
(
)
(
n
n
n
x
n
f
x
f
Twierdzenie.
Jeśli
0
)
(
n
n
n
x
a
x
f
, to
f
ma pochodną dowolnego rzędu k w każdym punkcie
0
x
położonym wewnątrz przedziału zbieżności szeregu
0
n
n
n
x
a
przy czym
k
n
n
k
n
k
x
a
k
n
n
n
x
f
0
0
1
1
dla
2
,
1
k
, oraz
!
0
n
f
a
n
n
dla.
2
,
1
,
0
n
.
Twierdzenie (o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego)
Załóżmy, że
N
n
n
f
jest ciągiem funkcyjnym złożonym z funkcji mających ciągłe pochodne
na przedziale
b
a, . Jeśli
f
f
b
a
n
,
, oraz
n
f
b
a,
g
, to f jest różniczkowalna na
b
a, , przy
czym
g
f
b
a,
'
.
Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu
0
x .
Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie
0
x maksimum (minimum) lokalne, jeżeli
x
f
x
f
x
S
U
0
U
x
0
(
x
f
x
f
x
S
U
0
U
x
0
).
Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie
0
x maksimum (minimum) lokalne właściwe, jeżeli
x
f
x
f
x
S
U
0
U
x
0
(
x
f
x
f
x
S
U
0
U
x
0
).
Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.
Twierdzenie Fermata. (warunek konieczny istnienia ekstremum).
Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
0
x oraz jest różniczkowalna w tym
punkcie, to
0
)
(
'
0
x
f
.
Twierdzenie. ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego .
Załóżmy, że
0
0
,
,
,
x
S
V
x
S
U
Df
V
U
. Przyjmijmy, że f jest ciągła na
0
x
V
U
i różniczkowalna na
V
U
. Jeśli
0
'
0
'
v
f
u
f
V
v
U
u
to f ma w
17
punkcie
0
x minimum właściwe. Jeśli
0
'
0
'
v
f
u
f
V
v
U
u
to f ma w punkcie
0
x
maksimum właściwe.
Twierdzenie. (II warunek wystarczający).
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu n w pewnym otoczeniu punktu
0
x , ciągłą w punkcie
0
x ,
oraz
0
)
(
...
)
(
''
)
(
'
0
)
1
(
0
0
x
f
x
f
x
f
n
,
0
)
(
0
)
(
x
f
n
, to w przypadku gdy n jest liczbą
parzystą, funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
0
x . Jest to maksimum właściwe, gdy
0
)
(
0
)
(
x
f
n
, zaś minimum właściwe, gdy
0
)
(
0
)
(
x
f
n
. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie
ma ekstremum lokalnego w punkcie
0
x .
Definicja ekstremum absolutnego.
Niech
R
A
i niech f będzie funkcją rzeczywistą taka, że
Df
A
. Mówimy, że f osiąga
w punkcie
A
x
0
maksimum (minimum) absolutne na zbiorze A, jeżeli
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
A
x
x
f
x
f
A
x
Twierdzenie
Niech f będzie ciągła w przedziale
b
a, i różniczkowalna w
b
a, . Funkcja f osiąga w tym
przedziale swoje ekstrema absolutne w punktach zbioru
0
'
:
,
,
x
f
b
a
x
b
a
Definicja.
Załóżmy, że f jest funkcją różniczkowalną w punkcie
0
x . Funkcję f nazywamy wypukłą
(wklęsłą) w punkcie
0
x jeśli
0
0
0
U
x
'
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
S
U
(
0
0
0
U
x
'
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
S
U
). Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą) na
przedziale
b
a, , gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.
Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości (wklęsłości))
Załóżmy, że istnieje druga pochodna funkcji f w przedziale
b
a, . Jeśli
0
)
(
''
)
,
(
x
f
b
a
x
(
0
)
(
''
)
,
(
x
f
b
a
x
) to funkcja f jest wypukła (wklęsła) na
b
a, .
Definicja punktu przegięcia
Mówimy, że funkcja f ciągła w punkcie
0
x ma w punkcie
0
x punkt przegięcia, jeśli funkcja ta
jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu
0
x i wklęsła (wypukła)
na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu
0
x .
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )
Jeśli funkcja f ma pochodną rzędu drugiego w pewnym otoczeniu punktu
0
x ciągłą w
0
x i
0
x jest punktem przegięcia funkcji f to
0
''
0
x
f
.
18
Twierdzenie ( I warunek wystarczający
istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że
0
0
,
,
,
x
S
V
x
S
U
Df
V
U
. Przyjmijmy, że f ma pochodną rzędu
pierwszego na
0
x
V
U
i pochodną rzędu drugiego na
V
U
. Jeśli
0
''
0
''
v
f
u
f
V
v
U
u
lub
0
''
0
''
v
f
u
f
V
v
U
u
to f ma w punkcie
0
x punkt
przegięcia.
Twierdzenie. (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu n w pewnym otoczeniu punktu
0
x , ciągłą w punkcie
0
x ,
oraz
0
)
(
...
)
(
''
)
(
'
0
)
1
(
0
0
x
f
x
f
x
f
n
,
0
)
(
0
)
(
x
f
n
, to w przypadku gdy n jest liczbą
nieparzystą, funkcja f ma w punkcie
0
x punkt przegięcia.. Jeśli n jest liczbą parzystą, to f nie
ma punktu przegięcia w punkcie
0
x .
Definicja asymptoty pionowej
Załóżmy, że f jest funkcją określoną na pewnym sąsiedztwie punktu
0
x . Prostą o równaniu
0
x
x
nazywamy asymptotą pionową funkcji f gdy
x
f
x
f
x
x
x
x
0
0
lim
lim
.
Definicja asymptoty ukosnej
Załóżmy, że f jest funkcją określoną na pewnym przedziale
)
,
(
,
b
a
. Prostą o
równaniu
n
mx
y
nazywamy asymptotą ukośną w minus nieskończoności (plus
nieskończoności) funkcji f gdy
0
lim
n
mx
x
f
x
(
0
lim
n
mx
x
f
x
).
Twierdzenie o współczynnikach asymptoty ukośnej
Prosta o równaniu
n
mx
y
jest asymptotą ukośną funkcji f w minus nieskończoności
(plus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy gdy
mx
x
f
n
x
x
f
m
x
x
lim
lim
(
mx
x
f
n
x
x
f
m
x
x
lim
lim
Definicja (funkcji pierwotnej).
Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeśli
)
(
)
(
'
x
f
x
F
I
x
Gdy I jest przedziałem domkniętym (I=[a,b]) lub jednostronnie domkniętym (I=[a,b) lub I=(a,b]), to przez
pochodną funkcji w punktach a i b należy rozumieć pochodną jednostronną, odpowiednio F’
+
(a) i F’
-
(b).
Twierdzenie (Podstawowe własności funkcji pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wówczas
(1) każda funkcja postaci F(x)+C, gdzie C=const, jest również funkcją pierwotną funkcji f
(2) jeśli ponadto funkcja G jest też funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I, to G=F+C na przedziale I,
gdzie C=const.
Uwaga:
Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcje pierwotne funkcji f na przedziale I mają postać:
(*) F(x)+C
gdzie c
R i F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I
oraz tylko funkcje postaci (*) są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale I.
Definicja (całki nieoznaczonej).
Niech F będzie funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I
nazywamy zbiór funkcji:
19
{F(x)+C: C
R}
i oznaczamy
dx
x
f
)
(
.
Uwaga
Działania i operacje na całkach nieoznaczonych oznaczają działania i operacje na funkcjach pierwotnych
reprezentujących te całki. Jeśli F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to zapisujemy
C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
, gdzie C
R.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące
Wnioski:
Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy:
(1)
x
f
dx
x
f
I
X
x
(2)
R
c
c
x
f
dx
x
f
X
x
,
)
(
'
Twierdzenie
Niech dany będzie punkt x
0
wewnątrz przedziału I i niech dana będzie dowolna liczba y
0
R. Jeśli funkcja f
posiada funkcję pierwotną w przedziale I, to istnieje tylko jedna funkcja pierwotna F taka, że F(x
0
)=y
0
.
Uwaga:
Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że przez każdy punkt płaszczyzny o odciętej x
I przechodzi krzywa
całkowa (tzn. wykres funkcji pierwotnej). Ponieważ krzywe całkowe są do siebie równoległe, więc przez każdy
punkt płaszczyzny przechodzić może tylko jedna krzywa całkowa danej funkcji f.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące wzory na całki nieoznaczone ważniejszych
funkcji elementarnych:
R
x
c
e
dx
e
x
x
c
x
dx
x
c
x
dx
x
R
x
c
dx
x
x
)
4
(
,
0
0
,
ln
1
)
3
(
1
,
1
1
)
2
(
,
0
)
1
(
1
Z
k
k
k
x
c
tgx
dx
x
Z
k
k
k
x
c
ctgx
dx
x
R
x
c
x
xdx
R
x
c
x
xdx
,
,
cos
1
8
,
)
1
(
,
sin
1
7
sin
cos
6
cos
sin
5
2
2
2
2
1
arcsin
1
10
1
9
2
2
x
c
x
x
dx
R
x
c
arctgx
x
dx
20
R
x
c
thx
dx
x
ch
x
c
cthx
dx
x
sh
R
x
c
shx
chxdx
R
x
c
chx
shxdx
2
2
1
14
0
1
13
12
11
Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale I, to:
(1)
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
(2)
dx
x
f
c
dx
x
f
c
)
(
)
(
Twierdzenie (o całkowaniu granicy ciągu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje f
n
są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz ciąg {f
n
} jest jednostajnie zbieżny do
funkcji f na przedziale I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość
dx
x
f
dx
x
f
n
n
)
(
lim
)
(
Korzystając z powyższego twierdzenia dowodzi się
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Każda funkcja ciągła na przedziale I posiada w tym przedziale funkcję pierwotną
Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje f
n
są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz szereg funkcyjny
1
)
(
n
n
dx
x
f
jest
jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi
równość:
1
)
(
)
(
n
n
dx
x
f
dx
x
f
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli :
1) funkcja f: I
R jest ciągła na przedziale I
2)
funkcja
I
J
h
na
:
ma ciągłą pochodną na przedziale
J
,
to
)
(
)
(
)
(
'
)
(
t
h
F
dx
x
f
dt
t
h
t
h
f
+c , gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną
funkcji f oraz c
R.
Definicja (całki oznaczonej Riemanna).
Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] i niech zbiór P
n
={x
0
, x
1
,…, x
n
}
oznacza podział odcinka [a,b] na n części, przy czym a=
x
0
< x
1
<…< x
n
=b. Niech
21
x
k
=x
k
-x
k-1
oznacza długość k-tego odcinka podziału P
n
, gdzie 1
kn oraz (P
n
)=max{
x
k
:
1
kn} oznacza średnicę podziału P
n
, zaś
x
k
*
[
x
k-1
, x
k
] oznacza punkt pośredni k-tego odcinka
podziału P
n
, gdzie 1
kn.
Sumą całkową funkcji f na przedziale [a,b] odpowiadającą podziałowi P
n
oraz punktom pośrednim
x
k
*
tego
podziału gdzie
1
kn, nazywamy liczbę
k
n
k
k
def
n
n
x
x
f
P
f
S
)
(
,
1
*
.
Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem;
),
,
(
lim
)
(
0
n
n
P
def
P
f
S
dx
x
f
n
o ile istnieje granica właściwa występująca po prawej stronie znaku równości oraz granica ta nie zależy od
sposobu podziałów P
n
przedziału [a,b] ani od sposobu wyboru punktów pośrednich
x
k
*
, gdzie
1
kn. Ponadto
przyjmujemy
b
a
a
b
a
a
def
dx
x
f
dx
x
f
oraz
dx
x
f
)
(
)
(
0
)
(
dla a<b.
Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [a,b] nazywamy funkcją całkowalną na [a,b].
Uwaga
Każda funkcja całkowalna jest ograniczona, ale nie każda funkcja ograniczona na przedziale jest na nim
całkowalna np. funkcja Dirichleta na przedziale [0,1].
Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie (R)
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale I=[a,b], to jest również całkowalna na każdym podprzedziale [c,d]
I.
Twierdzenie 2
Jeśli f jest całkowalna na przedziale I, zaś
jest funkcją ciągłą, to funkcja f jest całkowalna na I.
Twierdzenie 3.
Jeśli a=t
0
< t
1
<… t
n-1
< t
n
=b oraz f jest całkowalna na każdym przedziale [t
i
,t
i+1
], i
{0,…,n-1}, to f jest całkowalna
na [a,b].
Twierdzenie 4 (warunek wystarczający całkowalności)
Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości
I rodzaju, to jest na nim całkowalna.
Uwaga *
Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcja ciągła na przedziale jest na nim całkowalna. Z drugiej strony
funkcja całkowalna na przedziale może mieć nieskończenie wiele punktów nieciągłości.
Twierdzenie 5
Jeśli funkcja f jest monotoniczna i ograniczona na przedziale [a,b], to jest całkowalna na [a,b].
Twierdzenie 6 (Newtona - Leibnitza, I podstawowe twierdzenie rachunku całkowego)
Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
, gdzie F oznacza dowolną funkcję
pierwotną funkcji f na tym przedziale. Różnicę F(b)-F(a) oznaczamy
b
a
x
F )
(
.
22
Twierdzenie 7 (o liniowości całki oznaczonej)
Jeżeli funkcja f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to
1)
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
2)
,
)
(
)
(
b
a
b
a
dx
x
f
c
dx
x
cf
gdzie c
R
Twierdzenie 8 (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b], to
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
Twierdzenie 9 (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli:
1) funkcja
b
a
na
,
,
:
ma ciągłą pochodną na przedziale [
,]
2)
()=a, ()=b,
3) funkcja f jest ciągła na [a,b],
wówczas
dt
t
t
f
dx
x
f
b
a
)
(
'
)
(
)
(
.
Twierdzenie 10 (o równości całek)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech funkcja g różni się od funkcji f tylko w
skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja g także jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
g
)
(
)
(
.
Twierdzenie 11 (addytywność całki względem przedziału całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz c
(a,b), to
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Twierdzenie 12 (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)
Jeżeli funkcja f i g spełniają warunki:
1) są całkowalne na przedziale [a,b],
2)
),
(
]
,
[
x
g
x
f
b
a
x
to
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
Uwaga
Jeżeli nierówność w założeniu twierdzenia jest ostra, to także nierówność w tezie jest ostra.
Twierdzenie 13 (o całce funkcji nieparzystej, parzystej i okresowej)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz
1) jest nieparzysta, to
a
a
dx
x
f
0
)
(
;
23
2) jest parzysta, to
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
)
(
;
3) ma okres T, to
T
a
a
T
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
)
(
.
Twierdzenie 14
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz istnieją liczby m, M
R takie, że
,
]
,
[
M
x
f
m
b
a
x
wówczas
b
a
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
)
(
.
Definicja (wartości średniej funkcji)
Niech f będzie całkowalną na przedziale [a,b]. Wartością średnią funkcji f na przedziale [a,b] nazywamy liczbę
b
a
a
b
df
śr
dx
x
f
f
)
(
1
.
Twierdzenie 15 (całkowe o wartości średniej funkcji)
Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to
b
a
śr
b
a
c
c
f
a
b
dx
x
f
tzn
c
f
f
)
(
)
(
.
),
(
]
,
[
.
Twierdzenie 16 (nierówność Schwartza)
Jeśli f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
Definicja (funkcji górnej granicy całkowania)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c
[a,b]. Funkcję
x
c
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
, gdzie x
[a,b], nazywamy funkcja górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 17 (o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c
[a,b], to funkcja
x
c
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
, gdzie x
[a,b] jest
ciągła na przedziale [a,b].
Twierdzenie 18 (II główne twierdzenie rachunku całkowego)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie x
0
[a,b], to funkcja
x
c
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
, gdzie c
[a,b], ma pochodną właściwą w punkcie x
0
oraz
)
(
)
(
'
0
0
x
f
x
F
.
Uwaga
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to jej funkcja górnej granicy całkowania F jest funkcją pierwotną
funkcji f.
Twierdzenie 19 (O całkowaniu ciągu funkcyjnego)
24
Jeżeli ciąg {f
n
}
n
N
funkcji ciągłych na przedziale [a,b] jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to
b
a
n
b
a
n
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
Twierdzenie 20 (O całkowaniu szeregu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje f
n
, dla n=1, 2, …, są ciągłe na przedziale [a,b] i szereg
1
)
(
n
n
x
f
jest zbieżny jednostajnie do
funkcji f na [a,b], to
dx
x
f
dx
x
f
n
b
a
n
b
a
n
n
1
1
)
(
)
(
Z powyższego twierdzenia jako bezpośredni wniosek mamy
Twierdzenie 21 (O całkowaniu szeregów potęgowych)
Niech 0<R
+ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
n
n
n
x
x
a
0
0
, wówczas
dx
x
x
a
n
n
t
n
0 0
0
ma ten sam promień zbieżności R oraz
1
0
0
0 0
0
0
0
0
1
n
n
n
n
n
t
n
t
n
n
n
x
t
n
a
dx
x
x
a
dx
x
x
a
dla każdego t
(x
0
-R, x
0
+R).
Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.
1) Pole figury płaskiej
Twierdzenie 1
Niech krzywa AB będzie określona równaniem y=f(x) dla x
[a,b], gdzie f jest funkcją dodatnią i ciągłą w
przedziale [a,b]. Wtedy pole
P trapezu krzywoliniowego ograniczonego krzywa AB z góry oraz prostymi y=0,
x=a, x=b, wyraża się wzorem:
b
a
dx
x
f
P
)
(
.
Wniosek 1
Jeżeli krzywa AB ograniczająca z góry trapez krzywoliniowy P opisany w twierdzeniu 1 jest określona za
pomocą równań parametrycznych:
(*)
,
),
(
),
(
t
t
y
y
t
x
x
gdzie x=a dla t=
, x=b dla t=, funkcje x i y mają ciągłe pochodne i y jest dodatnia w przedziale [,], zaś
krzywa AB nie ma punktów wielokrotnych, wówczas pole trapezu krzywoliniowego P wyraża się wzorem:
dt
t
x
t
y
P
)
(
'
)
(
.
Wniosek 2
Jeżeli trapez krzywoliniowy P określony jest następująco:
)
(
)
(
:
,
2
1
2
x
f
y
x
f
b
x
a
R
y
x
P
25
gdzie funkcje f
1
i f
2
są ciągłe na przedziale [a,b] oraz f
1
(x)
f
2
(x) dla każdego x
[a,b], wtedy pole trapezu
krzywoliniowego wyraża się wzorem:
dx
x
f
x
f
P
b
a
)
(
)
(
1
2
.
Twierdzenie 2
Niech AOB będzie wycinkiem ograniczonym krzywa AB i dwoma promieniami Oa i OB. (z których każdy może
być punktem) i niech krzywa AB będzie określona równaniem biegunowym:
2
1
g
r
gdzie g jest funkcją ciągłą i dodatnią w przedziale
2
1
. Wtedy pole
P wycinka AOB wyraża się wzorem:
d
a
g
P
2
2
1
2
1
)
(
.
Wniosek 3
Jeśli krzywa AB jest określona równaniami parametrycznymi (*) i spełnia założenia z wniosku 1, wówczas pole
wycinka AOB wyraża się wzorem:
dt
t
y
t
x
t
y
t
x
P
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
2
1
.
2) Długość łuku krzywej
Twierdzenie 3
Jeżeli łuk l dany jest równaniami parametrycznymi:
,
),
(
),
(
t
t
y
y
t
x
x
przy czym nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne na przedziale [
,], to
długość
l łuku l wyraża się wzorem:
dt
t
y
t
x
l
2
2
)
(
'
)
(
'
.
Twierdzenie 4
Jeżeli łuk l dany jest równaniem jawnym
b
a
x
x
f
y
,
),
(
, gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą
pochodną na przedziale [a,b], wówczas długość
l tego łuku wyraża się wzorem:
dx
t
f
l
b
a
2
)
(
'
1
.
Twierdzenie 5
Jeżeli łuk l dany jest równaniem biegunowym
2
1
,
,
g
r
, gdzie g jest funkcją nieujemną
posiadającą ciągłą pochodną na przedziale
2
1
,
, wówczas długość
l łuku l wyraża się wzorem:
d
g
g
l
2
2
'
.
3) Objętość bryły obrotowej.
Twierdzenie 6 (objętość bryły)
Niech S(x), gdzie x
[a.b], oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną prostopadłą do osi OX w przestrzeni X
oraz niech S będzie funkcją ciągłą na przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem;
26
b
a
dx
x
S
V
)
(
.
Twierdzenie 7 (objętość bryły obrotowej)
Niech
x
f
y
b
x
a
R
y
x
D
0
:
,
2
, gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], oznacza
trapez krzywoliniowy. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokół osi 0x
wyraża się wzorem:
b
a
dx
x
f
V
)
(
2
.
4) Pole powierzchni obrotowej.
Twierdzenie 8
Niech krzywa AB będzie dana równaniem
]
,
[
,
b
a
x
x
f
y
, gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą
ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB
dokoła osi Ox wyraża się wzorem:
b
a
dx
x
f
x
f
S
2
)
(
'
1
)
(
2
.
Twierdzenie 9
Niech krzywa AB będzie dana równaniami parametrycznymi:
,
),
(
),
(
t
t
y
y
t
x
x
gdzie funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne i y jest nieujemna na przedziale
,
, oraz krzywa AB nie
posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB wokół osi
Ox wyraża się wzorem:
b
a
dt
t
y
t
x
t
y
S
2
2
)
(
'
)
(
'
)
(
2
.
Całki niewłaściwe
W rozważaniach tego rozdziału będziemy zakładać, że wszystkie funkcje sa całkowalne na
dowolnym przedziale domkniętym zawartym w ich dziedzinie.
Definicja (całki niewłaściwej pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f: [a, +
) R. Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na półprostej [a, +)
definiujemy następująco:
a
def
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
.
.
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na
[a, +
)jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa + lub -, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do
+
lub do -. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
27
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na (-
,b],
a mianowicie:
b
def
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
.
.
Niech f: R
R. Całkę niewłaściwą z funkcji f na prostej (-, +) definiujemy następująco:
a
a
def
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
.
,
gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku
równości są zbieżne, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (-
, +) jest zbieżna.
Uwaga:
Zbieżność całki niewłaściwej na (-
, +) nie zależy od wyboru liczby a.
Wniosek:
Całka niewłaściwa postaci
a
p
x
dx
, gdzie a>0, jest zbieżna dla p>1 i rozbieżna do +
dla p1.
Analogiczny fakt jest prawdziwy dla całek
b
p
x
dx
, gdzie b<0, o ile funkcja podcałkowa jest
poprawnie określona.
Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju
Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)
Niech funkcje f i g spełniają warunek:
).
(
)
(
0
)
,
[
x
g
x
f
a
x
Wówczas:
1) jeśli całka
a
dx
x
g )
(
jest zbieżna, to także całka
a
dx
x
f )
(
jest zbieżna;
2) jeśli całka
a
dx
x
f )
(
jest rozbieżna, to także całka
a
dx
x
g )
(
jest rozbieżna.
Uwaga:
28
Twierdzenie to zachodzi także dla funkcji f i g niedodatnich. Ponadto prawdziwe są
analogiczne twierdzenie dla całek niewłaściwych na półprostej (-
,b].
Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe)
Niech funkcje f i g będą dodatnie (ujemne) na półprostej [a, +
) oraz niech spełniają
warunek:
k
x
g
x
f
x
)
(
)
(
lim
, gdzie 0<k<+
. Wówczas całki
a
dx
x
f )
(
i
a
dx
x
g )
(
są jednocześnie zbieżne
albo rozbieżne.
Definicja (zbieżności bezwzględnej całek niewłaściwych I rodzaju).
Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, gdy zbieżna jest
całka niewłaściwa z funkcji
f.
Twierdzenie 3
Jeżeli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto
dx
x
f
dx
x
f
a
a
)
(
)
(
.
Definicja (całek niewłaściwych drugiego rodzaju)
Niech funkcja f: (a,b]
R będzie nieograniczona tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu
a. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f na (a,b] definiujemy następująco:
b
a
def
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
.
.
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka
niewłaściwa z funkcji f na (a,b] jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +
lub -, to
mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +
lub -. W pozostałych przypadkach
mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa drugiego rodzaju z funkcji f:{a,b) i
nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:
a
b
def
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
.
.
29
Niech funkcja f: [a,c)
(c,b]R będzie nieograniczona tylko na obu jednostronnych
sąsiedztwach punktu c. Całka niewłaściwą z funkcji f na [a,b] definiujemy następująco:
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
.
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne to mówimy, że całka
niewłaściwa z funkcji f na [a,b] jest zbieżna.
Analogicznie, jeśli f: (a,b)
R jest nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i
na lewostronnym sąsiedztwie punktu b, to całkę niewłaściwą z funkcji f na (a,b) definiujemy
następująco:
,
)
(
)
(
)
(
b
d
d
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b), przy czym zbieżność powyższej całki
niewłaściwej nie zależy od wyboru punktu d.
Uwaga 1
Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju (analogicznie jak dla całek niewłaściwych
pierwszego rodzaju) całka niewłaściwa postaci
b
p
x
dx
0
, gdzie b>0
jest zbieżna dla p<1 i rozbieżna do +
dla p1.
Uwaga 2
Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju z funkcji f na przedziale (a,b] ( lub [a,b) )
prawdziwe są kryteria zbieżności porównawcze i ilorazowe analogiczne jak dla całek
pierwszego rodzaju w twierdzeniach 1 i 2.
Twierdzenie 4 (Kryterium całkowe zbieżności szeregów)
Niech funkcja f: [n
0
, +
)[0, +), gdzie n
0
N, będzie nierosnąca. Wówczas
0
)
(
n
n
n
f
i całka
niewłaściwa
0
)
(
n
dx
x
f
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
30
Wiadomości uzupełniające.
1) Szeregi Taylora i Maclaurina
Definicja (Szeregu Taylora)
Niech funkcja f ma w punkcie x
0
pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
n
n
x
x
n
x
f
0
0
!
)
(
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x
0
. Jeżeli x
0
=0, to szereg ten
nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.
Uwaga
Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.
Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).
Jeżeli:
(1) funkcja f ma w otoczeniu U(x
0
) pochodne dowolnego rzędu,
(2) dla każdego x
U(x
0
)
0
)
(
lim
x
R
n
n
, gdzie
n
n
n
x
x
n
c
f
c
R
0
!
)
(
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.
Wówczas:
0
0
0
!
)
(
n
n
n
x
x
n
x
f
x
f
dla każdego x
U(x
0
).
Uwaga
Zamiast założenia (20 można przyjąć:
(2’) wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.
.
)
(
)
(
0
0
0
M
x
f
n
x
U
x
N
n
xM
31
Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli
0
0
)
(
n
n
n
x
x
a
x
f
dla każdego x z pewnego otoczenia U(x
0
), to
!
0
n
x
f
a
n
n
dla n=0,1,2,…
2) Ciągi i szeregi ortogonalne
Niech V={f:[a,b]
R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest przestrzenią liniową
nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. W
przestrzeni V określamy iloczyn skalarny następująco:
b
a
V
g
f
dx
x
g
x
f
g
f
)
(
)
(
,
,
;
oraz określamy normę kwadratową funkcji f:
f
f
f
V
f
,
.
Definicja
Ci g funkcyjny {f
ą
n
}
n
N
nazywamy ortogonalnym na [a,b], je eli (f
ż
n
,f
m
)=0 dla n
m i
0
f
dla
wszystkich n.
Definicja
Je eli {c
ż
n
}
n
N
jest ci giem liczbowym, za {f
ą
ś
n
}
n
N
jest ci giem funkcyjnym ortogonalnym w
ą
przedziale [a,b], to szereg funkcyjny
0
)
(
n
n
n
x
f
c
nazywamy szeregiem ortogonalnym.
Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)
Jeżeli szereg ortogonalny
0
)
(
n
n
n
x
f
c
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a,b]
i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki c
n
wyrażają się wzorami:
2
,
n
n
n
f
f
f
c
Uwaga
32
Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w tym przedziale
istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który jest jednocześnie zbieżny w tym
przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg istnieje, to jest nim szereg
0
n
n
n
f
c
, gdzie
2
,
n
n
n
f
f
f
c
.
Liczby c
n
okre lone powy szymi wzorami nazywamy
ś
ż
wspó czynnikami Fouriera funkcji f
ł
wzgl dem ci gu {f
ę
ą
n
}
n
N
.
3) Szereg trygonometryczny Fouriera
Lemat
Ciąg funkcyjny {
n
}
n
N
okre lony nast puj co:
ś
ę
ą
,...
2
,
1
cos
sin
1
1
2
2
0
n
x
x
x
l
x
n
n
l
x
n
n
gdzie l>0, jest ciągiem funkcji okresowych o okresie 2l, ortogonalnych w przedziale [-l,l]
(ogólniej: w każdym przedziale [a, 2l+a] ), przy czym
l
2
2
0
,
l
n
2
.
Wniosek
Współczynniki Fouriera funkcji f(x) w przedziale [a, 2l+a] względem ciągu ortogonalnego
{
n
}
n
N
wyra aj si nast puj co:
ż ą ę
ę
ą
a
l
a
n
n
n
a
l
a
n
n
n
a
l
a
dx
l
x
n
x
f
l
f
c
dx
l
x
n
x
f
l
f
c
dx
x
f
l
f
c
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
cos
)
(
1
,
sin
)
(
1
,
)
(
2
1
,
Definicja (Szeregu trygonometrycznego Fouriera)
Szereg Fouriera funkcji f(x) względem ciągu ortogonalnego {
n
}
n
N
w przedziale [-l, l]
zapisujemy tradycyjnie:
33
1
0
sin
cos
2
n
n
n
l
x
n
b
l
x
n
a
a
,
gdzie a
0
=c
0
, a
n
=c
2n-1
, b
n
=c
2n
określone są wzorami z powyższego wniosku. Szereg ten
nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) w przedziale [-l, l] i
zapisujemy
f(x)~
1
0
sin
cos
2
n
n
n
l
x
n
b
l
x
n
a
a
Uwaga
Wychodząc od dowolnej funkcji całkowalnej f(x) i określając współczynniki a
0
, a
n
, b
n
wzorami Fouriera nie otrzymujemy na ogół w powyższym wyrażeniu równości. Funkcja musi
spełniać dość silne warunki, aby równość zachodziła.
Definicja
Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale [a,b] warunki Dirichleta, jeżeli:
(1) f(x) jest przedziałami monotoniczna w (a,b)
(2) f(x) jest ciągła w przedziale (a,b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów
nieciągłości pierwszego rodzaju (tzn. istnieją skończone granice jednostronne w tych
punktach), przy czym w każdym punkcie nieciągłości x
0
spełniony jest warunek:
)
(
)
(
0
0
2
1
0
x
f
x
f
x
f
, gdzie
)
(
lim
)
(
0
.
0
x
f
x
f
x
x
def
i
)
(
lim
)
(
0
.
0
x
f
x
f
x
x
def
(3) w końcach przedziału [a,b] zachodzą równości:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
b
f
a
f
b
f
a
f
.
Uwaga:
Jest wiadome, że funkcja spełniająca warunki Dirichleta w przedziale [a,b] jest całkowalna w
sensie Riemanna w [a,b].
Twierdzenie (Dirichleta)
Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale [a, 2l+a] warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym
przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera
1
0
sin
cos
2
)
(
n
n
n
l
x
n
b
l
x
n
a
a
x
f
34
dla x
[a, 2l+a] o współczynnikach zadanych wzorami z wniosku powyżej. Jeśli ponadto
funkcja f(x) jest okresowa o okresie 2l, to równość powyższa zachodzi dla każdego x z
dziedziny funkcji.
Uwaga
Jeśli funkcja f(x) spełniająca w przedziale [-l, l] warunki Dirichleta jest parzysta, to rozwija
się w szereg Fouriera postaci:
1
0
cos
2
)
(
n
n
l
x
n
a
a
x
f
.
Jeśli natomiast f(x) jest nieparzysta w [-l, l], to jej szereg Fouriera jest równy:
1
0
sin
2
)
(
n
n
l
x
n
b
a
x
f
.
35