dr Agnieszka Bobrowska
1
Ekonomia matematyczna II
Wykład 2
2. Modele równowagi krótkookresowej
Modele opisuj
ą
warunki, mo
Ŝ
liwo
ś
ci i zwi
ą
zki mi
ę
dzy kategoriami makroekonomicznymi
charakteryzuj
ą
ce gospodark
ę
pozostaj
ą
c
ą
w równowadze w krótkim okresie.
Produkcja oraz wynikaj
ą
cy z jej skali dochód narodowy zmieniaj
ą
si
ę
na skutek oddziaływania
wielu czynników:
- w długim okresie wielko
ść
i struktura produkcji zdeterminowane s
ą
przez zmiany mo
Ŝ
liwo
ś
ci
wytwórczych gospodarki wynikaj
ą
cych ze zmian w zasobach kapitału i siły roboczej.
- w krótkim czasie czynniki te stanowi
ą
swego rodzaju barier
ę
, a ich zmiana wymaga
niejednokrotnie wielu lat.
Rozbudowa b
ą
d
ź
zmiana struktury zdolno
ś
ci produkcyjnych wymaga inwestycji, trwaj
ą
cych
czasami kilkana
ś
cie lub kilkadziesi
ą
t lat. We współczesnej gospodarce rynkowej na ogół nie wyst
ę
puje
globalny deficyt siły roboczej, jednak zdarzaj
ą
si
ę
sytuacje niedoboru siły roboczej o okre
ś
lonych
kwalifikacjach lub niedopasowania struktury popytu do struktury poda
Ŝ
y na lokalnych rynkach pracy.
Likwidacja takich dysproporcji wymaga równie
Ŝ
czasu.
Analiza krótkookresowa dotyczy tak krótkiego odcinka czasu,
Ŝ
e mimo przeprowadzonych
inwestycji mo
Ŝ
na pomin
ąć
wynikaj
ą
ce z nich zmiany zasobu kapitału. Zagadnienie akumulacji kapitału
(jego wzrostu lub spadku) rozpatrywane jest wył
ą
cznie jako problem długoterminowy w ramach
równowagi długookresowej. W modelach równowagi krótkookresowej uwzgl
ę
dnia si
ę
głównie zmiany
dochodów, zatrudnienia oraz zmiany wielko
ś
ci inwestycji i oszcz
ę
dno
ś
ci, dotycz
ą
ce ustalonego
okresu.
W krótkim okresie produkcja, a zatem i dochód narodowy, nie mo
Ŝ
e przekroczy
ć
pułapu
wyznaczonego przez istniej
ą
ce w danym momencie zasoby czynników produkcji. Natomiast stopie
ń
wykorzystania zasobów zale
Ŝ
y od rozmiarów zgłoszonego popytu. Oznacza to,
Ŝ
e w planie
krótkookresowym zmiany poziomu produkcji okre
ś
lane s
ą
przez wahania popytu.
W obr
ę
bie teorii makroekonomii problem równowagi krótkookresowej rozwa
Ŝ
a si
ę
w trzech ró
Ŝ
nych
aspektach:
- równowagi rynku pracy,
- równowagi rynku pieni
ęŜ
nego,
- równowagi rynku produkcji i warunku przepływu (inwestycje = oszcz
ę
dno
ś
ci).
2.1. Dwusektorowy model równowagi krótkookresowej
1
Najprostszym modelem gospodarki rynkowej jest model dwusektorowy, w którym wyst
ę
puj
ą
dwie
grupy podmiotów gospodarczych: gospodarstwa domowe oraz przedsi
ę
biorstwa. Pomija si
ę
w nim
rol
ę
pa
ń
stwa jako podmiotu gospodarczego. Ponadto w modelu tym wyklucza si
ę
jak
ą
kolwiek
wymian
ę
z zagranic
ą
(model gospodarki zamkni
ę
tej).
1
Charakterystyk
ę
modelu przygotowano na podstawie M.Garbicz, E.Golachowski: Elementarne modele
makroekonomiczne, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 1996, rozdział 1.
dr Agnieszka Bobrowska
2
Ekonomia matematyczna II
W dwusektorowym modelu równowagi krótkookresowej przyjmujemy,
Ŝ
e wła
ś
cicielami wszystkich
czynników wytwórczych s
ą
gospodarstwa domowe. Przedsi
ę
biorstwa wytwarzaj
ą
towary lub
ś
wiadcz
ą
ró
Ŝ
nego rodzaju usługi. Aby móc produkowa
ć
musz
ą
one naby
ć
od sektora gospodarstw domowych
czynniki produkcji, za które płac
ą
okre
ś
lon
ą
cen
ę
. Dochód uzyskany ze sprzeda
Ŝ
y czynników
wytwórczych słu
Ŝ
y gospodarstwom domowym do zaspokojenia potrzeb i jest przeznaczany na zakup
wytworzonych przez przedsi
ę
biorstwa towarów.
Zakładamy,
Ŝ
e gospodarstwa domowe zamiast wyda
ć
całe swoje dochody na konsumpcj
ę
, pewn
ą
ich cz
ęść
przeznaczaj
ą
na oszcz
ę
dno
ś
ci. Oszcz
ę
dno
ś
ci gospodarstw domowych, traktowane jako
chwilowo wolne
ś
rodki pieni
ęŜ
ne, mog
ą
za po
ś
rednictwem banków zosta
ć
po
Ŝ
yczone
przedsi
ę
biorstwom, które ich potrzebuj
ą
na cele inwestycyjne. Inwestycje przedsi
ę
biorstw s
ą
warunkiem ich dalszego rozwoju. Przedsi
ę
biorstwa musz
ą
po
Ŝ
ycza
ć
pieni
ą
dze, poniewa
Ŝ
jak
zało
Ŝ
yli
ś
my wcze
ś
niej jedynymi wła
ś
cicielami czynników wytwórczych s
ą
gospodarstwa domowe, co
jest równoznaczne z pozbawieniem przedsi
ę
biorstw własnych
ś
rodków pieni
ęŜ
nych.
Zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy uczestnikami rynku w modelu dwusektorowym ilustruje rysunek 2.1.
Rys. 2.1. Zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy podmiotami gospodarczymi w dwusektorowym modelu rynku.
Wprowad
ź
my nast
ę
puj
ą
ce oznaczenia:
AD
- wielko
ść
zgłaszanego w gospodarce globalnego popytu,
C
- wielko
ść
popytu na towary i usługi konsumpcyjne zgłaszanego przez gospodarstwa domowe,
I
- wielko
ść
popytu na dobra inwestycyjne zgłaszanego przez przedsi
ę
biorstwa prywatne,
G
- wielko
ść
popytu zarówno na dobra konsumpcyjne, jak i inwestycyjne zgłaszanego przez
władze pa
ń
stwowe (centralne i lokalne),
X
- wielko
ść
popytu na krajowe dobra i usługi konsumpcyjne i inwestycyjne zgłaszanego przez
zagranicznego nabywc
ę
,
Y
- wynagrodzenie, dochód gospodarstw domowych uzyskany ze sprzeda
Ŝ
y b
ę
d
ą
cych w ich
posiadaniu czynników wytwórczych,
S
- nie wydatkowana na konsumpcj
ę
cz
ęść
dochodów gospodarstw domowych (oszcz
ę
dno
ś
ci).
gospodarstwa
domowe
przedsi
ę
biorstwa
C
Y
S
bank
I
dr Agnieszka Bobrowska
3
Ekonomia matematyczna II
W dwusektorowym modelu równowagi krótkookresowej zakładamy brak udziału pa
ń
stwa
w procesach rynkowych oraz brak wymiany z zagranic
ą
, co zapisujemy:
0
=
=
X
G
.
Mówimy,
Ŝ
e gospodarka znajduje si
ę
w poło
Ŝ
eniu równowagi, gdy spełniony jest nast
ę
puj
ą
cy
warunek:
Y
AD
=
,
czyli gdy globalny popyt równa si
ę
wielko
ś
ci produkcji (dochodowi narodowemu).
W modelu dwusektorowym, je
Ŝ
eli przedsi
ę
biorstwa sprzedaj
ą
towary o warto
ś
ci
Y
, to
Y
oznacza
równocze
ś
nie ich przychód, który przeznaczaj
ą
na zakup czynników produkcji od gospodarstw
domowych – jedynych ich wła
ś
cicieli. Wówczas Y oznacza tak
Ŝ
e dochód gospodarstw domowych. Na
tej podstawie, w ramach przyj
ę
tych zało
Ŝ
e
ń
, poj
ę
cia dochód i produkcja mog
ą
by
ć
stosowane
zamiennie.
W dwusektorowym modelu równowagi krótkookresowej popyt globalny
AD
zgłaszany na rynku
jest sum
ą
popytu konsumpcyjnego
C
i popytu inwestycyjnego
I
:
I
C
AD
+
=
.
Natomiast dochód gospodarstw domowych
Y
(produkcja
Y
), jako,
Ŝ
e jest w cało
ś
ci przeznaczany na
konsumpcj
ę
i oszcz
ę
dno
ś
ci, mo
Ŝ
e by
ć
przedstawiony w modelu w postaci sumy wydatków
konsumpcyjnych i oszcz
ę
dno
ś
ci:
S
C
Y
+
=
.
Je
Ŝ
eli w jakim
ś
momencie gospodarka nie znajduje si
ę
w poło
Ŝ
eniu równowagi, czyli
Y
AD
≠
, to
mechanizm rynkowy przywraca równowag
ę
rynkow
ą
. Wówczas
Y
AD
=
, ale poniewa
Ŝ
I
C
AD
+
=
oraz
S
C
Y
+
=
, to mo
Ŝ
emy napisa
ć
,
Ŝ
e zachodzi równo
ść
:
S
C
I
C
+
=
+
.
St
ą
d otrzymujemy warunek równowagi w omawianym modelu gospodarki:
S
I
=
.
dr Agnieszka Bobrowska
4
Ekonomia matematyczna II
Wniosek:
W dwusektorowym modelu równowagi krótkookresowej, równowaga zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy inwestycje
I
równaj
ą
si
ę
oszcz
ę
dno
ś
ciom
S
.
Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e wydatki konsumpcyjne w omawianym modelu s
ą
liniowo zale
Ŝ
ne od dochodów
gospodarstw domowych. Wówczas funkcja konsumpcji okre
ś
laj
ą
ca t
ą
zale
Ŝ
no
ść
przyjmuje posta
ć
:
Y
C
β
α
+
=
(
)
1
;
0
(
,
0
∈
>
β
α
)
,
gdzie:
α
- stała oznaczaj
ą
ca popyt autonomiczny niezale
Ŝ
ny od
Y
,
β
- stała okre
ś
laj
ą
ca kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do konsumpcji,
Y
- dochody gospodarstw domowych.
Parametr
α
, wyst
ę
puj
ą
cy w funkcji konsumpcji, jest interpretowany jako niezmienny w krótkim
okresie, niezb
ę
dny w danej gospodarce poziom konsumpcji (konsumpcja autonomiczna). Przyjmuje
si
ę
,
Ŝ
e nawet, gdy chwilowe dochody kształtuj
ą
si
ę
na bardzo niskim poziomie (s
ą
bliskie zeru),
konsumpcja i tak wyst
ę
puje. W takiej sytuacji b
ę
dzie ona finansowana z wcze
ś
niej nagromadzonych
ś
rodków pieni
ęŜ
nych (oszcz
ę
dno
ś
ci).
Współczynnik kierunkowy
β
interpretowany jako kra
ń
cowa skłonno
ść
do konsumpcji, okre
ś
la
stosunek przyrostu konsumpcji do przyrostu dochodu. Warto
ść
współczynnika
β
informuje nas zatem
o ile jednostek pieni
ęŜ
nych wzro
ś
nie warto
ść
konsumpcji, je
Ŝ
eli dochód wzro
ś
nie o jednostk
ę
.
Wykres liniowej funkcji konsumpcji przedstawia rysunek 2.2.
Rys.2.2. Wykres liniowej funkcji konsumpcji
C
.
Y
C
α
Y
C
β
α
+
=
dr Agnieszka Bobrowska
5
Ekonomia matematyczna II
W omawianym modelu ze wzoru na funkcj
ę
konsumpcji, mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
oszcz
ę
dno
ś
ci S jako
funkcj
ę
dochodu. Poniewa
Ŝ
S
C
Y
+
=
, to
C
Y
S
−
=
. Podstawiaj
ą
c do wzoru na
S
funkcj
ę
konsumpcji
Y
C
β
α
+
=
, otrzymujemy nast
ę
puj
ą
c
ą
posta
ć
funkcji oszcz
ę
dno
ś
ci:
Y
S
)
1
(
β
α
−
+
−
=
, (
)
1
;
0
(
,
0
∈
>
β
α
)
,
Współczynnik kierunkowy w przypadku funkcji oszcz
ę
dno
ś
ci wynosi (
β
−
1
) i oznacza kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do oszcz
ę
dzania, tj. stosunek przyrostu oszcz
ę
dno
ś
ci do przyrostu dochodu. Kra
ń
cowa
skłonno
ść
do oszcz
ę
dzania okre
ś
la o ile jednostek pieni
ęŜ
nych wzrosn
ą
oszcz
ę
dno
ś
ci, je
Ŝ
eli dochód
wzro
ś
nie o jednostk
ę
.
W rzeczywisto
ś
ci obserwujemy,
Ŝ
e wraz ze wzrostem dochodów udział wydatków na konsumpcj
ę
w dochodzie zmniejsza si
ę
, ro
ś
nie natomiast udział oszcz
ę
dno
ś
ci. Nie nale
Ŝ
y jednak przez to
rozumie
ć
,
Ŝ
e wydatki na konsumpcj
ę
malej
ą
w stosunku do poprzedniego okresu, wr
ę
cz przeciwnie
wydatki te rosn
ą
, ale tempo ich wzrostu jest mniejsze ni
Ŝ
tempo wzrostu dochodów.
Co si
ę
tyczy inwestycji, w rozwa
Ŝ
anym modelu przyjmujemy,
Ŝ
e nie zale
Ŝą
one ani od dochodów
ani od kosztów kredytu (oprocentowania po
Ŝ
yczonego kapitału). Przy tych zało
Ŝ
eniach funkcja
inwestycji ma uproszczon
ą
posta
ć
:
I
I
=
,
gdzie:
I
- inwestycje autonomiczne.
Wykres funkcji oszcz
ę
dno
ś
ci wraz z funkcj
ą
inwestycji przedstawia rysunek 2.3.
Rys.2.3. Wykresy funkcji oszcz
ę
dno
ś
ci
S
i funkcji inwestycji
I
.
Y
C
-
α
)Y
-
(1
-
S
β
α
+
=
β
α
−
1
I
I
I
=
Y
dr Agnieszka Bobrowska
6
Ekonomia matematyczna II
Je
Ŝ
eli zało
Ŝ
ymy,
Ŝ
e wielko
ść
popytu konsumpcyjnego
C
, przy danym poziomie dochodów,
wyznacza omówiona przed chwil
ą
funkcja konsumpcji, to poprzez dodanie do niej warto
ś
ci popytu
inwestycyjnego
I
otrzymamy wzór na popyt globalny
AD
:
I
Y
AD
+
+
=
β
α
.
Wykres funkcji popytu konsumpcyjnego i odpowiadaj
ą
cy mu wykres funkcji popytu globalnego ilustruje
rysunek 2.4.
Na rysunku tym przedstawiono konstrukcj
ę
wykresu funkcji globalnego popytu wyprowadzon
ą
z funkcji popytu konsumpcyjnego oraz zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy popytem a produkcj
ą
w modelu
dwusektorowym. Linia
Ο
45
to zbiór wszystkich punktów, dla których
Y
AD
=
, czyli zbiór punktów,
dla których globalny popyt równa si
ę
produkcji (dochodom). W punkcie
Y
, le
Ŝą
cym na przeci
ę
ciu
prostej globalnego popytu z lini
ą
Ο
45
, globalny popyt równa si
ę
produkcji. Punkt ten wyznacza zatem
stan równowagi rynkowej dla gospodarki dwusektorowej z funkcj
ą
popytu globalnego
AD
.
Rys. 2.4. Konstrukcja funkcji globalnego popytu.
Poka
Ŝ
emy,
Ŝ
e gdy poziom produkcji kształtuje si
ę
na innym poziomie ni
Ŝ
Y
)
(
Y
Y
≠
, to
w gospodarce uruchomiony zostaje mechanizm zapewniaj
ą
cy zrównowa
Ŝ
enie si
ę
produkcji
z wielko
ś
ci
ą
zgłaszanego popytu. Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e produkcja kształtuje si
ę
na poziome
Y
Y
<
1
. Wówczas
popyt globalny
AD
przewy
Ŝ
sza produkcj
ę
Y
)
(
Y
AD
>
. W takiej sytuacji, na skutek zmniejszaj
ą
cych
si
ę
zapasów, producenci b
ę
d
ą
zwi
ę
ksza
ć
swoj
ą
produkcj
ę
dopóki nie osi
ą
gn
ą
poło
Ŝ
enia równowagi
Y
. Je
Ŝ
eli natomiast produkcja ukształtowałaby si
ę
na poziomie
Y
Y
>
2
, to odpowiadaj
ą
cy jej popyt
Y
C
α
Y
C
β
α
+
=
I
Y
AD
+
+
=
β
α
I
+
α
1
Y
Y
Ο
45
I
2
Y
dr Agnieszka Bobrowska
7
Ekonomia matematyczna II
globalny byłby od niej mniejszy
)
(
Y
AD
<
i producenci, aby móc sprzeda
ć
rosn
ą
ce zapasy obni
Ŝ
yliby
produkcj
ę
do poziomu
Y
, przy którym poziom produkcji zrównałby si
ę
z popytem.
Pierwszy z rozwa
Ŝ
anych przypadków, tj. gdy popyt przewy
Ŝ
sza poda
Ŝ
)
(
Y
AD
>
implikuje
sytuacj
ę
, w której wydatki inwestycyjne s
ą
wy
Ŝ
sze ni
Ŝ
oszcz
ę
dno
ś
ci
)
(
S
I
>
. Mamy wówczas do
czynienia z ekspansj
ą
gospodarki.
Je
Ŝ
eli natomiast w gospodarce wyst
ę
puje nadwy
Ŝ
ka poda
Ŝ
y nad popytem
)
(
Y
AD
<
, to mamy
wtedy do czynienia z sytuacj
ą
, w której planowane wydatki inwestycyjne s
ą
mniejsze od planowanych
oszcz
ę
dno
ś
ci
)
(
S
I
<
i nast
ę
puje wówczas regres produkcji.
Wnioski:
1. W punkcie
Y
inwestycje równaj
ą
si
ę
oszcz
ę
dno
ś
ciom a gospodarka znajduje si
ę
w stanie
równowagi (popyt równa si
ę
poda
Ŝ
y).
2. Gdy poziom produkcji kształtuje si
ę
na dowolnym poziomie
Y
Y
<
, wówczas inwestycje s
ą
wi
ę
ksze od oszcz
ę
dno
ś
ci i gospodarka znajduje si
ę
w fazie wzrostu.
3. W sytuacji, gdy poziom produkcji ustala si
ę
na poziomie
Y
Y
>
, lub inaczej, gdy inwestycje s
ą
mniejsze od oszcz
ę
dno
ś
ci, mamy wówczas do czynienia z ograniczeniem dotychczasowej
produkcji, czyli gospodarka znajduje si
ę
w fazie regresji.
4. O tym czy gospodarka znajduje si
ę
w fazie wzrostu, w fazie regresji lub mo
Ŝ
e w stanie
równowagi, decyduje zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy planowanymi inwestycjami a oszcz
ę
dno
ś
ciami.
Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e gospodarka znajduje si
ę
w stanie równowagi. Mo
Ŝ
emy wówczas wyznaczy
ć
poziom
produkcji zapewniaj
ą
cy stan równowagi w gospodarce. Z warunku na stan równowagi, mamy:
Y
Y
AD
=
=
.
Jednak poniewa
Ŝ
I
Y
AD
+
+
=
β
α
, to otrzymujemy:
Y
I
Y
=
+
+
β
α
.
Przekształcaj
ą
c powy
Ŝ
sz
ą
równo
ść
otrzymujemy punkt równowagi
Y
w zale
Ŝ
no
ś
ci od popytu
autonomicznego
α
, wielko
ś
ci inwestycji
I
oraz kra
ń
cowej skłonno
ś
ci do oszcz
ę
dzania
)
1
(
β
−
.:
β
α
−
+
=
1
I
Y
.
Wynika st
ą
d,
Ŝ
e poziom produkcji zapewniaj
ą
cy w gospodarce stan równowagi jest tym wy
Ŝ
szy, im
wy
Ŝ
sza jest skłonno
ść
gospodarstw domowych do konsumpcji, a zatem im wi
ę
kszy jest popyt.
Dotychczas rozwa
Ŝ
ali
ś
my sytuacje, w której wielko
ść
autonomicznego popytu była ustalona i nie
podlegała zmianom. Rozwa
Ŝ
ymy teraz mo
Ŝ
liwo
ść
zmiany tego popytu i poka
Ŝ
emy jej skutki. Wzrost
dr Agnieszka Bobrowska
8
Ekonomia matematyczna II
popytu autonomicznego z dotychczasowego poziomu
α
do poziomu
α
α
α
∆
+
=
'
spowoduje
przesuni
ę
cie prostej popytu globalnego w gór
ę
o wielko
ść
zmiany, czyli o
α
∆
. Sytuacj
ę
t
ą
zilustrowano na rysunku 2.5.
Zakładamy,
Ŝ
e gospodarka znajduje si
ę
w stanie równowagi. W momencie wzrostu popytu
autonomicznego, dotychczasowy poziom produkcji okazuje si
ę
niewystarczaj
ą
cy, w zwi
ą
zku z czym
nast
ę
puje wzrost produkcji. Nowy poziom równowagi ustala si
ę
na poziomie
'
Y
. Ze wzrostem
produkcji wi
ąŜ
e si
ę
wzrost dochodów gospodarstw domowych, z których pewn
ą
cz
ęść
przeznacz
ą
one
na konsumpcj
ę
a pozostał
ą
cz
ęść
przekształc
ą
w oszcz
ę
dno
ś
ci. Zakładamy przy tym,
Ŝ
e
w gospodarce istniej
ą
rezerwy zdolno
ś
ci wytwórczych. Je
Ŝ
eli
β
oznacza kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do
konsumpcji, to wzrost wydatków na konsumpcj
ę
jest równowa
Ŝ
ny z dodatkowym popytem
konsumpcyjnym i wynosi
α
β
∆
, natomiast przeznaczenie cz
ęś
ci dodatkowego dochodu na
oszcz
ę
dno
ś
ci oznacza przyrost oszcz
ę
dno
ś
ci w wysoko
ś
ci
α
β
∆
−
)
1
(
. Wzrost popytu
konsumpcyjnego o
α
β
∆
poci
ą
ga za sob
ą
wzrost produkcji o t
ę
sam
ą
wielko
ść
, który z kolei
powoduje wzrost popytu konsumpcyjnego o
)
(
α
β
β
∆
. Wida
ć
,
Ŝ
e wzrost popytu autonomicznego
powoduje ci
ą
g zmian (wzrostów) produkcji i popytu konsumpcyjnego, przy czym ka
Ŝ
dy kolejny
przyrost produkcji i dochodów jest coraz mniejszy. I tak np. w k-tym kroku przyrost produkcji (dochodu)
b
ę
dzie wynosi
ć
α
β
∆
k
. Łatwo zauwa
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e cz
ą
stkowe przyrosty produkcji tworz
ą
zbie
Ŝ
ny ci
ą
g
geometryczny, którego pierwszy wyraz wynosi
α
∆
, a iloraz
)
1
(
<
β
β
.
Rys. 2.5. Wpływ zmian autonomicznego popytu na poziom produkcji
Y
C
α
I
Y
AD
+
+
=
β
α
I
Y
AD
+
+
=
β
α
'
'
α
α
α
∆
+
=
'
Y
'
Y
Ο
45
α
∆
dr Agnieszka Bobrowska
9
Ekonomia matematyczna II
Licz
ą
c niesko
ń
czon
ą
sum
ę
wszystkich przyrostów produkcji wywołanych wzrostem popytu
autonomicznego o
α
∆
, otrzymamy całkowity przyrost wielko
ś
ci produkcji
Y
∆
:
β
α
−
∆
=
∆
1
Y
.
Wniosek:
Wzrost popytu autonomicznego o
α
∆
wywołuje
β
−
1
1
razy wi
ę
kszy przyrost produkcji (dochodu).
Wielko
ść
β
−
1
1
, gdzie
β
−
1
oznacza kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do oszcz
ę
dzania nazywamy
mno
Ŝ
nikiem
i oznaczamy przez
ω
.
Mno
Ŝ
nik
β
ω
−
=
1
1
okre
ś
la sił
ę
wpływu zmian (wzrostu lub spadku) popytu autonomicznego na
przyrost produkcji.
2.2. Wielosektorowe modele równowagi krótkookresowe
2
Omówiony powy
Ŝ
ej dwusektorowy model równowagi krótkookresowej jest uproszczonym modelem
gospodarki i nie wyst
ę
puje w rzeczywisto
ś
ci. Mo
Ŝ
na go jednak urealni
ć
wprowadzaj
ą
c pa
ń
stwo jako
podmiot gospodarczy oraz wymian
ę
z zagranic
ą
.
Je
Ŝ
eli do modelu dwusektorowego dodamy wyst
ę
puj
ą
ce w aktywnej roli pa
ń
stwo, otrzymamy now
ą
trójsektorow
ą
posta
ć
modelu gospodarki. Model uwzgl
ę
dniaj
ą
cy sektor rz
ą
dowy przedstawia rysunek
2.6.
Wprowad
ź
my oznaczenia:
T
- podatki płacone przez gospodarstwa domowe na rzecz pa
ń
stwa,
TR
- płatno
ś
ci transferowe,
G
- wydatki pa
ń
stwa na zakup towarów i usług.
W modelu trójsektorowym oprócz omówionych, przy okazji modelu dwusektorowego, zale
Ŝ
no
ś
ci
mi
ę
dzy gospodarstwami domowymi a przedsi
ę
biorstwami wyst
ę
puj
ą
dodatkowo zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy
pa
ń
stwem a gospodarstwami domowymi oraz zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy pa
ń
stwem a przedsi
ę
biorstwami.
Dochodami pa
ń
stwa s
ą
podatki od dochodów płacone przez gospodarstwa domowe. W ten sposób
uzyskane dochody pa
ń
stwo przeznacza na zakup towarów i usług oraz na płatno
ś
ci transferowe,
obejmuj
ą
ce m.in. zasiłki dla bezrobotnych, ró
Ŝ
nego rodzaju
ś
wiadczenia socjalne, a tak
Ŝ
e odsetki od
zaci
ą
gni
ę
tego przez pa
ń
stwo długu publicznego.
2
Charakterystyk
ę
modelu przygotowano na podstawie M.Garbicz, E.Golachowski: Elementarne modele
makroekonomiczne, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 1996, rozdział 2.
dr Agnieszka Bobrowska
10
Ekonomia matematyczna II
Rys.2.6. Zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy podmiotami gospodarczymi w trójsektorowym modelu rynku.
Poniewa
Ŝ
gospodarstwa domowe musz
ą
płaci
ć
podatki i otrzymuj
ą
dodatkowe
ś
wiadczenia, wi
ę
c
ich dochody osobiste do dyspozycji (dochody rozporz
ą
dzalne) ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
od tych w modelu
dwusektorowym i wynosz
ą
d
Y
:
TR
T
Y
Y
d
+
−
=
.
Cz
ęść
tych dochodów gospodarstwa domowe przeznaczaj
ą
na konsumpcj
ę
C
, a reszt
ę
na
oszcz
ę
dno
ś
ci
S
. Funkcja konsumpcji z modelu dwusektorowego przyjmuje w przypadku omawianego
modelu nast
ę
puj
ą
c
ą
posta
ć
:
d
Y
C
β
α
+
=
i ró
Ŝ
ni si
ę
tym od funkcji konsumpcji opisanej w poprzednim podrozdziale,
Ŝ
e w miejsce dochodu
Y
wstawiamy dochód rozporz
ą
dzalny
d
Y
. Poniewa
Ŝ
TR
T
Y
Y
d
+
−
=
, to funkcj
ę
konsumpcji mo
Ŝ
emy
równowa
Ŝ
nie zapisa
ć
w postaci:
(
)
TR
T
Y
C
+
−
+
=
β
α
.
W modelu trójsektorowym na popyt globalny
AD
składa si
ę
wielko
ść
konsumpcji
C
, inwestycji
I
oraz wydatki rz
ą
dowe na zakup towarów i usług
G
:
G
I
C
AD
+
+
=
.
gospodarstwa
domowe
przedsi
ę
biorstwa
C
Y
S
bank
I
rz
ą
d
TR
T
G
dr Agnieszka Bobrowska
11
Ekonomia matematyczna II
Zakładamy,
Ŝ
e wielko
ść
wydatków rz
ą
dowych
G
i wielko
ść
transferów
TR
s
ą
z góry zadane
i wynosz
ą
odpowiednio
G
i
TR
(wielko
ś
ci autonomiczne). O podatku
T
mo
Ŝ
emy zało
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e
gospodarstwa domowe płac
ą
pa
ń
stwu okre
ś
lon
ą
kwot
ę
podatku
T
(podatek kwotowy) albo,
Ŝ
e
podatki s
ą
funkcj
ą
osi
ą
ganego dochodu, czyli
Y
T
γ
=
. Parametr
( )
1
;
0
∈
γ
i oznacza stop
ę
podatku.
Je
Ŝ
eli przyjmiemy,
Ŝ
e
T
T
=
, wówczas trójsektorowy model gospodarki opisuje układ równa
ń
:
=
=
=
=
+
−
=
+
=
+
+
=
T
T
TR
TR
G
G
I
I
TR
T
Y
Y
Y
C
G
I
C
AD
d
d
β
α
.
W przypadku, gdy podatek
T
jest liniow
ą
funkcj
ą
dochodu, model gospodarki trójsektorowej ma
posta
ć
:
=
=
=
=
+
−
=
+
=
+
+
=
Y
T
TR
TR
G
G
I
I
TR
T
Y
Y
Y
C
G
I
C
AD
d
d
γ
β
α
.
Dla rozwa
Ŝ
anego modelu, podobnie jak w przypadku modelu dwusektorowego, punkt równowagi
rynkowej
Y
le
Ŝ
y na przeci
ę
ciu wykresu funkcji popytu globalnego
AD
z lini
ą
Ο
45
i mo
Ŝ
emy go
wyznaczy
ć
z warunku równowagi rynkowej:
Y
AD
=
.
Z tego,
Ŝ
e
G
I
C
AD
+
+
=
, podstawiaj
ą
c za
C
,
I
oraz
G
odpowiednie wielko
ś
ci, otrzymujemy:
.
)
(
G
I
TR
T
Y
G
I
Y
AD
d
+
+
+
−
+
=
+
+
+
=
β
α
β
α
Poniewa
Ŝ
jednak
Y
AD
=
, to dla dwóch przypadków
T
T
=
i
tY
T
=
mamy odpowiednio
nast
ę
puj
ą
ce równania:
dr Agnieszka Bobrowska
12
Ekonomia matematyczna II
G
I
T
TR
Y
G
I
TR
T
Y
Y
+
+
−
+
+
=
+
+
+
−
+
=
)
(
)
(
β
β
α
β
α
, dla
T
T
=
i
TR
TR
=
oraz i
G
I
TR
Y
G
I
TR
Y
Y
Y
+
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
β
γ
β
α
γ
β
α
)
1
(
)
(
, dla
Y
T
γ
=
i
TR
TR
=
.
Po odpowiednich przekształceniach obu równa
ń
uzyskujemy wielko
ść
produkcji w stanie równowagi:
)
)
(
(
1
1
G
I
T
TR
Y
+
+
−
+
−
=
β
α
β
, dla
T
T
=
oraz
)
(
1
1
G
I
TR
Y
+
+
+
+
−
=
β
α
βγ
β
, dla
Y
T
γ
=
.
Jak wida
ć
, w obu przypadkach na wielko
ść
produkcji
Y
wpływa zarówno wielko
ść
popytu
autonomicznego
α
, inwestycje autonomiczne
I
oraz transfery
TR
, a tak
Ŝ
e wielko
ść
autonomicznych wydatków rz
ą
dowych
G
.
W przypadku pierwszym na wielko
ść
Y
wpływa dodatkowo stała wielko
ść
podatków
T
, a tak
Ŝ
e
warto
ść
mno
Ŝ
nika
β
ω
−
=
1
1
, natomiast w przypadku drugim na wielko
ść
Y
wpływa dodatkowo
stopa podatku
γ
.
Rozwa
Ŝ
my teraz przypadek, gdy
T
T
=
. Je
Ŝ
eli zmianie ulega dokładnie jeden ze składników
popytu globalnego, tj.
C
,
I
lub
G
, przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e pozostałe składniki si
ę
nie zmieniaj
ą
, to
wówczas produkcja zmienia si
ę
proporcjonalnie, ze współczynnikiem proporcjonalno
ś
ci
ϖ
. Na
przykład je
Ŝ
eli inwestycje wzrastaj
ą
o jedn
ą
jednostk
ę
pieni
ęŜ
n
ą
, to produkcja wzrasta o
ω
jednostek
pieni
ęŜ
nych. Zatem mno
Ŝ
nik dla zmiennych
C
,
I
i
G
wynosi
β
ω
−
=
1
1
.
W przypadku, gdy
Y
T
γ
=
wielko
ść
produkcji ustabilizuje si
ę
na tym wy
Ŝ
szym poziomie, im ni
Ŝ
sza
b
ę
dzie stopa podatkowa
γ
i im wy
Ŝ
sza b
ę
dzie skłonno
ść
gospodarstw domowych do konsumpcji
β
.
Pa
ń
stwo chc
ą
c wpływa
ć
na wielko
ść
produkcji mo
Ŝ
e manipulowa
ć
wielko
ś
ci
ą
wydatków rz
ą
dowych
G
, wielko
ś
ci
ą
transferów
TR
albo stop
ą
podatkow
ą
γ
.Je
Ŝ
eli zało
Ŝ
ymy,
Ŝ
e zmianie ulegaj
ą
jedynie
wydatki rz
ą
dowe
G
(warto
ść
pozostałych zmiennych pozostaje na dotychczasowym poziomie), to
zmiana ta poci
ą
ga za sob
ą
zmian
ę
wielko
ś
ci produkcji
Y
o krotno
ść
βγ
β
γ
ω
+
−
=
1
1
)
(
G
, gdzie
)
(
γ
ω
G
- współczynnik wzrostu produkcji wzgl
ę
dem wydatków rz
ą
dowych.
Wprowad
ź
my teraz do omawianego modelu trójsektorowego sektor wymiany z zagranic
ą
.
Otrzymujemy w ten sposób czterosektorowy model gospodarki otwartej, w której na poziom produkcji
oprócz pa
ń
stwa istotny wpływ ma równie
Ŝ
skala obrotów z zagranic
ą
.
dr Agnieszka Bobrowska
13
Ekonomia matematyczna II
Model czterosektorowy przedstawia rysunek 2.7. W modelu tym oprócz gospodarstw domowych,
przedsi
ę
biorstw i pa
ń
stwa wyst
ę
puje otoczenie zewn
ę
trzne (zagranica). Mi
ę
dzy otoczeniem
zewn
ę
trznym a przedsi
ę
biorstwami zachodzi wymiana dóbr i usług. Przedsi
ę
biorstwa importuj
ą
obce
wyroby i usługi z zagranicy i jednocze
ś
nie eksportuj
ą
krajowe dobra i usługi za granic
ę
.
Przez Imp b
ę
dziemy oznacza
ć
wielko
ść
importowanych towarów i usług, a przez Exp wielko
ść
eksportu. Ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy eksportem i importem zwana nadwy
Ŝ
k
ą
eksportow
ą
wyznacza dodatkowy
zewn
ę
trzny popyt X=Exp-Imp, przy czym eksport jest miar
ą
popytu zagranicznego na dobra krajowe,
natomiast import oznacza popyt wewn
ę
trzny na wyroby zagraniczne i sprzyja rozwojowi produkcji za
granic
ą
. X mo
Ŝ
e przyjmowa
ć
zarówno warto
ś
ci dodatnie, gdy Exp>Imp (eksport przewy
Ŝ
sza import),
co oznacza dodatkowy zewn
ę
trzny popyt na produkty krajowe (efektywny przyrost popytu), jak
i warto
ś
ci ujemne, gdy Exp<Imp (import przewy
Ŝ
sza eksport), co oznacza,
Ŝ
e masowy import towarów
zagranicznych nie równowa
Ŝ
y spadku popytu na produkty krajowe.
Rys. 2.7. Zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy poszczególnymi sektorami w czterosektorowym modelu gospodarki.
Warto
ść
zerowa X oznacza zrównowa
Ŝ
enie popytu na wyroby obce z popytem na wyroby krajowe.
W modelu uwzgl
ę
dniaj
ą
cym wymian
ę
z zagranic
ą
wielko
ść
popytu globalnego definiujemy
w sposób nast
ę
puj
ą
cy:
X
G
I
C
AD
+
+
+
=
, gdzie X=Exp-Imp.
W omawianym modelu zakładamy nast
ę
puj
ą
ce postaci funkcji eksportu i importu:
Exp
Exp
=
oraz
Y
p
p
η
+
=
Im
Im
,
gospodarstwa
domowe
przedsi
ę
biorstwa
C
Y
S
bank
I
rz
ą
d
TR
T
G
zagranica
Exp
Imp
dr Agnieszka Bobrowska
14
Ekonomia matematyczna II
przy czym
( )
1
;
0
∈
η
oznacza kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do importu.
Przy danych zało
Ŝ
eniach czterosektorowy model gospodarki mo
Ŝ
emy zapisa
ć
w postaci układu
równa
ń
:
=
+
=
=
=
=
=
+
=
−
+
+
+
=
Y
T
Y
p
p
Exp
Exp
TR
TR
G
G
I
I
Y
C
p
Exp
G
I
C
AD
d
γ
η
β
α
Im
Im
Im
Z powy
Ŝ
szego układu równa
ń
, gdzie
TR
T
Y
Y
d
+
−
=
, otrzymujemy nast
ę
puj
ą
c
ą
posta
ć
AD
:
Y
p
Exp
TR
G
I
AD
]
)
1
(
[
Im
η
γ
β
β
α
−
−
+
−
+
+
+
+
=
.
Nie ró
Ŝ
ni si
ę
ona zbyt wiele od postaci
AD
w modelu trójsektorowym, bo jedynie współczynnikiem
przy
Y
, który jest mniejszy o
η
(funkcja popytu
AD
dla omawianego modelu ma mniejszy k
ą
t
nachylenia ni
Ŝ
dla modelu trójsektorowego) oraz dodatkowym składnikiem
p
Exp
Im
−
.
Na rysunku 2.8. przedstawiono przebieg funkcji popytu globalnego
AD
dla omawianego modelu
gospodarki otwartej wzgl
ę
dem funkcji popytu globalnego
'
AD
zwi
ą
zanej z modelem trójsektorowym.
Punkty
'
,
Y
Y
zaznaczone na rysunku wyra
Ŝ
aj
ą
stan równowagi odpowiednio dla modelu
czterosektorowego i modelu trójsektorowego. Punkt przeci
ę
cia prostej
AD
z prost
ą
'
AD
, czyli punkt
a
Y
odpowiada poziomowi produkcji, przy którym zanika nadwy
Ŝ
ka eksportowa X=Exp-Imp=0.
Punkt równowagi
Y
dla modelu gospodarki otwartej wyznaczamy analogicznie jak w przypadku
gospodarki zamkni
ę
tej z równo
ś
ci
Y
AD
=
, sk
ą
d otrzymujemy:
(
)
p
Exp
TR
G
I
Y
Im
1
1
−
+
+
+
+
+
+
−
=
β
α
η
βγ
β
.
dr Agnieszka Bobrowska
15
Ekonomia matematyczna II
Ze wzoru na poziom produkcji w stanie równowagi wynika,
Ŝ
e mno
Ŝ
nik dla gospodarki z sektorem
wymiany z zagranic
ą
jest mniejszy ni
Ŝ
dla gospodarki zamkni
ę
tej i wynosi:
η
βγ
β
η
ω
+
+
−
=
1
1
)
(
.
Rys.2.8. Zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy wielko
ś
ci
ą
produkcji
Y
a wielko
ś
ciami popytu globalnego w modelu trój- i
czterosektorowym.
2.3. Prosty i kompletny model keynesowski
3
Wprowad
ź
my dodatkowe oznaczenia:
Y
- dochody pieni
ęŜ
ne sektora gospodarstw domowych (dochód narodowy w cenach bie
Ŝą
cych).
y
- dochody realne (dochód narodowy w cenach porównywalnych),
n
- wielko
ść
zatrudnienia w gospodarce,
M
- poda
Ŝ
pieni
ą
dza w gospodarce,
L
- popyt na pieni
ą
dz w gospodarce,
i
- stopa procentowa,
W
- wielko
ść
płacy nominalnej,
w
- wielko
ść
płacy realnej,
p
- wska
ź
nik poziomu cen.
3
Charakterystyki modeli opracowano w oparciu o R.G.D. Allen: Teoria makroekonomiczna, PWN, Warszawa
1975, rozdział 7 oraz M.Garbicz, E.Golachowski: Elementarne modele makroekonomiczne, Szkoła Główna
Handlowa, Warszawa 1996, rozdział 7
Y
AD
Ο
45
'
AD
AD
Imp
-
Exp
Y
'
Y
a
Y
dr Agnieszka Bobrowska
16
Ekonomia matematyczna II
Jak wspomnieli
ś
my na pocz
ą
tku tego paragrafu, w teorii makroekonomii problem równowagi
krótkookresowej dotyczy trzech ró
Ŝ
nych rynków: rynku dóbr, rynku pieni
ą
dza i rynku pracy. Dla
ka
Ŝ
dego z tych rynków wyznaczamy wielko
ś
ci popytu i poda
Ŝ
y. Modelem obejmuj
ą
cym wszystkie trzy
rynki jest kompletny model keynesowski. W modelu tym wymienione rynki s
ą
wzajemnie powi
ą
zane,
a centraln
ą
rol
ę
odgrywa w nim mechanizm wyznaczania dochodu narodowego. Dominuj
ą
cy wpływ na
dochód narodowy ma w tym modelu relacja oszcz
ę
dno
ś
ci - inwestycje.
Zanim jednak przejdziemy do omówienia kompletnego modelu Keynesa, przedstawimy najpierw
prosty model Keynesa.
Prosty model Keynesa, to dwusektorowy model gospodarki zamkni
ę
tej nie uwzgl
ę
dniaj
ą
cy roli
pa
ń
stwa w systemie ekonomicznym i mo
Ŝ
na go zapisa
ć
w postaci układu równa
ń
:
=
+
=
+
=
I
I
Y
C
I
C
AD
β
α
.
Z powy
Ŝ
szego układu otrzymujemy dla
AD
:
I
Y
AD
+
+
=
β
α
.
Z warunku równowagi
Y
AD
=
otrzymujemy:
I
Y
Y
+
+
=
β
α
.
St
ą
d i z układu równa
ń
wyznaczamy poziom konsumpcji
C
oraz poziom produkcji (dochodu)
Y
w stanie równowagi, które jak si
ę
okazuje zale
Ŝą
od parametrów
β
α
,
oraz od wielko
ś
ci
zaplanowanych inwestycji
I
:
(
)
I
C
β
α
β
+
−
=
1
1
i
(
)
I
Y
+
−
=
α
β
1
1
.
Licz
ą
c pochodne cz
ą
stkowe z
C
oraz z
Y
po parametrach
β
α
,
oraz po
I
mo
Ŝ
emy okre
ś
li
ć
kierunek oraz skal
ę
zmian
C
oraz
Y
w wyniku nieznacznych zmian (przyrostów) poszczególnych
wielko
ś
ci, przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e pozostałe wielko
ś
ci si
ę
nie zmieniaj
ą
.
I tak dla
C
mamy:
dr Agnieszka Bobrowska
17
Ekonomia matematyczna II
0
1
1
>
−
=
∂
∂
β
α
C
,
0
)
1
(
)
1
(
2
>
−
+
+
=
∂
∂
β
β
α
β
I
C
,
0
1
>
−
=
∂
∂
β
β
I
C
Dla
Y
mamy z kolei:
0
1
1
>
−
=
∂
∂
=
∂
∂
β
α
I
Y
Y
,
0
)
1
(
2
>
−
+
=
∂
∂
β
α
β
I
Y
.
Wnioski:
1. Przyrost warto
ś
ci któregokolwiek z parametrów
α
lub
β
o bardzo mał
ą
wielko
ść
, przy
zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e pozostałe wielko
ś
ci nie ulegaj
ą
zmianie, implikuje wzrost poziomu konsumpcji
C
odpowiednio o:
β
−
1
1
i
2
)
1
(
)
1
(
β
β
α
−
+
+
I
.
2. Przyrost warto
ś
ci inwestycji
I
o bardzo mał
ą
wielko
ść
, przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e pozostałe wielko
ś
ci
nie ulegaj
ą
zmianie, implikuje wzrost poziomu konsumpcji
C
o:
β
β
−
1
.
3. Pochodne cz
ą
stkowe z
Y
interpretujemy analogicznie do pochodnych cz
ą
stkowych z
C
.
Uwaga:
Łatwo zauwa
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e omawiany prosty model Keynesa ma posta
ć
dwusektorowego modelu
gospodarki zamkni
ę
tej.
Przejdziemy teraz do omówienia kompletnego modelu keynesowskiego. Punktem wyj
ś
cia do
dalszych rozwa
Ŝ
a
ń
jest zało
Ŝ
enie o danym poziomie cen
p
.
W modelu Keynesa rynek dóbr scharakteryzowany jest przez funkcj
ę
inwestycji i funkcj
ę
oszcz
ę
dno
ś
ci.
dr Agnieszka Bobrowska
18
Ekonomia matematyczna II
Zakładamy,
Ŝ
e w krótkim okresie oszcz
ę
dno
ś
ci
S
s
ą
rosn
ą
c
ą
funkcj
ą
Y
, natomiast inwestycje
I
s
ą
malej
ą
c
ą
funkcj
ą
stopy procentowej
i
, co zapisujemy w nast
ę
puj
ą
cy sposób:
)
(
Y
S
S
=
, przy czym
0
>
dY
dS
oraz
)
(
i
I
I
=
, przy czym
0
<
di
dI
.
Na rynku dóbr warunek równowagi ma posta
ć
:
)
(
)
(
Y
S
i
I
=
.
Warunek ten zakłada jednoznaczn
ą
zale
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy
i
i
Y
. Wynika st
ą
d,
Ŝ
e
Y
jest funkcj
ą
i
i odwrotnie. Z monotoniczno
ś
ci funkcji
S
i
I
otrzymujemy,
Ŝ
e
Y
maleje wraz ze wzrostem
i
.
W przypadku rynku pieni
ęŜ
nego w stanie równowagi popyt na pieni
ą
dz
L
zrównuje si
ę
z jego
poda
Ŝą
M
, co zapisujemy w postaci warunku:
M
L
=
.
Przyjmujemy,
Ŝ
e poda
Ŝ
pieni
ą
dza jest okre
ś
lana w ramach polityki monetarnej i przyjmuje pewn
ą
ustalon
ą
warto
ść
:
M
M
=
.
O popycie na pieni
ą
dz
L
zakładamy natomiast,
Ŝ
e jest rosn
ą
c
ą
funkcj
ą
dochodu
Y
(popyt
transakcyjny) i malej
ą
c
ą
funkcj
ą
stopy procentowej
i
(popyt spekulacyjny), co zapisujemy:
)
,
(
i
Y
L
L
=
, przy czym
0
,
0
<
∂
∂
>
∂
∂
i
L
Y
L
.
Na rynku pracy w stanie równowagi popyt równa si
ę
poda
Ŝ
y siły roboczej. Przypomnijmy,
Ŝ
e przez
n
oznaczamy wielko
ść
zatrudnienia w sensie popytu na sił
ę
robocz
ą
i jej poda
Ŝ
y. Zakładamy, przy
tym,
Ŝ
e popyt na prac
ę
okre
ś
lony jest po
ś
rednio za pomoc
ą
funkcji produkcji:
)
(
n
y
y
=
, przy czym
0
,
0
2
2
<
>
dn
y
d
dn
dy
.
Tak zdefiniowana funkcja produkcji okre
ś
la zwi
ą
zek mi
ę
dzy realn
ą
produkcj
ą
y
a wielko
ś
ci
ą
zatrudnienia
n
. Ujemny znak drugiej pochodnej z funkcji produkcji oznacza malej
ą
cy produkt
kra
ń
cowy. Nale
Ŝ
y podkre
ś
li
ć
,
Ŝ
e w warunkach konkurencji doskonałej, gdy mamy do czynienia
z maksymalizacj
ą
zysku, kra
ń
cowa produkcja przypadaj
ą
ca na jednego zatrudnionego jest równa
stawce płac realnych
w
:
dr Agnieszka Bobrowska
19
Ekonomia matematyczna II
w
dn
dy
=
.
Co si
ę
tyczy poda
Ŝ
y siły roboczej, to zakładamy,
Ŝ
e nie zale
Ŝ
y ona od stawki płac realnych
w
, ale
od płac nominalnych
W
. Funkcja poda
Ŝ
y siły roboczej, to funkcja odwrotna do funkcji płac
nominalnych zadanej wzorem:
)
(
n
W
W
W
+
=
, gdzie
Pw
W
=
,
przy czym:
0
)
(
=
n
W
, dla
n
n
≤
<
0
oraz
0
>
dn
dW
, dla
n
n
>
.
Przy wielko
ś
ci zatrudnienia poni
Ŝ
ej pewnego poziomu
n
, stawka płac nominalnych jest sztywna
i wynosi
W
. Nie da si
ę
jej dostosowa
ć
tak, aby na rynku miało miejsce pełne zatrudnienie. Przy
zatrudnieniu powy
Ŝ
ej poziomu
n
wyst
ę
puje taka stawka płac nominalnych, przy której ma miejsce
pełne zatrudnienie.
Wielko
ść
zatrudnienia
n
, dla którego spełnione s
ą
równocze
ś
nie warunki nało
Ŝ
one na funkcj
ę
produkcji
y
i funkcj
ę
płac nominalnych
W
jest zatrudnieniem w stanie równowagi.
Ł
ą
cznie wszystkie zało
Ŝ
enia o rynku dóbr, rynku pieni
ęŜ
nym i rynku pracy stanowi
ą
kompletny
model keynesowski, przy zało
Ŝ
eniu stałego poziomu cen
p
.
dr Agnieszka Bobrowska
20
Ekonomia matematyczna II
Podsumowanie:
1. Modele równowagi krótkookresowej stanowi
ą
du
Ŝ
e uproszczenie rzeczywisto
ś
ci gospodarczej.
2. Zakłada si
ę
w nich natychmiastowe dostosowania rozwa
Ŝ
anych makrokategorii (np. dochód
narodowy, inwestycje, konsumpcje) i cen.
3. Modele równowagi krótkookresowej pozwalaj
ą
wyznaczy
ć
relacje zapewniaj
ą
ce stan równowagi
w gospodarce.
4. Cech
ą
modeli równowagi krótkookresowej jest to,
Ŝ
e przedstawiaj
ą
stan w danym momencie,
a nie pozwalaj
ą
na analiz
ę
rozwoju gospodarki.
Pytania kontrolne:
1. Zdefiniuj poj
ę
cie równowagi ogólnej w gospodarce.
2. Opisz zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy podmiotami gospodarczymi w modelu dwusektorowym.
3. Jaki jest warunek równowagi rynkowej w dwusektorowym modelu gospodarki?
4. Podaj interpretacj
ę
ekonomiczn
ą
parametrów
β
α
,
wyst
ę
puj
ą
cych w funkcji konsumpcji.
5. Opisz funkcjonowanie efektu mno
Ŝ
nikowego w przypadku modelu dwusektorowego.
6. Jakie dodatkowe zało
Ŝ
enia w porównaniu z modelem dwusektorowym wprowadza si
ę
konstruuj
ą
c model trój- i czterosektorowej gospodarki?
7. Wyznacz punkt równowagi w modelu gospodarki otwartej.
8. Jak definiowane s
ą
funkcje oszcz
ę
dno
ś
ci i inwestycji w modelu keynesowskim?
9. Jakie zało
Ŝ
enie dotycz
ą
ce ogranicze
ń
procesu dostosowania poziomu płac do poda
Ŝ
y i popytu
na rynku pracy przyjmuje si
ę
w modelu Keynesa?