Akademia Górniczo-Hutnicza
w Krakowie
Wydział Energetyki i Paliw
Modelowanie komputerowe
w energetyce
Projekt
Karolina Wszoła
IV rok Energetyka
Akademia Górniczo-Hutnicza
w Krakowie
Wydział Energetyki i Paliw
Modelowanie komputerowe
w energetyce
Projekt
Karolina Wszoła
IV rok Energetyka
1. Temat projektu
W belce więźby dachowej zalęgły się korniki. Belka ma wymiary 10x25x350 [cm].
Szkodniki trzeba unicestw
ić poprzez zamrażanie belki w temperaturze -20
o
C przez
10 godzin. Należy to zrobić bez przemieszczania belki. Żeby możliwe było tak długie
utrzymanie belki w niskiej temperaturze, trzeba
ją szczelnie odizolować folią
termoizolacyjną. Przez otwór w izolacji wtłaczamy gaz (powietrze) o temperaturze -
40
o
C. Zaatakowana przez szkodniki belka jest wykonana z wysuszonego drewna
bukowego.
2. Model matematyczny
Równanie transportu ciepła:
(
) (
)
gdzie:
ρ - gęstość w temperaturze T [kg/m
3
]
c
p
-
ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg*K)]
T - temperatura [K]
x, y, z - kierunki [m]
t - czas [s]
V
x
, V
y
, V
z
-
prędkości w kierunkach x,y,z [m/s]
- współczynnik przewodzenia [J/(m*s*K)]
S -
źródło
Po uproszczeniu otrzymujemy:
(
) (
)
Warunki brzegowe:
Temperatura wszystkich
ścianek belki: -40
o
C
Warunki początkowe:
Temperatura w środku belki dla t = 0s => T
ini
= 0
o
C
3. Model numeryczny
Model obliczony metodą niejawną
( )
(
)
( )
( )
Po podstawieniu do uproszczonego równania transportu ciepła otrzymano:
(
)
(
( )
( )
)
(
( )
( )
)
0
-40
o
C
-40
o
C
-40
o
C
-40
o
C
(
( )
(
) ( )
(
)
( )
( )
)
( )
( )
[( )
(
) ( )
(
)]
( )
( )
[( )
(
) ( )
(
) ( )
(
)
( )
(
)]
[( )
(
) ( )
(
)]
[( )
( )
]
[( )
( )
] [( )
(
) ( )
(
)]
[ (( )
( )
)] [( )
(
) ( )
(
)]
Ostatecznie otrzymano równanie:
[( )
(
) ( )
(
)]
[( )
( )
]
4.
Rozwiązanie
Zakładamy wartości parametrów (środek belki):
dt = 20 [s]
dx = 0,05 [m]
dy = 0,125 [m]
r = 0,0701
Otrzymujemy rozwiązanie:
Temp [˚C]
Czas [s]
…
…
-19,7971
5380
-19,8484
5400
-19,8995
5420
-19,9505
5440
-20,0013
5460
Otrzymany czas
oziębiania się belki (-20
o
C w
ewnątrz), dla podanych parametrów,
wynosi 91 minut.
-25
-20
-15
-10
-5
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
Rozważamy również inny przypadek, w punkcie 1.:
dt = 20 [s]
dx = 0,025 [m]
dy = 0,125 [m]
r = 0,2805
Otrzymany czas
oziębiania się belki (-20
o
C
w odległości ¼ węższej krawędzi od
zewnętrznej ścianki), dla innych parametrów bez zmian, wynosi 25 minut
i 40 sekund.
Oziębianie w punkcie 2.:
dt = 20 [s]
dx = 0,05 [m]
dy = 0,0625 [m]
r = 0,2805
Otrzymany czas
oziębiania się belki (-20
o
C
w odległości ¼ szerszej krawędzi od
zewnętrznej ścianki), dla innych parametrów bez zmian, wynosi 64 minut
i 40 sekund.
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
Oziębianie w punkcie 3.:
dt = 20 [s]
dx = 0,05 [m]
dy = 0,0625 [m]
r = 1,122
Otrzymany czas
oziębiania się belki (-20
o
C
w odległości ¼ szerszej i ¼ węższej
krawędzi od zewnętrznej ścianki), dla innych parametrów bez zmian, wynosi
23 minuty.
Oziębianie w punkcie 4.:
dt = 20 [s]
dx = 0,0125 [m]
dy = 0,03125 [m]
r = 17,96
Otrzymany czas
oziębiania się belki w punkcie 4, dla innych parametrów bez zmian,
wynosi 5 minut i 50 sekund.
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
-10
-8
-6
-4
-2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
Oziębianie w punkcie 5.:
dt = 20 [s]
dx = 0,025 [m]
dy = 0,03125 [m]
r = 4,489
Otrzymany czas
oziębiania się belki w punkcie 5, dla innych parametrów bez zmian,
wynosi 16 minut i 20 sekund.
Oziębianie w punkcie 6.:
dt = 20 [s]
dx = 0,0125 [m]
dy = 0,0625 [m]
r = 4,489
Otrzymany czas
oziębiania się belki w punkcie 5, dla innych parametrów bez zmian,
wynosi 6 minut i 40 sekund.
-25
-20
-15
-10
-5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
te
m
p
T
[
o
C]
czas t [s]
Zależność temperatury w funkcji czasu T(t)
5. Weryfikacja otrz
ymanych wyników
Aby zweryfikować otrzymane wyniki ponownie przeprowadzamy obliczenia
w punkcie 0, dla innych
stałych czasowych Δt:
o
dla Δt = 5s (r=0,0175) czas nagrzania się belki to 90 minut i 55 sekund;
o
dla Δt = 15s (r=0,0526) czas nagrzania się belki to 91 minut;
o dla
Δt = 35s (r=0,1227) czas nagrzania się belki to 91 minut i 35 sekund;
o
dla Δt = 55s (r=0,1929) czas nagrzania się belki to 91 minut i 40 sekund
Po
przeprowadzonej weryfikacji wyników, można wnioskować, że rozwiązanie jest
prawidłowe. Dla różnych stałych czasowych wyniki są niemal jednakowe.