- 1 -
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI
dr inż. Marek KUCHTA
mkuchta@wel.wat.edu.pl
p. 79 / S tel. 6 837 – 585
Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest zaliczenie ćwiczeń
rachunkowych i ćwiczeń laboratoryjnych.
Warunkiem zaliczenia ćwiczeń rachunkowych jest zaliczenie pracy
kontrolnej na ostatnich zajęciach oraz uzyskanie oceny średniej z
odpowiedzi w czasie zajęć nie mniej niż 3,0. Nieobecności na więcej
niż 1 ćwiczeniach rachunkowych wymaga zaliczenia opuszczonych
zajęć w ramach konsultacji.
Warunkiem zaliczenia ćwiczeń laboratoryjnych jest uzyskanie
wymaganej liczby punktów. Student otrzymuje z każdego ćwiczenia
punkty za:
przygotowanie do ćwiczenia
(w skali 0
4);
praktyczne wykonanie ćwiczenia (w skali 0
2);
sprawozdanie z ćwiczenia
(w skali 0
4);
Ocena końcowa za ćwiczenia laboratoryjne wystawiana jest zgodnie z
poniższą tabelą.
Liczba punktów
0
10,5
11
12,5 1314,5 1516,5 1718,5 1920
Ocena końcowa
2 (ndst)
3 (dst)
3.5
(dst+)
4 (db)
4.5
(db+)
5 (bdb)
Zaliczenie przeprowadzane jest w formie pisemnej i ustnej.
UWAGA: do laboratorium ZOiSE p. 81/S należy dostarczyć wykaz
studentów grupy z podziałem na zespoły.
- 2 -
1. SYGNAŁY ELEKTRYCZNE
1.1. KLASYFIKACJA SYGNAŁÓW
W elektronice
PRZEBIEGI CZASOWE
napięcia lub prądu elektrycznego nazywamy
SYGNAŁAMI ELEKTRYCZNYMI
Sygnały elektryczne mogą być dowolnymi funkcjami rzeczywistymi
czasu, a więc zmiennej rzeczywistej t.
Badając zmienności tych funkcji:
SYGNAŁY ELEKTRYCZNE
SYGNAŁY ZDETERMINOWANE
Sygnałem
zdeterminowanym
nazywamy
sygnał,
którego
wystąpienie można przewidzieć i
który daje się opisać analitycznie
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE
Sygnałem losowym nazywamy
sygnał, którego wystąpienia ani
wartości
nie
możemy
przewidzieć.
- 3 -
STAŁE
f(t) = const. dla
,
t
,
oznaczane: U, I
ZMIENNE
f(t) ≠ const. dla
,
t
,
oznaczane: u(t), i(t),
Jeżeli warunek okresowości
kT
t
f
t
f
t
T
0
T- okres właściwy, k – liczba całkowita
jest spełniony
nie jest spełniony
OKRESOWE
NIEOKRESOWE
sinusoidalne
niesinusoidalne
HARMONICZNE
t
T
F
t
f
m
2
sin
dla
,
t
,
ODKSZTAŁCONE
Jeżeli warunek:
0
0
dt
t
f
T
jest spełniony
nie jest spełniony
PRZEMIENNE
f t
( )
t
T
-
+
TĘTNIĄCE
f t
( )
t
T
-
+
SYGNAŁY ZDETERMINOWANE
- 4 -
1.2. PARAMETRY SYGNAŁÓW OKRESOWYCH
Dla sygnału okresowego x o wartościach x(t):
Moc średnia
dt
t
x
T
P
T
x
0
2
1
(1.1)
Wartość maksymalna – największa wartość chwilowa jaką
sygnał osiąga – oznaczamy ją jako X
m
Wartość średnia całookresowa
(jest to średnia arytmetyczna tego
sygnału obliczona za jeden okres)
dt
t
x
T
t
x
X
T
C
śr
0
1
(1.2)
Wartość średnia półokresowa
(jest to średnia arytmetyczna tego
sygnału obliczona za połowę okresu)
dt
t
x
T
X
T
śr
2
/
0
2
(1.3)
WARTOŚĆ SKUTECZNA
(jest to pierwiastek kwadratowy z
wartości średniej kwadratu sygnału
obliczonej za jeden okres, inaczej -
pierwiastek kwadratowy ze średniej mocy
sygnału)
x
T
sk
P
t
x
dt
t
x
T
X
X
2
0
2
1
(1.4)
- 5 -
1.3. SYGNAŁY HARMONICZNE
W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały
harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak
t
t
cos
2
sin
,
nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).
Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg
jest sinusoidalną funkcją czasu
Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u
m
t
U
t
u
sin
(1.5)
0
u
u t
( )
U
m
T/2
T
t
t
W czasie
odpowiadającym
jednemu okresowi
faza napięcia
zmienia się o 2
,
tzn.
2
T
. Na
rys. na osi
odciętych
oznaczono skalę
czasu i skalę
kątową.
gdzie: u(t)
- wartość chwilowa napięcia;
U
m
- wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);
u
- początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w
chwili t = 0;
u
t
- kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;
=2
f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;
f =1/T
- częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością
okresu.
- 6 -
Wartość średnia (półokresowa) napięcia sinusoidalnego wynosi wg
wzoru (1.3)
m
m
T
m
T
śr
U
U
dt
t
U
T
dt
t
u
T
U
637
,
0
2
sin
2
2
2
/
0
2
/
0
(1.6)
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego zgodnie ze wzorem (1.4)
wynosi
m
m
T
m
T
U
U
dt
t
U
T
dt
t
u
T
U
707
,
0
2
sin
1
1
0
2
2
0
2
(1.7)
Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy
przedstawić jako
u
u
m
t
U
t
U
t
u
sin
2
sin
(1.8)
- 7 -
1.4. SYGNAŁ WYKŁADNICZY
Funkcja wykładnicza jest traktowana niemal jako funkcja magiczna.
Wynika to stąd, że
każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażony
w postaci sumy funkcji wykładniczych;
w przypadku układów liniowych odpowiedź układu na wymuszenie
wykładnicze jest także wykładnicza.
Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:
,
)
(
t
e
A
t
x
t
s
dla
(1.9)
Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony
j
s
(1.10)
a zatem
t
j
t
t
j
e
e
A
e
A
t
x
)
(
(1.12)
Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od tego jakie wartości
przyjmuje s.
1.
Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn.
= 0) wtedy
t
e
A
t
x
)
(
i ma charakter zależny od wartości
a) gdy
< 0
, sygnał x(t) ma charakter
monotonicznie malejącej funkcji
czasu;
b) gdy
= 0
, sygnał x(t) jest sygnałem
stałym o wartości A;
c) gdy
> 0
, sygnał x(t) ma charakter
monotonicznie rosnącej funkcji
czasu.
0
x t
( )
t
A
0
>
0
<
= 0
- 8 -
2. Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn.
=0) wtedy
t
j
e
A
t
x
)
(
sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej za pomocą tzw. wektora wirującego
obracającego się z prędkością kątową
w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara. Położenie tego
wektora na płaszczyźnie w danej chwili t
określone jest za pomocą kąta
t.
Czynnik
t
j
e
spełnia rolę operatora
obrotu,
natomiast
A
jest modułem wektora.
0
t = 0
A
t
Ae
j
t
Re
Im
Uwzględniając wzór Eulera
t
j
t
e
j
sin
cos
(1.13)
można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych
t
A
j
t
A
e
A
t
x
j
sin
cos
(1.14)
Część rzeczywista wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze
cosinusoidalnym
t
A
e
A
t
j
cos
Re
(1.15)
Część urojona wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze
sinusoidalnym
t
A
e
A
t
j
sin
Im
(1.16)
Wynika stąd, że najczęściej spotykane przebiegi wielkości elektrycznych
stanowią szczególne przypadki sygnału o charakterze wykładniczym.
- 9 -
1.5. OPIS SYMBOLICZNY SYGNAŁU HARMONICZNEGO
Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u
m
t
U
t
u
sin
(1.17)
Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym przedstawia rys.
0
Re
Im
0
u
u t
( )
U
m
T
t
t
U
m
u
u(0)
u(0)
Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi
u
m
U
u
sin
0
(1.18)
W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie U
m
jest nachylony względem
osi liczb rzeczywistych pod kątem
u
. Rzut tego wektora na oś liczb
urojonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego
jest równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.
Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (1.16), następująco:
dla każdej chwili t
t
u
e
U
t
U
t
u
u
t
j
m
u
m
Im
Im
sin
(1.19)
- 10 -
Sygnał sinusoidalny:
u
u
m
t
U
t
U
t
u
sin
2
sin
posiada następującą
POSTAĆ SYMBOLICZNĄ (symboliczną wartość chwilową):
t
j
j
t
j
j
m
t
j
m
e
e
U
e
e
U
e
U
t
u
u
u
u
2
)
(
(1.20)
Czyli:
t
j
t
j
m
t
j
m
e
U
e
U
e
U
t
u
u
2
)
(
(1.21)
UWAGI:
t
u
t
u
t
u
t
u
ˆ
ć
oś
odpowiedni
tylko
ć
równoś
zachodzi
nie
natomiast:
t
u
j
t
u
t
u
t
u
Im
2
*
(1.22)
Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala
traktować je jako przebiegi wykładnicze.
(rzeczywista)
wartość chwilowa
amplituda
(wartość max.)
wartość skuteczna
U
m
U
symboliczna amplituda
/postać zespolona amplitudy/
/wskaz amplitudy/
symboliczna wartość skuteczna
/wskaz wartości skutecznej/
- 11 -
1.6. OPIS WIDMOWY SYGNAŁÓW ODKSZTAŁCONYCH
A) TRYGONOMETRYCZNY SZEREG FOURIERA
Dowolną funkcję okresową x(t) o okresie T, spełniającą warunki
Dirichleta, można przedstawić w postaci szeregu harmonicznego
nieskończonego zwanego szeregiem trygonometrycznym Fouriera:
1
1
0
sin
k
k
k
m
t
k
F
F
t
x
(1.23)
Interpretacja:
0
T
t
x t
( )
x(t)
=
F
0
+
F
m1
sin(
1
t+
1
)
+
F
m2
sin(2
1
t+
2
)
+ .........
0
F
m1
T
1
=T
t
t
1
2
F
m2
F
0
T
2
=T/2
k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera
gdzie:
1
=2
/T – pulsacja podstawowa
k – rząd harmonicznej
F
mk
– amplituda k-tej harmonicznej
k
– faza początkowa k-tej harmonicznej
składowa stała
- 12 -
Wiadomo jednak, że
k
k
k
m
k
k
m
t
k
t
k
F
t
k
F
sin
cos
cos
sin
sin
1
1
1
(1.24)
Jeśli oznaczymy
k
k
k
m
k
k
k
m
B
F
A
F
cos
sin
(1.25)
to
t
k
B
t
k
A
t
k
F
k
k
k
k
m
1
1
1
sin
cos
sin
(1.26)
Gdy amplitudę k-tej harmonicznej przedstawimy jako wektor
wirujący, to z zależności trygonometrycznych wynikają wzory
Re
Im
F
mk
k
A
k
B
k
2
2
k
k
k
m
B
A
F
(1.27)
mk
k
k
mk
k
k
F
B
F
A
cos
,
sin
(1.28)
Uwzględniając powyższe zależności możemy szereg (1.23) przedstawić
1
1
1
0
sin
cos
k
k
k
t
k
B
t
k
A
A
t
x
(1.29)
Współczynniki A
0
, A
k
, B
k
wyznacza się ze wzorów:
wartość średnia
dt
t
x
T
A
T
t
t
0
0
1
0
(1.30)
skład. kosinusoidalna
,
2
,
1
cos
2
1
0
0
k
dla
dt
t
k
t
x
T
A
T
t
t
k
(1.31)
skład. sinusoidalna
,
2
,
1
sin
2
1
0
0
k
dla
dt
t
k
t
x
T
B
T
t
t
k
(1.32)
k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera
składowa stała
- 13 -
B) WYKŁADNICZY (ZESPOLONY) SZEREG FOURIERA
Jeśli w rozwinięciu w szereg Fouriera danym wyrażeniem (1.29)
zastosujemy podstawienie wynikające z wzorów Eulera
2
cos
1
1
1
t
jk
t
jk
e
e
t
k
,
j
e
e
t
k
t
jk
t
jk
2
sin
1
1
1
(1.33)
to otrzymamy
1
0
2
2
1
1
1
1
k
t
jk
t
jk
k
t
jk
t
jk
k
j
e
e
B
e
e
A
A
t
x
(1.34)
Wprowadzając oznaczenia
2
,
2
,
0
0
k
k
k
k
k
k
jB
A
C
jB
A
C
A
C
(1.35)
stąd
1
0
1
1
k
t
jk
k
t
jk
k
e
C
e
C
C
t
x
(1.36)
i ostatecznie
k
t
jk
k
e
C
t
x
1
(1.37)
którą to postać nazywamy postacią
zespoloną szeregu Fouriera.
T
t
t
t
k
j
k
dt
e
t
x
T
C
0
0
1
1
,
2
,
1
,
0
k
dla
e
C
k
j
k
(1.38)
Uwaga:
*
k
k
C
C
k
k
k
k
i
C
C
k-ty współczynnik wykładniczego
szeregu Fouriera
moduł k-tego współczynnika
wykładniczego szeregu Fouriera
argument k-tego współczynnika
wykładniczego szeregu Fouriera
- 14 -
C) WIDMO AMPLITUDOWE I FAZOWE
Wprowadzenie:
0
F
m1
t
t
1
2
3
F
m2
F
m3
F
0
x(t) =
F
0
+
F
m1
sin(
1
t+
1
)
+
F
m2
sin(2
1
t+
2
)
+
F
m3
sin(3
1
t+
3
)
k
F
mk
F
m1
F
m2
F
m3
F
0
1 2 3
+ ....
k
1 2 3
1
2
3
k
/2
- 15 -
Wykres, w układzie współrzędnych prostokątnych, stanowiący
zbiór
modułów C
k
współczynników zespolonego szeregu Fouriera
lub
zbiór amplitud F
mk
poszczególnych harmonicznych
określony dla odpowiednich pulsacji
=k
1
(bądź częstotliwości f=kf
1
)
nazywamy dyskretnym
WIDMEM AMPLITUDOWYM
sygnału x(t).
ozbiór
argumentów
k
współczynników zespolonego szeregu
Fouriera
lub
ozbiór faz początkowych
k
poszczególnych harmonicznych
określony dla odpowiednich pulsacji
=k
1
(bądź częstotliwości f=kf
1
)
nazywamy dyskretnym
WIDMEM FAZOWYM
sygnału x(t).
Pomiędzy współczynnikami rozwinięcia w trygonometryczny i w
zespolony szereg Fouriera zachodzą następujące związki:
,
2
,
1
2
2
2
2
k
dla
B
A
F
C
C
k
k
k
m
k
k
(1.39)
,
2
,
1
2
k
dla
k
k
(1.40)
Znajomość obydwu widm, amplitudowego i fazowego
jednoznacznie określa sumę częściową szeregu Fouriera czyli
z założoną dokładnością opisuje analizowany sygnał x(t).
Widma (częstotliwościowe) są równoważnym opisem do
analitycznego zapisu w dziedzinie czasu tego sygnału - jest to
jego
reprezentacja widmowa
.
- 16 -
Wyjaśnienie:
WIDMO AMPLITUDOWE
SPORZĄDZONE W OPARCIU O POSTAĆ:
TRYGONOMETRYCZNĄ
ZESPOLONĄ
F
mk
k
1
0
1
2
3
4
C
k
k
1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
WIDMO FAZOWE
SPORZĄDZONE W OPARCIU O POSTAĆ:
TRYGONOMETRYCZNĄ
ZESPOLONĄ
k
k
1
1
2
3
4
/2
/2
/2
k
1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
k
/2
Widmo amplitudowe sygnału okresowego jest funkcją parzystą a widmo
fazowe funkcją nieparzystą. Prawostronne widma amplitudowe i fazowe
stanowią reprezentację sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości.
- 17 -
D) RODZAJE SYMETRII SYGNAŁÓW
1)
SYMETRIA WZGLĘDEM POCZĄTKU UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH
Funkcję nazywamy symetryczną względem początku układu
współrzędnych lub
funkcją nieparzystą
jeśli spełnia ona zależność
t
x
t
x
(1.41)
x(t)
t
0
,
0
0
k
A
A
0
lub
k
k
1
1
sin
k
k
t
k
B
t
x
(1.42)
2)
SYMETRIA WZGLĘDEM OSI RZĘDNYCH
Funkcję nazywamy symetryczną względem osi rzędnych, lub
funkcją
parzystą
jeśli spełnia ona zależność
t
x
t
x
(1.43)
x(t)
t
0
k
B
2
lub
2
k
k
1
1
0
cos
k
k
t
k
A
A
t
x
(1.44)
3)
SYMETRIA WZGLĘDEM OSI ODCIĘTYCH
Funkcję nazywamy
antysymetryczną
(symetryczną względem osi
odciętych), jeśli rzędne funkcji okresowej powtarzają się co pół okresu ze
zmienionym znakiem, tzn.
2
T
t
x
t
x
(1.45)
x(t)
t
0
0
A
i
,
2
,
1
0
2
2
n
dla
B
A
n
n
- 18 -
1.7. OPIS WIDMOWY SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH
A) PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA
Dla sygnałów nieokresowych f(t) można wyznaczyć transformatę
Fouriera (
F
- transformatę) określoną wzorem
t
f
dt
e
t
f
j
F
t
j
F
,
(1.46)
będącą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej
określoną w przedziale
(-,+).
Zależność (1.46) - nazywana
PROSTYM
PRZEKSZTAŁCENIEM
FOURIERA
- pozwala przyporządkować opisowi sygnału w dziedzinie
czasu, opis w dziedzinie częstotliwości.
B) WIDMA SYGNAŁU
Funkcja F(j
) nazywana jest funkcją gęstości widmowej sygnału
f(t). W ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona, czyli:
X
R
j
F
j
F
e
F
j
F
(7.35)
gdzie:
j
F
F
2
2
X
R
F
F
j
F
arg
F
F
arc
F
F
arc
F
F
tg
arc
R
X
R
X
cos
sin
dt
t
t
f
F
R
cos
dt
t
t
f
F
X
sin
UWAGA:
Ww. widma są funkcjami CIĄGŁYMI zmiennej
.
j
F
j
F
F
-
funkcja parzysta
-
funkcja nieparzysta
gęstość widmowa
widmo gęstości fazy
widmo gęstości amplitud
- 19 -
PRZYKŁAD 1:
Dany jest sygnał u(t) będący ciągiem impulsów
prostokątnych o okresie T=1ms, czasie trwania
t
i
=0,25ms oraz amplitudzie U
m
=10V. Wyznaczyć
widmo amplitudowe i fazowe sygnału.
1)
Opisujemy
sygnał
u(t)
analitycznie
w
przedziale
czasu
odpowiadającym okresowi:
2
2
0
2
2
i
i
i
i
m
t
T
t
t
dla
t
t
t
dla
U
t
u
2)
Wybieramy postać szeregu Fouriera, dla której będziemy rozwijali
sygnał
1
1
1
0
sin
cos
k
k
k
t
k
B
t
k
A
A
t
u
3)
Sprawdzamy rodzaj symetrii sygnał u(t)
Występuje symetria względem osi rzędnych (
t
f
t
f
). Ponieważ
jest to funkcja parzysta znikają wyrazy z sinusami (
0
k
B
).
Zatem:
1
1
0
cos
k
k
t
k
A
A
t
u
4)
Obliczamy składową stałą
dt
t
u
T
A
U
T
t
t
0
0
1
0
0
V
T
t
U
t
t
T
U
t
U
T
dt
U
T
U
i
m
i
i
m
t
t
m
t
t
m
i
i
i
i
5
,
2
4
1
10
2
2
1
1
1
2
2
2
2
0
- 20 -
5)
Obliczamy współczynniki
,
2
,
1
cos
2
1
0
0
k
dt
t
k
t
u
T
A
T
t
t
k
2
2
1
1
1
2
2
sin
1
2
cos
2
i
i
i
i
t
t
m
t
t
m
k
t
k
k
T
U
dt
t
k
U
T
A
T
t
k
t
k
k
T
U
A
i
i
m
k
2
2
sin
2
sin
1
2
1
1
1
1
4
sin
4
sin
4
sin
4
sin
k
k
k
k
k
U
m
4
sin
37
,
6
4
sin
2
4
sin
4
sin
k
k
k
k
U
k
k
k
U
m
m
6)
Obliczamy wartości amplitud i faz początkowych N-harmonicznych
k
k
A
2
k
k
m
A
F
k
m
k
k
F
A
arcsin
1.
4,502
4,502
90
o
2.
3,183
3,183
90
o
3.
1,501
1,501
90
o
4.
0
0
-
5.
-0,9
0,9
-90
o
6.
-1,061
1,061
-90
o
7.
-0,643
0,643
-90
o
8.
0
0
-
9.
0,5
0,5
90
o
- 21 -
7)
Przedstawiamy widmo amplitudowe i fazowe sygnału
F
mk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
2,5
f [kHz]
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
90
o
-90
o
f [kHz]
- 22 -
PRZYKŁAD 2:
Dany jest sygnał f(t) będący impulsem prostokątnym
(tzw. funkcja bramkowa) przedstawiony na rysunku.
Wyznaczyć widmo gęstości amplitud i fazy sygnału.
t
f(t)
A
2
2
1)
Opisujemy sygnał f(t) analitycznie
2
0
2
2
2
0
t
dla
t
dla
A
t
dla
t
f
2)
Wyznaczamy funkcję gęstości widmowej
(
F
- transformatę)
dt
e
t
f
j
F
t
j
j
F
2
2
2
2
2
2
1
t
j
t
j
t
j
e
j
A
dt
e
A
dt
Ae
2
2
2
2
2
2
j
j
j
j
t
j
e
e
j
A
e
e
j
A
e
j
A
j
e
e
że
wiemy
j
j
2
sin
,
- 23 -
2
sin
2
2
2
2
2
A
j
e
e
j
j
A
j
j
2
2
sin
2
2
A
Zatem
2
Sa
A
j
F
Czyli funkcja gęstości widmowej F(j
) funkcji bramkowej jest funkcją
rzeczywistą a zatem F
X
(
) = 0.
3)
Wyznaczamy widmo gęstości amplitud
2
Sa
A
j
F
F
Uwaga:
A
F
0
0
F
gdy
n
2
czyli dla
n
2
- 24 -
4)
Wyznaczamy widmo gęstości fazy
j
F
arg
Ponieważ funkcja gęstości widmowej rozpatrywanego sygnału jest
wielkością rzeczywistą, zatem widmo gęstości fazy jest przedziałami
stałe i przybiera wartości 0 lub
0
2
-2
-4
-6
( )
180
o
-180
o