Zmienne losowe
1. Zmienne losowe dyskretne i ciągłe. Rozkłady zmiennych losowych. Dystrybuanta zmiennej losowej.
2. Momenty zmiennych losowych – zwykłe, centralne, mieszane.
3. Współczynnik korelacji. Ilość informacji. Entropia.
4. Funkcje zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych. Wielowymiarowe zmienne losowe.
Nieliniowe przekształcenie tych zmiennych.
5. Nierówność Markowa i Czebyszewa. Prawa wielkich liczb. Funkcja charakterystyczna.
Wyznaczanie podstawowych parametrów probabilistycznych za pomocą funkcji charakterystycznej.
Literatura
1.
Z. Hellwig Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Warszawa 1977.
2.
H. Jasiulewicz, W. Kordecki Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Wrocław 2001.
3.
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska. M. Wasilewski Rachunek prawdopodobieństwa
i statystyka matematyczna w zadaniach. Część 1 i część 2. Warszawa 1986.
Określenie zmiennej losowej
W róŜnych zagadnieniach praktycznych przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω moŜe mieć bardzo
róŜne postacie. Przykładowo, przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω moŜe być:
- zbiorem wszystkich moŜliwych ocen na egzaminie,
- zbiorem serii n strzałów, z których kaŜdy jest celny lub niecelny,
- zbiorem układów n zdarzeń postaci: przekaźnik zadziałał, przekaźnik nie zadziałał
( n liczba przekaźników) itd.
Aby ujednolicić sposób rozwaŜań dla róŜnych przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, dokonujemy
przekształcenia przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω w przestrzeń
1
ℜ
lub jej podzbiór:
Zamiast mówić o zdarzeniach elementarnych ω mających bardzo róŜne interpretacje praktyczne,
odwzorowujemy je na liczby i w ten sposób uzyskujemy moŜliwość liczbowego opisu w przypadku
dowolnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.
Przykładami zjawisk o charakterze losowym, dla których nie ma ujednoliconego sposobu liczbowego ich
przedstawiania są np.:
- samopoczucie osoby,
- stan zdrowia osoby,
- stan techniczny urządzenia,
- barwa rośliny,
- korozja metali,
- zakłócenia przyjmowanych sygnałów,
- zniszczenie banknotów, itp.
Dla pewnych określonych celów moŜemy takim zjawiskom przyporządkować liczby, tak aby moŜna było
np. porównać ze sobą dwa elementy ze względu na interesującą nas cechę czy zespół cech, czyli:
Ω
1
ℜ
przekształcamy nieliczbową przestrzeń
Ω w przestrzeń liczbową
1
ℜ
.
Funkcję przekształcającą przestrzeń Ω w przestrzeń
1
ℜ
nazywamy zmienną losową jednowymiarową.
Zakładamy oczywiście, Ŝe kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu ω
i
jest przyporządkowane
prawdopodobieństwo P( ω
i
). Zmienna losowa jest więc funkcją określoną na zbiorze zdarzeń
elementarnych, a więc argumentami są zdarzenia elementarne.
Definicja
Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ). Zmienną losową nazywamy funkcję
rzeczywistą X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω i przyjmującą wartości rzeczywiste:
1
:
ℜ
→
Ω
X
i spełniającą warunek: dla kaŜdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω, dla których:
X(ω ) < x jest zdarzeniem, czyli jest elementem rodziny S . Własność tę moŜna zapisać jako:
S
x
X
x
∈
<
∧
ℜ
∈
}
)
(
:
{
1
ω
ω
Zmienne losowe będziemy oznaczać duŜymi literami X, Y, Z , zaś jej wartości liczbowe, czyli realizacje,
małymi literami x, y, z.
Realizacje zmiennych losowych
Zmienna losowa typu skokowego – jest to zmienna, która posiada skończony lub przeliczalny zbiór
wartości, najczęściej są to liczby naturalne ( np. liczba oczek kostki do gry ).
Zmienna losowa typu ciągłego
– jest to zmienna, która moŜe przybierać dowolne wartości liczbowe,
rzeczywiste z pewnego przedziału, nieskończonego i nieprzeliczalnego.
Zmienna losowa typu skokowego (dyskretna)
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli istnieje zbiór przeliczalny
1
ℜ
∈
χ
taki,
Ŝe
1
)
(
=
χ
X
P
.
Elementy
z
bioru
χ
oznaczamy przez x
k
, czyli:
}
,...
,
{
2
1
x
x
=
χ
lub
}
,...,
,
{
2
1
n
x
x
x
=
χ
. Liczby x
k
nazywamy wartościami zmiennej losowej X.
Dla zmiennej losowej skokowej X, która przybiera wartości: x
1
, x
2
, ... , x
n
definiuje się:
1. Funkcję rozkładu prawdopodobieństwa – która przyporządkowuje wartościom { x
1
, x
2
, ... , x
n
}
zmiennej losowej X prawdopodobieństwa: p
1
, p
2
, ... , p
n
:
P( X = x
i
) = p
i
gdzie i = 1, 2, ... , n ; p
i
≥ 0 ;
zmienne losowe
zmienne losowe typu skokowego
(dyskretne)
zmienne losowe typu ciągłego
Funkcja ta ma własność:
1
1
=
∑
=
n
i
i
p
dla i = 1, 2, ... , n
Funkcja ta moŜe być określona:
- wzorem,
- tabelką,
- wykresem.
2. Dystrybuantą zmiennej losowej typu skokowego X - nazywamy funkcję F( x ) zmiennej
rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, Ŝe zmienna losowa X przyjmie w
uporządkowanym zbiorze:
n
n
i
x
x
x
x
x
≤
≤
≤
≤
≤
≤
−
1
2
1
...
...
wartość mniejszą od x:
)
(
)
(
x
X
P
x
F
def
<
=
dla
1
ℜ
∈
∧
x
lub inaczej:
∑
<
=
x
X
i
p
x
F
)
(
Pojęcie zmiennej losowej typu skokowego wiąŜe się z postacią dystrybuanty. Dla zmiennych losowych
typu skokowego dystrybuanta jest przedziałami stała, a w punktach nieciągłości x
k
ma skoki o wielkości
p( x
k
) i suma wszystkich skoków jest równa 1.
Inna definicja zmiennej losowej typu skokowego:
Jest to zmienna losowa , której suma wszystkich skoków jej dystrybuanty jest równa 1.
Własności dystrybuanty:
1. Jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x
1
< x
2
zawsze jest F( x
1
) ≤ F( x
2
),
2.
0
)
(
lim
=
−∞
→
x
F
x
,
1
)
(
lim
=
∞
→
x
F
x
, czyli przyjmuje wartości z przedziału:
1
)
(
0
≤
≤
x
F
dla
)
,
(
∞
−∞
∈
x
,
3. jest funkcją lewostronnie ciągłą, tzn.
)
(
)
(
lim
0
0
x
F
x
F
x
x
=
−
→
Przy pomocy dystrybuanty moŜna określić prawdopodobieństwa zdarzeń:
1.
)
(
)
(
)
(
0
0
0
x
X
P
x
F
x
X
P
=
+
=
≤
2. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału: [ x
1
, x
2
) :
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
x
F
x
F
x
X
x
P
−
=
<
≤
3. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości x
0
:
)
(
)
(
)
(
0
0
0
x
F
x
F
x
X
P
−
=
=
+
gdzie
)
(
lim
)
(
0
0
t
F
x
F
x
t
+
→
+
=
4.
)
(
1
)
(
0
0
+
−
=
>
x
F
x
X
P
5.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
x
X
P
x
F
x
F
x
X
x
P
=
+
−
=
≤
≤
6.
)
(
)
(
0
0
x
F
x
X
P
def
=
<
7.
)
(
1
)
(
0
0
x
F
x
X
P
−
=
≥
8.
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
2
1
x
X
P
x
F
x
F
x
X
x
P
=
−
−
=
<
<
Przykład:
Określmy zmienną losową na podstawie rzutów symetryczną kostką do gry. Zbiór zdarzeń
elementarnych zawiera 6 elementów odpowiadających sześciu ściankom kostki. Prawdopodobieństwa
poszczególnych zdarzeń elementarnych są jednakowe i równe 1/6.
Z kaŜdym zdarzeniem elementarnym moŜemy związać liczbę równą np. liczbie oczek na odpowiedniej
ściance kostki. Przyporządkowanie takie jest przykładem zmiennej losowej dyskretnej, przyjmującej
wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6 z jednakowym prawdopodobieństwem 1/6:
Ω = { ω
1
, ω
2
, ... , ω
6
} – przestrzeń zdarzeń elementarnych
X( x
i
) = { 1, 2, ... , 6 } - zmienna losowa skokowa, P( X =x
i
) = p
i
= 1/6
Oczywiście na tym zbiorze sześciu zdarzeń elementarnych odpowiadających rzutom kostką, moŜna określić
inne zmienne losowe. MoŜna np. przyporządkować kaŜdej ściance kostki liczbę równą liczbie oczek
pomnoŜonej np. przez 3. Otrzymamy wówczas zmienną losową dyskretną o następujących wartościach i
prawdopodobieństwach:
Ω = { ω
1
, ω
2
, ... , ω
6
} – przestrzeń zdarzeń elementarnych
Y( y
i
) = { 3, 6, ... ,18 } - zmienna losowa skokowa, P( Y =y
i
) = p
i
= 1/6
Określmy rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę dla zmiennej losowej X:
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowe X w postaci tabelarycznej:
x
i
1
2
...
6
p
i
1/6
1/6
...
1/6
0
1/6
P(X=x)
1
2
3
4
5
6
x
Z definicji dystrybuanty, otrzymujemy:
∑
<
=
<
=
x
X
i
def
p
x
X
P
x
F
)
(
)
(
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
F(x)
1
2
3
4
5
6
x
∞
∈
∈
∈
∈
∈
∈
−∞
∈
=
)
,
6
(
1
]
6
,
5
(
6
/
5
]
5
,
4
(
6
/
4
]
4
,
3
(
6
/
3
]
3
,
2
(
6
/
2
]
2
,
1
(
6
/
1
]
1
,
(
0
)
(
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
Obliczanie prawdopodobieństw:
1. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe:
6
1
6
4
6
5
)
5
(
)
5
(
})
({
)
5
(
5
=
−
=
−
=
=
=
+
F
F
P
X
P
ω
2. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe:
6
3
6
1
6
4
)
2
(
)
5
(
})
,
,
({
)
5
2
(
4
3
2
=
−
=
−
=
=
<
≤
F
F
P
X
P
ω
ω
ω
3. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe:
6
4
)
5
(
})
,
,
,
({
)
5
(
4
3
2
1
=
=
=
<
F
P
X
P
ω
ω
ω
ω
4. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe:
1
6
1
0
6
5
)
6
(
)
1
(
)
6
(
)
(
)
6
1
(
=
+
−
=
=
+
−
=
Ω
=
≤
≤
X
P
F
F
P
X
P
5. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe:
0
1
1
)
7
(
1
)
(
)
7
(
=
−
=
−
=
∅
=
≥
F
P
X
P
Zmienna losowa typu ciągłego
Zmienna losowa typu skokowego moŜe być stosowana tylko do charakteryzowania pewnych
wielkości losowych, przyjmujących przeliczalną liczbę wartości. Mogą to być np.:
- liczby uszkodzeń badanych elementów czy urządzeń w pewnym określonym przedziale
czasu,
- liczby sztuk wadliwych w badanej próbie,
- liczby cząstek rejestrowanych przez licznik itp.
W przyrodzie i technice występuje jednak wiele zjawisk, do których opisu nieodzowne jest wprowadzenie
zmiennej, mogącej przyjmować dowolną wartość z jednego lub kilku przedziałów, a więc zmiennej, która
przyjmuje nieprzeliczalną liczbę wartości.
Wprowadzenie takiej zmiennej losowej jest konieczne np. przy:
- badaniu błędów obróbki,
- błędów pomiarów,
- szumów w odbiornikach telekomunikacyjnych,
- współrzędnych molekuł gazu umieszczonych w naczyniu itp.
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X o dystrybuancie F jest typu ciągłego, jeśli istnieje taka funkcja
0
)
(
≥
u
f
,
Ŝe:
∧
ℜ
∈
1
x
zachodzi:
∫
∞
−
=
x
du
u
f
x
F
)
(
)
(
oraz:
∫
∞
∞
−
=
1
)
(
dx
x
f
Funkcję f(u) nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub w skrócie gęstością.
W analizie matematycznej taką funkcję F, która dla kaŜdego x moŜe być przedstawiona w postaci:
∫
∞
−
+
=
x
C
u
f
x
F
)
(
)
(
gdzie: f – funkcja całkowalna, C – pewna stała,
nazywamy funkcją bezwzględnie ciągłą, to zmienną losową X nazywamy funkcją typu ciągłego.
W punktach, w których funkcja f( ) jest ciągła, zaleŜność:
∫
∞
−
=
x
du
u
f
x
F
)
(
)
(
moŜemy zróŜniczkować stronami względem x i wówczas otrzymamy:
)
(
)
(
'
x
f
x
F
=
W punktach, w których funkcja f( ) jest ciągła, pochodna dystrybuanty równa się gęstości
prawdopodobieństwa.
Przykład:
0
x
1
F(x)
punkt
nieciągłości
Y=x
n
0
x
f(x)
punkt
nieciągłości
nx
n-1
Nie kaŜda funkcja moŜe być przyjęta za funkcję gęstości prawdopodobieństwa, ale tylko taka, dla której
zachodzi:
0
)
(
≥
x
f
oraz
∫
∞
∞
−
=
1
)
(
dx
x
f
Prawdziwe jest równieŜ stwierdzenie odwrotne:
KaŜda funkcja gęstości prawdopodobieństwa
0
)
(
≥
x
f
, nieujemna i spełniająca warunek:
∫
∞
∞
−
=
∞
=
1
)
(
)
(
F
dx
x
f
,
wyznacza za pomocą wzoru:
∫
∞
−
=
x
du
u
f
x
F
)
(
)
(
pewną dystrybuantę, a tym samym i rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej.
Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennej losowej typu ciągłego
1. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna losowa X znajdzie się w przedziale [ a, b ), stosujemy
wzór:
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
−
=
=
−
=
<
≤
b
a
b
a
a
F
b
F
du
u
f
du
u
f
du
u
f
b
X
a
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
f(x)
-
=
f(x)
f(x)
x
x
x
b
b
b
a
a
a
2. Prawdopodobieństwo tego, Ŝe zmienna losowa ciągła X przyjmie dokładnie wartość a (gdzie a jest
dowolną stałą) jest równe zeru:
0
)
(
)
(
)
(
lim
=
∫
→
=
=
=
≤
≤
a
a
a
b
a
X
P
dx
x
f
b
X
a
P
Nie oznacza to, Ŝe zdarzenie x = a jest niemoŜliwe, jest tylko bardzo mało prawdopodobne, ponadto,
prawdopodobieństwo tego, Ŝe zmienna losowa X przyjmie wartość inną niŜ x = a jest równe jedności,
co nie świadczy o tym, Ŝe jest ono pewne, jest tylko wysoce prawdopodobne.
Zadania
1. Niech doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie monetą. Określić przestrzeń zdarzeń
elementarnych, zmienną losową, jej rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę.
2. Określić rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej określonej na doświadczeniu
losowym: w rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek lub nieparzysta liczba oczek.
3. Określić rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej określonej na doświadczeniu
losowym: w rzucie kostką wypadła liczba oczek większa od 2 lub co najwyŜej 2.
4. Określić rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej określonej jako: suma oczek
na dwóch kostkach przy niezaleŜnych rzutach.
5. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X typu skokowego:
∞
≤
<
≤
<
≤
<
≤
<
≤
=
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
10
1
10
5
7
6
,
5
2
7
3
,
2
1
7
1
,
1
0
)
(
Określić rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej oraz obliczyć prawdopodobieństwa:
)
8
5
(
<
≤
X
P
oraz
)
8
5
(
≤
≤
X
P
.
6. Funkcja
∞
≤
<
≤
<
≤
<
−
−
≤
<
−
−
≤
=
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
3
1
3
1
7
,
0
,
1
1
3
,
0
,
1
3
1
,
0
,
3
0
)
(
jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X.
Obliczyć prawdopodobieństwa:
a)
),
1
(
=
X
P
b)
)
1
1
(
<
≤
−
X
P
,
c)
)
1
1
(
≤
≤
−
X
P
.
7. W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana
10 zł, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1 zł, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2
zł (wygrywamy –2 zł). ZałóŜmy, Ŝe wyciągnięcie kaŜdego z losów jest jednakowo prawdopodobne.
Określić zmienną losową oraz jej rozkład prawdopodobieństwa.
8. Określić stałą A tak, aby tabela przedstawiała rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej
losowej X :
i
x
0 1 3 6
i
p
3
1
A
3
1
6
1
Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.
9. Wyznaczyć stałą A tak, aby funkcja przedstawiona na rysunku była rozkładem równomiernym.
Określić dystrybuantę tego rozkładu.
A
f(x)
x
a
b
10. Sprawdzić, czy funkcja określona następująco:
≥
<
=
−
,
0
,
0
0
)
(
x
dla
e
x
dla
x
f
x
a) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej,
b) jeśli jest, to obliczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej,
c) obliczyć prawdopodobieństwa:
2
/
1
(
<
X
P
oraz
)
2
1
(
<
≤
X
P
.
11. Wyznaczyć dystrybuantę rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
≥
<
=
−
,
0
2
,
0
0
)
(
2
x
dla
e
x
dla
x
f
x
12. Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja:
≥
<
=
−
,
0
,
0
0
)
(
3
x
dla
Ae
x
dla
x
f
x
była funkcją gęstości prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć
prawdopodobieństwo:
)
1
(
>
X
P
.
13. Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja f(x) była funkcją gęstości prawdopodobieństwa rozkładu
Couchy’ego:
2
1
)
(
x
A
x
f
+
=
. Wyznaczyć dystrybuantę.
14. Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja f(x) była funkcją gęstości prawdopodobieństwa rozkładu
arcus sinusa:
∞
<
≤
<
<
−
−
≤
<
∞
−
=
x
x
x
A
x
x
f
1
0
1
1
1
1
0
)
(
2
Wyznaczyć dystrybuantę.