ArtMiedz

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś

Wydział Zarządzania, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków, e-mail: augustyn@zarz.agh.edu.pl

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania
matematycznego cen miedzi na LME

Słowa kluczowe:

finansowe szeregi czasowe, ceny miedzi na giełdzie LME, analizy zmienności korelacji
szeregów czasowych

Streszczenie

Zbadano  stacjonarność  korelacji  cen  miedzi  na  Londyńskiej  Giełdzie  Metali  LME,  z
wiodącymi  wskaźnikami  koniunktury  światowej  w  okresie  ostatnich  15  lat.  Wykazano,  Ŝe
miarodajna  estymacja  parametrów  statystycznych  tych  szeregów  wymaga  danych  za  okres
60 miesięcy.  Stwierdzono  bardzo  znaczące  zmiany  tych  parametrów  w  minionej  dekadzie.
Niemniej,  wyniki  analizy  sugerują  ich  umiarkowaną  stacjonarność  w  czasie  ostatnich  dwóch
lat,  co  daje  obiecujące  moŜliwości  predykcji  cen  miedzi  z  wyprzedzeniem  6-12  miesięcy,
z wykorzystaniem zaleŜności regresyjnych.

1. Wprowadzenie

Zapotrzebowanie na miedź na rynkach światowych utrzymuje się ciągle na wysokim

poziomie  ze  względu  na  jej  istotną  rolę  w  budownictwie  i  przemyśle  elektrotechnicznym.
W ostatnich dwu latach, po okresie silnej dekoniunktury na światowym rynku miedzi, obserwuje
się ciągły wzrost cen tego metalu, podobny do tendencji cenowych produktów ropopochodnych.
Powstaje  pytanie,  czy  tendencja  ta  ma  charakter  długookresowy,  czy  teŜ  jest  przejawem
cykliczności  koniunktury  światowej  (Augustynek,  Duda-Kękuś  2005a),  (Watson  1994).
Odpowiedź na to pytanie ma waŜne znaczenie dla polskiej gospodarki, gdyŜ na liście światowych
eksporterów miedzi znajdujemy się na wysokiej ósmej pozycji (Copper 2004). Efektywność tego
eksportu zaleŜy w znacznej mierze od umiejętności przewidywania cen na rynkach światowych z
duŜym wyprzedzeniem, do kilku miesięcy. Światowe ceny miedzi kształtują się na Londyńskiej
Giełdzie Metali (ang.  London Metal Exchange,  LME) oraz  na Giełdzie Towarowej COMEX  w
Nowym  Jorku.  Notowania  LME,  najbardziej  istotne  dla  Europy,  faktycznie  spełniają  rolę  cen
światowych dla miedzi rafinowanej oraz dla rud i koncentratów, które są głównym przedmiotem
zainteresowania  polskich  eksporterów.  Na  bazie  cen  miedzi  na  LME  zawiera  się  ok.  70%
światowych  kontraktów.  Uwarunkowania  i  mechanizmy  kształtowania  cen  LME  omówiono  w
monografii  (Szeląg  2003),  a  takŜe  w  artykule  (Augustynek  i  in.  2003).  Sprzyjają  one  redukcji
zmienności  cen,  co  daje  podstawy  do  przypuszczenia,  Ŝe  szeregi  cen  miedzi  mogą  być
efektywnie  przetwarzane  przy  pomocy  formuł  teorii  procesów  stochastycznych.  Warto
nadmienić, Ŝe notowania dzienne LME są jawne i łatwo dostępne poprzez Internet.

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

Problematyka ta była przedmiotem zainteresowania autorów od szeregu lat [Augustynek i

in. 2003a, Augustynek 1984, Augustynek 1984a, Augustynek i in. 2003b], głównie pod kątem
ocen  skuteczności  formalnych  metod  statystycznych  [Box,  Jenkins  1983].  W  artykule
[Augustynek  i  in.  2003a]  porównano  efektywność  wykorzystania  modeli  ARIMA  [Box,
Jenkins 1983] (ang. autoregresive-integrated-moving average) oraz oryginalnej metody opartej
na adaptacyjnym predyktorze Holta [Holt 1957] do prognozowania  krótkoterminowego (do 7
sesji).  Przeprowadzona  analiza  wykazała,  Ŝe  szeregi  cen  miedzi  są  bardzo  zbliŜone  do  ciągu
sumowanych,  niezaleŜnych  liczb  losowych.  Dla  takich  sygnałów,  formalnie  optymalnym
predyktorem  jest  podtrzymanie  zerowego  rzędu  (ang.  zero-order-hold  -  ZOH),  a  więc
prognoza trywialna. Próby zastosowania  modelu  ARMA dla przyrostów tych ciągów okazały
się  zasadne,  ale  redukowały  dyspersję  błędu  ZOH  mniej  niŜ  o  5%.  Predyktor  Holta
[Augustynek  i  in.  2003a,  Augustynek  1984a]  dostosowany  do  predykcji  szeregów
niestacjonarnych, okazał się nieprzydatny. Ze względu na specyfikę transakcji dokonywanych
na  giełdach  metali  [Szeląg  2003],  szczególnie  istotne  jest  prognozowanie  z  wyprzedzeniem
kilkumiesięcznym.  W  pracy  [Augustynek  i  in.  2003b]  pokazano,  Ŝe  efektywne  prognozy
miesięczne moŜna uzyskać poprzez uzupełnienie formuły ARMA dodatkowymi zaleŜnościami
regresyjnymi,  uwzględniającymi  powiązania  cen  miedzi  z  innymi  szeregami  czasowymi.  Dla
okresu  panującej  wówczas  głębokiej  dekoniunktury  stwierdzono  bardzo  istotną  zaleŜność
średniomiesięcznych cen miedzi od stanu zapasów miedzi na autoryzowanych składach LME.
W  powiązaniu  z  modelem  AR  pozwoliła  ona  poprawić  prognozy  miesięczne  na  rok  2003  o
około 25% w stosunku prognoz ZOH. Późniejsze badania ujawniły jednak bardzo szybki zanik
tej zaleŜności w miarę poprawy sytuacji na rynku miedzi, co zainspirowało podjęcie szerszych
analiz  stacjonarności  powiązań  statystycznych  cen  miedzi  ze  wskaźnikami  koniunktury
światowej. Niniejszy artykuł omawia niektóre wyniki tych analiz.

Badaniom poddano szesnastoletnie szeregi czasowe dziennych notowań giełdowych cen

bieŜących  miedzi  (LMECash),  zapasów  miedzi  na  LME  (LMEStock)  i  dla  porównania  –
dwóch miarodajnych wskaźników światowej koniunktury gospodarczej, tj. wskaźnika SP500 i
cen  produktów  ropopochodnych  WTI.  Wykazano,  Ŝe  w  minionej  dekadzie  właściwości
statystyczne  6.miesięcznych  i  1.rocznych  logarytmicznych  przyrostów  tych  szeregów  były
bardzo zmienne, niemniej w okresie ostatnich dwóch lat stały się w miarę stacjonarne. Stwarza
to  moŜliwości  efektywnego  prognozowania  cen  miedzi  z  wyprzedzeniem  ponad
6.miesięcznym.

2. Dane i metodyka badań

W pracach [Augustynek i in. 2003b, Duda, Augustynek 2005] wykazano, Ŝe najbardziej

efektywne modele do prognozowania średniookresowego szeregów danych giełdowych uzyskuje
się  przez  identyfikację  zaleŜności  stochastycznych  wiąŜących  bezpośrednio  przyrosty  szeregów
w  przedziałach  czasu  równych  horyzontowi  predykcji,  z  opóźnieniem  nie  mniejszym  niŜ  ten
horyzont.  W  analizach  ekonometrycznych  wykorzystuje  się  zwykle  przyrosty  logarytmiczne
[Augustynek  i  in.  2003a,  Augustynek  1984a,  Augustynek,  Duda-Kękuś  2005]  i takie  były
przedmiotem  prezentowanych  badań.  Analizom  poddano  przyrosty  6.  i  12  miesięczne,  których
prognozowanie ma istotne znaczenia dla typowych transakcji terminowych [Szeląg 2003].

Wykorzystane w badaniach szeregi i ich analizowane przyrosty logarytmiczne pokazano na

rysunku 1. Jak widać, dla szeregów SP500, WTI oraz zapasów miedzi (LMEStock) obserwuje

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

się znaczącą zmianę zakresu wahań w ostatnim dziesięcioleciu, podczas gdy wahania ceny
miedzi zachowują długookresową regularność w całym analizowanym okresie 16 lat.

Rys.1. Wybrane szeregi czasowe i ich przyrosty logarytmiczne (unormowane wartością maksymalną).
Przerywane linie pionowe oznaczają początki kwartałów i lat (pogrubione). Dwie ciągłe linie pionowe
pokazują atak terrorystyczny na WTC (11/09/2001) i początek wojny w Iraku (22/03/2003).

Stock market indices and petrol products prices used in calculations. The values in each series are related

to their maximal value. Vertical lines – three months and 1 year (bold) intervals.

Efektywność prognozowania pewnego szeregu Y

={y

, .. y

} moŜna ocenić formalnie badając

przebiegi czasowe współczynników jego autokorelacji i korelacji z innymi szeregami
X

={x

, x

M-d

} opóźnionymi o liczbę d próbek, taką jak wymagany horyzont predykcji.

RozwaŜmy szeregi Y

i X

Nmd

w ruchomym oknie zawierającym N próbek (Y

Nm=

m-N+d+1

, .. y

Nmd=

m-N+1

, .. y

m-d

}) z moŜliwością wystąpienia brakujących danych. Przebiegi kowariancji K

yx Nmd

i korelacji R

yx Nmd

oblicza się według następujących wzorów:

;

Nmd

−

⋅

−

∑

xNm

yxNmd

Nmd

−

, dla m=N, …, M (1)

∑

−

;

∑

−

;

∑

−

)

(

;

∑

−

)

(

(2)

gdzie s

x Nm-d

, s

y Nm

−

oznaczają bieŜące wartości dyspersji i średniej X

Nmd

oraz Y

={0, 1} jest zmienną binarną: p

=1 jeśli zarówno y

and x

n-d

są dostępne, a p

=0 w

przeciwnym przypadku, N

jest sumą p

dla wszystkich N próbek (licznością próby).

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

Współczynnik korelacji R

yx Nmd

jest bezpośrednio związany z najprostszą, jednoczynnikową

liniową funkcją regresji, wiąŜącą odchyłki

)

(

−

)

(

−

w sposób minimalizujący

sumę kwadratów błędów

dla n=m-N+d+1, …, m, co moŜna zapisać w postaci:

Nmd

−

⋅

−

)

(

xNm

yxNmd

Nmd

xNm

yNm

def

Nmd

−

⋅

(3)

W przypadku, gdy opóźnienie d jest równe wyprzedzeniu prognozy, równanie (3) stanowi

najprostszy model 1.rzedu typu ARI lub ARIX [Augustynek 1984a]. Niech s

eNmd

oznacza

dyspersję reszt e

modelu (3) w rozwaŜanym oknie (przedziale obserwacji). MoŜna wykazać,

Ŝe

Nmd

yNm

eNmd

−

(4)

Zakładając, Ŝe model (3) spełnia formalne załoŜenia Gaussa-Markova [Duda, Augustynek

2005], a właściwości statystyczne szeregów pozostaną stałe do chwili n+d, wzór (4) moŜna
wykorzystać do oszacowania efektywności s

eNmd

yNm

formuły predykcyjnej o postaci:

yxNd

−

)

(

(5)

gdzie

jest średnią odcinaka szeregu Y

Nm+d

, którą moŜna prognozować oddzielnie [Duda,

Augustynek 2005]. Dane w Tabeli 1 pokazują, Ŝe R

yxNmd

<0.20 oznacza praktycznie brak korelacji.

Tabela 1. Maksymalna efektywność predykcji odpowiadająca róŜnym wartościom współczynnika R

yxNmd

Ze względu na czynniki losowe, przydatność estymaty R

yxNmd

dla praktycznych zastosowań

określa poziom jej istotności statystycznej, który moŜna określić relacją:

yxNmd

gdzie

∗

(7)

a t

jest wartością progową statystyki Studenta dla testowania hipotezy E{a

yxNmd

}=0 (Box

1983, Duda, Augustynek 2005).

Kluczowym problemem estymacji parametrów formuły prognostycznej (3) jest dobór

szerokości okna N. Podstawowym kryterium jest uzyskanie we wzorze (7) poziomu
istotności R

niŜszego niŜ minimum przyjętego poziomu korelacji wg wzoru (4) (Tabela I).

JednakŜe, liczne prace [Watson 1994] sygnalizują, Ŝe światowe szeregi finansowe

zawierają  istotne  składowe  periodyczne.  Z  naszych  analiz  wynika,  Ŝe  w  ostatniej  dekadzie
cykle  te  mają  okres  około  pięciu  lat  [Augustynek,  Duda-Kękuś  2005a].  W  pracy  [Duda,
Augustynek  2005]  pokazaliśmy,  Ŝe  ze  względu  na  formalne  właściwości  takich  szeregów
estymacja  dyspersji  i  funkcji  korelacji  winna  być  prowadzona  w  oknie  obejmującym  próbki
z 5.lat.  Jest  oczywiste,  Ŝe  takie  uśrednianie  powoduje  utratę  informacji  o  istotnych  zmianach
właściwości szeregów w okresie do 1 roku, które mogą mieć znaczący wpływ na efektywność
predykcji  z  wyprzedzeniem  kilkumiesięcznym.  Niemniej,  stałość  wartości  R

yxNmd

, s

yNm

i s

xNm

obliczonych w ruchomym oknie o takiej szerokości daje podstawy do wnioskowania o
przydatności predyktora (5) dla prognoz kilkumiesięcznych.

yxNmd

0.0 0.100 0.200 0.250 0.300 0.500 0.707 0.866 0.900 0.950

eNmd

yNm

1.0 0.995 0.980 0.968 0.954 0.866 0.707 0.500 0.436 0.312

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

Analiza korelacji szeregów czasowych wymaga przypisania danych konkretnym chwilom

czasu  (zwykle  ze  stałym  rozstępem).  W  związku  z  tym,  istotnym  problemem  w  badaniach
szeregów  finansowych  jest  brak  notowań  w  dniach  weekendowych,  świątecznych,  a  takŜe  w
stosunkowo  częste  losowe  przerwy  w  pracy  giełd.  Problem  brakujących  danych  moŜna
rozwiązać  poprzez  usunięcie  dni  weekendowych,  i  uzupełnienie  pozostałych  braków  metodą
interpolacji  liniowej.  Uspójnione  w  ten  sposób  szeregi  moŜna  dalej  przetwarzać
z wykorzystaniem  standartowych  procedur  numerycznych,  ale  –  jak  wykazano  w  pracy
[Augustynek, Duda-Kękuś 2005] - interpolacja ma wpływ na wyniki analiz korelacyjnych. W
związku  z  tym  w  omawianych  badaniach  zastosowano  bardziej  odpowiednie  podejście,  w
którym przetwarza się tylko faktycznie zarejestrowane dane, z uwzględnieniem ich pozycji na
faktycznej  osi  czasu.  W  tym  celu  stworzono  szeregi  zawierające  rekordy  odpowiadające
wszystkim dniom  w badanym okresie, przy czym  na pozycjach brakujących danych (równieŜ
weekendowych) wpisano charakterystyczną, nierealnie ujemną wartość (BRAK). Wymagało to
opracowania  dedykowanych  procedur  przetwarzania  szeregów,  które  we  wzorach  (1)  i  (2)
pomijają składniki odpowiadające brakom (opcja p

=0). Przyjęto, Ŝe przy liczeniu przyrostów

∆y

−

n-d

na pozycji n wstawiana jest wartość BRAK, jeśli y

=BRAK. W przypadku, gdy

−

=BRAK przyjęto alternatywnie: ∆y

=BRAK lub ∆y

= y

-y

n-δ

, gdzie n-δ

≤

n-d jest pierwszą

pozycją, na której występuje zarejestrowana dana (liczy się zatem przyrosty pomiędzy
notowaniami odległymi co najmniej o d próbek). Analogicznie obliczone są równieŜ wartości
średnie danych w przedziale o długości d.

W analizach danych giełdowych istotną rolę odgrywają miesięczne rozstępy czasu. (okresy

kontraktowania są najczęściej wyraŜane w miesiącach). Do takich analiz zastosowano specjalne
procedury  wydzielające  przedziały  miesięczne  (z  uwzględnieniem  zmiennej  liczby  dni  w  tym
okresie).  Opracowany  przez  nasz  zespół  pakiet  pracuje  w  środowisku  MATLAB  i zawiera
ponadto  szereg  procedur  ułatwiających  wydzielanie  okresów  analizy  wg  daty,  prezentację
graficzną  danych  spójnych  i  niespójnych  na  osi  czasu  i  integrację  (synchronizację)  szeregów
pozyskanych z róŜnych źródeł. PosłuŜył on do wykonania prezentowanych tu wykresów.

3. Omówienie wyników badań

Przedmiotem analiz były zmiany średnich, dyspersji i współczynników korelacji

logarytmicznych  przyrostów  6.  i  12.  miesięcznych,  obliczane  w  oknie  5.letnim  dla  szeregów
LMECash,  LMEStock,  SP500  i  WTI.  Przebiegi  czasowe  tych  wielkości  w  okresie  10  lat
(z 15.letnich  ciągów  danych)  przedstawiają  rysunki  2–6.  Dla  porównania  pokazano  równieŜ
efekty  zastosowania  okna  o  szerokości  1. roku.  Jak  widać  na  tych  rysunkach,  estymaty
jednoroczne są bardzo zmienne i ewidentnie cykliczne, o wahaniach znacznie wykraczających
poza przedział ufności. Ceny  miedzi zachowują się przy tym podobnie, jak notowania SP500
i WTI.  Wskazuje  to  na  obecność  istotnych  cykli  5.letnich  zmian  cen  miedzi  LME.  Istnienie
takich  cyklicznych  wahań  notowań  SP500  i  WTI  stwierdziliśmy  w  naszych  pracach  [Duda,
Augustynek 2005] i [Augustynek, Duda-Kękuś 2005a]. Powodują one przede wszystkim duŜą
zmienność  momentów  2.  rzędu  (dyspersji  –  patrz  rys.2  i 3  oraz  korelacji  –  patrz  rys.  4  i  5),
obliczanych  w  oknie  rocznym,  a  więc  znacznie  krótszym  niŜ  okres  podstawowy  cyklu.
W efekcie,  model  (3)  identyfikowany  w  rocznym  przedziale  danych  nie  moŜe  być  podstawą
wiarygodnego  prognozowania  wg  wzoru  (5)  z  wyprzedzeniem  większym  niŜ  1.miesiąc,
a nawet  znacznie  krótszym.  Miarodajnych  podstaw  do  prognozowania  dostarczają  dopiero

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

Jak widać na rysunku 4, korelacja przyrostów 6. miesięcznych ze stanem zapasów

(opóźnionym o 6 miesięcy) była bardzo wysoka od początku roku 1999 do końca 2003
(R

yxNmd

≈

0.6). Było to prawdopodobnie spowodowane polityką giełdy LME w okresie głębokiej

dekoniunktury  na  rynku  miedzi,  zmierzającą  do  wyjścia  z  niekorzystnej  sytuacji.  Podobnie
wysoką  korelację,  ale  w  dłuŜszym  okresie  wykazywały  teŜ  przyrosty  roczne  (rysunek  5).
W obu przypadkach, od roku 2004 następuje gwałtowny zanik tej współzaleŜności do wartości
nieistotnych  w  chwili  obecnej.  Znamienne  jest,  Ŝe  w  tym  samym  okresie  czasu  korelacja
6.miesięcznych  przyrostów  LMECash  ze  wskaźnikiem  SP500  zwiększa  się  stopniowo  od
poziomu  nieistotności  w  roku  2003  do  wartości  około  0.5.  Warto  teŜ  zauwaŜyć,  Ŝe  korelacja
wskaźnika SP500 z opóźnioną ceną miedzi jest znacznie niŜsza. Sugeruje to, Ŝe po wyjściu z
okresu  dekoniunktury,  rynek  miedziowy  staje  się  istotnie  zaleŜny  od  globalnej  sytuacji
gospodarczej, z opóźnieniem około 6.miesięcznym.

Korelacje przyrostów rocznych z opóźnieniem rocznym mają podobne tendencje, ale w roku

2005 nie wychodzą poza przedział istotności merytorycznej (R

yxNmd

≈

0.2, patrz Tabela I)

Rys.5. Współczynniki korelacji 1.rocznych logarytmicznych przyrostów względnych opóźnionych

o 1 rok, obliczane w oknach o szerokości 1.roku i 5.lat. Linie poziome – granice istotności.

Rolling cross-correlations of 12.months log returns delayed by 12.months. Horizontal lines–significance bounds

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

Rysunek 6 przedstawia korelacje przyrostów 6.miesięcznych z opóźnieniem 9.miesięcznym.

Dla  takich  opóźnień  w  roku  2003  stwierdziliśmy  [Augustynek  i  in.  2003b]  najistotniejsze
powiązania  miesięcznych  cen  miedzi  ze  stanem  zapasów.  Widać  jednak,  Ŝe  korelacje
przyrostów 6.miesięcznych są tu słabsze niŜ dla opóźnień  6.miesięcznych, przy czym  w roku
2005 są nieistotne.

Rys.6. Współczynniki korelacji 6 i 9.miesięcznych logarytmicznych przyrostów względnych

opóźnionych o 9 miesięcy, obliczane w oknie 5.letnim

Rolling cross-correlations of 6 months log returns delayd by 9.months in 5.years months.

4. Podsumowanie

Przeprowadzone badania wykazują znaczne wahania parametrów statystycznych notowań

cen  miedzi  na  giełdzie  LME  w  ostatnich  15  latach.  Szczególnie  istotne  zmiany  nastąpiły  po
ataku  na  WTC  i  rozpoczęciu  wojny  w  Iraku.  Niemniej  w  ostatnim  roku  obserwuje  się
względną stacjonarność tych parametrów, co daje podstawy do oceny efektywności prognoz z
wyprzedzeniem kilkumiesięcznym.

W okresach dekoniunktury na rynku miedzi ceny te były silnie skorelowane ze stanem

autoryzowanych  zapasów  giełdy.  W  miarę  poprawy  sytuacji  korelacja  ta  ulegała  zanikowi,  z
równoczesnym  wzrostem  zaleŜności  od  wskaźników  światowej  koniunktury  gospodarczej
(reprezentowanej w naszych badaniach wskaźnikiem SP500).

W ostatnim roku korelacje przyrostów rocznych badanych szeregów są w ostatnim roku

nieistotne  statystycznie,  co  oznacza  brak  moŜliwości  ich  prognozowania.  Niemniej,
6.miesięczne przyrosty cen LME wykazują istotną i w miarę stałą korelację z SP500 oraz nieco
słabszą,  ale  istotną    z cenami  produktów  ropopochodnych  (reprezentowanych  notowaniami
WTI).  Daje  to  obiecujące  perspektywy  uzyskania  wiarygodnych  prognoz  z  wyprzedzeniem
6.miesięcznym  o  efektywności  s

eNmd

yNm

rzędu 0.76. Nieco gorszych, ale równieŜ wiarygod-

nych prognoz moŜna oczekiwać dla wyprzedzenia 9.miesięcznego.

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

Literatura

[1]. Augustynek A. Duda J.T., Waszkielewicz W. (2003): Mechanizmy kształtowania cen miedzi na

Londyńskiej Giełdzie Metali LME. „VI Międzynarodowa Konferencja Naukowa Ekonomia,
Informatyka, Zarządzanie. Teoria i praktyka”, AGH, Kraków. 2003

[2]. Augustynek A. Klemiato M, Duda J.T. (2003a): Matematyczne prognozowanie cen miedzi na giełdzie

LME. XV Sympozjum n.t.”Zastosowania teorii systemów”, Zakopane, październik 2003.

[3]. Augustynek A. (1984): Prognozirowanije cen miedi na osnowie adaptiwnych mietodow. W

„Naucznyje trudy: Modelirowanie ekonomiczeskich processow”. Moskwa MESI 1984.

[4]. Augustynek A. (1984a): Kratkosrocznoje prognozirowanie cen na mirowych rynkach syriewych

towarow. Praca doktorska, Moskiewski Instytut Ekonomiki Statystyki i Informatyki, Moskwa, 1984

[5]. Augustynek A. Duda J.T., Waszkielewicz W. (2003b): Wykorzystanie technik regresyjnych do

prognozowania cen miedzi na LME. „VI Międzynarodowa Konferencja Naukowa Ekonomia,
Informatyka, Zarządzanie. Teoria i praktyka”, AGH, Kraków, listopad 2003r.

[6]. Box, G. E. P., Jenkins, G. M. (1983): Analiza szeregów czasowych, WNT, Warszawa 1983.
[7]. Copper Quarterly Industry and Market Outlook, 2003 rok.
[8]. Duda J.T., Augustynek A. (2005): A Study of Cross-correlation Nonstationarity of World Economy

Indices and Energy Pricess. [In:] Information Systems and Computational Methods in Management
AGH-UST University Press. Kraków 2005

[9]. Augustynek A. Duda-Kękuś A.(2005): Analysis of word energy prices and stock indices (in Polish)

Application of System Theory. AGH-UST University Press, Series Monographs. Kraków 2005, No.3,
pp 7-18.

[10]. Augustynek A., Duda-Kękuś A. (2005a): Evaluation of Periodic Cycles in World Economy Indices

by Fourier Spectra Analysis. [In:] Information Systems and Computational Methods in Management,
Kraków 2005, pp. 151-161

[11]. Holt, C. C. (1957): Forecasting Trends and Seasonals by Exponentially Weighted Moving Averages,

Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh, Pennsylvania, 1957.

[12]. Szeląg T. (2003): Hedging w teorii i praktyce. Przykład światowego rynku miedzi. Wydawnictwo

Przecinek, Wrocław 2003.

[13]. Watson M.W. (1994): Business-Cycle Durations and Postwar Stabilization of the U.S. Economy.

American Economic Review 1994, 84, pp. 24-46.

Formal Evaluation of medium-horizon prediction of lme cooper prices

Keywords:

financial time series prediction, LME cooper prices, rolling correlations of time series

Summary:

Rolling correlations of LME cooper prices with selected World Economy indices during

last 15 years are studied. It was shown that estimation of the series statistical parameters needs
the  observation  window  of  60  months  width.  Very  significant  changes  of  these  parameters
during  the  last  decade  were  revealed.  Nevertheless,  the  study  suggests  moderately  stationary
properties  of  the  series  in  latest  two  years.  It  gives  promising  perspectives  for  reliable
prediction of LME cooper prices at 6-12 months ahead, by employing regression techniques.

Przekazano: 30 października 2005 r.(italic, 10 pkt.)