RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

– PROBLEM BRZEGOWY

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

Budownictwo, studia I stopnia, semestr III

Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Ewa Pabisek

Adam Wosatko

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Równania różniczkowe zwyczajne

Równanie o postaci ogólnej:

F ( x , y , y

0

, y

00

, . . . , y

n

) = 0,

y

(k)

≡

d

k

y (x )

d x

k

, k = 1, 1, 2, . . . , n,

w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej nieza-

leżnej y (x ) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne y

(k)

(x ), 0 < k ¬ n

nazywamy

równaniem różniczkowym zwyczajnym

rzędu

n

.

Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań:

F

1

( x , y , y

0

, y

00

, . . . , y

n

) = 0,

F

2

( x , y , y

0

, y

00

, . . . , y

n

) = 0,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

F

n

( x , y , y

0

, y

00

, . . . , y

n

) = 0.

Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska i pro-
cesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności występują
tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:

problem początkowy

,

problem brzegowy

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Metody rozwiązywania zagadnienia brzegowego

Zajmiemy się poszukiwaniem takich funkcji y (x ),

które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego,

funkcji określonych na przedziale (a, b)

i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a
inne – punktu b.

W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować:

metodę strzału – problem brzegowy zastępujęmy problemem
początkowym wraz z odpowiednią zamianą warunku brzegowego na
warunek początkowy i funkcję uwzględniającą ustaloną wartość
brzegową,

metodę różnic skończonych

, zwaną także metodą

różnicową

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Metoda różnicowa

Bardzo prosta matematycznie, od dawna znana metoda.

Zasadą tej metody jest obliczanie przybliżeń pochodnych za pomocą
tzw.

wzorów różnicowych

.

Posługujemy się skończonym zbiorem węzłów siatki różnicowej
zamiast obszarem (jedno- lub dwuwymiarowym).

Rozwiązaniem problemu będzie zbiór dyskretnych wartości
węzłowych poszukiwanej funkcji, a nie jej reprezentacja w postaci
funkcji ciągłej, zdefiniowanej w całym obszarze.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Centralne wzory różnicowe

dla zagadnienia jednowymiarowego

i+2

i

4

5

6

7

1

2

3

i-2

i-1

i+1

i-2

i-1

i

i+1

i+2

1

2h

-1

0

1

1

h

2

1

1

-2

-1

2

0

-2

1

1

1

2h

3

1

-4

6

1

h

4

-4

1

f

I

f

II

f

III

f

IV

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego

Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu

Przykład:

Rozwiązać problem brzegowy:

y

00

(x ) +

1

4

y = 8,

y (0.0) = 0,

y (10.0) = 0.

Wyniki

Rozwiązanie ścisłe:

y (x ) = 32

h

cos(5)−1

sin(5)

sin(

x
2

) − cos(

x
2

) + 1

i

Rozwiązanie

nr

x

MRS

4

ścisłe

1

0.000

0.0000

0.0000

2

2.500

39.7408

44.5949

3

5.000

67.3866

71.9429

4

7.500

39.7408

44.5949

5

10.000

0.0000

0.0000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0

2

4

6

8

10

MRS

10

scisle

MRS

4

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Problem zginania belki

Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu

Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie
np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego
czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej.

d

4

v (x )

dx

4

=

p

y

(x )

EJ

.

Poszukiwaną ”pierwotną” funkcją jest funkcja ugięcia belki v (x ).

Funkcjami ”wtórnymi” będą: moment zginający M(x ) oraz siła
poprzeczna T (x ):

M(x ) = −EJ

d

2

v (x )

dx

2

,

T (x ) = −EJ

d

3

v (x )

dx

3

.

Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki
brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych
oraz brzegowych obciążeń.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Model obliczeniowy belki

Tworzenie równań różnicowych

Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki
opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu

centralnego ilorazu różnicowego

ma postać:

d

4

v (x )

dx

4

=

p

y

(x )

EJ

=⇒

v

i −2

− 4v

i −1

+ 6v

i

− 4v

i +1

+ v

i +2

h

4

=

p

y

i

EJ

v

i −2

− 4v

i −1

+ 6v

i

− 4v

i +1

+ v

i +2

= b

i

,

b

i

= h

4

·

p

y

i

EJ

Tworzy się układ równań, w którym należy uwzględnić jeszcze

warunki

brzegowe

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Warunki brzegowe w zapisie różnicowym

i

i+1

b)

c)

d)

i-1

a)

i-1

i

i+1

i-2

i-1

i

i+1

i+2

i-2

i-1

i

i+1

i+2

a)

Brzeg utwierdzony

:

v = 0 ,

dv
dx

= 0 ,

w zapisie różnicowym:

v

i

= 0

,

−v

i −1

+v

i +1

2h

= 0

.

b)

Brzeg przegubowo podparty

: v = 0 ,

M = −EJ

d

2

v

dx

2

= 0 ,

w zapisie różnicowym:

v

i

= 0

,

−EJ

v

i −1

−2v

i

+v

i +1

h

2

= 0

.

c)

Brzeg pionowo przesuwny

:

dv
dx

= 0 ,

T = −EJ

d

3

v

dx

3

= 0,

w zapisie różnicowym:

−v

i −1

+v

i +1

2h

= 0

,

−EJ

−v

i −2

+2v

i −1

−2v

i +1

+v

i +2

2h

3

= 0

.

d)

Brzeg swobodny

: M = −EJ

d

2

v

dx

2

= 0 ,

T = −EJ

d

3

v

dx

3

= 0 ,

w zapisie różnicowym:

−EJ

−v

i −1

−2v

i

+v

i +1

h

2

= 0

,

−EJ

−v

i −2

+2v

i −1

−2v

i +1

+v

i +2

2h

3

= 0

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY

Przykład belki wspornikowej

y, v

L

x

-1

3

4

5

6

0

1

2

x

0

p

y

x

L

Równanie różnicowe

musi być rozpisane dla punktów i = 1, 2, 3, 4:

1 · v

i −2

− 4 · v

i −1

+ 6 · v

i

− 4 · v

i +1

+ 1 · v

i +2

= b

gdzie

b = (h

4

p

y

)/(EJ)

Warunki brzegowe

:

dla

x = 0 :

v = 0

v

0

= 0

i = 0 :

1 · v

0

= 0

−1 · v

−1

+ 1 · v

1

= 0

dla

x = L :

M = 0

T = 0

i = 4 :

1 · v

3

− 2 · v

4

+ 1 · v

5

= 0

−1 · v

2

+ 2 · v

3

− 2 · v

5

+ 1 · v

6

= 0

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM BRZEGOWY