RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
– PROBLEM BRZEGOWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
F ( x , y , y
0
, y
00
, . . . , y
n
) = 0,
y
(k)
≡
d
k
y (x )
d x
k
, k = 1, 1, 2, . . . , n,
w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej nieza-
leżnej y (x ) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne y
(k)
(x ), 0 < k ¬ n
nazywamy
równaniem różniczkowym zwyczajnym
rzędu
n
.
Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań:
F
1
( x , y , y
0
, y
00
, . . . , y
n
) = 0,
F
2
( x , y , y
0
, y
00
, . . . , y
n
) = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
F
n
( x , y , y
0
, y
00
, . . . , y
n
) = 0.
Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska i pro-
cesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności występują
tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
problem początkowy
,
problem brzegowy
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Metody rozwiązywania zagadnienia brzegowego
Zajmiemy się poszukiwaniem takich funkcji y (x ),
które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego,
funkcji określonych na przedziale (a, b)
i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a
inne – punktu b.
W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować:
metodę strzału – problem brzegowy zastępujęmy problemem
początkowym wraz z odpowiednią zamianą warunku brzegowego na
warunek początkowy i funkcję uwzględniającą ustaloną wartość
brzegową,
metodę różnic skończonych
, zwaną także metodą
różnicową
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Metoda różnicowa
Bardzo prosta matematycznie, od dawna znana metoda.
Zasadą tej metody jest obliczanie przybliżeń pochodnych za pomocą
tzw.
wzorów różnicowych
.
Posługujemy się skończonym zbiorem węzłów siatki różnicowej
zamiast obszarem (jedno- lub dwuwymiarowym).
Rozwiązaniem problemu będzie zbiór dyskretnych wartości
węzłowych poszukiwanej funkcji, a nie jej reprezentacja w postaci
funkcji ciągłej, zdefiniowanej w całym obszarze.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Centralne wzory różnicowe
dla zagadnienia jednowymiarowego
i+2
i
4
5
6
7
1
2
3
i-2
i-1
i+1
i-2
i-1
i
i+1
i+2
1
2h
-1
0
1
1
h
2
1
1
-2
-1
2
0
-2
1
1
1
2h
3
1
-4
6
1
h
4
-4
1
f
I
f
II
f
III
f
IV
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu
Przykład:
Rozwiązać problem brzegowy:
y
00
(x ) +
1
4
y = 8,
y (0.0) = 0,
y (10.0) = 0.
Wyniki
Rozwiązanie ścisłe:
y (x ) = 32
h
cos(5)−1
sin(5)
sin(
x
2
) − cos(
x
2
) + 1
i
Rozwiązanie
nr
x
MRS
4
ścisłe
1
0.000
0.0000
0.0000
2
2.500
39.7408
44.5949
3
5.000
67.3866
71.9429
4
7.500
39.7408
44.5949
5
10.000
0.0000
0.0000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
2
4
6
8
10
MRS
10
scisle
MRS
4
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Problem zginania belki
Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu
Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie
np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego
czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej.
d
4
v (x )
dx
4
=
p
y
(x )
EJ
.
Poszukiwaną ”pierwotną” funkcją jest funkcja ugięcia belki v (x ).
Funkcjami ”wtórnymi” będą: moment zginający M(x ) oraz siła
poprzeczna T (x ):
M(x ) = −EJ
d
2
v (x )
dx
2
,
T (x ) = −EJ
d
3
v (x )
dx
3
.
Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki
brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych
oraz brzegowych obciążeń.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Model obliczeniowy belki
Tworzenie równań różnicowych
Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki
opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu
centralnego ilorazu różnicowego
ma postać:
d
4
v (x )
dx
4
=
p
y
(x )
EJ
=⇒
v
i −2
− 4v
i −1
+ 6v
i
− 4v
i +1
+ v
i +2
h
4
=
p
y
i
EJ
v
i −2
− 4v
i −1
+ 6v
i
− 4v
i +1
+ v
i +2
= b
i
,
b
i
= h
4
·
p
y
i
EJ
Tworzy się układ równań, w którym należy uwzględnić jeszcze
warunki
brzegowe
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Warunki brzegowe w zapisie różnicowym
i
i+1
b)
c)
d)
i-1
a)
i-1
i
i+1
i-2
i-1
i
i+1
i+2
i-2
i-1
i
i+1
i+2
a)
Brzeg utwierdzony
:
v = 0 ,
dv
dx
= 0 ,
w zapisie różnicowym:
v
i
= 0
,
−v
i −1
+v
i +1
2h
= 0
.
b)
Brzeg przegubowo podparty
: v = 0 ,
M = −EJ
d
2
v
dx
2
= 0 ,
w zapisie różnicowym:
v
i
= 0
,
−EJ
v
i −1
−2v
i
+v
i +1
h
2
= 0
.
c)
Brzeg pionowo przesuwny
:
dv
dx
= 0 ,
T = −EJ
d
3
v
dx
3
= 0,
w zapisie różnicowym:
−v
i −1
+v
i +1
2h
= 0
,
−EJ
−v
i −2
+2v
i −1
−2v
i +1
+v
i +2
2h
3
= 0
.
d)
Brzeg swobodny
: M = −EJ
d
2
v
dx
2
= 0 ,
T = −EJ
d
3
v
dx
3
= 0 ,
w zapisie różnicowym:
−EJ
−v
i −1
−2v
i
+v
i +1
h
2
= 0
,
−EJ
−v
i −2
+2v
i −1
−2v
i +1
+v
i +2
2h
3
= 0
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Przykład belki wspornikowej
y, v
L
x
-1
3
4
5
6
0
1
2
x
0
p
y
x
L
Równanie różnicowe
musi być rozpisane dla punktów i = 1, 2, 3, 4:
1 · v
i −2
− 4 · v
i −1
+ 6 · v
i
− 4 · v
i +1
+ 1 · v
i +2
= b
gdzie
b = (h
4
p
y
)/(EJ)
Warunki brzegowe
:
dla
x = 0 :
v = 0
v
0
= 0
i = 0 :
1 · v
0
= 0
−1 · v
−1
+ 1 · v
1
= 0
dla
x = L :
M = 0
T = 0
i = 4 :
1 · v
3
− 2 · v
4
+ 1 · v
5
= 0
−1 · v
2
+ 2 · v
3
− 2 · v
5
+ 1 · v
6
= 0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE