Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 11
Szeregi liczbowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 11
Szeregi liczbowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 11.1:
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
n=1
1
3n + 1
• a
n
=
1
3n + 1
, n
0
= 1, więc f (x) =
1
3x + 1
, x 1
• f (x) 0 i nierosnąca (f
0
(x) = −
3
(3x + 1)
2
¬ 0) dla x 1
•
∞
Z
1
f (x)dx =
∞
Z
1
dx
3x + 1
rozbieżna do ∞ z kryterium ilorazowego, bo lim
x→∞
f (x)
1
x
=
1
3
= k > 0
i
∞
Z
1
dx
x
jest rozbieżna do ∞ (p = 1)
• Z kryterium całkowego badany szereg jest rozbieżny do ∞
(b)
∞
X
n=1
n
e
n
2
• a
n
=
n
e
n
2
, n
0
= 1, więc f (x) = xe
−x
2
, x 1
• f (x) 0 i nierosnąca (f
0
(x) = −(2x
2
− 1)e
−x
2
¬ 0) dla x 1
•
∞
Z
1
f (x)dx =
∞
Z
1
xe
−x
2
dx = lim
T →∞
T
Z
1
xe
−x
2
dx = lim
T →∞
−
e
−T
2
2
+
e
−1
2
!
=
e
−1
2
- całka zbieżna
• Z kryterium całkowego badany szereg jest zbieżny
Przykłady do zadania 11.2:
Korzystając z kryterium porównawczego lub ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
n=2
n + 1
n
2
− n
• a
n
=
n + 1
n
2
− n
, n
0
= 2
• hipoteza: szereg rozbieżny do ∞, bo a
n
jest bliskie
1
n
• 0 ¬ b
n
=
1
n
=
n
n
2
¬
n + 1
n
2
− n
= a
n
dla n 2
• szereg
∞
X
n=2
b
n
=
∞
X
n=2
1
n
jest rozbieżny do ∞ (p = 1)
• Wniosek: Z kryterium porównawczego badany szereg jest także rozbieżny do ∞.
2
(b)
∞
X
n=1
3
n
− 2
n
4
n
− 3
n
• a
n
=
3
n
− 2
n
4
n
− 3
n
, n
0
= 1
• a
n
0 dla n 1
• lim
n→∞
a
n
b
n
= lim
n→∞
3
4
n 1−(2/3)
n
1−(3/4)
n
3
4
n
= 1 = k > 0
• szereg
∞
X
n=1
b
n
=
∞
X
n=1
3
4
n
jest zbieżny (szereg geometryczny z ilorazem x =
3
4
, |x| < 1)
• Wniosek: Z kryterium ilorazowego badany szereg jest także zbieżny.
Przykłady do zadania 11.3:
Korzystając z kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
n=1
2
n
n
2
• a
n
=
2
n
n
2
, n
0
= 1
•
a
n+1
a
n
=
2
n+1
(n+1)
2
2
n
n
2
=
2 · 2
n
· n
2
2
n
(n + 1)
2
=
2
1 +
1
n
2
−→
2
(1 + 0)
2
= 2 = q
• q = 2 > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo a
n
> 0)
(b)
∞
X
n=1
(n!)
3
(2n)!
• a
n
=
(n!)
3
(2n)!
, n
0
= 1
•
a
n+1
a
n
=
((n+1)!)
3
(2(n+1))!
(n!)
3
(2n)!
=
(n!(n + 1))
3
· (2n)!
(2n)!(2n + 1)(2n + 2)(n!)
3
=
(n + 1)
2
2(2n + 1)
=
n
1 +
1
n
2
2
2 +
1
n
−→
−→
∞ · (1 + 0)
2
2(2 + 0)
= ∞ = q
• q = ∞ > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo a
n
> 0)
(c)
∞
X
n=2
ln n
π
n
• a
n
=
ln n
π
n
, n
0
= 2
•
a
n+1
a
n
=
ln(n + 1)
π
n+1
ln n
π
n
=
ln
n
1 +
1
n
π ln n
=
ln n + ln
1 +
1
n
π ln n
=
1
π
1 +
ln
1 +
1
n
ln n
−→
−→
1
π
1 +
0
∞
=
1
π
= q
• q =
1
π
< 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest zbieżny
3
(d)
∞
X
n=1
n
3
5
n
• a
n
= n
3
5
n
, n
0
= 1
•
n
q
|a
n
| =
n
s
n
3
5
n
=
3
5
·
n
√
n −→
3
5
· 1 =
3
5
= q
• q =
3
5
< 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny
(e)
∞
X
n=1
n + 2
n + 3
n
2
• a
n
=
n + 2
n + 3
n
2
, n
0
= 1
•
n
q
|a
n
| =
n
v
u
u
t
n + 2
n + 3
n
2
=
n + 2
n + 3
n
=
1 −
1
n + 3
n+3
·
1 −
1
n + 3
−3
−→
−→ e
−1
· 1
−3
=
1
e
= q
• q =
1
e
< 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny
(f)
∞
X
n=2
ln
n
10 +
1
n
• a
n
= ln
n
10 +
1
n
, n
0
= 2
•
n
q
|a
n
| =
n
s
ln
n
10 +
1
n
= ln
10 +
1
n
−→ ln 10 = q
• q = ln 10 > 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest rozbieżny
(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo a
n
> 0)
4
Przykłady do zadania 11.4:
Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów
(a)
∞
X
n=1
(−1)
n
1
n
- jest to tzw. szereg anharmoniczny
• jest to szereg naprzemienny postaci
∞
X
n=1
(−1)
n
b
n
, gdzie b
n
=
1
n
, n
0
= 1
• b
n
to ciąg malejący
• lim
n→∞
b
n
= 0
• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
(b)
∞
X
n=1
(−1)
n
n + 2
n
2
+ 3
• jest to szereg naprzemienny postaci
∞
X
n=1
(−1)
n
b
n
, gdzie b
n
=
n + 2
n
2
+ 3
, n
0
= 1
• b
n
to ciąg malejący, bo:
b
n+1
− b
n
=
n + 3
(n + 1)
2
+ 3
−
n + 2
n
2
+ 3
=
(n + 3)(n
2
+ 3) − (n + 2)(n
2
+ 2n + 4)
(n
2
+ 3)((n + 1)
2
+ 3)
=
=
(n
3
+ 3n
2
+ 3n + 9) − (n
3
+ 4n
2
+ 8n + 8)
(n
2
+ 3)((n + 1)
2
+ 3)
=
−n
2
− 5n + 1
(n
2
+ 3)((n + 1)
2
+ 3)
< 0
(licznik jest mniejszy od −1 − 5 + 1 < 0, a mianownik zawsze dodatni)
• lim
n→∞
b
n
= lim
n→∞
n + 2
n
2
+ 3
= lim
n→∞
1
n
+
2
n
2
1 +
3
n
2
=
0 + 0
1 + 0
= 0
• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
(c)
∞
X
n=3
(−1)
n+1
ln n
n
• jest to szereg naprzemienny postaci
∞
X
n=3
(−1)
n+1
b
n
, gdzie b
n
=
ln n
n
, n
0
= 3
• b
n
to ciąg malejący, bo:
b
n
= f (n) dla f (x) =
ln x
x
,
a dla takiej funkcji f
0
(x) =
1 − ln x
x
2
< 0 dla x > e,
więc f (x) jest malejąca na półprostej [3, ∞), zawierające wszystkie n 3;
• lim
n→∞
b
n
= 0, bo:
lim
x→∞
f (x) = lim
x→∞
ln x
x
=
∞
∞
H
= lim
x→∞
1
x
1
= 0
• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny
5