Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 14
Funkcje wielu zmiennych.
Pochodne cząstkowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 14
Funkcje wielu zmiennych.
Pochodne cząstkowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 14.1:
Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji. W punktach (c) i (d) znaleźć także
poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy.:
(a) f (x, y) = ln(1 − x
2
− y
2
)
• D
f
= {(x, y) : 1 − x
2
− y
2
> 0} = {(x, y) : x
2
+ y
2
< 1}
jest to koło otwarte (czyli bez brzegu) o środku (0, 0) i promieniu 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
D
f
1
(b) f (x, y, z) =
10
e
x+y−z
− 1
• D
f
= {(x, y, z) : e
x+y−z
− 1 6= 0} = {(x, y, z) : x + y − z 6= 0}
jest to przestrzeń
R
3
bez płaszczyzny o równaniu x + y − z = 0
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
5
10
15
20
25
30
35
x+y−z=0
D
f
D
f
2
(c) f (x, y) =
√
x
2
+ y
2
• D
f
=
R
2
• Poziomice P
h
= {(x, y) : f (x, y) = h} to:
P
h
= ∅ dla h < 0
P
0
= {(0, 0)}
P
h
= {(x, y) : x
2
+ y
2
= h
2
} dla h > 0, czyli okręgi o wspólnym środku (0, 0) i promieniach
równych h
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.25
0.5
0.5
1
1
1
1
1
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
• Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia obrotowa, obracamy wokół osi
Oz funkcję z = f (x, 0) =
√
x
2
= x dla x 0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
z=x
x
z
3
• Otrzymujemy stożek
−2
0
2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
4
(d) f (x, y) =
1
x + y
• D
f
= {(x, y) : x + y 6= 0} - płaszczyzna bez prostej x + y = 0
• Poziomice P
h
= {(x, y) : f (x, y) = h} to:
P
h
= ∅ dla h = 0
P
h
= {(x, y) : x + y =
1
h
} dla h 6= 0, czyli proste równoległe do prostej x + y = 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−2
−1
−1
−0.8
0.8
0.8
1
1
2
x+y=0
• Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia walcowa (w dwóch częściach, bo
przerwa w dziedzinie) o przekroju hiperboli
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
przekroj plaszczyzna
prostopadla
do prostej y=x
5
• Otrzymujemy wykres
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−2
−1
0
1
2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x+y=0
6
Przykłady do zadania 14.2:
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
(a) f (x, y) = xy + x
2
+ y − 2x
• D
f
=
R
2
•
∂f
∂x
(x, y) = y + 2x − 2
•
∂f
∂y
(x, y) = x + 1
(b) f (x, y) =
e
x
ln(x + y)
• D
f
: x + y > 0, x + y 6= 1
•
∂f
∂x
(x, y) =
e
x
ln(x + y) − e
x
·
1
x+y
· 1
ln
2
(x + y)
•
∂f
∂y
(x, y) = e
x
−1
ln
2
(x + y)
!
·
1
x + y
· 1
(c) f (x, y) = sin
2
(x − y
2
)
• D
f
=
R
2
•
∂f
∂x
(x, y) = 2 sin(x − y
2
) cos(x − y
2
) · 1
•
∂f
∂y
(x, y) = 2 sin(x − y
2
) cos(x − y
2
) · (−2y)
(d) f (x, y) = x
y
• D
f
: x > 0
•
∂f
∂x
(x, y) = yx
y−1
•
∂f
∂y
(x, y) = x
y
ln x
7
(e) f (x, y, z) = y −
√
x
2
+ z
3
• D
f
: x
2
+ z
3
0
•
∂f
∂x
(x, y, z) = −
1
2
(x
2
+ z
3
)
−1/2
· 2x dla x
2
+ z
3
> 0
•
∂f
∂y
(x, y, z) = 1
•
∂f
∂z
(x, y, z) = −
1
2
(x
2
+ z
3
)
−1/2
· 3z
2
dla x
2
+ z
3
> 0
(f) f (x, y, z) =
3
q
arctg(x + e
yz
)
• D
f
=
R
2
•
∂f
∂x
(x, y, z) =
1
3
(arctg(x + e
yz
))
−2/3
·
1
(x + e
yz
)
2
+ 1
· 1
•
∂f
∂y
(x, y, z) =
1
3
(arctg(x + e
yz
))
−2/3
·
1
(x + e
yz
)
2
+ 1
· e
yz
· z
•
∂f
∂z
(x, y, z) =
1
3
(arctg(x + e
yz
))
−2/3
·
1
(x + e
yz
)
2
+ 1
· e
yz
· y
dla wszystkich pochodnych x + e
yz
6= 0
Przykłady do zadania 14.3:
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne
cząstkowe mieszane są równe:
(a) f (x, y) = ln(x − y)
• D
f
: x − y > 0
•
∂f
∂x
(x, y) =
1
x − y
,
∂f
∂y
(x, y) =
1
x − y
· (−1) =
1
y − x
•
∂
2
f
∂x
2
(x, y) =
∂
∂x
1
x − y
!
= −
1
(x − y)
2
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
∂
∂y
1
x − y
!
= −
1
(x − y)
2
· (−1)
∂
2
f
∂x∂y
(x, y) =
∂
∂x
1
y − x
!
= −
1
(y − x)
2
· (−1)
∂
2
f
∂y
2
(x, y) =
∂
∂y
1
y − x
!
= −
1
(y − x)
2
• Sprawdzenie:
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) =
1
(x − y)
2
=
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
8
(b) f (x, y) = e
x
y
• D
f
: y 6= 0
•
∂f
∂x
(x, y) =
1
y
e
x
y
,
∂f
∂y
(x, y) = −
x
y
2
e
x
y
•
∂
2
f
∂x
2
(x, y) =
1
y
2
e
x
y
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) = −
1
y
2
e
x
y
+
1
y
−
x
y
2
e
x
y
!
∂
2
f
∂x∂y
(x, y) = −
1
y
2
e
x
y
−
x
y
2
·
1
y
e
x
y
∂
2
f
∂y
2
(x, y) =
2x
y
3
e
x
y
−
x
y
2
−
x
y
2
e
x
y
!
=
x(x + 2y)
y
4
e
x
y
• Sprawdzenie:
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) = −
x + y
y
3
e
x
y
=
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
(c) f (x, y, z) = x
2
+ y
3
x − 2x
3
y
2
z
5
• D
f
=
R
2
•
∂f
∂x
(x, y, z) = 2x + y
3
− 6x
2
y
2
z
5
,
∂f
∂y
(x, y, z) = 3y
2
x − 4x
3
yz
5
,
∂f
∂z
(x, y, z) = −10x
3
y
2
z
4
•
∂
2
f
∂x
2
(x, y, z) = 2 − 12xy
2
z
5
∂
2
f
∂y∂x
(x, y, z) = 3y
2
− 12x
2
yz
5
∂
2
f
∂z∂x
(x, y, z) = −30x
2
y
2
z
4
∂
2
f
∂x∂y
(x, y, z) = 3y
2
− 12x
2
yz
5
∂
2
f
∂y
2
(x, y, z) = 6yx − 4x
3
z
5
∂
2
f
∂z∂y
(x, y, z) = −20x
3
yz
4
∂
2
f
∂x∂z
(x, y, z) = −30x
2
y
2
z
4
∂
2
f
∂y∂z
(x, y, z) = −20x
3
yz
4
∂
2
f
∂z
2
(x, y, z) = −40x
3
y
2
z
3
• Sprawdzenie:
∂
2
f
∂y∂x
(x, y, z) = 3y
2
− 12x
2
yz
5
=
∂
2
f
∂x∂y
(x, y, z)
∂
2
f
∂z∂x
(x, y, z) = −30x
2
y
2
z
4
=
∂
2
f
∂x∂z
(x, y, z)
∂
2
f
∂y∂z
(x, y, z) = −20x
3
yz
4
=
∂
2
f
∂z∂y
(x, y, z)
9
Przykłady do zadania 14.4:
Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
(a)
∂
3
f
∂x∂y
2
(x, y) dla f (x, y) = cos
y
x
• D
f
: x 6= 0
• Mamy obliczyć
∂
3
f
∂x∂y
2
=
∂
∂x
∂
∂y
∂f
∂y
!!
•
∂f
∂y
(x, y) = − sin
y
x
·
1
x
•
∂
∂y
∂f
∂y
!
(x, y) =
∂
∂y
−
1
x
sin
y
x
= −
1
x
cos
y
x
·
1
x
= −
1
x
2
cos
y
x
•
∂
∂x
∂
∂y
∂f
∂y
!!
(x, y) =
∂
∂x
−
1
x
2
cos
y
x
=
2
x
3
cos
y
x
−
1
x
2
− sin
y
x
·
−
y
x
2
Odp.:
∂
3
f
∂x∂y
2
(x, y) =
2
x
3
cos
y
x
−
y
x
4
sin
y
x
(b)
∂
5
f
∂x
2
∂z∂y
2
(x, y, z) dla f (x, y, z) = x
2
y
3
z
4
• D
f
=
R
3
• Mamy obliczyć
∂
5
f
∂x
2
∂z∂y
2
=
∂
∂x
∂
∂x
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
!!!!
•
∂f
∂y
(x, y, z) = 3x
2
y
2
z
4
•
∂
∂y
∂f
∂y
!
(x, y, z) =
∂
∂y
3x
2
y
2
z
4
= 6x
2
yz
4
•
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
!!
(x, y, z) =
∂
∂z
6x
2
yz
4
= 24x
2
yz
3
•
∂
∂x
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
!!!
(x, y, z) =
∂
∂x
24x
2
yz
3
= 48xyz
3
•
∂
∂x
∂
∂x
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
!!!!
(x, y, z) =
∂
∂x
48xyz
3
= 48yz
3
Odp.:
∂
5
f
∂x
2
∂z∂y
2
(x, y, z) = 48yz
3
10