Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 4
Pochodna funkcji. Styczna
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 4
Pochodna funkcji. Styczna
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 4.1:
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieje pochodna właściwa lub niewłaściwa podanej funkcji we
wskazanym punkcie
(a) f (x) =
x
2
cos
1
x
, gdy x 6= 0;
0,
gdy x = 0,
w punkcie x
0
= 0.
• lim
x→0
f (x) − f (0)
x − 0
= lim
x→0
x
2
cos
1
x
− 0
x
= lim
x→0
x cos
1
x
= 0 z tw. o 3 funkcjach,
bo 0 ¬
x cos
1
x
¬ |x| i lim
x→0
|x| = 0
Zatem istnieje pochodna właściwa f
0
(0) = 0
(b) f (x) = |x − 3| w punkcie x
0
= 3.
•
lim
∆x→0+
f (3 + ∆x) − f (3)
∆x
=
lim
∆x→0+
|3 + ∆x − 3| − 0
∆x
=
lim
∆x→0+
|∆x|
∆x
= 1
•
lim
∆x→0−
f (3 + ∆x) − f (3)
∆x
=
lim
∆x→0−
|3 + ∆x − 3| − 0
∆x
=
lim
∆x→0−
|∆x|
∆x
= −1
Zatem istnieją pochodne lewostronna i prawostronna w punkcie x
0
= 3,
ale f
0
+
(3) = 1 6= −1 = f
0
−
(3), więc pochodna funkcji f (x) w punkcie x
0
= 3 nie istnieje.
(c) f (x) =
3
√
x − 1 w punkcie x
0
= 1
• f (x) jest ciągła w x
0
= 1 jako funkcja elementarna
• lim
∆x→0
f (1 + ∆x) − f (1)
∆x
= lim
∆x→0
3
√
1 + ∆x − 1 − 0
∆x
=
lim
∆x→0+
1
3
q
(∆x)
2
=
1
0+
= ∞
Zatem istnieje pochodna niewłaściwa f
0
(1) = ∞
(d) f (x) = sgn(x − 2) w punkcie x
0
= 2
• f (x) nie jest ciągła w x
0
= 2, bo lim
x→2+
f (x) = 1 6= −1 = lim
x→2−
f (x)
Zatem nie istnieje pochodna niewłaściwa (ani właściwa) funkcji f (x) w punkcie x
0
= 2,
mimo że
• lim
∆x→0
f (2 + ∆x) − f (2)
∆x
= lim
∆x→0
sgn(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
1
|∆x|
=
1
0+
= ∞
2
Przykład do zadania 4.2:
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji
(a) f (x) = x
4
+ 3x
2
−
1
x
+
√
x, x > 0
• f
0
(x) = (x
4
)
0
+ 3(x
2
)
0
− (x
−1
)
0
+ (x
1/2
)
0
= 4x
3
+ 3 · 2x − (−1)x
−2
+
1
2
x
−1/2
=
= 4x
3
+ 6x +
1
x
2
+
1
2
√
x
, x > 0
(b) f (x) = sin x · shx, x ∈
R
• f
0
(x) = (sin x)
0
· shx + sin x · (shx)
0
= cos x · shx + sin x · chx, x ∈
R
(c) f (x) =
e
x
+ cos x
e
x
+ 4
, x ∈
R
• f
0
(x) =
(e
x
+ cos x)
0
· (e
x
+ 4) − (e
x
+ cos x) · (e
x
+ 4)
0
(e
x
+ 4)
2
=
=
(e
x
− sin x) · (e
x
+ 4) − (e
x
+ cos x) · (e
x
+ 0)
(e
x
+ 4)
2
=
=
e
x
(4 − sin x − cos x) − 4 sin x
(e
x
+ 4)
2
, x ∈
R
(d) f (x) = sin
2
x, x ∈
R
• złożenie x, sin x, (. . .)
2
• f
0
(x) = 2 sin x · cos x, x ∈
R
(d) f (x) = sin(x
2
), x ∈
R
• złożenie x, x
2
, sin(. . .),
• f
0
(x) = cos(x
2
) · (2x), x ∈
R
(e) f (x) = e
cos
√
x
, x 0
• złożenie x,
√
x, cos(. . .), e
(...)
• f
0
(x) = e
cos
√
x
· (− sin
√
x) ·
1
2
x
−1/2
, x 0
(f) f (x) =
1
cos(sin x)
, x ∈
R
• złożenie x, sin x, cos(. . .),
1
(. . .)
= (. . .)
−1
• f
0
(x) = (−1)(cos(sin x))
−2
· (− sin(sin x)) · cos x, x ∈
R
3
(g) f (x) = tg(x + x
5
), x + x
5
6=
π
2
+ kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
• złożenie x + x
5
, tg(. . .)
• f
0
(x) =
1
cos
2
(x + x
5
)
· (x + x
5
)
0
=
1
cos
2
(x + x
5
)
· (1 + 5x
4
), x j.w.
(h) f (x) = (3x
2
+ 1)
3
, x ∈
R
• złożenie 3x
2
+ 1, (. . .)
3
• f
0
(x) = 3(3x
2
+ 1)
2
· (3x
2
+ 1)
0
= 3(3x
2
+ 1)
2
· (6x + 0) = 18x(3x
2
+ 1)
2
, x ∈
R
(h) f (x) =
x
2
− 1
x
2
+ 1
!
4
, x ∈
R
• złożenie
x
2
− 1
x
2
+ 1
, (. . .)
4
• f
0
(x) = 4
x
2
− 1
x
2
+ 1
!
3
·
x
2
− 1
x
2
+ 1
!
0
= 4
x
2
− 1
x
2
+ 1
!
3
·
(x
2
− 1)
0
· (x
2
+ 1) − (x
2
− 1) · (x
2
+ 1)
0
(x
2
+ 1)
2
!
=
= 4
x
2
− 1
x
2
+ 1
!
3
·
2x(x
2
+ 1) − (x
2
− 1) · 2x
(x
2
+ 1)
2
!
=
16x(x
2
− 1)
3
(x
2
+ 1)
5
, x ∈
R
(i) f (x) =
3
√
x
3
+ 1, x ∈
R
• złożenie x
3
+ 1,
3
q
(. . .) = (. . .)
1/3
• f
0
(x) =
1
3
(x
3
+ 1)
−2/3
· (3x
2
), x ∈
R
(j) f (x) =
sin
1
x
1 + cos(x
2
)
, x 6=
q
π
2
+ 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
• f
0
(x) =
sin
1
x
0
· (1 + cos(x
2
)) −
sin
1
x
· (1 + cos(x
2
))
0
(1 + cos(x
2
))
2
=
=
(−x
−2
cos(x
−1
)) · (1 + cos(x
2
)) − (sin(x
−1
)) · (−2x sin(x
2
))
(1 + cos(x
2
))
2
, x j.w.
Obliczenia pomocnicze:
•
sin
1
x
0
= cos(x
−1
) · (−1)x
−2
,
bo to złożenie
1
x
= x
−1
, sin(. . .)
• (1 + cos(x
2
))
0
= 0 + (cos(x
2
))
0
= (− sin(x
2
)) · (2x),
bo to złożenie x
2
, cos(. . .)
4
(k) f (x) = ln
ln
x
3
+ tg x
, x ∈ D
f
• złożenie ln
x
3
+ tg x, ln(. . .)
• f
0
(x) =
1
ln
x
3
+ tg x
·
1
x
3
·
1
3
+
1
cos
2
x
!
, x ∈ D
f
(l) f (x) = e
arctg
4
√
x
, x 0
• złożenie
4
√
x, arctg(. . .), e
(...)
• f
0
(x) = e
arctg
4
√
x
·
1
1 + (
4
√
x)
2
·
1
4
x
−3/4
, x > 0
(m) f (x) = cos
4
x · cos(5x), x ∈
R
• f
0
(x) = (cos
4
x)
0
· cos(5x) + cos
4
x · (cos(5x))
0
=
= 4 cos
3
x(− sin x) · cos(5x) + cos
4
x · (− sin(5x) · 5), x ∈
R
Obliczenia pomocnicze:
• (cos
4
x)
0
= 4 cos
3
x · (− sin x),
bo to złożenie cos x, (. . .)
4
• (cos(5x))
0
= (− sin(5x)) · 5,
bo to złożenie 5x, cos(. . .)
(n) f (x) = 2
x sin x
, x ∈
R
• złożenie x sin x, 2
(...)
• f
0
(x) = 2
x sin x
ln 2 · (x sin x)
0
= 2
x sin x
ln 2 · (sin x + x cos x), x ∈
R
Obliczenia pomocnicze:
• (x sin x)
0
= (x)
0
sin x + x(sin x)
0
= 1 · sin x + x cos x
(o) f (x) = x
sin x
, x > 0
• a(x)
b(x)
= e
b(x) ln a(x)
,
zatem f (x) = e
sin x ln x
• złożenie sin x ln x, e
(...)
• f
0
(x) = e
sin x ln x
· (sin x ln x)
0
= e
sin x ln x
· (cos x ln x +
1
x
sin x), x > 0
Obliczenia pomocnicze:
• (sin x ln x)
0
= (sin x)
0
ln x + sin x(ln x)
0
= cos x ln x + sin x ·
1
x
(p) f (x) = x
x
2
, x > 0
• f (x) = e
x
2
ln x
• złożenie x
2
ln x, e
(...)
• f
0
(x) = e
x
2
ln x
· (x
2
ln x)
0
= e
x
2
ln x
· x(2 ln x + 1), x > 0
Obliczenia pomocnicze:
• (x
2
ln x)
0
= (x
2
)
0
ln x + x
2
(ln x)
0
= 2x ln x + x
2
·
1
x
= x(2 ln x + 1)
5
(q) f (x) = log
x
7, x > 0, x 6= 1
• f (x) =
ln 7
ln x
= ln 7(ln x)
−1
• złożenie ln x, ln 7(. . .)
−1
• f
0
(x) = − ln 7(ln x)
−2
·
1
x
, x > 0, x 6= 1
Przykład do zadania 4.3:
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f
−1
)
0
(2) dla f (x) = e
x
+ e
5x
.
• f (0) = 2, x
0
= 0, y
0
= 2
• f (x) jest ciągła i rosnąca na
R
(wystarczy na otoczeniu x
0
= 0)
• f
0
(x) = e
x
+ 5e
5x
, f
0
(0) = 1 + 5 = 6 6= 0
Zatem z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej (f
−1
)
0
(2) =
1
f
0
(0)
=
1
6
Przykłady do zadania 4.4:
Obliczyć f
0
(x), f
00
(x), f
000
(x) dla podanej funkcji f (x).
(a) f (x) = x ln x
f
0
(x) = ln x + x ·
1
x
= ln x + 1
f
00
(x) = (ln x + 1)
0
=
1
x
f
000
(x) =
1
x
0
= −
1
x
2
(b) f (x) = e
x
2
f
0
(x) = 2xe
x
2
f
00
(x) = (2xe
x
2
)
0
= 2e
x
2
+ 2x · 2xe
x
2
= 2e
x
2
(2x
2
+ 1)
f
000
(x) = (2e
x
2
(2x
2
+ 1))
0
= 2(2xe
x
2
(2x
2
+ 1) + e
x
2
· 4x) = 4xe
x
2
(2x
2
+ 3)
Przykład do zadania 4.5:
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = e
arctg
4
√
x
w punkcie (1, f (1)).
• f
0
(x) = e
arctg
4
√
x
·
1
1 + (
4
√
x)
2
·
1
4
x
−3/4
• f (1) = e
π/4
, f
0
(1) = e
π/4
·
1
2
·
1
4
=
1
8
e
π/4
Równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) w punkcie (1, f (1)) ma postać
l
st
: y − f (1) = f
0
(1)(x − 1), czyli
Odp. l
st
: y − e
π/4
=
1
8
e
π/4
(x − 1)
6