Niekt´
ore fragmenty wyk ladu z r´
owna´
n r´
o ˙zniczkowych
To mo˙ze za kilka dni sie powiekszy´
c o jakie´
s inne twierdzenia
Zagadnienie dw´
och cia l
Dwa cia la poruszaja sie w przestrzeni
3
, w kt´
orej poza nimi nic nie ma. Jedyna si la, kt´
ora
dzia la to grawitacja. Cia la maja masy m, M , znajduja sie w chwili t w punktach x = x(t)
i y = y(t). Niech G oznacza sta la grawitacyjna. Z prawa powszechnego cia ˙zenia wynika, ˙ze
na mase m dzia la si la GmM
y
−x
kx−yk
3
, a na mase M — si la GmM
x
−y
kx−yk
3
. Obie si ly r´
o˙znia
sie jedynie zwrotem (znakiem). Spe lnione sa r´
ownania Newtona:
mx
00
= GmM
y
−x
kx−yk
3
,
M y
00
= GmM
x
−y
kx−yk
3
.
Dodajac je stronami otrzymujemy: mx
00
+M y
00
= 0, a poniewa˙z ´srodkiem masy rozpatrywa-
nej pary punkt´
ow materialnych jest
mx
+M y
m
+M
, wiec mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze ruch ´srodka masy
jest jednostajny i prostoliniowy. Mo˙zemy wiec w dalszym ciagu przyja´c, ˙ze mx + M y = 0
dla ka˙zdego t, czyli ˙ze ´srodek masy nie porusza sie, po prostu zastepujemy jeden uk lad
inercjalny innym, w jezyku matematyki: dodajemy do ka˙zdej z funkcji x, y funkcja linowa,
co ani nie zmienia ich r´
o˙znicy, ani drugiej pochodnej.
Odejmijmy teraz r´
ownania ruchu stronami podzieliwszy uprzednio pierwsze z nich
przez m a drugie — przez M . Otrzymujemy
(x − y)
00
= x
00
− y
00
= −GmM
1
m
+
1
M
x
−y
kx−yk
3
= −µ
x
−y
kx−yk
3
,
gdzie
µ
= GmM
1
m
+
1
M
.
Oznaczamy w dalszym ciagu: r = x − y, zatem r´ownanie przybiera posta´c r
00
= −µ
r
krk
3
.
Zauwa˙zmy, ˙ze
(r × r
0
)
0
= r
0
× r
0
+ r × r
00
= 0 + r ×
− µ
r
krk
3
= 0, bo iloczyn
wektorowy wektor´
ow r´
ownoleg lych jest wektorem zerowym. Wykazali´smy wiec, ˙ze funkcja
r
× r
0
jest sta la na rozwiazaniach naszego uk ladu, co oznacza, ˙ze jest ca lka pierwsza tego
uk ladu (fizycznie: moment pedu nie zmienia sie w czasie). Poza tym, ˙ze mo˙zemy u˙zywa´c
uczonych termin´
ow wynika z tego, ˙ze ruch odbywa sie w p laszczy´znie prostopad lej do r × r
0
(zak ladamy, ˙ze r × r
0
6= 0, a co sie dzieje, gdy r × r
0
= 0?). Mo˙zemy, bez straty og´
olno´sci
rozwa˙za´
n za lo˙zy´c, ˙ze r×r
0
jest wektorem r´
ownoleg lym do (0, 0, 1), ewentualna zmiana bazy
w
3
.
Przy okazji warto zauwa˙zy´c, ˙ze d lugo´s´c wektora r(t) × r(t + h) r´owna jest polu r´owno-
leg loboku rozpietego przez wektory r(t), r(t + h). Mamy
lim
h
→0
r
(t)×r(t+h)
h
= lim
h
→0
r
(t)×r(t+h)−r(t)×r(t)
h
= r(t) × r
0
(t).
Wobec tego
1
2
kr×r
0
k to tzw. predko´s´c polowa. Udowodnili´smy wiec drugie prawo Keplera, a
nawet ciut wiecej, bo w wektorowej wersji. Wiemy ju˙z te˙z, ˙ze ruch odbywa sie w p laszczy´znie,
a to jest fragment pierwszego prawa Keplera, kt´
ore nied lugo te˙z wyka˙zemy.
Sprowadzili´smy zagadnienie przestrzenne do p laskiego. Nie zmieniamy oznacze´
n. Mamy
1
ca lke pierwsza: moment pedu, czyli r×r
0
. Nale˙zy spodziewa´c sie co najmniej jeszcze jednej,
mianowicie energii ca lkowitej. Mamy grad
1
krk
= −
r
krk
3
. Role energii ca lkowitej powinna
pe lni´c funkcja
1
2
kr
0
k
2
−
µ
krk
.
Sprawdzimy, ˙ze jest ona ca lka pierwsza uk ladu, kt´
orym sie zajmujemy. R´
o˙zniczkujemy
wzgledem t:
1
2
kr
0
k
2
−
µ
krk
0
= r
0
· r
00
+
µr
krk
3
· r
0
= r
0
r
00
+
µr
krk
3
= 0.
Sprowadzili´smy rzecz do r´
ownania drugiego rzedu na p laszczy´znie, czyli do zagadnienia
czterowymiarowego, ale mamy jeszcze dwie ca lki pierwsze, wiec mamy powa˙zne szanse
obni˙zy´c wymiar o dwa. Zrobimy, to ale najpierw przejdziemy do uk ladu biegunowego, co w
rozpatrywanym zagadnieniu jest bardzo naturalnym pomys lem.
Niech (r, θ) beda wsp´
o lrzednymi biegunowymi. Wtedy zachodza nastepujace trzy r´
ow-
no´sci
r
= (r cos θ, r sin θ),
r
0
= r
0
(cos θ, sin θ) + rθ
0
(− sin θ, cos θ),
r
00
= r
00
(cos θ, sin θ) + 2r
0
θ
0
(− sin θ, cos θ) + rθ
00
(− sin θ, cos θ) − r(θ
0
)
2
(cos θ, sin θ).
Mo˙zemy wiec napisa´c uk lad r´
owna´
n:
r
00
cos θ − 2r
0
θ
0
sin θ − rθ
00
sin θ − r(θ
0
)
2
cos θ = −
µ
cos θ
r
2
,
r
00
sin θ + 2r
0
θ
0
cos θ + rθ
00
cos θ − r(θ
0
)
2
sin θ = −
µ
sin θ
r
2
.
Zapiszemy go w postaci normalnej, tzn. wyznaczymy z niego r
00
i θ
00
. W tym celu mno˙zymy
pierwsze r´
ownanie przez cos θ, drugie przez sin θ i dodajemy stronami:
r
00
− r(θ
0
)
2
= −
µ
r
2
.
Teraz mno˙zymy drugie r´
ownanie przez cos θ i odejmujemy od niego pierwsze pomno˙zone
przez sin θ:
2r
0
θ
0
+ rθ
00
= 0.
Znalezione ca lki pierwsze we wsp´
o lrzednych r, θ maja posta´c: r
2
θ
0
:= α (
1
2
α
to predko´s´c
polowa) oraz
1
2
(r
0
)
2
+ r
2
(θ
0
)
2
−
µ
r
:= E (energia ca lkowita, µ pe lni tu role masy, uk lad
nie jest przecie˙z inercjalny, ale r´
ownanie wyglada tak jak w inercjalnym), α, E sa sta lymi
oczywi´scie zale˙znymi od warunku poczatkowego.
Przypadek α = 0 nie jest interesujacy: albo r = 0 dla ka˙zdego t (fizycznie to bez sensu,
bo wtedy nie ma ruchu), albo θ
0
= 0, co oznacza, ˙ze θ = const, wiec w tym przypadku
cia la poruszaja sie wzd lu˙z prostej (wiec dojdzie do zderzenia).
Je´sli α 6= 0, to θ
0
6= 0, a z tej nier´owno´sci wynika, ˙ze funkcja θ jest r´o˙znowarto´sciowa.
Pozwoli to nam wyeliminowa´c z uk ladu zmienna t. Otrzymamy wiec r´
ownanie krzywej po
kt´
orej porusza sie nasz punkt materialny. Mamy
dr
dt
=
dr
dθ
·
dθ
dt
=
dr
dθ
· θ
0
=
dr
dθ
·
α
r
2
=
d
dθ
−α
r
.
2
Z tego wzoru wynika, ˙ze
d
2
r
dt
2
=
d
dθ
d
dθ
−α
r
·
dθ
dt
=
d
2
dθ
2
−α
r
· θ
0
=
d
2
dθ
2
−α
r
·
α
r
2
. Mo˙zemy
wiec napisa´c r´
ownanie r
00
−r(θ
0
)
2
= −
µ
r
2
w postaci
d
2
dθ
2
−α
r
·
α
r
2
−r
α
r
2
2
= −
µ
r
2
lub jeszcze
pro´sciej
d
2
dθ
2
1
r
+
1
r
=
µ
α
2
.
Otrzymali´smy r´
ownanie liniowe, drugiego rzedu z niewiadoma funkcja
1
r
zmiennej θ. Roz-
wiazanie tego r´
ownania ma posta´c c
1
cos θ + c
2
sin θ +
µ
α
2
, co mo˙zna napisa´c w postaci
h
cos(θ + ϕ) +
µ
α
2
. Otrzymali´smy wz´
or
1
r
= h cos(θ + ϕ) +
µ
α
2
, gdzie h > 0, ϕ ∈
.
Teraz czas na ciekawostke geometryczna (przypomnienie?). Niech d > 0, ε > 0.
Bedziemy rozwa˙za´c zbi´
or z lo˙zony z punkt´
ow x ∈
2
, dla kt´
orych stosunek odleg lo´sci x
od poczatku uk ladu wsp´
o lrzednych 0 do odleg lo´sci od prostej x
1
= −d r´owny jest ε, to
otrzymujemy:
elipse, je´sli 0 < ε < 1;
parabole, je´sli ε = 1;
hiperbole, je´sli ε > 1.
Prosta x
1
= −d zwana jest kierownica (ang. directrix) odpowiedniej krzywej sto˙zkowej,
punkt 0 — jej ogniskiem (ang. focus), ε —mimo´srodem (ang. eccentricity).* Zauwa˙zmy,
˙ze r´
ownanie sto˙zkowej wyglada tak:
kxk
|x
1
+d|
= ε,
czyli
x
2
1
+ x
2
2
= ε
2
(x
1
+ d)
2
lub
(1 − ε
2
)x
2
1
+ x
2
2
− 2dε
2
x
1
− d
2
ε
2
= 0.
Je´sli ε ≤ 1, to poniewa˙z |x
1
+ d| ≥ ε|x
1
+ d| = kxk =
px
2
1
+ x
2
2
i d > 0, wiec x
1
+ d > 0,
wiec warto´s´c bezwzgledna mo˙zna opu´sci´c. Je´sli ε > 1, to nie mo˙zna, ale i tak opu´scimy,
co oznacza, ˙ze z dwu ga lezi hiperboli wybieramy jedna, te „bli˙zsza punktowi” 0 = (0, 0).
Wobec tego od tej pory nasze r´
ownanie ma posta´c
kxk
x
1
+d
= ε, co w uk ladzie wsp´
o lrzednych
biegunowych wyglada tak:
r
= ε(d + r cos θ)
lub tak
r
=
εd
1−ε cos θ
.
Je´sli a > b, to ogniskami elipsy
x
2
1
a
2
+
x
2
2
b
2
= 1 sa punkty (∓
√
a
2
− b
2
,
0) a odpowiadajacymi
i kierownicami proste x
1
= ∓
a
2
√
a
2
−b
2
, zachodzi te˙z r´
owno´s´c ε =
√
a
2
−b
2
a
. Na tym ko´
nczymy
kr´
otkie opowiadanie o sto˙zkowych.
Otrzymali´smy poprzednio r´
ownanie
1
r
= h cos(θ + ϕ) +
µ
α
2
. Mo˙zemy je przepisa´c w
postaci
r
=
α
2
µ
+hα
2
cos(θ+ϕ)
=
α
2
µ
1+
hα
2
µ
cos(θ+ϕ)
.
Widzimy wiec, ˙ze cia lo porusza sie po sto˙zkowej, w kt´
orej ognisku znajduje sie drugie cia lo
(pierwsze prawo Keplera): je´sli ε =
hα
2
µ
<
1, to tor ruchu jest elipsa, je´sli ε =
hα
2
µ
= 1,
to — parabola, je´sli ε =
hα
2
µ
>
1, to ga lezia hiperboli. Bez k lopotu mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze
je´sli trajektoria ruchu jest elipsa, to jest on okresowy — idea: nie ma sie gdzie zatrzyma´c,
bo wszedzie „predko´s´c” jest niezerowa, a poniewa˙z poruszamy sie po elipsie, kt´
ora jest
*
Wiecej mo˙zna o tym przeczyta´
c w podrecznikach do geometrii analitycznej lub w bardzo pieknej ksia ˙zce
D.Hilberta i S.Cohn-Vossena, Geometria pogladowa, z kt´
orej mo˙zna sie dowiedzie´
c, dlaczego te krzywe
nazywane sa sto˙zkowymi i powiaza´
c ognisko i kierownice ze sto˙zkiem.
3
zbiorem zwartym, wiec w ko´
ncu ja obejdziemy („predko´s´c” jest oddzielona od 0). Wielka
p´
o lo´s naszej elipsy r´
owna jest
a
=
1
2
·
α
2
µ
1+
hα
2
µ
+
α
2
µ
1−
hα
2
µ
=
α
2
µ
µ
2
−h
2
α
4
.
Wobec tego kwadrat ma lej p´
o losi r´
owny jest:
b
2
= (1 − ε
2
)
α
2
µ
µ
2
−h
2
α
4
2
=
1 −
h
2
α
4
µ
2
·
α
2
µ
µ
2
−h
2
α
4
2
=
α
4
µ
2
−h
2
α
4
.
Wynika stad, ˙ze pole elipsy r´
owne jest πab = π
α
4
µ
√
(µ
2
−h
2
α
4
)
3
. Przypominamy, ˙ze r
2
θ
0
= α
— ten warunek oznacza, ˙ze predko´s´c polowa jest sta la i r´
owna
1
2
α
, czyli w czasie t promie´
n
wodzacy r zakre´sla pole
1
2
αt
. Ca la elipsa jest wiec obiegana w czasie T = 2π
α
3
µ
√
(µ
2
−h
2
α
4
)
3
.
Mamy zatem T
2
=
4π
2
µ
a
3
. Przypomnijmy, ˙ze µ = GmM
1
m
+
1
M
) = G(m+M ). Przyjmujac
np. ˙ze M oznacza mase S lo´
nca, a m mase jednej z planet naszego uk ladu stwierdzamy, ˙ze
kwadrat okresu obiegu planety wok´
o l S lo´
nca jest proporcjonalny do sze´scianu wielkiej p´
o losi
elipsy, po kt´
orej porusza sie wok´
o l S lo´
nca ta planeta. Przyjmujemy tak, cho´c z zasadzie to
nieprawda, ale iloraz
m
M
jest tak ma la liczba, ˙ze m w istocie rzeczy nie odgrywa tu istotnej
roli. Jest to trzecie prawo Keplera, dwa inne pojawi ly sie w tek´scie ju˙z wcze´sniej.
Dodajmy jeszcze, ˙ze rezultat dotyczacy kszta ltu orbit mo˙zna przedstawi´c za pomoca
wielko´sci fizycznych. Mam tu na my´sli
1
2
α
i E , czyli predko´s´c polowa i energie ca lkowita.
Uzyskali´smy wcze´sniej r´
owno´sci r
2
θ
0
= α, 2E = (r
0
)
2
+ r
2
(θ
0
)
2
−
2µ
r
oraz r
0
=
dr
dθ
·
α
r
2
.
Mamy
dr
dθ
=
d
dθ
α
2
µ
+hα
2
cos(θ+ϕ)
=
hα
4
sin(θ+ϕ)
(µ+hα
2
cos(θ+ϕ))
2
= hr
2
sin(θ + ϕ). Wobec tego 2E =
=h
2
r
4
sin
2
(θ + ϕ) ·
α
2
r
4
+ r
2
α
r
2
2
−
2µ
r
= h
2
α
2
sin
2
(θ + ϕ) + α
2
h cos(θ + ϕ) +
µ
α
2
2
−
−2µ
h cos(θ + ϕ) +
µ
α
2
= α
2
h
2
−
µ
2
α
2
, wiec h =
1
α
q
2E +
µ
2
α
2
, ε =
hα
2
µ
=
q
1 + 2E
α
2
µ
2
i
wreszcie a =
α
2
µ
µ
2
−h
2
α
4
= −
µ
2E
. Wida´c wiec, ˙ze orbita jest elipsa, gdy E < 0.
Przypomnie´c wypada, ˙ze prawa Keplera by ly prawami empirycznymi. Autor sformu lo-
wa l je w oparciu o dane uzyskane (spisane prze innych astronom´
ow, m.in. Tycho de Brahe).
Teoria Newtona pozwala na wywnioskowanie ich z zasad dynamiki i prawa powszechnego
cia ˙zenia.
4