Krzysztof Moszy´

nski

DWANA´

SCIE WYK LAD ´

OW

Z METOD

NUMERYCZNYCH

R ´

OWNA ´

N

R ´

O ˙

ZNICZKOWYCH

CZ

,

ASTKOWYCH

Skrypt do przedmiotu

1000 - 135NRC

UNIWERSYTET WARSZAWSKI

WYDZIA L MIM 2003/2004

.

Dzi

,

ekuje wszystkim moim studentom, kt´

orzy znale´

zli

liczne b l

,

edy w tym skrypcie i mi o nich donie´

sli.

Specjalne podzi

,

ekowanie sk ladam

Pani Katarzynie Piaskowskiej

za zrobienie pe lnej korekty tego tekstu.

Krzysztof Moszy´

nski

2

Wyk lad 1

Wst

,

ep

Klasyfikacja zagadnie´

n

Przyjmijmy, dla naszych cel´

ow, tak

,

a klasyfikacj

,

e zagadnie´

n rozpatry-

wanych dla r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych cz

,

astkowych:

• I. Zagadnienia stacjonarne

• II. Zagadnienia ewolucyjne

I. Typowy przyk lad zagadnienia stacjonarnego:

(1)

−∆u(p) = f (p) dla p ∈ Ω ⊂ R

n

,

(2)

u(p) = φ(p) dla p ∈ ∂Ω,

Jest to r´

ownanie Poissona z warunkiem brzegowym Dirichleta.

Klasyfikacja operator´

ow r´

o ˙zniczkowych drugiego rz

,

edu

L(u) = −

d

X

i,j=1

a

i,j

(p)

∂

2

∂x

i

∂x

j

u +

d

X

j=1

b

j

(p)

∂

∂x

j

u + c(p)u

A(p) = (a

i,j

(p)) jest macierz

,

a wsp´

o lczynnik´

ow: A(p)

T

= A(p).

• Je´sli A(p) jest dodatnio okre´slona (piszemy A(p) > 0), to operator L jest

eliptyczny w punkcie p,

• je´sli A(p) ma d − 1 dodatnich warto´sci w lasnych i jedn

,

a ujemn

,

a, to operator

L jest hiperboliczny w punkcie p,

• je´sli A(p) jest okre´slona nieujemnie, ale nie jest okre´slona dodatnio, za´s

macierz [A(p)|b(p)] jest rz

,

edu d, to operator L jest paraboliczny w punkcie

p.

∆ =

P

d
j=1

∂

2

∂x

2
j

- to Laplasjan; −∆ jest operatorem eliptycznym.

3

II. Przyk lady zagadnie´

n ewolucyjnych.

• R´

ownanie hiperboliczne pierwszego rz

,

edu

(1)

∂

∂t

u + c

∂

∂x

u = 0

c - sta la, t - ”czas”, x - ”przestrze´

n”. Zmienne niezale˙zne t i x s

,

a

traktowane odmiennie !

Stawiane zagadnienia:

1.

(1)

∂

∂t

u + c

∂

∂x

u = 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ R.

zagadnienie pocz

,

atkowe (Cauchy’ego)

2.

(1)

∂

∂t

u + c

∂

∂x

u = 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ R

+

,

(3)

u(t, 0) = ψ(t), t ∈ R

+

.

dla c > 0. Jest to zagadnienie mieszane pocz

,

atkowo - brzegowe.

 Latwo zauwa˙zy´

c, ˙ze u(t, x) = φ(x−ct) jest rozwi

,

azaniem zagadnienia Cauchy-

ego, je´

sli φ jest klasy C

1

. Takie rozwi

,

azanie mo˙zna interpretowa´

c jako ”prze-

suwanie”warunku pocz

,

atkowego w czasie - konwekcja.

• R´

ownanie hiperboliczne drugiego rz

,

edu

(1)

∂

2

∂t

2

u − a

∂

2

∂x

2

u = 0

dla a > 0.

4

1. Zagadnienie Cauchy’ego:

(1)

∂

2

∂t

2

u − a

∂

2

∂x

2

u = 0,

(2)

u(0, x) = φ

1

(x), u

t

(0, x) = φ

2

(x).

dla x ∈ R.

2. Zagadnienie mieszane:

(1)

∂

2

∂t

2

u − a

∂

2

∂x

2

u = 0

(2)

u(0, x) = φ

1

(x), u

t

(0, x) = φ

2

(x),

dla x ∈ [0, L] -warunki pocz

,

atkowe,

(3)

u(t, 0) = ψ

1

(t), u(t, L) = ψ

2

(t)

dla t ∈ [0, T ] - warunki brzegowe.

Charakter rozwi

,

azania. B

,

edziemy poszukiwa´

c rozwi

,

azania postaci

u(t, x) = e

i(αx+γt)

.

Po podstawieniu do r´

ownania znajdziemy:

u(t, x) = e

i[α(x+

√

at)]

podobnie jak w przypadku r´

ownania rz

,

edu 1, jest tak˙ze przesuwanie, ale

bardziej z lo˙zone. W obu przypadkach s

,

a to ”zjawiska falowe”.

• R´

ownanie paraboliczne

(1)

∂

∂t

u = a

∂

2

∂x

2

u, a > 0.

Zagadnienia stawiane:

1. Zagadnienie Cauchy’ego

(1)

∂

∂t

u = a

∂

2

∂x

2

u, a > 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ R.

5

2. Zagadnienie mieszane

(1)

∂

∂t

u = a

∂

2

∂x

2

u, a > 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ [0, L]

(3)

u(t, 0) = ψ

1

(t), u(t, L) = ψ

2

(t), t ∈ [0, T ]

Charakter rozwi

,

azania. Podobnie jak poprzednio, poszukujemy rozwi

,

aza-

nia postaci

u(t, x) = e

i(αx+γt)

.

Po wstawieniu do r´

ownania otrzymamy:

u(t, x) = e

iαx−aα

2

t

= e

iαx

e

−aα

2

t

, a > 0.

Charakter rozwi

,

azania jest zupe lnie inny ni˙z w przypadku zagadnie´

n z r´

owna-

niami typu hiperbolicznego. Nie ma tu zjawiska unoszenia, natomiast wyst

,

e-

puje czynnik e

−aα

2

t

, kt´

ory ”przygniata” rozwi

,

azanie w miar

,

e up lywu czasu.

Rozwa˙zane r´

ownanie opisuje proces rozchodzenia si

,

e ciep la.

6

Wyk lad 2.

Zagadnienia stacjonarne - metody r´

o ˙znicowe.

Rozpatrujemy r´

ownanie r´

o˙zniczkowe liniowe

(1)

Lu(p) = f (p) dla p ∈ Ω ⊂ R

d

oraz warunki brzegowe

(2)

l

k

u(p) = φ

k

(p) dla p ∈ Γ

k

,

dla k = 1, 2, · · · , l, gdzie ∂Ω = ∪

k

Γ

k

jest brzegiem obszaru Ω. Operator L, to

operator r´

o˙zniczkowy r´

ownania r´

o˙zniczkowego, operatory l

k

, k = 1, 2, · · · , l

to operatory warunk´

ow brzegowych. Najprostszy przyk lad takiego opera-

tora l

k

- to warunek Dirichleta. Operator ten przyporz

,

adkowuje funkcji u

(argument operatora L) jej ´

slad na cz

,

e´s´

c brzegu Γ

k

, na kt´

orym dzia la. Dla

funkcji dostatecznie regularnych okre´slonych na obszarze Ω istnieje operator

´

sladu na brzeg (lub cz

,

e´s´

c brzegu obszaru). Operator ten przyporz

,

adkowuje

funkcji u z dziedzin

,

a Ω pewn

,

a funkcj

,

e okre´slon

,

a na wspomnianej cz

,

e´sci

brzegu (mo˙zna sobie wyobra˙za´

c, ˙ze jest to ”obci

,

ecie” u do Γ

k

.) Szczeg´

o lowo

m´

owi o tym tak zwane Twierdzenie o ´

Sladzie. Innym rodzajem operatora

l

k

jest warunek Neumanna. Taki operator przyporz

,

adkowuje funkcji u

jej pochodn

,

a normaln

,

a zewn

,

etrzn

,

a do omawianej cz

,

e´sci brzegu obszaru Ω.

Jest to jeden z przypadk´

ow wspomnianego wy˙zej Twierdzenia o ´

Sladzie;

potrzeba tu oczywi´scie wy˙zszej regularno´sci funkcji u. Na przyk lad:

u(p) = φ(p), p ∈ ∂Ω warunek Dirichleta,

du

dn

(p) = ψ(p), p ∈ ∂Ω warunek Neumanna.

Z zagadnieniem (1)(2) zwi

,

azane s

,

a r´

o˙zne przestrzenie funkcyjne:

• u ∈ U,

• φ

k

∈ Φ

k

, k = 1, 2, · · · , l,

• f ∈ F .

7

Zak ladamy, ˙ze te przestrzenie s

,

a wyposa˙zone w normy:

k · k

U

, k · k

F

, k · k

Φ

k

, k = 1, 2, · · · , l.

Mamy

L : U → F, l

k

: U → Φ

k

.

Dla zagadnienia (1)(2) rozpatrujemy jego aproksymacj

,

e r´

o˙znicow

,

a

(3)

L

h

u

h

= f

h

,

(4)

l

k,h

u

h

= φ

k,h

, k = 1, 2, · · · , l.

Tutaj

u

h

∈ U

h

, f

h

∈ F

h

, φ

k,h

∈ Φ

k,h

, gdzie U

h

, F

h

, Φ

k,h

,

to przestrzenie funkcji siatkowych. S

,

a to przestrzenie unormowane,

z normami odpowiednio

k · k

U

h

, k · k

F

h

, k · k

Φ

k,h

, k = 1, 2, · · · , l.

Podobnie jak dla zagadnienia (1)(2),

L

h

: U

h

→ F

h

, l

k,h

: U

h

→ Φ

k

.

Przestrzenie funkcji siatkowych s

,

a zdefiniowane na obszarach siatko-

wych Ω

h

, Γ

k,h

. Obszary takie powstaj

,

a poprzez na lo ˙zenie

siatki pros-

tok

,

atnej, o osiach r´

ownoleg lych do osi uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych na obszar Ω.

W

,

ez ly siatki klasyfikujemy jako wewn

,

etrzne i brzegowe. Punkty brze-

gowe le˙z

,

a na brzegu Ω, lub w bezpo´srednim jego s

,

asiedztwie. Je´sli brzeg

siatkowy nie zawiera si

,

e w ”prawdziwym”brzegu, warunki brzegowe trzeba

przenie´s¸

na brzeg siatkowy. Do tego s lu˙z

,

a specjalne procedury, o kt´

orych

b

,

edzie mowa w dalszej cz

,

e´sci wyk ladu. Dla obszar´

ow ograniczonych, przestrze-

nie funkcji siatkowych s

,

a z regu ly sko´

nczonego wymiaru.

Siatk

,

e charak-

teryzuje liczba h zwana krokiem siatki. Jest to maksymalna d lugo´sk

¸raw

,

edzi

kostek elementarnych z kt´

orych zbudowana jest siatka. Poniewa˙z jeste´smy

zainteresowani tym, co dzieje si

,

e, gdy h → 0, nasze rozwa˙zania dotycz

,

a z

regu ly rodzin siatek zale˙znych od parametru h, gdzie h jest elementem
pewnego zbioru liczb rzeczywistych dodatnich ω, maj

,

acego jedyny punkt

skupienia w zerze.

8

Przyk lady norm w przestrzeniach siatkowych. (Dla przestrzeni U

h

.)

• Norma ”max”. Niech u

h

= {u(p)|p ∈ Ω

h

}.

ku

h

k

h,∞

= max

p∈Ω

h

|u

h

(p)|.

• Norma L

2
h

. Niech u

h

= {u(p)|p ∈ Ω

h

}.

ku

h

k

h,2

= (h

x

h

y

X

p∈Ω

h

|u

h

(p)|

2

)

1
2

.

Ten przyk lad dotyczy obszaru siatkowego w R

2

, o sta lych krokach h

x

i h

y

w kierunku osi x i osi y uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych.

Przestrzenie U i U

h

, F i F

h

, Φ

k

i Φ

k,h

i zagadnienia (1)(2) i (3)(4) nie

s

,

a oczywi´scie zupe lnie niezale˙zne od siebie. Om´

owimy teraz zwi

,

azki kt´

ore

mi

,

edzy poszczeg´

olnymi parami powinny zachodzi.¸

Przestrzenie funkcji siatkowych stanowi

,

a aproksymacj

,

e odpowiadaj

,

acych

im przestrzeni funkcyjnch U , F i Φ

k

. Zwi

,

azek mi

,

edzy takimi parami przestrzeni

ustalaj

,

a operatory obci

,

ecia. Tak wi

,

ec mamy:

r

U

h

: U → U

h

,

r

F

h

: F → F

h

,

r

Φ

k

h

: Φ

k

→ Φ

k,h

.

Niekiedy wygodnie jest wprowadzic r´

ownie˙z operatory przed lu ˙zenia, na

przyk lad

p

U
h

: U

h

→ U.

Z regu ly, jako p

U
h

przyjmuje si

,

e pewne izomorfizmy liniowe przestrzeni U

h

w przestrze´

n U . Operator p

U
h

spe lnia do pewnego stopnia rol

,

e odwrotno´sci

operatora obci

,

ecia.

Niech

π

U

h

= p

U
h

r

U

h

: U → U.

Ten operator okre´sla jako´s´

c aproksymacji przestrzeni U przez rodzin

,

e tr´

ojek

(5)

{U

h

, r

U

h

, p

U
h

}

h∈ω

.

9

Definicja.

Zbie ˙zno´

s´

c aproksymacji.

M´

owimy, ˙ze aproksymacja (5)

przestrzeni U jest zbie ˙zna, je´sli

π

U

h

→ I,

gdy h → 0, silnie

1

.

W teorii metod r´

o˙znicowych, na og´

o l nie u˙zywa si

,

e operator´

ow przed lu˙ze-

nia, gdy˙z wystarczaj

,

a do jej opisania operatory obci

,

ecia. Zak lada si

,

e nato-

miast, ˙ze normy w przestrzeniach funkcji siatkowych s

,

a zgodne z ich

odpowiednikami w przestrzeniach, kt´

ore one aproksymuj

,

a.

Definicja. Zgodno´

s´

c norm.

2

Niech b

,

edzie dana przestrze´

n unormowana

(U, k · k) i rodzina {U

h

, k · k

h

, r

U

h

}

h∈ω

. Normy k · k

h

s

,

a zgodne z norm

,

a k · k

je´sli

∀

u∈U

kr

U

h

uk

h

→ kuk

gdy h → 0.

Zapis ”operatorowy” r´

ownania r´

o ˙znicowego.

Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zde

r´

ownanie okre´slone na obszarze siatkowym Ω

h

mo˙zna zapisa´

c w nast

,

epuj

,

acy

spos´

ob

(6)

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = f

h

(p)

p ∈ Ω

h

∪ Γ

h

.

Tutaj:

• N

h

(p) jest otoczeniem siatkowym punktu p. Takie otoczenie sk lada

si

,

e z tych punkt´

ow siatki Ω

h

, kt´

ore chcemy uwzgl

,

edni ¸

w r´

ownaniu dla

tego punktu.

• A(p, q) jest pewn

,

a funkcj

,

a okre´slon

,

a na (Ω

h

∪Γ

h

)×(Ω

h

∪Γ

h

) (je´sli nasze

r´

ownanie jest nieliniowe, to mo˙ze ona tak˙ze zale˙ze´

c od u

h

). Funkcja

ta okre´sla wsp´

o lczynniki r´

ownania.

1

Rodzina operator´

ow P

h

zbiega silnie do operatora P w przestrzeni Banacha X, gdy

h → 0, je´

sli k(P

h

− P )xk → 0 ∀

x∈X

2

Ten warunek zgodno´

sci norm zast

,

epuje warunek zbie˙zno´

sci aproksymacji wyra˙zony

przy u˙zyciu operator´

ow π

U

h

.

10

Nasze r´

ownanie (6) mo˙ze odpowiada´

c zar´

owno aproksymacji r´

ownania r´

o˙zni-

czkowego, jak i aproksymacji warunk´

ow brzegowych. Wszystko zale˙zy od

definicji N

h

(p)!

Przyk lad. Dla r´

ownania −∆u(p) = f (p),

dla p ∈ Ω

h

, u(0) = u(1) = 0

gdzie Ω = [0, 1] tworzymy aproksymacj

,

e r´

o˙znicow

,

a na siatce

Ω

h

= {0, h, 2h, · · · , N h}

gdzie h =

1

N

, Γ

h

= {0, 1}:

−

[u

k−1

− 2u

k

+ u

k+1

]

h

2

= f

k

, dla k = 1, 2 · · · , N − 1

u

0

= u

N

= 0.

Tutaj N

h

(p) = {(k − 1)h, kh, (k + 1)h} dla p

k

= h, 2h · · · , (N − 1)h, za´s

N

h

(0) = {0} i N

h

(N h) = {N h}.

Dla Ω

h

:

A(p, q) =











−1

h

2

dla q ∈ N

0

h

(p) = N

h

(p) \ {p}

2

h

2

dla q = p

0 dla q´

not ∈ N

h

(p)

Dla Γ

h

:

A(p, q) =



1 dla q = p

0 dla q´

not = p

f

h

(p) = f (p) dla p ∈ Ω

h

,

f

h

(p) = 0 dla p ∈ Γ

h

.

Teoria Laxa zbie ˙zno´

sci schemat´

ow

r´

o ˙znicowych

Powr´

o´

cmy do abstrakcyjnego sformu lowania naszego problemu. Dane jest

zagadnienie brzegowe

(1)

Lu = f, u ∈ U, f ∈ F,

(2)

lu = φ, u ∈ U, φ ∈ Φ,

11

gdzie L : U → F ; l : U → Φ i U , F , Φ s

,

a pewnymi przestrzeniami

unormowanymi.

Zak ladamy, ˙ze zagadnienie brzegowe (1)(2) jest dobrze

postawione, to znaczy, ˙ze istnieje jednoznaczne rozwi

,

azanie, kt´

ore zale˙zy w

spos´

ob ci

,

ag ly od danych zadania. R´

ownaniom (1)(2) przyporz

,

adkujemy

odpowiedni zestaw r´

owna´

n r´

o˙znicowych (schemat r´

o˙znicowy)

(3)

L

h

u

h

= f

h

, u

h

∈ U

h

, f

h

∈ F

h

,

(4)

l

h

u

h

= φ

h

, , φ

h

∈ Φ

h

gdzie U

h

,

F

h

,

Φ

h

s

,

a unormowanymi przestrzeniami funkcji siatkowych,

okre´slonych na rodzinie obszar´

ow siatkowych Ω

h

, takich ˙ze h → 0.

Definicja. Zbie ˙zno´

s´

c. Schemat r´

o˙znicowy (3)(4) jest zbie˙zny, je´sli

kr

U

h

u − u

h

k

U

h

h

→ 0, gdy h → 0,

gdzie u ∈ U jest rozwi

,

azaniem zagadnienia (1)(2), za´s u

h

∈ U

h

, rozwi

,

azaniem

zagadnienia (3)(4).

Definicja. Aproksymacja lokalna. Schemat (3)(4) aproksymuje zagad-
nienie (1)(2) na rozwi

,

azaniu u w punkcie p ∈ Ω

h

z rz

,

edem q, je´sli

L

h

r

U

h

u(p) − f

h

(p) = O(h

q

),

l

h

r

U

h

u(p) − φ

h

(p) = O(h

q

).

3

Definicja. Aproksymacja globalna. Schemat (3)(4) aproksymuje zagad-
nienie (1)(2) na rozwi

,

azaniu u globalnie z rz

,

edem q, je´sli

kL

h

r

U

h

u − f

h

k

F

h

h

= O(h

q

),

kl

h

r

U

h

u − φ

h

k

Φ

h

h

= O(h

q

).

3

Dla wyra˙zenia w, r´

owno´

s´

c w = O(h

r

) oznacza, ˙ze zachodzi oszacowanie kwk ≤ Kh

r

,

gdy h → 0, gdzie sta la K nie zale˙zy od h.

12

Definicja. Stabilno´

s´

c. Schemat (3)(4) jest stabilny, je´sli istnieje h

0

> 0,

˙ze:

• dla h < h

0

zagadnienie (3)(4) ma jednoznaczne rozwi

,

azanie dla dowol-

nych f

h

∈ F

h

i φ

h

∈ Φ

h

,

• istnieje sta la M (nie zale˙zna od h) taka, ˙ze dla dowolnego rozwi

,

azania

u

h

zadania (3)(4) zachodzi oszacowanie

ku

h

k

U

h

h

≤ M [kf

h

k

F

h

h

+ kφ

h

k

Φ

h

h

].

Twierdzenie Laxa. Je´

sli schemat (3)(4) aproksymuje globalnie zagadnienie

(1)(2) na jego rozwi

,

azaniu u z rz

,

edem q ≥ 1 i jest stabilny, to schemat jest

zbie˙zny i zachodzi oszacowanie

kr

U

h

u − u

h

k

U

h

h

= O(h

q

).

Dow´

od. Z za lo˙zenia o aproksymacji wynika, ˙ze

kL

h

r

U

h

u − f

h

k

F

h

h

= O(h

q

),

kl

h

r

U

h

u

h

− φ

h

k

Φ

h

h

= O(h

q

).

Ponadto

kL

h

u

h

− f

h

k

F

h

h

= 0

kl

h

u

h

− φ

h

k

Φ

h

h

= 0.

Dodaj

,

ac stronami do pierwszego r´

ownania trzecie i do drugiego czwarte po

zmianie znaku pod norm

,

a, dostaniemy:

kL

h

(r

U

h

u − u

h

)k

F

h

h

= O(h

q

),

kl

h

(r

U

h

u − u

h

)k

Φ

h

h

= O(h

q

).

Poniewa˙z schemat (3)(4) jest stabilny, to zagadnienie

(5)

L

h

(r

U

h

u − u

h

) = O(h

q

),

(6)

l

h

(r

U

h

u − u

h

) = O(h

q

).

13

(patrz odsy lacz

4

)) ma jednoznaczne rozwi

,

azanie r

U

h

u − u

h

i istnieje sta la M

taka, ˙ze

kr

U

h

u − u

h

k

U
h

≤ M O(h

q

) = O(h

q

).

Uwaga. Warunek zbie˙zno´sci schematu r´

o˙znicowego

kr

U

h

u − u

h

k

U

h

h

→ 0

odbiega od podanego wcze´sniej warunku zbie˙zno´sci aproksymacji przestrzeni.
W tym ostatnim przypadku por´

ownujemy elementy w przestrzeni U , podczas

gdy tutaj dla ka ˙zdego h, szacowanie odbywa si

,

e w innej przestrzeni

i innej normie.

Zwr´

o´

cmy jednak uwag

,

e na to, ˙ze za lo˙zyli´smy r´

ownie˙z

warunek zgodno´

sci norm, kt´

ory sprowadza wszystko ”do wsp´

olnego mi-

anownika”. U˙zyta w Teorii Laxa definicja zbie˙zno´sci - to tak zwana zbie ˙zno´

s´

c

dyskretna. Powr´

ocimy jeszcze dalej do sprawy wzajemnej zale˙zno´sci wspom-

nianych dw´

och poj

,

e´

c.

14

Wyk lad 3.

Stabilno´

s´

c - zbie ˙zno´

s´

c

Twierdzenie Lax’a m´

owi o tym, ˙ze badanie zbie˙zno´sci schematu mo˙zna

zast

,

api´

c dwiema prostszymi czynno´sciami:

• badaniem rz

,

edu schematu,

• badaniem stabilno´

sci schematu.

Badanie rz

,

edu schematu nie przedstawia na og´

o l wi

,

ekszych trudno´sci. O wiele

trudniejsze jest stwierdzenie, czy schemat jest stabilny. Zar´

owno poj

,

ecie

aproksymacji globalnej, jak i poj

,

ecie stabilno´sci jest zwi

,

azane z konkretn

,

a

norm

,

a (a w la´sciwie z konkretnymi normami w przestrzeniach F

h

, Φ

h

, U

h

).

Wobec tego tak˙ze metoda badania stabilno´sci b

,

edzie zale˙za la od konkretnej

normy.

Stabilno´

s´

c w normie ”max”.

Za lo˙zymy, ˙ze obszar Ω jest ograniczony. Wynika st

,

ad, ˙ze obszar siatkowy Ω

h

jest zbiorem sko´

nczonym. We´

zmy pod uwag

,

e schemat r´

o˙znicowy liniowy

(L

h

u

h

)(p) = f

h

(p), p ∈ Ω

h

,

(1)

(l

h

u

h

)(p) = φ

h

(p), p ∈ Γ

h

.

Schemat ten zapiszemy wykorzystuj

,

ac poj

,

ecie otoczenia siatkowego:

(2)

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = g

h

(p), p ∈ Ω

h

∪ Γ

h

,

gdzie

g

h

(p) =



f

h

(p), p ∈ Ω

h

,

φ

h

(p), p ∈ Γ

h

,

za´s otoczenia siatkowe dobrane s

,

a na Ω

h

i Γ

h

zgodnie z zale˙zno´sciami (1) .

Twierdzenie 1.(Pewien warunek dostateczny stabilno´sci.)Je´

sli istnieje licz-

ba α > 0 niezale˙zna od h taka, ˙ze

[|A(p, p)| −

X

q∈N

0

h

(p)

|A(p, q)|] ≥ α, ∀

p

∈ Ω

h

∪ Γ

h

,

15

gdzie N

0

h

(p) = N

h

(p) \ {p}, to schemat (2) jest stabilny w normie max.

Dow´

od. Za lo˙zymy najpierw, ˙ze istnieje rozwi

,

azanie u

h

r´

ownania (2). Udowod-

nimy, ˙ze istnieje sta la M > 0 taka, ˙ze dla normy ”max”

ku

h

k

U
h

≤ M [kf

h

k

F
h

+ kφ

h

k

Φ
h

],

gdzie

ku

h

k

U
h

= max

p∈Ω

h

|u

h

(p)|,

kf

h

k

F
h

= max

p∈Ω

h

|f

h

(p)|,

kφ

h

k

Φ
h

= max

p∈Γ

h

|φ

h

(p)|.

Poniewa˙z Ω

h

jest zbiorem sko´

nczonym, to istnieje taki punkt p

0

∈ Ω

h

, ˙ze

ku

h

k

U
h

= max

p∈Ω

h

|u

h

(p)| = |u

h

(p

0

)|.

Mamy

kg

h

k

h

≥ |g

h

(p

0

)| =

= |

X

q∈N

h

(p

0

)

A(p

0

, q)u

h

(q)| = |A(p

0

, p

0

)u

h

(p

0

) +

X

q∈N

0

h

(p

0

)

A(p

0

, q)u

h

(q)| ≥

≥ [|A(p

0

, p

0

)||u

h

(p

0

)| −

X

q∈N

0

h

(p

0

)

|A(p

0

, q)||u

h

(q)|] ≥

≥ [|A(p

0

, p

0

)||u

h

(p

0

)| −

X

q∈N

0

h

(p

0

)

|A(p

0

, q)||u

h

(p

0

)|] =

= [|A(p

0

, p

0

)| −

X

q∈N

0

h

(p

0

)

|A(p

0

, q)|]ku

h

k

U
h

≥ αku

h

k

U
h

.

Zatem

kg

h

k

h

≥ |g

h

(p

0

)| ≥ αku

h

k

U
h

, α > 0

i st

,

ad

(3)

αku

h

k

U
h

≤ max

p∈Ω

h

|f

h

(p)| + max

p∈Γ

h

|φ

h

(p)| = kf

h

k

F
h

+ kφ

h

k

Φ
h

.

Poniewa˙z oszacowanie (3) zachodzi dla dowolnego rozwi

,

azania r´

ownania (2),

wi

,

ec zachodzi tak˙ze dla r´

ownania jednorodnego, to jest, gdy g

h

(p) = 0, ∀p.

St

,

ad wynika, ˙ze jedynym rozwi

,

azaniem jednorodnego r´

ownania (2), kt´

ore jest

16

po prostu uk ladem r´

owna´

n liniowych algebraicznych o macierzy kwadratowej,

jest u

h

= 0. A wi

,

ec r´

ownanie (2) ma jednoznaczne rozwi

,

azanie. Oznacza to

stabilno´s´

c w normie

00

max

00

.

Przyk lad 1. Zbudujemy aproksymacj

,

e r´

o˙znicow

,

a r´

ownania

−∆u(p) + cu(p) = f (p), p ∈ Ω,

u(p) = 0, p ∈ ∂Ω.

Tutaj c > 0 jest sta l

,

a, Ω - to wn

,

etrze kwadratu [0, L] × [0, L], L > 0. Na

Ω tworzymy siatk

,

e o sta lym kroku h =

L

N

, zaliczaj

,

ac do brzegu siatkowego

te punkty siatki, kt´

ore le˙z

,

a na brzegu ∂Ω. Powstanie w ten spos´

ob obszar

siatkowy Ω

h

o brzegu siatkowym Γ

h

. Niech p

i,j

= (hi, hj) i u

i,j

≈ u(p

i,j

).

Nasz schemat dla punktu p

i,j

:

−

u

i,j−1

− 2u

i,j

+ u

i,j+1

h

2

−

u

i−1,j

− 2u

i,j

+ u

i+1,j

h

2

+ cu

i,j

= f

i,j

,

dla p

i,j

∈ Ω

h

, za´s u

i,j

= 0 dla p

i,j

∈ Γ

h

. Dla punkt´

ow p ∈ Ω

h

N

h

(p) =

∗

∗

p

∗

∗

za´s dla punkt´

ow p ∈ Γ

h

N

h

(p) = {p}.

W r´

ownaniu

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = g

h

(p)

gdy p ∈ Ω

h

A(p, q) =











c +

4

h

2

dla

q = p

−

1

h

2

dla

q ∈ N

h

(p)

q 6= p

0

dla innych

q

,

oraz g

h

(p) = f

h

(p). Gdy p ∈ Γ

h

A(p, p) = 1

oraz g

h

(p) = 0.

17

Zbadamy teraz warunek stabilno´

sci. Dla p ∈ Ω

h

|A(p, p)| −

X

q∈N

0

h

(p)

|A(p, q)| = c +

4

h

2

− 4

1

h

2

= c > 0,

dla p ∈ Γ

h

|A(p, p)| = 1 > 0,

zatem α = min{c, 1} > 0.

Oznacza to, ˙ze warunek dostateczny stabilno´sci b

,

edzie spe lniony, je´sli c >

0. Twierdzenie 1 nie chwyta zatem wa˙znego przypadku naszego zagadnienia,
gdy c = 0.

Przyk lad 2.

Na takim samym obszarze Ω jak w Przyk ladzie 1, dane jest r´

ownanie

r´

o˙zniczkowe

−∆u(p) + cu(p) = f (p), c > 0, p ∈ Ω,

oraz warunek brzegowy ”mieszany”

δ

du(p)

dn

+ βu(p) = φ(p), p ∈ ∂Ω.

Obszar siatkowy Ω

h

, oraz jego brzeg Γ

h

b

,

ed

,

a takie same jak poprzednio.

Tworzymy te˙z t

,

e sam

,

a aproksymacj

,

e r´

ownania r´

o˙zniczkowego. Pozostaje

wi

,

ec do skonstruowania aproksymacja warunku brzegowego. Dla aproksy-

macji pochodnej normalnej zewn

,

etrznej zastosujemy najpierw pierwsze r´

o˙znice

dzielone w prz´

od lub w ty l, zale˙znie od tego na kt´

orej ´scianie kwadratu le˙zy

punkt p.

∗

∗

∗

∗

· · ·

∗

o

o

o

· · ·

p

q

o

o

· · ·

∗

o

o

o

· · ·

·

·

·

·

· · ·

·

·

·

·

· · ·

Na przyk lad na lewej kraw

,

edzi kwadratu, warunek brzegowy zaaproksymu-

jemy przez

δ

u(p) − u(q)

h

+ βu(p) = φ(p).

18

Mamy wi

,

ec dla p ∈ Γ

h

A(p, q) =



δ

h

+ β

q = p

−δ

h

q 6= p

przy tym

N

h

(p) = {p, q}

Tak samo, jak poprzednio:

A(p, q) =



c +

4

h

2

p = q

−

1

h

2

p 6= q

i dla p ∈ Ω

h

N

h

(p) =

∗

∗

∗

∗

∗

.

Wida´

c st

,

ad, ˙ze schemat b

,

edzie stabilny, gdy znaki β i δ s

,

a jednakowe. Nasze

twierdzenie nie odpowiada na pytanie o stabilno´s´

c, gdy β = 0.

Powy˙zsza aproksymacja warunku brzegowego ma jednak wad

,

e: wewn

,

atrz

obszaru schemat jest aproksymowany z rz

,

edem 2, za´s na brzegu tylko z

rz

,

edem 1.

Globalna aproksymacja ma zatem jedynie rz

,

ad 1.

Zgodnie z

Twierdzeniem Laxa, ta aproksymacja warunku brzegowego mo˙ze spowodowa´

c

zmniejszenie szybko´sci zbie˙zno´sci ca lego schematu.

Zadanie 1. Zaproponuj inn

,

a konstrukcj

,

e warunku brzegowego, tak

,

a aby

ca ly schemat by l rz

,

edu 2. Mo˙zna przy tem za lo˙zy´

c, ˙ze r´

ownanie r´

o˙zniczkowe

jest spe lnione tak˙ze na brzegu obszaru. Zbadaj stabilno´s´

c.

Kryterium stabilno´sci w normie

00

max

00

wyra˙zone w Twierdzeniu 1 jest

do´s´

c s labe. Widzieli´smy to na przyk ladzie r´

ownania −∆u = f . Dla schemat´

ow

liniowych postaci (2) zbudujemy teraz mocniejsze kryterium.

Wygodnie b

,

edzie oznaczy´

c

¯

Ω

h

= Ω

h

∪ Γ

h

.

Za lo˙zymy, ˙ze ¯

Ω

h

jest zbiorem sko´

nczonym oraz, ˙ze jest sum

,

a mnogo´sciow

,

a

dw´

och roz l

,

acznych zbior´

ow Ω

1
h

i Ω

2
h

:

¯

Ω

h

= Ω

1
h

∪ Ω

2
h

, Ω

1
h

∩ Ω

2
h

= ∅,

przy czym spe lnione s

,

a nast

,

epuj

,

ace warunki

19

1.

∀

p∈ ¯

Ω

h

A(p, p) > 0,

∀

p∈ ¯

Ω

h

∀

q∈N

0

h

(p)

A(p, q) ≤ 0,

∀

p∈ ¯

Ω

h

X

q∈N

h

(p)

A(p, q) ≥ 0.

2.

∀

p∈Ω

1
h

X

q∈N

h

(p)

A(p, q) ≥ 0

za´

s

∀

q∈

h

N

0

h

(p)

A(p, q) < 0,

∀

p∈Ω

2
h

X

q∈N

h

(p)

A(p, q) > 0

za´

s

∀

q∈

h

N

0

h

(p)

A(p, q) ≤ 0.

3. Obszar siatkowy ¯

Ω

h

ma nast

,

epuj

,

ac

,

a w lasno´

s´

c: dla ka ˙zdego

punktu p ∈ Ω

1
h

istnieje punkt s ∈ Ω

2
h

oraz punkty p

j

∈ Ω

1
h

dla j =

1, 2, · · · , r takie, ˙ze p

1

∈ N

h

(p), p

2

∈ N

h

(p

1

), · · · , p

r

∈ N

h

(p

r−1

), s ∈

N

h

(p

r

)

Schemat postaci (2),

(2)

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = g

h

(p) ∀

p∈ ¯

Ω

h

,

kt´

ory posiada w lasno´sci (1)(2)(3) nazywa si

,

e schematem typu dodat-

niego.

Twierdzenie 2. Niech schemat (2) b

,

edzie typu dodatniego. Wtedy:

• Je´sli

∀

p∈ ¯

Ω

h

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) ≥ 0,

to ∀

p∈ ¯

Ω

h

u

h

(p) ≥ 0,

• Je´sli

∀

p∈ ¯

Ω

h

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) ≤ 0,

to ∀

p∈ ¯

Ω

h

u

h

(p) ≤ 0.

20

Dow´

od. Przypu´s´

cmy, ˙ze

P

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) ≥ 0 i, ˙ze istnieje taki punkt

˜

p, ˙ze u(˜

p) < 0. Poniewa˙z ¯

Ω

h

jest zbiorem sko´

nczonym, to mo˙zna znale´

z´

c taki

punkt p

0

∈ ¯

Ω

h

, ˙ze

u

h

(p

0

) = min

p∈N

h

(p)

u

h

(p) < 0.

Mo˙zliwe s

,

a dwa przypadki:

1. p

0

∈ Ω

2
h

. Wtedy

P

q∈N

h

(p

0

)

A(p

0

, q) > 0 i dla q ∈ N

0

h

(p

0

) A(p

0

, q) ≤ 0, i

wtedy  latwo sprawdzi´

c, ˙ze

X

q∈N

h

(p)

A(p

0

, q)u

h

(q) =

= [

X

q∈N

h

(p

0

)

A(p

0

, q)]u

h

(p

0

) +

X

q∈N

0

h

(p

0

)

A(p

0

, q)[u

h

(q) − u

h

(p

0

)] < 0,

sk

,

ad sprzeczno´s´

c z za lo˙zonym warunkiem

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) ≥ 0.

2. p

0

∈ Ω

1
h

. Wtedy

P

q∈N

h

(p

0

)

A(p

0

, q) ≥ 0 i dla q ∈ N

0

h

(p

0

) A(p

0

, q) < 0, i

wtedy  latwo sprawdzi´

c, ˙ze

X

q∈N

h

(p)

A(p

0

, q)u

h

(q) =

= [

X

q∈N

h

(p

0

)

A(p

0

, q)]u

h

(p

0

) +

X

q∈N

0

h

(p

0

)

A(p

0

, q)[u

h

(q) − u

h

(p

0

)] ≤ 0,

co jeszcze nie jest sprzeczne z za lo˙zonym warunkiem

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) ≥ 0.

Poka˙zemy jednak, ˙ze w N

h

(p

0

) istnieje taki punkt q

0

, ˙ze u

h

(q

0

) >

u

h

(p

0

). Wtedy b

,

edzie

X

q∈N

h

(p)

A(p

0

, q)u

h

(q) =

= [

X

q∈N

h

(p

0

)

A(p

0

, q)]u

h

(p

0

) +

X

q∈N

0

h

(p

0

)

A(p

0

, q)[u

h

(q) − u

h

(p

0

)] < 0.

21

Poka˙zemy teraz, ˙ze istotnie, taki punkt q

0

∈ N

h

(p

0

) istnieje. Zauwa˙zmy

najpierw, ˙ze zgodnie z p.3 definicji schematu typu dodatniego, dla
punkt´

ow p

0

i s istnieje ci

,

ag {p

j

}

j=1,2,···,r

⊂ Ω

1
h

o w lasno´sciach tam

opisanych. Gdyby takiego punktu q

0

∈ N

h

(p

0

) nie by lo, to znaczy loby,

˙ze mo˙znaby przyj

,

a´

c ∀

q∈N

h

(p

0

)

q = p

0

i wtedy mo˙znaby w konsekwencji

przyj

,

a´

c p

1

= p

0

. Rozumuj

,

ac w ten spos´

ob, doszliby´smy w ko´

ncu do

wniosku, ˙ze mo˙zna przyj

,

a´

c, ˙ze s = p

0

. To z kolei zosta lo wykluczone w

punkcie 1. tego dowodu, gdy˙z s ∈ Ω

2
h

. Ostatecznie widzimy, ˙ze

• albo znajdziemy w N

h

(p

0

) punkt q dla kt´

orego u

h

(p

0

) < u

h

(q),

• albo dojdziemy do wniosku, ˙ze u

h

(p

0

) = u

h

(s) < 0, to za´s nie jest

mo˙zliwe, gdy˙z s ∈ Ω

2
h

. Zatem zawsze w N

h

(p

0

) musi istnie´

c q

0

i

u

h

(q

0

) > u

h

(p

0

) = min

p∈ ¯

Ω

h

u

h

(p) < 0.

Wniosek 1. Je´

sli schemat (2) jest typu dodatniego i

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = 0 ∀

p∈ ¯

Ω

h

,

to

∀

p∈ ¯

Ω

h

u

h

(p) = 0.

Dow´

od. Wynika bezpo´srednio z Twierdzenia 2.

Wniosek 2. Schemat (2) typu dodatniego ma zawsze jednoznaczne rozwi

,

azanie

u

h

(p), p ∈ ¯

Ω

h

.

Dow´

od.

Jest tak, poniewa˙z r´

ownanie (2) jednorodne, ma tylko zerowe

rozwi

,

azanie. (Patrz Wniosek 1.)

Wniosek 3. Niech schemat (2) b

,

edzie typu dodatniego i rozpatrzmy drugi

schemat, kt´

ory r´

o˙zni si

,

e od niego tylko praw

,

a stron

,

a:

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = g

h

(p), p ∈ ¯

Ω

h

,

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)v

h

(q) = G

h

(p), p ∈ ¯

Ω

h

.

22

Je´

sli ∀

p∈ ¯

Ω

h

g

h

(p) ≤ G

h

(p), to,

u

h

(p) ≤ v

h

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

h

.

Dow´

od. Odejmijmy od drugiego r´

ownania - pierwsze. Teraz mo˙zemy zas-

tosowa´

c Twierdzenie 2.

Wniosek 4. Przypu´

s´

cmy, ˙ze istnieje funkcja siatkowa

Ψ

h

: ¯

Ω

h

→ R

taka, ˙ze:

1. ∃

M

,(M niezale˙zne od h), ˙ze ∀

p∈ ¯

Ω

h

0 ≤ Ψ

h

(p) ≤ M ,

2.

P

q∈N

h

(p)

A(p, q)Ψ

h

(q) ≥ 1, ∀

p∈ ¯

Ω

h

,

Wtedy schemat typu dodatniego

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)u

h

(q) = g

h

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

h

jest stabilny w normie

00

max

00

.

Dow´

od. Niech v

h

(p) = Kψ

h

(p), gdzie K = max

p∈Ω

h

|g

h

(p)|, oraz niech

G

h

(p) =

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)v

h

(q) =

= K

X

q∈N

h

(p)

A(p, q)ψ

h

(q) ≥ K =

= max

p∈ ¯

Ω

h

|g

h

(p)|, ∀p ∈ ¯

Ω

h

.

Zatem

−G

h

(p) ≤ g

h

(p) ≤ G

h

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

h

,

sk

,

ad na mocy Wniosku 3

−v

h

(p) ≤ u

h

(p) ≤ v

h

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

h

,

23

lub

|u

h

(p)| ≤ v

h

(p) = max

p∈ ¯

Ω

h

|g

h

(p)|ψ

h

(p) ≤ M max

p∈ ¯

Ω

h

|g

h

(p)|.

Ta ostatnia nier´

owno´s´

c oznacza stabilno´s´

c w normie

00

max

00

:

kuk

U

h

h

= max

p∈ ¯

Ω

h

|u

h

(p)| ≤ M max

p∈ ¯

Ω

h

|g

h

(p)| ≤

≤ M [max

p∈Ω

h

|f

h

(p)| + max

p∈Γ

h

|φ

h

(p)|] =

= M [kf

h

k

F

h

h

+ kψ

h

k

Φ

h

h

].

24

Wyk lad 4.

Sumowanie ”przez cz

,

e´

sci”.

Na przedziale [a, b] dana jest siatka punkt´

ow

x

0

= a, x

j

= x

0

+ jh, j = 0, 1, · · · , N + 1, h =

b − a

N + 1

,

oraz dwie funkcje siatkowe

u

h

= {u

0

, u

1

, · · · , u

N +1

},

v

h

= {v

0

, v

1

, · · · , v

N +1

}.

Niech

∆u

k

= u

k+1

− u

k

,

r´

o˙znica ”w prz´

od”,

∇u

k

= u

k

− u

k−1

,

r´

o˙znica ”w ty l”.

Nietrudno zauwa˙zy´

c, ˙ze

N

X

j=1

v

j

∆u

j

= −

N

X

j=1

u

j

∇v

j

+ v

N

u

N +1

− v

0

u

1

.

Je´sli v

0

= 0 i u

N +1

= 0, to

N

X

j=1

v

j

∆u

j

= −

N

X

j=1

u

j

∇v

j

.

Ca lkowa nier´

owno´

s´

c Friedrichsa.

Niech u : [0, L] → R b

,

edzie funkcj

,

a r´

o˙zniczkowaln

,

a. Mamy wtedy dla t ∈

[0, L]

u(t) = u(0) +

Z

t

0

u

0

(s)ds.

Za l´

o˙zmy, ˙ze u spe lnia (lewostronnie) warunek brzegowy Dirichleta u(0) = 0.

Wtedy u(t) =

R

t

0

u

0

(s)ds, i st

,

ad

|u(t)|

2

≤

Z

t

0

1ds

Z

t

0

|u

0

(s)|

2

ds = t

Z

t

0

|u

0

(s)|

2

ds ≤ tku

0

k

2
0

,

25

gdzie k · k

0

oznacza norm

,

e przestrzeni L

2

(0, L). St

,

ad ostatecznie

kuk

2
0

=

Z

L

0

|u(s)|

2

ds ≤

L

2

2

ku

0

k

2
0

.

Otrzymali´smy w ten spos´

ob ca lkow

,

a nier´

owno´

s´

c Friedrichsa:

Je´

sli u(0) = 0, to

(∗)

kuk

2
0

≤

L

2

2

ku

0

k

2
0

.

W przestrzeni C

1

([0, L]) |u|

1

= ku

0

k

0

jest seminorm

,

a, ale w jej pod-

przestrzeni C

1

0

([0, L]) funkcji spe lniaj

,

acych jednorodny warunek brzegowy

Dirichleta (wystarczy lewostronnie!), | · |

1

jest norm

,

a.

Przestrzenie Sobolewa.

Niech (a, b) b

,

edzie przedzia lem. Zerowa przestrze´

n Sobolewa:

H

0

(a, b) = L

2

(a, b).

Aby zdefiniowa´

c przestrze´

n H

1

(a, b) okre´slimy najpierw przestrze´

n G

1

([a, b])

funkcji u : [a, b] → R ci

,

ag lych i maj

,

acych w [a, b] pochodn

,

a ca lkowaln

,

a z

kwadratem. W G

1

([a, b]) okre´slimy iloczyn skalarny

(u, v)

1

= (u, v)

0

+ (u

0

, v

0

)

0

i zwi

,

azan

,

a z nim norm

,

e

kuk

1

= (u, u)

1
2

1

,

gdzie (u, v)

0

=

R

b

a

u(s)v(s)ds jest iloczynem skalarnym w przestrzeni L

2

(a, b).

Przestrze´

n Sobolewa H

1

(a, b), to uzupe lnienie przestrzeni G

1

([a, b])

w normie k · k

1

.

Przez C

∞

(a, b) oznaczymy przestrze´

n funkcji okre´slonych na przedziale (a, b),

kt´

ore maj

,

a wszystkie pochodne ci

,

ag le, za´s przez C

∞

0

(a, b) ⊂ C

∞

(a, b) jej

podprzestrze´

n funkcji o no´sniku zwartym, zawartym w (a, b).

26

Przestrze´

n Sobolewa H

1

0

(a, b), to uzupe lnienie przestrzeni C

∞

0

(a, b)

w normie k · k

1

4

Mamy nast

,

epuj

,

ace inkluzje:

H

1

0

(a, b) ⊂ H

1

(a, b) ⊂ H

0

(a, b).

W przestrzeni G

1

([a, b]), a wi

,

ec tak˙ze i w przestrzeni H

1

(a, b) |u|

1

= ku

0

k

0

jest seminorm

,

a (zastan´

ow si

,

e dlaczego?). Natomiast w H

1

0

(a, b), |u|

1

jest

norm

,

a r´

ownowa ˙zn

,

a normie k · k

1

. Wynika to z nier´

owno´sci Friedrichsa:

Oczywi´scie |u|

2
1

= ku

0

k

2
0

≤ kuk

2
0

+ ku

0

k

2
0

. Z drugiej strony, z nier´

owno´sci

Friedrichsa:

|u|

2
1

≤ kuk

2
1

≤ (1 +

L

2

2

)|u|

2
1

.

Uog´

olnienia.

Niech Ω ⊂ R

d

b

,

edzie obszarem ograniczonym o brzegu

kawa lkami g ladkim. Analogicznie jak wy˙zej okre´slimy najpierw przestrze´

n

G

1

( ¯

Ω) funkcji ci

,

ag lych u : ¯

Ω → R, kt´

ore maj

,

a pierwsze pochodne cz

,

astkowe

ca lkowalne z kwadratem na ¯

Ω. W przestrzeni G

1

( ¯

Ω) okre´slimy iloczyn skalar-

ny

(u, v)

1

= (u, v)

0

+

d

X

j=1

(

∂

∂x

j

u,

∂

∂x

j

v)

0

i zwiazan

,

a z nim norm

,

e k · k

1

.

Uzupe lnienie przestrzeni G

1

( ¯

Ω) w normie k · k

1

, to przestrze´

n

Sobolewa H

1

(Ω).

Podobnie, uzupe lnienie w tej samej normie k · k

1

przestrzeni

C

∞

0

(Ω) funkcji o no´

sniku zwartym, zawartym w Ω, maj

,

acych wszys-

tkie pochodne cz

,

astkowe ci

,

ag le w obszarze Ω, to przestrze´

n Sobole-

wa H

1

0

(Ω).

Wy ˙zsze pochodne. Oznaczmy przez α wielowskaznik, to jest wektor α =
[i

1

, i

2

, · · · , i

d

] o wsp´

o lrz

,

ednych ca lkowitych. Niech |α| =

P

d
j=1

i

j

. Niech

D

α

u =

∂

|α|

∂x

i

1

1

∂x

i

2

2

· · · ∂x

i

d

d

u.

4

Mo˙zna uwa˙za´

c H

1

0

(a, b) za zbi´

or tych element´

ow przestrzeni H

1

(a, b), kt´

ore spe lniaj

,

a

jednorodny warunek Dirichleta.

27

Okre´slimy G

k

( ¯

Ω) jako przestrze´

n funkcji u : ¯

Ω → R kt´

ore s

,

a klasy C

k−1

, za´s

ich k-te pochodne cz

,

astkowe s

,

a ca lkowalne z kwadratem na ¯

Ω. Na G

k

( ¯

Ω)

zdefiniujemy iloczyn skalarny

(u, v)

k

=

X

|α|≤k

(D

α

u, D

α

v)

0

,

oraz odpowiadaj

,

ac

,

a mu norm

,

e k · k

k

.

Uzupe lnienie G

k

( ¯

Ω) w normie k · k

k

, to przestrze´

n H

k

(Ω). Podob-

nie, uzupe lnienie w tej normie przestrzeni C

∞

0

(Ω), to H

k

0

(Ω).

Mamy w ten spos´

ob dwie skale przestrzeni Sobolewa:

· · · H

k

(Ω) ⊂ H

k−1

(Ω) ⊂ · · · ⊂ H

0

(Ω),

oraz

· · · H

k

0

(Ω) ⊂ H

k−1

0

(Ω) ⊂ · · · ⊂ H

0

(Ω)

przy czym dla ka˙zdego k

H

k

0

(Ω) ⊂ H

k

(Ω).

Uwagi.

• Elementy przestrzeni H

1

(a, b), to funkcje ci

,

ag le.

Naszkicujemy tutaj dow´

od tego faktu. Je´sli u ∈ G

1

([a, b]), to ∀

x,y

∈

[a, b]

u(y) − u(x) =

Z

y

x

u

0

(s)ds.

St

,

ad (nier´

owno´s´

c Schwarza)

(∗)

|u(y) − u(x)| ≤

q

(|y − x|)kuk

1

.

Pami

,

etamy, ˙ze G

1

([a, b]) jest zbiorem g

,

estym w H

1

(a, b). We´

zmy wi

,

ec

dowolny ci

,

ag Cauchy’ego w G

1

([a, b]). Z nier´

owno´sci (*) wynika, ˙ze

elementy tego ci

,

agu s

,

a jednakowo ci

,

ag le w normie sup, a da si

,

e tak˙ze

udowodni´

c, ˙ze s

,

a one wsp´

olnie ograniczone. Mo˙zna zatem zastosowa´

c

28

Twierdzenie Ascoli-Arzela, z kt´

orego wynika, ˙ze z takiego ci

,

agu wybie-

rzemy podci

,

ag jednostajnie zbie˙zny do funkcji ci

,

ag lej. Wyci

,

agamy te˙z

wniosek, ˙ze wszystkie takie podci

,

agi s

,

a zbie˙zne do tej samej granicy,

kt´

or

,

a identyfikujemy z elementem przestrzeni H

1

(a, b).

Takiego faktu nie da si

,

e udowodni´

c dla H

1

(Ω), je´sli Ω jest obszarem w

R

d

, gdzie d > 1.

• Twierdzenie o ´

sladzie.Niech Ω ⊂ R

d

b

,

edzie obszarem ograniczonym,

o brzegu ∂Ω kawa lkami g ladkim, bez ostrzy. Wtedy istnieje operator

´

sladu

γ : H

1

(Ω) → L

2

(∂Ω)

taki, ˙ze

1.

∃

C>0

∀

v∈H

1

(Ω)

kγvk

0,∂Ω

≤ Ckvk

1,Ω

,

2.

∀

v∈G

1

( ¯

Ω)

γv(p) = v(p), p ∈ ∂Ω.

Dow´

od. Dow´

od przeprowadzimy w przypadku, gdy d = 2, oraz gdy Ω

jest prostok

,

atem o ´scianach r´

ownoleg lych do osi uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych.

Taki obszar ma brzeg kawa lkami g ladki, to znaczy, ˙ze daje si

,

e rozbi´

c na

sko´

nczon

,

a liczb

,

e kawa lk´

ow, kt´

ore dadz

,

a si

,

e sparametryzowa´

c w przy

pomocy funkcji klasy C

1

. Ten brzeg jest tak˙ze pozbawiony ostrzy, co

oznacza, ˙ze w ˙zadnym punkcie dwa kawa lki brzegu nie maj

,

a wsp´

olnej

stycznej.  Latwo uog´

olni´

c ten dow´

od na przypadek brzegu ∂Ω opisanego

innymi krzywymi.

∗

.

.

.

.

.

.

.

∗

.

.

.

.

.

.

.

a

∗

∗

∗

∗

.

.

.

.

∗

.

.

∗

.

.

.

.

p

∗

Ω

p

.

∗

r

.

Ω

.

∗

.

.

∗

.

.

.

.

b

∗

∗

∗

∗

.

.

.

.

∗

.

.

.

.

.

.

.

∗

.

.

.

.

.

.

.

29

Niech u ∈ G

1

( ¯

Ω), wtedy kuk

1

< ∞. Niech p = (x

0

, y) (punkt le˙z

,

acy na

brzegu) i po l´

o˙zmy

φ(t) = u(x

0

+ t, y).

Wtedy

φ

0

(t) = u

x

(x

0

+ t, y),

oraz

φ(t) = φ(0) +

Z

t

0

φ

0

(s)ds.

St

,

ad dla r > 0

rφ(0) =

Z

r

0

φ(t)dt −

Z

r

0

Z

t

0

φ

0

(s)dsdt.

Po zmianie kolejno´sci ca lkowania w ca lce podw´

ojnej dostaniemy

rφ(0) =

Z

r

0

φ(t)dt −

Z

r

0

(r − s)φ

0

(s)ds.

Stosuj

,

ac nier´

owno´s´

c (x + y)

2

≤ 2x

2

+ 2y

2

i potem nier´

owno´s´

c Schwarza,

dostaniemy kolejno

r

2

φ(0)

2

≤ 2[

Z

r

0

1φ(t)dt]

2

+ 2[

Z

r

0

φ

0

(s)ds]

2

≤

≤ 2r

Z

r

0

φ(t)

2

dt +

2

3

r

3

Z

r

0

φ

0

(s)

2

ds,

oraz

u(x

0

, y)

2

≤

2

r

Z

r

0

u(x

0

+ t, y)

2

dt +

2

3

r

Z

r

0

u

x

(x

0

+ s, y)

2

ds.

Po sca lkowaniu wzgl

,

edem y w przedziale [a, b] (patrz rysunek) dostaniemy

Z

b

a

u(x

0

, y)

2

dy ≤

2

r

kuk

2
0,Ω

p

+

2

3

rku

x

k

2
0,Ω

p

.

Zatem

kγuk

2
0,Γ

a,b

≤ C(Ω

p

)kuk

2
1,Ω

p

i st

,

ad otrzymujemy dla dowolnego elementu u ∈ G

1

( ¯

Ω)

kγuk

2
0,∂Ω

≤ C(Ω)kuk

2
1,Ω

.

Wykorzystuj

,

ac g

,

esto´

s´

c G

1

( ¯

Ω) w H

1

(Ω) i zupe lno´

s´

c przestrzeni L

2

(∂Ω),

wnioskujemy, ˙ze operator ´

sladu γ jest okre´slony na ca lej przestrzeni

H

1

(Ω) i, ˙ze odwzorowuje on przestrze´

n H

1

(Ω) w (cz

,

e´s´

c) przestrzeni

L

2

(∂Ω) a wi

,

ec γ : H

1

(Ω) → L

2

(∂Ω).

30

R´

o ˙znicowa nier´

owno´

s´

c Friedrichsa. Ta nier´

owno´s´

c jest odpowiednikiem

ca lkowej nier´

owno´sci Friedrichsa. Jest przydatna przy badaniu stabilno´sci

schemat´

ow r´

o˙znicowych. Wyprowadzimy j

,

a w przypadku jednowymiarowym.

Niech na przedziale [0, L] dana b

,

edzie siatka punkt´

ow o sta lym kroku

x

k

= x

0

+ kh, k = 0, 1, · · · , N + 1, h =

L

N +1

oraz funkcja siatkowa

u

h

= {u

0

, u

1

, · · · , u

N +1

}.

Mamy

u

k

= u

0

+ (u

1

− u

0

) + (u

2

− u

1

) + · · · + (u

k

− u

k−1

),

sk

,

ad

u

k

= u

0

+ h

k−1

X

j=0

∆u

j

h

,

a wi

,

ec, je´sli u

0

= 0, to

u

k

= h

k−1

X

j=0

∆u

j

h

.

St

,

ad, po zastosowaniu nier´

owno´sci Schwarza

|u

k

| =








h

k−1

X

j=0

1 ·

∆u

j

h








≤

√

hk

v
u
u
u
t

h

k−1

X

j=0

(

∆u

j

h

)

2

.

Zatem

|u

k

|

2

≤ kh · h

N

X

j=0

(

∆u

j

h

)

2

,

oraz st

,

ad

h

N +1

X

k=0

|u

k

|

2

≤ h

2

N +1

X

k=0

kh

N

X

j=0

(

∆u

j

h

)

2

=

= h

2

N + 1

2

(N + 2)h

N

X

j=0

(

∆u

j

h

)

2

.

Otrzymali´smy w ten spos´

ob oszacowanie dla dyskretnej normy L

2

ku

h

k

2
0,h

= h

N +1

X

k=0

|u

k

|

2

≤ L

2

|u

h

|

2
1,h

,

31

gdzie |u

h

|

2
1,h

= h

P

N
j=0

(

∆u

j

h

)

2

. Jest to r´

o˙znicowa forma nier´

owno´sci Friedrichsa.

Uog´

olnienie. Niech ¯

Ω

h

= Ω

h

∪ Γ

h

b

,

edzie obszarem siatkowym w R

d

. Oz-

naczmy jeszcze

Ω

+
h

i

= {p ∈ ¯

Ω

h

|p ∈ ¯

Ω

h

⇒ p + e

i

h

i

∈ ¯

Ω

h

},

gdzie e

i

jest wersorem i−tej osi uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych, za´s h

i

- krokiem siatki

w kierunku tej osi.

Je´

sli u

h

: ¯

Ω

h

→ R, oraz u

h

(p) = 0 dla p ∈ Γ

h

, to

ku

h

k

2
0,h

≤ C(Ω)h

i

X

p∈Ω

+
hi

(

∆u

h

(p)

h

)

2

,

gdzie C(Ω) jest sta l

,

a zale˙zn

,

a tylko od obszaru Ω.

32

Wyk lad 5.

Oszacowania a priori. Stabilno´

s´

c w normach typu L

2

.

Rozwa˙zmy nast

,

epuj

,

acy bardzo prosty przyk lad zagadnienia brzegowego

(1)

−u

00

(t) + cu(t) = f (t)

t ∈ (a, b), c ≤ 0

(2)

u(a) = u(b) = 0.

Za l´

o˙zmy, ˙ze istnieje rozwi

,

azanie klasyczne u, pomn´

o˙zmy stronami r´

ownanie

(1) przez u i sca lkujmy w przedziale [a, b]. Ca lkuj

,

ac przez cz

,

e´sci otrzymamy

(3) −u

0

(b)u(b) + u

0

(a)u(a) +

Z

b

a

(u

0

(t))

2

dt + c

Z

b

a

(u(t))

2

dt =

Z

b

a

f (t)u(t)dt,

za´s st

,

ad, wykorzystuj

,

ac warunki brzegowe

|u|

2
1

+ ckuk

2
0

=

Z

b

a

f (t)u(t)dt ≤ K

1

kf k

0

kuk

0

≤ K

2

kf k

0

|u|

1

≤ K

3

kf k

0

kuk

1

.

W ten spos´

ob dostajemy tak zwane oszacowanie a priori rozwi

,

azania u

|u|

1

≤ K

2

kf k

0

,

lub

kuk

0

≤ K

4

kf k

0

,

lub te˙z

kuk

1

≤ K

5

kf k

0

.

Oszacowania te oznaczaj

,

a, ˙ze rozwi

,

azanie zale˙zy w spos´

ob ci

,

ag ly od danych

zadania. M´

owimy, ˙ze zadanie (1)(2) jest dobrze postawione.

Przypu´s´

cmy teraz, ˙ze zagadnienie (1)(2) zosta lo zaaproksymowane na

siatce

t

0

= a, t

k

= t

0

+ kh, k = 0, 1, · · · , N + 1

przez schemat r´

o˙znicowy

−

∇∆u

k

h

2

+ cu

k

= f

k

, k = 1, 2, · · · , N,

u

0

= u

N +1

= 0.

33

Post

,

epuj

,

ac w spos´

ob analogiczny, jak w przypadku zagadnienia r´

o˙zniczkowego

(1)(2), po uwzgl

,

ednieniu wzoru na sumowanie przez cz

,

e´sci oraz nier´

owno´sci

Friedrichsa w wersji r´

o˙znicowej, dostaniemy

h

N

X

j=0

(

∆u

j

h

)

2

+ ch

N +1

X

k=0

u

2
k

=

N +1

X

k=0

f

k

u

k

za´s st

,

ad otrzymamy oszacowania

ku

h

k

h

≤ Ckf

h

k

0,h

,

gdzie jako k · k

h

mo˙zna przyj

,

a´

c ka˙zd

,

a z norm k · k

0,h

lub k · k

1,h

. Zauwa˙zmy od

razu, ˙ze z tej ostatniej nier´

owno´sci wynika istnienie jednoznacznego rozwi

,

aza-

nia naszego schematu (mamy bowiem do czynienia z uk ladem r´

owna´

n alge-

braicznych liniowych o macierzy kwadratowej!). Ten fakt, oraz otrzymane
oszacowanie oznaczaj

,

a stabilno´

s´

c schematu w ka˙zdej z wymienionych wy˙zej

norm siatkowych.

Nier´

owno´

sci macierzowe. Normy energetyczne.

Niech A b

,

edzie macierz

,

a kwadratow

,

a, rzeczywist

,

a. Je´

sli dla ka ˙z-

dego wektora x 6= 0 mamy (Ax, x) > 0, to m´

owimy, ˙ze A > 0, lub ˙ze

macierz jest okre´

slona dodatnio. Je´

sli natomiast dla macierzy A i

B zachodzi zwi

,

azek A − B > 0, to m´

owimy, ˙ze A > B. Zauwa ˙zmy, ˙ze

relacja > dla macierzy jest jedynie porz

,

adkiem cz

,

e´

sciowym. Ana-

logicznie, okre´

slamy nier´

owno´

s´

c nie ostr

,

a dla macierzy w oparciu o

poj

,

ecie macierzy okre´

slonej nie ujemnie. Macierz A jest okre´

slona

nie ujemnie, je´

sli dla ka ˙zdego wektora x, (Ax, x) ≥ 0.

Normy Energetyczne.

Niech B b

,

edzie macierz

,

a kwadratow

,

a wymiaru N × N , rzeczywist

,

a, sy-

metryczn

,

a i dodatnio okre´slon

,

a. W naszej przestrzeni wektorowej mamy

iloczyn skalarny (u, v) =

P

N
j=1

u

j

v

j

.

Przy pomocy macierzy B mo˙zemy

okre´sli´

c nowy iloczyn skalarny (u, v)

B

= (Bu, v), oraz zwi

,

azan

,

a z nim norm

,

e

kuk

B

=

q

(u, u)

B

. Jest to norma energetyczna zwi

,

azana z macierz

,

a B.

34

Zapis macierzowy schemat´

ow r´

o ˙znicowych.

Niekiedy jest wygodnie zapisa´

c schemat r´

o˙znicowy (liniowy) w postaci

uk ladu r´

owna´

n algebraicznych liniowych

A

h

u

h

= g

h

.

De facto jest to rodzina uk lad´

ow, gdzie h ∈ ω ⊂ R, gdzie ω jest rozwa˙zanym

zbiorem indeks´

ow h; jedynym jego punktem skupienia jest 0. Znajomo´s´

c

w lasno´sci macierzy A

h

mo˙ze by´

c pomocna przy badaniu stabilno´sci rozwa˙za-

nego schematu. Istotnie:
Je´

sli rodzina macierzy A

h

, h ∈ ω jest wsp´

olnie jednostajnie dodatnio okre´

slona,

to znaczy, je´

sli

∃

γ>0

,

˙ze ∀

h∈ω

i ∀

u

h

6=0

, (A

h

u

h

, u

h

)

h

≥ γku

h

k

2
h

,

to schemat jest stabilny w normie k · k

h

Dow´

od. Mamy:

(g

h

, u

h

)

h

= (A

h

u

h

, u

h

)

h

≥ γku

h

k

2
h

,

i st

,

ad

ku

h

k

h

≤

1

γ

kg

h

k

h

.

Uwaga. Je´sli sta la γ jest bardzo ma la, to sta la w warunku stabilno´sci

1

γ

b

,

edzie bardzo du˙za. Oznacza to, ˙ze rozwi

,

azanie u

h

mo˙ze by´

c bardzo wra˙zliwe

ze wzgl

,

edu na zaburzenia g

h

. Wtedy mo˙ze by´

c wygodnie zastosowa´

c inn

,

a

norm

,

e:

kg

h

k

2
h

= (A

h

u

h

, A

h

u

h

)

h

= (A

h

u

h

, S

h

S

h

u

h

)

h

,

gdzie A

h

= S

2

h

(taka macierz S

h

zawsze istnieje i jest symetryczna i dodatnio

okre´slona, oraz komutuje z macierz

,

a A

h

). Mamy wi

,

ec

kg

h

k

2
h

= (S

h

A

h

u

h

, S

h

u

h

)

h

= (A

h

S

h

u

h

, S

h

u

h

)

h

≥ γku

h

k

2
A

h

,

za´s st

,

ad ostatecznie

ku

h

k

A

h

≤

1

√

γ

kg

h

k

h

.

W ten spos´

ob zmniejszyli´smy sta l

,

a stabilno´sci.

35

Mo˙zna podobny efekt uzyska´

c tak˙ze inaczej. Niech B

h

= B

T

h

> 0, i przypu´s´

c-

my, ˙ze

∃

α≥0

nie zale˙zne od h, takie, ˙ze (A

h

u

h

, u

h

)

h

≥ α(B

h

u

h

, u

h

)

h

.

Wtedy mamy:

αku

h

k

2
B

h

= α(B

h

u

h

, u

h

)

h

≤ (A

h

u

h

, u

h

)

h

=

= (g

h

, u

h

)

h

= (B

h

B

−1

h

g

h

, u

h

)

h

= (B

−1

h

g

h

, B

h

u

h

)

h

≤

≤

q

(B

−1

h

g

h

, g

h

)

h

q

(B

−1

h

B

h

u

h

, B

h

u

h

)

h

=

= kg

h

k

B

−1

h

ku

h

k

B

h

,

i st

,

ad

ku

h

k

B

h

≤

1

α

kg

h

k

B

−1

h

.

36

Wyk lad 6

Przyk lad (agitacja) Rozwa˙zamy dobrze nam znane zagadnienie brzegowe

(1)

−u

00

(t) + cu(t) = f (t), t ∈ (o, 1)

(2)

u(0) = 0, u(1) = 0.

Niech V = C

1

([0, 1]) i niech V

0

= {v ∈ V | v(0) = v(1) = 0}. Pomno˙zymy

stronami r´

ownanie (1) przez v ∈ V

0

i sca lkujemy w przedziale (0, 1) wyko-

rzystuj

,

ac wz´

or na ca lkowanie przez cz

,

e´sci oraz uwzgl

,

edniaj

,

ac fakt, ˙ze wyraz

brzegowy znika; otrzymamy

Z

1

0

(u

0

(t)v

0

(t) + cu(t)v(t))dt =

Z

1

0

f (t)v(t)dt.

Oznaczmy:

a(u, v) =

Z

1

0

(v

0

(t)u

0

(t) + cu(t)v(t))dt,

lv =

Z

1

0

f (t)v(t)dt.

Zauwa˙zmy, ˙ze

a : V × V → R jest form

,

a dwuliniow

,

a nad V

l : V → R jest form

,

a liniow

,

a nad V .

Zatem, zagadnienie (1)(2) zast

,

apili´smy innym zagadnieniem

(3)

znajd´

z u ∈ V

0

, takie, ˙ze ∀

v∈V

0

a(u, v) = lv.

Jest to r´

ownanie wariacyjne. Zagadnienie (3) jest sformu lowaniem uo-

g´

olnionym zagadnienia (1),(2). Rzeczywi´scie, mo˙zemy uwa˙za´

c (3) za uog´

ol-

nienie (1),(2), gdy˙z rozwi

,

azanie klasyczne u zagadnienia (1)(2), je´sli istnieje,

to spe lnia r´

ownanie wariacyjne (3), za´s nie ka˙zde rozwi

,

azanie r´

ownania war-

iacyjnego (3) musi spe lnia´

c (1)(2). Zauwa˙zmy, ˙ze rozwi

,

azania r´

ownania war-

iacyjnego (3) nie musz

,

a by´

c dwukrotnie r´

o˙zniczkowalne: mog

,

a by´

c tylko

jeden raz r´

o˙zniczkowalne!

37

We´

zmy teraz pod uwag

,

e inne zagadnienie brzegowe

(4)

−u

00

(t) + cu(t) = f (t), t ∈ (0, 1),

(5)

u

0

(0) = a, u

0

(1) = b.

Warunki brzegowe (5) mo˙zemy interpretowa´

c tak: zadana jest pochodna nor-

malna zewn

,

etrzna do brzegu obszaru Ω = (0, 1), a wi

,

ec jest to warunek brze-

gowy Neumanna.

Post

,

apimy teraz w podobny spos´

ob jak poprzednio. Pomno˙zymy stro-

nami r´

ownanie (4), tym razem jednak przez dowolny element przestrzeni

V = C

1

([0, 1]). Po sca lkowaniu przez cz

,

e´sci w przedziale (0, 1), otrzymamy

Z

1

0

(u

0

(t)v

0

(t) + cu(t)v(t))dt =

Z

1

0

f (t)v(t)dt − av(0) + bv(1).

Mo˙zemy teraz napisa´

c r´

ownanie wariacyjne

(6)

a(u, v) = lv + gv,

gdzie

a : V × V → R,

l, g : V → R,

a(u, v) =

Z

1

0

(u

0

(t)v

0

(t) + cu(t)v(t))dt,

lv =

Z

1

0

f (t)v(t)dt,

gv = bv(1) − av(0).

R´

ownania wariacyjne (3) i (6) maj

,

a nast

,

epuj

,

ac

,

a w lasno´s´

c: je´

sli prawa

strona r´

ownania r´

o˙zniczkowego f jest ci

,

ag la w (0, 1) i je´

sli

u ∈ C

2

jest

rozwi

,

azaniem, to u spe lnia odpowiednio (1)(2), lub (4)(5).

Sprawd´

zmy to na przyk lad dla (6). Niech najpierw v ∈ V

0

. Poniewa˙z

u ∈ C

2

to w (6) mo˙zemy ponownie sca lkowa´

c przez cz

,

e´sci i otrzymamy

Z

1

0

(−u

00

(t) + cu(t) − f (t))v(t)dt = 0, ∀

v∈V

0

.

Ze wzgl

,

edu na to, ˙ze v(0) = v(1) = 0, mamy g(v) = 0. Poniewa˙z

−u

00

(t) + cu(t) − f (t), t ∈ (0, 1)

38

jest funkcj

,

a ci

,

ag l

,

a, to warunek znikania ca lki dla wszystkich v ∈ V

0

poci

,

aga

(7)

−u

00

(t) + cu(t) = f (t), t ∈ (0, 1),

a wi

,

ec spe lnione jest r´

ownanie r´

o˙zniczkowe (4). Wybierzmy teraz v ∈ V ;

mno˙z

,

ac stronami r´

ownanie (4) przez v ∈ V i ca lkuj

,

ac przez cz

,

e´sci otrzymamy

a(u, v) = lv + u

0

(1)v(1) − u

0

(0)v(0).

Po odj

,

eciu stronami r´

ownania (6), otrzymamy

(u

0

(1) − b)v(1) − (u

0

(0) − a)v(0) = 0.

Mo˙zemy teraz dobra´

c v ∈ V tak, aby najpierw v(0) = 1,

v(1) = 0, oraz

nast

,

epnie tak, aby v(0) = 0, v(1) = 1; otrzymamy

u

0

(0) = a, u

0

(1) = b.

Widzimy wi

,

ec, ˙ze spe lniony jest r´

ownie˙z warunek Neumanna.

W lasno´

sci form a i l

Stosuj

,

ac nier´

owno´s´

c Schwarza wyprowadzimy  latwo nast

,

epuj

,

ace nier´

owno´sci

|a(u, v)| ≤ M kuk

1

kvk

1

,

oraz

|lv| ≤ Lkvk

0

≤ Lkvk

1

,

gdzie M i L s

,

a sta lymi. Nier´

owno´sci te oznaczaj

,

a ci

,

ag lo´

s´

c (ograniczono´

s´

c)

rozwa˙zanych form.

Nie trudno te˙z oszacowa´

c wyra˙zenie a(u, u) z do lu:

a(u, u) =

Z

1

0

(u

0

(t)

2

+ cu(t)

2

)dt ≥ min{1, c}

Z

1

0

(u

0

(t)

2

) + u(t)

2

)dt ≥ γkuk

2
1

,

gdzie γ = min{1, c} w tym przypadku. Ta ostatnia nier´

owno´s´

c oznacza

koercywno´

s´

c formy a w przestrzeni V .

Sformu lowania (3) i (6) s

,

a uog´

olnione w tym sensie, ˙ze od rozwi

,

azania

nie wymagaj

,

a jego dwukrotnej r´

o˙zniczkowalno´sci. Formalnie wystarczy przy-

nale˙zno´s´

c do V = C

1

([0, 1]).

Jednak nie potrafimy udowodni´

c istnienia

39

i jednoznaczno´sci rozwi

,

azania tak postawionego zadania.

Potrzebne jest

tu jeszcze wi

,

eksze rozszerzenie przestrzeni V

0

, lub V w ten spos´

ob, aby

uzyska´

c ich zupe lno´s´

c w sensie naturalnej dla tych przestrzeni normy k · k

1

.

Tak

,

a przestrzeni

,

a jest H

1

0

(0, 1) dla zadania (3), za´s H

1

(0, 1) dla zadania

(6). Ze wzgl

,

edu na g

,

esto´s´

c V

0

lub odpowiednio V w przestrzeni H

1

0

(0, 1),

wzgl

,

ednie H

1

(0, 1), oraz ze wzgl

,

edu na ograniczono´s´

c rozpatrywanych form

a i l, formy te mo˙zna przed lu˙zy´

c w spos´

ob zachowuj

,

acy ci

,

ag lo´s´

c i koercywno´s´

c

na przestrzenie H

1

0

(0, 1) i H

1

(0, 1).

Doszli´smy w ten spos´

ob do pe lnego sformu lowania uog´

olnionego.

Niech (V, (·, ·)) b

,

edzie rzeczywist

,

a przestrzeni

,

a Hilberta.

Dana jest forma dwuliniowa

a : V × V → R,

• ci

,

ag la: ∃

M >0

, taka, ˙ze ∀

u,v∈V

|a(u, v)| ≤ M kukkvk,

• i koercywna: ∃

γ>0

taka, ˙ze ∀

u∈V

γkuk

2

≤ a(u, u)

oraz forma liniowa

l : V → R

ci

,

ag la: ∃

L≥0

∀

v∈V

|lv| ≤ Lkvk.

(∗)

Poszukujemy u ∈ V

takiego, ˙ze a(u, v) = lv,

∀

v∈V

.

Dla rozpatrywanych uprzednio przyk lad´

ow nale˙zy przyj

,

a´

c H

1

0

(0, 1) dla

zadania (3), za´s H

1

(0, 1) dla zadania (6).

Zajmiemy si

,

e teraz spraw

,

a istnienia i jednoznaczno´sci rozwi

,

azania zagad-

nienia (∗).

Twierdzenie Laxa - Milgrama. Niech (V, (·, ·)) b

,

edzie rzeczywist

,

a przestrzeni

,

a

Hilberta,

a : V × V → R,

form

,

a dwuliniow

,

a ograniczon

,

a i koercywn

,

a,

l : V → R

40

form

,

a liniow

,

a ograniczon

,

a.

Wtedy r´

ownanie wariacyjne (∗) ma jednoznaczne rozwi

,

azanie u ∈ V .

Dow´

od. Ustalmy chwilowo u ∈ V ;

v 7→ a(u, v)

dla ka˙zdego u ∈ V ustalonego jest funkcjona lem liniowym nad V . Zatem
mamy operator

A : V → V

0

,

Au = a(u, ·),

gdzie V

0

oznacza przestrze´

n dualn

,

a do przestrzeni V , to jest przestrze´

n

wszystkich funkcjona l´

ow liniowych i ograniczonych nad przestrzeni

,

a V .

Dla przestrzeni Hilberta V zachodzi Twierdzenie Riesza:

Istnieje izomorfizm liniowy (izometria)

τ : V

0

→

na

V,

taki, ˙ze dla ka˙zdego f ∈ V

0

, τ f = v

f

∈ V i kf k = kv

f

k, oraz dla ka˙zdego

v ∈ V

f v = (v

f

, v).

Mamy wi

,

ec a(u, v) = (τ (Au), v), a wi

,

ec a(u, v) = lv mo˙zna zapisa´

c

r´

ownowa˙znie

(τ (Au), v) = (τ (l), v).

Zatem nasze zadanie (∗) jest r´

ownowa˙zne r´

ownaniu operatorowemu

(∗∗)

Au = l.

Zauwa˙zmy, ˙ze operator A jest liniowy i ograniczony. Liniowo´s´

c wynika

bezpo´srednio z liniowo´sci a.
Udowodnimy ograniczono´s´

c A. Mamy

kAuk =

= sup

kwk=1

|Auw| = sup

kwk=1

(τ (Au), w) = sup

kwk=1

|a(u, w)| ≤ M kukkwk = M kuk,

41

gdzie M jest sta l

,

a ci

,

ag lo´sci formy a. To oznacza, ˙ze norma A jest ograniczona

z g´

ory przez M . Teraz poka˙zemy, ˙ze r´

ownanie Au = l ma jednoznaczne

rozwi

,

azanie. Zastosujemy, twierdzenie Banacha o punkcie sta lym.

Niech

Φ(v) = v + ρτ (l − Av),

gdzie ρ > 0; mamy

Φ : V → V.

Udowodnimy, ˙ze mo˙zna tak dobra´

c ρ, ˙ze Φ b

,

edzie odwzorowaniem zw

,

e˙za-

j

,

acym. Stad wyniknie, istnienie jedynego u ∈ V , takiego, ˙ze u = Φ(u), a

wi

,

ec Au = l.

Niech v

1

, v

2

∈ V .

Φ(v

1

) − Φ(v

2

) = v

1

− v

2

− ρτ (A(v

1

− v

2

)).

St

,

ad:

kΦ(v

1

) − Φ(v

2

)k

2

= kv

1

− v

2

k

2

+ ρ

2

kτ (A(v

1

− v

2

))k

2

− 2a(v

1

− v

2

, v

1

− v

2

).

Teraz skorzystamy z ograniczono´sci i koercywno´sci formy a.

kΦ(v

1

) − Φ(v

2

)k

2

≤

≤ kv

1

− v

2

k

2

+ ρ

2

M

2

kv

1

− v

2

k

2

− 2ργkv

1

− v

2

k

2

= [M

2

− 2ργ + 1]kv

1

− v

2

k

2

.

A wi

,

ec

kΦ(v

1

) − Φ(v

2

)k ≤ Lkv

1

− v

2

k

gdzie L

2

= M

2

ρ

2

− 2ργ + 1. Widzimy, ˙ze je´sli 0 < ρ <

2γ

M

2

, to 0 ≤ L < 1.

42

Wyk lad 7.

Metoda Ritza - Galerkina. (Sformu lowanie abstrakcyjne.) Niech V, (·, ·)
b

,

edzie przestrzeni

,

a Hilberta. Niech {V

h

}

h∈ω

, V

h

⊂ V b

,

edzie rodzin

,

a pod-

przestrzeni sko´

nczonego wymiaru przestrzeni V . B

,

edziemy chcieli, aby dla

tej rodziny by lo spe lnione nast

,

epuj

,

ace

Za lo ˙zenie. (W lasno´

s´

c aproksymacji) Rodzina podprzestrzeni {V

h

}

h∈ω

przestrzeni V , ma w lasno´

s´

c aproksymacji je´sli

∀

u∈V

∀

h∈ω

∃v

h

(u) ∈ V

h

, ˙ze kv

h

(u) − uk → 0, gdy h → 0.

R´

ownanie przybli ˙zone. Nasze sformu lowanie wariacyjne

(1)

Poszukujemy u ∈ V takiego, ˙ze a(u, v) = lv ∀

v∈V

,

”obetniemy” do przestrzeni V

h

; to znaczy zamienimy (1) przez

(2)

Poszukujemy u

h

∈ V

h

takiego, ˙ze a(u

h

, v

h

) = lv

h

∀

v

h

∈V

h

.

Jest to r´

ownanie przybli˙zone - Metoda ”Ritza - Galerkina”.

Poniewa˙z przestrzenie V

h

s

,

a sko´

nczonego wymiaru, to s

,

a one przestrzeniami

Hilberta (s

,

a zupe lne!).

Ponadto formy a i l zachowuj

,

a swoje w lasno´sci

ograniczono´

sci i koercywno´

sci w przestrzeniach V

h

, ze sta lymi M i γ

niezale˙znymi od h. Zatem dla zagadnienia (2) funkcjonuje Twierdzenie Laxa-
Milgrama, sk

,

ad wynika, ˙ze (2) ma zawsze jednoznaczne rozwi

,

azanie.

Co to jest naprawd

,

e zagadnienie (2)?

Niech

V

h

= span{φ

h
1

, φ

h
2

, · · · , φ

h
N

h

},

gdzie elementy φ

h
j

, j = 1, 2, · · · , N

h

s

,

a liniowo niezale˙zne. St

,

ad wynika, ˙ze

u

h

=

P

N

h

j=1

φ

h
j

c

j

, i ze wzgl

,

edu na liniowo´s´

c form a i l, r´

ownanie (2) mo˙zemy

zapisa´

c r´

ownowa˙znie:

(3)

N

h

X

j=1

a(φ

h
j

, φ

h
k

)c

j

= lφ

h
k

, k = 1, 2, · · · , N

h

,

43

lub, u˙zywaj

,

ac zapisu macierzowego

(4)

A

h

c = l,

gdzie

A

h

= (a

k,j

)

k,j=1,2,···,N

h

, a

k,j

= a(φ

h
j

, φ

h
k

)

jest macierz

,

a wymiaru N

h

× N

h

,

c = [c

1

, c

2

, · · · , c

N

h

]

T

,

jest wektorem, kt´

orego poszukujemy, za´s

l = [lφ

h
1

, lφ

h
2

, · · · , lφ

h
N

h

]

T

.

Inaczej m´

owi

,

ac, Metoda Ritza-Galerkina polega ostatecznie na rozwi

,

azaniu

uk ladu r´

owna´

n algebraicznych liniowych (4).

Zbie ˙zno´

s´

c. Interesuje nas, czy

ku

h

− uk → 0, gdy h → 0,

gdzie u jest rozwi

,

azaniem (1), za´s u

h

jest rozwi

,

azaniem (2), i jak szybko

ku − u

h

k d

,

a˙zy do zera. B

,

edziemy zak lada´

c, ˙ze formy a i l s

,

a ograniczone, za´s

forma a jest r´

ownie˙z koercywna.

Lemat 1. Metoda Ritza-Galerkina jest stabilna.

Dow´

od. Rozwi

,

azanie u

h

r´

ownania (2) istnieje i jest jedyne; wykorzystuj

,

ac

koercywno´s´

c i ograniczono´s´

c form otrzymamy

γku

h

k

2

≤ a(u

h

, u

h

) = |lu

h

| ≤ klkku

h

k,

za´s st

,

ad wynika

ku

h

k ≤

klk

γ

.

Ta nier´

owno´s´

c oznacza stabilno´s´

c.

Lemat 2. Je´

sli u ∈ V jest rozwi

,

azaniem r´

ownania (1), za´

s u

h

∈ V

h

jest

rozwi

,

azaniem r´

ownania (2), to

(5)

a(u − u

h

, v

h

) = 0 ∀

v

h

∈V

h

.

44

Komentarz. Gdyby forma a by la symetryczna, (to znaczy, gdyby ∀

u,v∈V

a(u, v) =

a(v, u)), to wz´

or (5) oznacza lby, ˙ze u

h

jest rzutem ortogonalnym w sensie iloczynu

skalarnego (·, ·)

a

, gdzie (u, v)

a

= a(u, v), elementu u na podprzestrze´

n V

h

dla tego

iloczynu skalarnego. Zatem, dla normy generowanej przez ten iloczyn skalarny u

h

by lby najlepsz

,

a aproksymacj

,

a w przestrzeni V

h

elementu u ∈ V .

Dow´

od. Mamy:

a(u, v

h

) = lv

h

,

u(u

h

, v

h

) = lv

h

,

∀v

h

∈ V

h

, wi

,

ec odejmuj

,

ac stronami powy˙zsze r´

owno´sci otrzymamy tez

,

e.

Twierdzenie C´

ea. Dla rozwi

,

aza´

n u ∈ V i u

h

∈ V

h

r´

owna´

n (1) i (2) zachodzi

oszacowanie

ku − u

h

k ≤

M

γ

inf

v

h

∈V

h

ku − v

h

k,

gdzie M i γ s

,

a sta lymi ci

,

ag lo´

sci i koercywno´

sci formy a.

Dow´

od. Wykorzystuj

,

ac koercywno´s´

c formy a i Lemat 2 otrzymamy

γku − u

h

k

2

≤ a(u − u

h

, u − u

h

) = a(u − u

h

, u) − a(u − u

h

, u

h

) =

= a(u − u

h

, u) − a(u − u

h

, v

h

)

gdzie v

h

∈ V

h

jest dowolnym elementem. St

,

ad

ku − u

h

k ≤

M

γ

ku − v

h

k.

Bior

,

ac po obu stronach ostatniej r´

owno´sci inf

v

h

∈V

h

otrzymamy tez

,

e:

ku − u

h

k ≤

M

γ

inf

v

h

∈V

h

ku − v

h

k.

Wniosek. Je´

sli podprzestrzenie V

h

maj

,

a w lasno´

s´

c aproksymacji, to me-

toda Ritza-Galerkina jest zbie˙zna.

Dow´

od. Istotnie, dla u ∈ V ∃v

h

(u) ∈ V

h

takie, ˙ze ku − v

h

(u)k → 0. Zatem

ku − u

h

k ≤

M

γ

inf

v

h

∈V

h

ku − v

h

k ≤ ku − v

h

(u)k → 0.

45

Twierdzenie C´

ea wskazuje na to, ze jako´s´

c konkretnej wersji Metody

Ritza-Galerkina zale˙zy od tego jak zostan

,

a wybrane przestrzenie sko´

nczonego

wymiaru V

h

. M´

owi

,

ac o jako´sci danej wersji metody mamy na my´sli przede

wszystkim

• szybko´s´c zbie˙zno´sci u

h

do u gdy h → 0,

• posta´c macierzy A

h

uk ladu r´

owna´

n (4); macierz ta jest na og´

o l bardzo

du˙zego wymiaru. Zatem bardzo istotn

,

a pozytywn

,

a jej cech

,

a by laby jej

pasmowo´

s´

c.

Metoda Elementu Sko´

nczonego (MES) - Finite Element Method

(FEM) jest tak

,

a realizacj

,

a Metody Ritza-Galerkina kt´

ora

• pozwala uzyskiwa´c oszacowania szybko´sci zbie˙zno´sci,

• produkuje macierze A

h

uk ladu (4) o budowie pasmowej.

46

Wyk lad 8.

Metoda Elementu Sko´

nczonego.

Konforemna Metoda Elementu

Sko´

nczonego jest szczeg´

olnym przypadkiem Metody Ritza-Galerkina; Metod

,

e

Elementu Sko´

nczonego otrzymujemy dobieraj

,

ac w specjalny spos´

ob pod-

przestrzenie sko´

nczonego wymiaru V

h

. Metoda Elementu Sko´

nczonego jest

konforemna, je´sli dla ka˙zdego h ∈ ω, V

h

⊂ V .

5

Przestrzeni

,

a V , w tym przy-

padku, jest najcz

,

e´sciej jedna z przestrzeni Sobolewa H

m

(Ω), lub H

m

0

(Ω).

Metod

,

e Elementu Sko´

nczonego opiszemy dla nieco uproszczonego przy-

padku, gdy obszar Ω ⊂ R

d

jest wielo´

scianem d−wymiarowym ograni-

czonym, to jest sko´

nczon

,

a sum

,

a mnogo´sciow

,

a simpleks´

ow.

Rozwa˙zmy rodzin

,

e triangulacji zbioru ¯

Ω,

τ

h

= {T

1

, T

2

, · · · , T

M

}.

Liczba M i zbiory T

j

zale˙z

,

a od parametru h ∈ ω, co nie zosta lo uwzgl

,

ednione

w oznaczeniach, aby ich nie komplikowa´

c. Rodzina τ

h

nie musi sk lada´

c si

,

e

z simpleks´

ow. Rozwa˙za si

,

e r´

ownie˙z rozk lady zbioru ¯

Ω na innego rodzaju

podzbiory.

Dla ustalenia uwagi tutaj b

,

edziemy m´

owi´

c o triangulacjach,

pami

,

etaj

,

ac jakie warunki powinien spe lnia´

c taki rozk lad.

Rodzina τ

h

jest regularna je´sli istniej

,

a dwie sta le dodatnie κ i β, niezale˙zne

od h i takie, ˙ze

• βh ≤ h

T

≤ h, gdzie h

T

, to ´srednica simpleksu T ∈ τ

h

, za´s h =

max

T ∈τ

h

{h

T

}.

•

ρ

T

h

T

≥ κ, gdzie ρ

T

jest promieniem kuli wpisanej w T .

Element.

Element, to tr´

ojka

{T, P

T

, Σ

T

},

gdzie

• T ∈ τ

h

,

5

Rozwa˙za si

,

e r´

ownie˙z wersj

,

e niekonforemn

,

a MES. Wtedy warunek V

h

⊂ V

∀

h∈ω

nie jest spe lniony. Do MES niekonforemnej nie stosuje si

,

e przedstawiona wy˙zej teoria

zbie˙zno´

sci oparta na twierdzeniu C´

ea.

47

• P

T

to przestrze´

n liniowa sko´

nczonego wymiaru, funkcji okre´slonych na

zbiorze T ; zwykle wymaga si

,

e ˙zeby przestrze´

n P

T

zawiera la wszystkie

wielomiany stopnia ≤ s, dla pewnego s-naturalnego.

• Σ

T

to tak zwany zbi´

or stopni swobody elementu. Zbi´

or Σ

T

jest sko´

n-

czonym uk ladem liniowo niezale˙znych funkcjona l´

ow nad przestrzeni

,

a

P

T

:

Σ

T

= {φ

h
1

, φ

h
2

, · · · , φ

h
N

h

}.

Funkcjona ly φ

h
1

, · · · , φ

h
N

h

maj

,

a nast

,

epuj

,

ac

,

a w lasno´

s´

c interpolacji: dla

dowolnego uk ladu liczb α

1

, α

2

, · · · , α

N

h

, r´

ownania

φ

h
j

(P ) = α

j

, j = 1, 2, · · · , N

h

wyznaczaj

,

a jednoznacznie element P ∈ P

T

.

Baza dualna. Baz

,

e dualn

,

a budujemy wyznaczaj

,

ac elementy P

1

, P

2

, · · · , P

N

h

z przestrzeni P

T

przy pomocy uk ladu r´

owna´

n

φ

h
j

(P

k

) = δ

k,j

k, j = 1, 2, · · · , N

h

.

Ze wzgl

,

edu na warunki, kt´

ore spe lniaj

,

a stopnie swobody, baza dualna zawsze

istnieje, i jest jedyna.

Zauwa˙zmy, ˙ze maj

,

ac baz

,

e dualn

,

a mo˙zemy bardzo  latwo wyznaczy´

c tak

zwany ”interpolant”, to jest taki element P ∈ P

T

, kt´

ory dla dowolnego

uk ladu liczb α

1

, α

2

, · · · , α

N

h

spe lnia warunki ”interpolacji”:

φ

h
j

(P ) = α

j

, j = 1, 2, · · · , N

h

.

Widzimy, ˙ze

P =

N

h

X

j=1

P

j

α

j

.

W przypadku, gdy funkcjona ly φ

h
j

”wybijaj

,

a” warto´s´

c funkcji w zadanych

punktach jest to prawdziwa interpolacja. Niech bowiem x

h
1

, x

h
2

, · · · , x

h
N

h

b

,

ed

,

a

r´

o˙znymi punktami T . Niech

φ

h
j

(P ) = P (x

h
j

), j = 1, 2, · · · , N

h

.

48

Je´sli {P

1

, P

2

, · · · , P

N

h

} jest baz

,

a dualn

,

a, to

φ

h
k

(P ) = P (x

h
k

) =

N

h

X

j=1

φ

h
k

(P

j

)α

j

= α

k

.

Przestrzenie MES. Przestrzenie V

h

tworzymy ”sklejaj

,

ac” w odpowiedni

spos´

ob funkcje z przestrzeni P

T

. Otrzymujemy funkcje v

h

: Ω → R, v

h

∈ V

h

takie, ˙ze dla ka˙zdego T ∈ τ

h

v

h|T

∈ P

T

.

Je´sli chcemy uzyska´

c konforemn

,

a MES, to sklejanie poszczeg´

olnych cz

,

e´sci v

h

powinno by´

c takie, ˙zeby v

h

∈ V . U˙zywaj

,

ac tych przestrzeni V

h

, kt´

ore w tym

przypadku nazywa si

,

e Przestrzeniami Elementu Sko´

nczonego, wygodnie jest

pos lugiwa´

c si

,

e ich bazami. Przy tworzeniu tych baz cz

,

esto wykorzystujemy

bazy dualne na poszczeg´

olnych elementach.

W naszych rozwa˙zaniach najcz

,

e´sciej wykorzystywali´smy przestrzenie So-

bolewa H

1

(Ω) lub H

1

0

(Ω) jako przestrze´

n V . Og´

olnie, przestrzenie Sobolewa

H

m

(Ω) najcz

,

e´sciej w takiej roli wyst

,

epuj

,

a. Tote˙z ich w lasno´sci b

,

ed

,

a dla nas

najistotniejsze.

Interpolant. Prawdziwe jest nast

,

epuj

,

ace twierdzenie, kt´

ore podajemy tu

bez dowodu

Twierdzenie. (Bramble-Hilbert) Niech Ω ⊂ R

2

i u ∈ H

s

(Ω), gdzie s ≥ 2.

Niech τ

h

b

,

edzie regularn

,

a rodzin

,

a triangulacji obszaru Ω. Wtedy w ka˙zdym

tr´

ojk

,

acie T ∈ τ

h

mo˙zna znale´

z´

c takie punkty

p

1

, p

2

, · · · , p

l

i jedyny taki wielomian P

T,s−1

stopnia nie wi

,

ekszego od s − 1, ˙ze

P

T,s−1

(p

j

) = u(p

j

) j = 1, 2, · · · , l

(Jest to wielomian interpolacyjny Lagrange’a). Wielomiany P

T, s−1

dla po-

szczeg´

olnych T ∈ τ

h

mo˙zna tak ”sklei´

c”, ˙ze powstanie ”splajn” zwany tak˙ze

”interpolantem” I

h

(u). Mamy wtedy:

• I

h

(u) ∈ H

m

0

(Ω) dla pewnego m

0

≤ s

49

• ∀ T ∈ τ

h

I

h

(u)

|T

= P

T,s−1

∈ P

T

,

• je´sli m ≤ m

0

, to dla interpolantu zachodzi oszacowanie

(∗)

ku − I

h

(u)k

Ω,m

≤ Ch

s−m

|u|

Ω,s

,

gdzie sta la C nie zale˙zy od h, za´

s |·|

Ω,s

jest s-t

,

a seminorm

,

a z przestrzeni

Sobolewa H

s

(Ω).

Nier´

owno´s´

c (∗) z Twierdzenia Brambla-Hilberta wskazuje na to, czego mo˙zna

oczekiwa´

c po metodach typu MES. Je´sli bowiem, na przyk lad V = H

m

(Ω),

u ∈ H

s

(Ω), m < s, gdzie u jest rozwi

,

azaniem zadania r´

o˙zniczkowego, u

h

∈

V

h

jest rozwi

,

azaniem zadania przybli˙zonego przez MES oraz I

h

(u) ∈ V

h

⊂

H

m

(Ω), to z Twierdzenia C´

ea wynika

ku − u

h

k

Ω,m

≤

M

γ

inf

v

h

∈ V

h

ku − v

h

k

Ω,m

≤

M

γ

ku − I

h

(u)k

Ω,m

≤ Ch

s−m

|u|

Ω,s

.

Mamy st

,

ad oszacowanie szybko´sci zbie˙zno´sci metody, w zale˙zno´sci od tego, w

jakiej normie k·k

Ω,m

chcemy to oszacowanie otrzyma´

c, oraz od regularno´

sci

rozwi

,

azania u.

Dla przestrzeni MES, kt´

orej elementami s

,

a ”splajny” to jest funkcje

kawa lkami wielomianowe, mo˙zemy naog´

o l konstruowa´

c bazy, kt´

orych elemen-

tami s

,

a funkcje o ma lych no´

snikach. Niech

Φ

1

, Φ

2

, · · · , Φ

N

h

b

,

edzie tak

,

a w la´snie baz

,

a przestrzeni V

h

. Gdy forma dwuliniowa

a : V × V → R

jest form

,

a ca lkow

,

a, to elementy a

i,j

= a(Φ

j

, Φ

i

) macierzy A

h

uk ladu r´

owna´

n

algebraicznych liniowych A

h

¯

c = ¯

l, otrzymanego w konsekwencji stosowania

MES, b

,

ed

,

a znika ly dla i i j r´

o˙zni

,

acych si

,

e dostatecznie du˙zo. Oznacza to, ˙ze

macierz A

h

ma budow

,

e pasmow

,

a.

Przyk lady - patrz Zadania z ´

cwicze´

n.

50

Wyk lad 9.

Pytanie. Niech

• V = H

1

(Ω),

• rodzina triangulacji τ

h

= {T

1

, T

2

, · · · , T

M

},

• ELEMENT= {T, P

T

, Σ

T

}, gdzie P

T

sk lada si

,

e z wielomian´

ow stopnia

≤ s,

• V

h

-przestrze´

n elementu sko´

nczonego, v

h

∈ V

h

⇒ v

h|T

∈ P

T

.

Kiedy przestrzenie V

h

s

,

a konforemne?

Aby m´

oc odpowiedzie´

c na to pytanie, trzeba jeszcze co´s powiedzie´

c o prze-

strzeniach Sobolewa. B

,

edzie to twierdzenie o tych przestrzeniach, kt´

ore tu

podamy bez dowodu.

Twierdzenie. Przestrze´

n H

m

(Ω) jest identyczna ze zbiorem wszystkich ta-

kich element´

ow v ∈ L

2

(Ω), ˙ze D

α

v ∈ L

2

(Ω) dla α = [i

1

, i

2

, · · · , i

d

]

T

i |α| ≤ m,

gdzie

D

α

=

∂

|α|

∂x

i

1

1

∂x

i

2

2

· · · ∂x

i

d

d

jest pochodn

,

a dystrybucyjn

,

a (s lab

,

a).

O dystrybucjach.

6

Znamy ju˙z zbi´

or C

∞

0

(Ω)wszystkich funkcji maj

,

acych

wszystkie pochodne ci

,

ag le i no´sniki zwarte, zawarte w zbiorze otwartym Ω.

W C

∞

0

(Ω) wprowadza si

,

e topologi

,

e przestrzeni liniowej lokalnie wypuk lej.

Opiszemy kr´

otko jaka to topologia.

• Dla ka˙zdego zbioru zwartego K ⊂ Ω, dla wszystkich funkcji z C

∞

0

(Ω) o

no´

sniku w K tworzymy ci

,

ag seminorm

p

K,j

(φ) =

sup

x∈K,|α|≤j

|D

α

φ(x)|, j = 0, 1, 2, · · · .

W ten spos´

ob dla ka˙zdego takiego zbioru K mamy przestrze´

n funkcyjn

,

a

liniow

,

a, lokalnie wypuk l

,

a.

6

Wi

,

ecej szczeg´

o l´

ow na ten temat - patrz np. Kˆ

osaku Yosida ”Functional Analysis”,

Springer-Verlag 1966, pp 27-30.

51

• Mo˙zna pokaza´

c, ˙ze topologia przestrzeni zwi

,

azanej ze zbiorem zwartym K

1

jest indukowana przez topologi

,

e takiej przestrzeni zwi

,

azanej ze zbiorem

zwartym K

2

, je´

sli K

1

⊂ K

2

⊂ Ω. W ten spos´

ob w C

∞

0

(Ω) tworzy si

,

e

tak zwan

,

a topologi

,

e granicy prostej. Zbi´

or otwarty dla w takiej topologii,

to taki zbi´

or, kt´

orego przeci

,

ecie z ka˙zd

,

a podprzestrzeni

,

a zwi

,

azan

,

a z dowol-

nym zbiorem zwartym K ⊂ Ω jest otwarty. Taka topologia ”widzi” fakt, ˙ze
elementy C

∞

0

(Ω) maj

,

a wszystkie pochodne ci

,

ag le.

Dystrybucja na Ω, to funkcjona l liniowy i ci

,

ag ly T nad przestrzeni

,

a C

∞

0

(Ω),

T : C

∞

0

(Ω) → R.

Przyk lad 1. Niech f ∈ L

2

(Ω) i φ ∈ C

∞

0

(Ω); niech

T

f

(φ) =

Z

Ω

f (x)φ(x)dΩ.

Jest to dystrybucja przyporz

,

adkowana elementowi f ∈ L

2

(Ω).

Przyk lad 2. Niech f ∈ C

n

([a, b]), n ≥ 1 i φ ∈ C

∞

0

((a, b)); niech

T

f

(φ) =

Z

b

a

f (x)φ(x)dx.

Mamy f

0

(x)φ(x) + f (x)φ

0

(x) = [f (x)φ(x)]

0

i st

,

ad

T

f

0

(φ) =

Z

b

a

f

0

(x)φ(x)dx = −T

f

(φ

0

),

gdy˙z funkcje φ maj

,

a no´sniki zwarte w przedziale otwartym (a, b).

Komentarz.

Dystrybucja T

f

odpowiada funkcji f .

Zamiast my´

sle´

c o funkc-

jach mo˙zemy my´

sle´

c o dystrybucjach im przyporz

,

adkowanych.

W tym sensie

mo˙zemy uwa˙za´

c dystrybucje za ”uog´

olnione funkcje”. T

f

0

- to dystrybycja przy-

porz

,

adkowana pochodnej f

0

; powy˙zszy wz´

or sugeruje nast

,

epuj

,

ac

,

a og´

oln

,

a definicj

,

e:

52

Definicja pochodnej dystrybucji. Pochodna D

α

dystrybucji

T : C

∞

0

(Ω) → R,

gdzie Ω ⊂ R

d

i α = [i

1

, i

2

, · · · , i

d

], to dystrybucja

D

α

T : C

∞

0

(Ω) → R,

taka, ˙ze

D

α

T (φ) = (−1)

|α|

T (D

α

(φ))

dla ka˙zdego φ ∈ C

∞

0

(Ω).

Komentarz. Je´

sli b

,

edziemy traktowa´

c ”zwyk le” funkcje jako dystrybucje, mo˙zemy

m´

owi´

c o pochodnych dystrybucyjnych (s labych) dowolnego rz

,

edu dla zupe lnie

dowolnych funkcji.

Mo˙zemy teraz wyja´sni´

c, co to znaczy

”pochodna dystrybucyjna D

α

elementu v ∈ L

2

(Ω)

nale ˙zy do L

2

(Ω)”

Znaczy to poprostu, ˙ze istnieje taki element w ∈ L

2

(Ω), ˙ze

D

α

T

v

(φ) = (−1)

|α|

T

v

(D

α

φ) = (−1)

|α|

Z

Ω

vD

α

φdΩ =

Z

Ω

wφdΩ,

dla dowolnego elementu φ ∈ C

∞

0

(Ω).

Przyk lad dystrybucji. Niech Ω = R, i niech

H

x

(t) =



0 dla t < x
1 dla t ≥ x

.

Jest to tak zwana funkcja Heviside’a. Znajdziemy pochodn

,

a s lab

,

a funkcji

H

x

. Dystrybucja przyporz

,

adkowana H

x

:

T

H

x

(φ) =

Z

∞

−∞

H

x

(t)φ(t)dt.

Mamy

d

dt

T

H

x

= T

d

dt

H

x

(φ) = −T

H

x

(φ

0

) = −

Z

∞

−∞

H

x

(t)φ

0

(t)dt =

53

= −

Z

∞

x

φ

0

(t)dt = φ(x),

gdy˙z φ(∞) = 0; a wi

,

ec,

d

dt

T

H

x

(φ) = φ(x).

Pochodna dystrybucyjna funkcji H

x

”wybija” warto´s´

c argumentu φ w

punkcie x. T

,

e dystrybucj

,

e nazywa si

,

e ”delt

,

a Dirac’a” i oznacza si

,

e sym-

bolem δ

x

. W sensie s labym:

d

dt

H

x

= δ

x

,

δ

x

(φ) = φ(x).

Dystrybucja δ

x

nie nale˙zy do L

2

(Ω).

Teraz mo ˙zemy odpowiedzie´

c na pytanie o konforemno´

s´

c przestrzeni

elementu sko´

nczonego V

h

dla V = H

1

(Ω).

Na postawione pytanie

odpowiada poni˙zsze Twierdzenie, kt´

ore podaje warunek dostateczny na kon-

foremno´s´

c przestrzeni elementu sko´

nczonego.

Przypomnijmy uprzednio sformu lowane za lo˙zenia.

• V = H

1

(Ω),

• Ω jest wielo´scianem d-wymiarowym,

• Elementy przestrzeni elementu sko´

nczonego V

h

s

,

a ”kawa lkami wielomianami”

stopnia ≤ s. Dok ladniej: dla ka˙zdego elementu T triangulacji τ

h

v

h|T

jest wielomianem (d-zmiennych) stopnia ≤ s.

Twierdzenie. Je´

sli v

h

∈ V

h

jest funkcj

,

a ci

,

ag l

,

a na Ω, to v

h

∈ H

1

(Ω).

Dow´

od. Trzeba udowodni´

c, ˙ze z ci

,

ag lo´sci v

h

wynika, ˙ze dla j = 1, 2, · · · , d

pochodne dystrybucyjne

∂v

h

∂x

j

nale˙z

,

a do L

2

(Ω). Niech dla p ∈ T , w

T,i

(p) =

∂v

h

∂x

i

(p) dla i = 1, 2, · · · , d gdzie

τ

h

= {T

1

, T

2

, · · · , T

M

}.

54

Funkcje w

T,i

na ka˙zdym simpleksie T s

,

a oczywi´scie dobrze okre´slone, gdy˙z

v

h

na T jest wielomianem stopnia ≤ s. Ponadto je´sli zdefiniujemy w

i

, i =

1, 2, · · · , d na Ω tak, ˙ze

w

i|T

(p) = w

T,i

(p) dla p ∈ T,

to otrzymamy w

i

∈ L

2

(Ω) dla i = 1, 2, · · · , d. Jest tak, gdy˙z w

i

pozostaje

nieokre´slone tylko na zbiorze wewn

,

etrznych ´scian wielo´scianu Ω, za´s zbi´

or

ten jest d-wymiarowej miary zero.

Z Twierdzenia Greena i Twierdzenia Gaussa wynika, ˙ze na ka˙zdym sim-

pleksie T mamy:

Z

T

w

i,T

φdT =

Z

T

∂v

h

∂x

i

φdT = −

Z

T

v

h

∂φ

∂x

i

dT +

Z

∂T

n

i

v

h

φdS, i = 1, 2, · · · , d,

gdzie n

1

, n

2

, · · · , d to sk ladowe wersora normalnego zewn

,

etrznego do ∂T i

φ ∈ C

∞

0

(Ω). We´

zmy teraz pod uwag

,

e dwa simpleksy T

1

i T

2

, stykaj

,

ace si

,

e

wsp´

oln

,

a ´scian

,

a S. Na tej wsp´

olnej scianie S:

• v

h

, jest ci

,

ag la,

• n

i

i = 1, 2, · · · , d pochodz

,

ace od T

1

i T

2

r´

o˙zni

,

a si

,

e znakiem.

Zsumujemy teraz stronami

P

T ∈τ

h

· · · powy˙zszy wz´

or. Otrzymamy dla

i = 1, 2, · · · , d:

Z

Ω

w

i

φdΩ = −

Z

Ω

v

h

∂φ

∂x

i

dΩ =

∂

∂x

i

T

v

h

(φ)

Co sta lo si

,

e z ca lkami po brzegach? Ze wzgl

,

edu na to, co dzieje si

,

e na ka˙zdej

wsp´

olnej ´scianie S, ca lki po brzegach wewn

,

etrznych simpleks´

ow znikn

,

a i

pozosta laby tylko ca lka po ∂Ω, gdyby nie funkcje φ, kt´

ore maj

,

a no´sniki zwarte

w zbiorze otwartym Ω. Ostatecznie nie zostaje nic! Jak zauwa˙zyli´smy ju˙z
wcze´sniej, w

i

∈ L

2

(Ω), i = 1, 2, · · · , d. Ze wzgl

,

edu na definicj

,

e ”nale˙zenia”

pochodnej s labej do L

2

(Ω), uwaga ta ko´

nczy dow´

od twierdzenia.

55