Różniczkując równanie prędkości mamy: 

    

  

 

   

  

 

   

  

 

       

      

    

  

 

   

  

 

    

 

     

Z tego wynika, że jeśli S jest inercjalnym układem odniesienia to S’ również. 

We wszystkich przekształceniach przyjęliśmy dodatkowe założenie absolutnego czasu t’=t. 

Praca i energia 

1. Policz pracę wykonaną przez siłę sprężystości przy przesunięciu ciała z położenia xi do położenia xf. 

Siła sprężystości jest określona przez prawo Hooke’a. Jeśli sprężyna jest ściśnięta lub rozciągnięta o małą długośd x 
względem swojego stanu równowagi (x=0), to wywiera ona siłę         gdzie k jest dodatnią stałą materiałową 
nazywaną stałą sprężystości. 
Przesuwając ciało z położenia xi do xf siła sprężystości wykona pracę: 

                

  

 

 

 

  

  

 

 
 

   

 

    

 

 

  

  

 

Jeśli xi = xf to W = 0. 

2. Policzyd pracę jaką należy wykonad przyspieszając do prędkości v spoczywającą swobodną cząstkę o masie m, 
czyli wyprowadzid wzór na nierelatywistyczną energię kinetyczną. 

                    

 

 

 

 

   

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

        

  
  

  

  

         

  
  

                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla v

p

 = 0 i v

k

 = v mamy: 

   

  

 

 

 

  

 

     

  

 

 

 

 

3. Podaj trzy równoważne definicje siły potencjalnej. 

Siła jest siłą potencjalną jeśli istnieje funkcja (skalarna)       taka, że: 

                          

Gdzie: 

                        

  

  

 

  

  

 

  

  

  

Funkcję U nazywamy energią potencjalną siły   . 

               

 

  

 

   

 

   

 

                    

 

  

  

    

  

  

    

  

  

    

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

 

 

   

 

 

   

 

Ponieważ przesunięcia odbywają się w jakimś czasie, więc 

                           

                                    

       

  

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

          

  

  

    

 

 

 

 

       

 

      

 

      

 

          

 

      

 

      

 

  

 

 

 

 

      

 

         

 

    

Siła potencjalna jest wtedy i tylko wtedy gdy praca wykonana przez    między dwoma dowolnymi punktami nie zależy 
od drogi wykonanej między tymi punktami (łączącej te punkty) a jedynie od położeo tych punktów (początkowego i 
koocowego). 

 

 

 

   

 

 

                  

 

        

 

  

 

 

 

 

 

 

    

Siła jest potencjalna wtedy i tylko wtedy gdy praca tej siły na dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. 

4. Napisz równanie wiążące siłę z energią potencjalną. 

Siła    musi byd jednoznacznie określona w przestrzeni X,Y,Z 

                          

Gdzie: 

                        

  

  

 

  

  

 

  

  

  

Funkcję U nazywamy energią potencjalną siły   . 

               

 

  

 

   

 

   

 

                    

 

  

  

    

  

  

    

  

  

    

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

  

 

 

 

 

   

 

 

   

 

Ponieważ przesunięcia odbywają się w jakimś czasie, więc 

                           

                                    

       

  

  

  

  

 

  

  

  

  

 

  

  

  

  

          

  

  

    

 

 

 

 

       

 

      

 

      

 

          

 

      

 

      

 

  

 

 

 

 

      

 

         

 

    

   

 

                 

 

 

   

 

 

   

     

 

    

 
 
 
 

5. Pokaż, że siła tarcia nie jest siłą potencjalną. 

Chod siła tarcia jest całkowalna: 

                   

 

 

 

 

 

 

To nie jest jednoznacznie określona w przestrzeni X: 

 

 

 

 

 

 

 

   zależy od prędkości w x

0

 i nie ma takiej funkcji U(x), że 

     

  

    

 

   . 

Wszystkie siły zależne od prędkości nie są siłami potencjalnymi. 

6. Znajdź energię potencjalną jednorodnego pola grawitacyjnego. 
Siła działająca na masę m: 

 

                      

 

 

Energia potencjalna: 

                            

 

       

 

       

 

       

 

              

 

       

 

    

                

 

               

 

                    

           

 

                

 

                 

               

 

        

 

  

Najlepiej przyjąd z

0

 = 0 i    

 

     . Mamy wtedy: 

           

7. Znajdź energię potencjalną siły sprężystości. 

Siła sprężystości jest siłą centralną: 

              

Gdzie    jest wektorem odchylenia z położenia równowagi,               , a k jest współczynnikiem sprężystości (stałą 
materiałową). 

Energia potencjalna: 

x 

x

0 

   

 

 

         

x 

x

0 

   

 

 

        

x 

y 

z 

               

                         

 

     

  

 

 

   

             

 

     

    

 

    

 

 

 

 

     

 

   

  

 

 

   

 

Fizycznie naturalne określenie  

 

   i    

 

    to  

 

  = 0 i    

 

        - układ jest w stanie równowagi, nie jest odkształcony, 

więc nie działa siła sprężystości i nie ma związanej z nią energii potencjalnej. Wtedy: 

       

   

 

 

 

 
 

  

 

   

 

   

 

  

 

8. Pokazad, że siła grawitacji jest siłą potencjalną i znaleźd grawitacyjną energię potencjalną układu dwóch mas 
m1, m2 znajdujących się w odległości r. 

Siła grawitacji: 

      

  

 

 

 

 

 

   

Uniwersalna stał grawitacji: 

              

   

  

 

  

 

 

          

  

 

 

 

 

 

 

                                         

  

 

 

 

 

 

                                   

  

 

 

 

 

 

 

Energia potencjalna układu dwóch mas m1, m2: 

             

  

 

 

 

 

 

          

 

      

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

       

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

       

 

  

Praca wykonana przez    między dwoma dowolnymi punktami nie zależy od drogi wykonanej między tymi punktami 
(łączącej te punkty) a jedynie od położeo tych punktów (początkowego i koocowego) zatem siła grawitacji jest siłą 
potencjalną. 

Jako punkt odniesienia przyjmujemy    bo tam siła grawitacji zanika:  

 

 

            

 

      wtedy: 

        

  

 

 

 

 

 

9. Zasada zachowania energii mechanicznej. 

Energia mechaniczna = energia kinetyczna + energia potencjalna 

Praca wykonana przez siłę zachowawczą    przy przesunięciu cząstki z położenia  

 

   do położenia  

 

  . 

 

 

 

      

 

    

                

 

         

 

   

 

 

    

 

 

    

 

 
 

A z twierdzenia o pracy i energii 

 

 

 

      

 

    

   

 

 

    

   

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Więc: 

 

 

 

    

   

 

 

    

      

 

         

 

    

 

 

 

    

      

 

       

 

 

    

     

 

                      

 

     

 

   

Czyli: 

                  

Energia mechaniczna cząstki w polu sił potencjalnych jest stała. 

10. Zasada zachowania energii mechanicznej układu dwóch mas m, M oddziałujących grawitacyjnie. Rozważyd 
przypadek M>>m. 

Z zasady zachowania energii mechanicznej: 

                  

   

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

   

 

        

Jeśli           

 
 

     a na układ mas nie działają siły zewnętrzne mamy => 

   

  

    

Całkowity pęd układu: 

       

 

         

 

     

   

  

   

  

 

    

  

   

  

 

    

  

 

      

  

 

    

  

   

  

 

    

  

 

 

  

 

    

  

    

  

 

    

  

 

  

 

    

  

   

 
 

  

 

    

  

 

  

 

    

  

 

Więc możemy przyjąd : 

  

 

    

  

            

 

            

 

             

A wtedy: 

   

  

 

 

 

 

   

 

        

 

 

11. Planeta o masie m krąży wokół gwiazdy o masie M (M>>m) po orbicie kołowej o promieniu r. Znaleźd 
całkowitą energię mechaniczną tego układu mas 

Z zasady zachowania energii mechanicznej z uwzględnieniem      : 

   

  

 

 

 

 

   

 

        

Skoro planeta porusza się po orbicie kołowej, to siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej i jest równa: 

  

 

 

 

 

   

 

 

 

  

 

 

 

 

   

  

 

I wtedy: 

   

  

 

 

 

 

   

 

 

   

  

 

   

 

   

   

 

 

 
Zasada zachowania pędu 

1. Pokazad, że pęd izolowanego układu dwóch cząstek, które oddziałują ze sobą siłami wewnętrznymi jest 
zachowany. 

  

  

 

   

 

  

             

 

   

 

  

 

 

  

  

 

   

 

  

             

 

   

 

  

 

 

Całkowity pęd układu cząstek to suma (wektorowa) pędów poszczególnych cząstek: 

  

   

    

 

    

 

 

I zmiana   

   

 w czasie: 

   

   

  

 

    

 

    

 

 

  

 

   

 

  

 

   

 

  

    

  

    

  

 

A z trzeciej zasady dynamiki mamy   

  

     

  

, zatem   

  

    

  

   , a w takim razie: 

   

   

  

          

 

            

   

        

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

  

 

  

  

 

2. Dwie cząstki o masach m1, m2 i prędkościach v1, v2 zderzają się doskonale niesprężyście. Znaleźd prędkośd 
cząstek po zderzeniu. 

 

 

 

 

Pęd przed zderzeniem:   

   

 

   

 

  

  

   

 

  

  

 

Pęd po zderzeniu: 

 

  

 

    

 

   

 

   

 

 

Pęd jest zachowany: 

  

 

    

 

 

 

 

  

  

   

 

  

  

    

 

   

 

   

 

 

  

 

 

 

 

  

  

   

 

  

  

  

 

   

 

 

 

Prędkośd cząstek po zderzeniu. 

 
 
 
 
 
 
 
 

3. Dwie cząstki o masach m1, m2 i prędkościach v1, v2 zderzają się centralnie doskonale sprężyście. Znaleźd 
prędkości cząstek po zderzeniu, a następnie rozważyd przypadek m1=m2. 

 

 

 

 

Pęd przed zderzeniem:   

  

 

   

 

  

  

   

 

  

  

 

Pęd po zderzeniu: 

 

  

 

   

 

  

  

   

 

  

  

 

Pęd jest zachowany: 

 

  

 

    

 

 

Energia kinetyczna przed zderzeniem:   

 

 

  

 

 
 

 

 

 

  

 

 

 
 

 

 

 

  

 

 

Energia kinetyczna po zderzeniu: 

 

 

 

  

 

 
 

 

 

 

  

 

 

 
 

 

 

 

  

 

 

Energia kinetyczna jest zachowana: 

 

 

 

  

   

  

 

  

  

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

Po zderzeniu 

Przed zderzeniem 

  

  

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

Przed zderzeniem 

  

  

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

Po zderzeniu 

Otrzymujemy układ równao: 

 

 

 

  

  

   

 

  

  

   

 

  

  

   

 

  

  

 
 

 

 

 

  

 

 

 
 

 

 

 

  

 

 

 
 

 

 

 

  

 

 

 
 

 

 

 

  

 

  

A ponieważ ruch jest jednowymiarowy wektory redukują się do skalarów (dodatnich lub ujemnych) i otrzymujemy 
układ dwóch równao skalarnych: 

 

 

 

  

  

   

  

     

 

  

  

   

  

 

 

 

  

  

 

   

  

 

     

 

  

  

 

   

  

 

 

                              

 

 

 

  

  

   

  

     

 

  

  

   

  

 

 

  

   

  

   

  

   

  

  

 

 

 

  

  

   

  

     

 

  

  

   

  

 

 

  

   

  

   

  

   

  

  

 

 

 

 

  

   

 

 

  

   

 

 

  

    

 

 

  

   

 

 

  

 

  

   

  

   

  

   

  

  

 

 

  

  

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

  

 

  

 

 

 

   

 

 

  

 

  

 

  

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

  

  

Dla  

 

   

 

   :