Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-1
Wykład 9
9. Zasada zachowania pędu
9.1
Środek masy
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bez-
wymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu
postępowego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
•
ciało może wirować lub drgać.
•
w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie .
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej
ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to
środek
masy
. Zajmiemy się ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty
układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka
o różnej masie. W jednej mamy n
1
jabłek, każde o masie m
1
, w drugiej n
2
, każde o ma-
sie m
2
. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
2
2
1
2
1
2
1
1
śred.
m
n
n
n
m
n
n
n
m
+
+
+
=
czyli
2
1
2
2
1
1
śred.
n
n
m
n
m
n
m
+
+
=
To jest
średnia ważona
(wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy
w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.
Natomiast
środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czyn-
nikiem ważącym przy tworzeniu średniej
.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-2
Np. dla dwóch różnych mas m
1
i m
2
2
2
1
2
1
2
1
1
x
m
m
m
x
m
m
m
x
śrm
+
+
+
=
czyli
2
1
2
2
1
1
m
m
x
m
x
m
x
śrm
+
+
=
Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
∑
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
śrm
m
x
m
m
m
m
x
m
x
m
x
m
x
1
1
2
1
2
2
1
1
.....
.....
ponieważ suma
M
m
n
i
i
=
∑
=
1
jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
∑
=
=
n
i
i
i
śrm
x
m
Mx
1
Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postępu-
jąc dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc
∑
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
śrm
m
x
m
m
m
m
x
m
x
m
x
m
x
1
1
2
1
2
2
1
1
.....
.....
oraz
x
śrm
m
1
m
2
x
1
x
2
x
y
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-3
∑
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
n
i
i
n
i
i
i
n
n
n
śrm
m
y
m
m
m
m
y
m
y
m
y
m
y
1
1
2
1
2
2
1
1
.....
.....
Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwię-
złe równanie wektorowe
M
m
n
i
i
i
śrm
∑
=
=
1
r
r
(9.1)
Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że
środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia
(nie zależy od wyboru układu odniesie-
nia).
Przykład 1
Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m
1
= 1kg, m
2
= 2kg i m
3
= 3kg,
umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak
jak na rysunku.
x
śrm
= (m
1
x
1
+ m
2
x
2
+ m
3
x
3
)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
y
śrm
= (m
1
y
1
+ m
2
y
2
+ m
3
y
3
)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·
3
2
m)/6kg =
3
4
m
Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.
9.2
Ruch środka masy
Rozważmy układ punktów materialnych o masach m
1
, m
2
, m
3
..., m
n
i o stałej całkowitej
masie M. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać
Mr
śrm
= m
1
r
1
+ m
2
r
2
+.......+ m
n
r
n
m
1
m
2
x
m
3
3
2
½
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-4
gdzie r
śrm
jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (wzglę-
dem czasu) powyższe równanie otrzymamy
t
m
t
m
t
m
t
M
n
n
śrm
d
d
......
d
d
d
d
d
d
2
2
1
1
r
r
r
r
+
+
+
=
lub
Mv
śrm
= m
1
v
1
+ m
2
v
2
+.....+ m
n
v
n
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
t
m
t
m
t
m
t
M
n
n
śrm
d
d
......
d
d
d
d
d
d
2
2
1
1
v
v
v
v
+
+
+
=
lub
Ma
śrm
= m
1
a
1
+ m
2
a
2
+ .......+ m
n
a
n
czyli
Ma
śrm
= F
1
+ F
2
+ ...........+ F
n
Wobec tego możemy napisać
Ma
śrm
= F
zew
(9.2)
Z równania (9.2) wynika, że
środek masy układu punktów materialnych porusza się w
taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły
zewnętrzne nań działały
.
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
•
Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie).
Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
•
Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu
wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na
środek ciężkości
. W roz-
ważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob-
liczmy E
k
mierzone w układzie środka masy.
2
)
(
)
(
2
,
,
,
∑
∑
+
+
=
=
wzg
i
śrm
wzg
i
śrm
i
i
calkowita
k
m
m
E
v
v
v
v
2
i
v
gdzie v
wzgl
jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie ska-
larne otrzymamy
∑
∑
∑
+
+
=
2
2
2
,
,
2
,
wzg
i
i
wzg
i
i
śrm
śrm
i
calkowita
k
m
m
m
E
v
v
v
v
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-5
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy pręd-
kość środka masy (Mv
śrm
= m
1
v
1
+ m
2
v
2
+.....+ m
n
v
n
). W układzie środka masy, w któ-
rym mierzymy, v
śrm
= 0 więc drugi wyraz znika.
Zatem
'
2
2
k
śrm
kcalkowita
E
M
E
+
=
v
gdzie E
k
'
jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych
to równanie przyjmuje postać
'
2
2
rot
śrm
kcalkowita
E
M
E
+
=
v
gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obroto-
wą).
Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płasz-
czyźnie tak, że środek obręczy ma pręd-
kość
v. Jaka jest energia kinetyczna ob-
ręczy ?
2
2
2
,
2
wzg
rot
kcalkowita
m
m
E
v
v
+
=
gdzie v
rot,wzg
to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator
w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc v
rot,wzg
= v.
Stąd
2
2
2
2
2
v
v
v
m
m
m
E
kcalkowita
=
+
=
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego
się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).
9.3
Pęd układu punktów materialnych
Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości
v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
t
d
dp
F
=
Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n
punktów materialnych o masach m
1
, ......, m
n
. Zakładamy, że masa układu (M) pozostaje
stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie
v
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-6
miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną
pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia
P = p
1
+ p
2
+ ......... + p
n
Jeżeli porównamy tę zależność z równaniem
Mv
śrm
= m
1
v
1
+ m
2
v
2
+.....+ m
n
v
n
to otrzymujemy
P = Mv
śrm
Treść tego równania można wyrazić następująco:
Całkowity pęd układu punktów mate-
rialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy
.
Ponieważ F
zew
= Ma
śrm
, to II zasada dynamiki Newtona dla układu punktów material-
nych przyjmuje postać
t
zew
d
d
P
F
=
(9.3)
bo
srm
srm
M
t
M
t
a
P
=
=
d
d
d
d
v
9.4
Zasada zachowania pędu
Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na
podstawie równania (9.3)
.
const
albo
0
d
d
=
=
P
P
t
Zasada zachowania pędu:
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest
równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały
.
Zobaczymy jak ta zasada stosuje się do różnych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz
pojęcie sił zewnętrznych dla danego układu - jak wybrać układ i jak stosować zasadę
zachowania pędu.
Przykład 3
Rozważmy dwa ciała o masach m
A
i m
B
połączone nieważką sprężyną umieszczone
na doskonale gładkim stole. Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następ-
nie puszczamy swobodnie (rysunek). Spróbujmy opisać ruch tych ciał.
Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ. Przyjmujemy, że tworzą go
obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna (działają siły po-
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-7
między elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę
zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był rów-
ny zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może
być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pędu
ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku -
x). Z zasady zachowania pędu
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = m
A
v
A
+ m
B
v
B
Zatem
m
B
v
B
= - m
A
v
A
lub
v
A
= – m
B
v
B
/m
A
Np. gdy m
A
= 2kg i m
B
= 1kg to v
A
jest równa połowie v
B
i ma zwrot przeciwny.
Przykład 4
Ta sama zasada obowiązuje w fizyce jądrowej i atomowej. Jako przykład rozpatrzmy
rozpad promieniotwórczy. Cząstka
α (jądro atomu helu) emitowana jest z prędkością
1.4·10
7
m/s i z energią kinetyczną 4.1 MeV przez jądro uranu 238, pozostające począt-
kowo w spoczynku. Znaleźć prędkość odrzutu powstałego jądra toru 234.
Jako układ rozpatrujemy jądro toru 234 + cząstkę
α (przed rozpadem po prostu jądro
uranu 238). Ze względu na nieobecność sił zewnętrznych pęd układu, który przed roz-
padem był równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = M
α
v
α
+ M
Th
v
Th
więc
v
Th
= - M
α
v
α
/M
Th
= - 4·1.4·10
7
/234 = -2.4·10
5
m/s