Prof. Edmund Wittbrodt 

ELEMENTY MECHANIKI ANALITYCZNEJ 

Rozpatrujemy  układ  o  wielu  stopniach  swobody,  np.  układ  złoŜony  z    p    punktów  materialnych.  Na  układ  mogą  być 
nałoŜone więzy.  

 
 
 
 
 
 
 

Układ swobodny składający się z  p  punktów materialnych 

 

 

 

Współrzędne dowolne: 

 

 

 np.: wektorowe 

]

,

,

[

i

i

i

i

z

y

x

r

,    

 

p

i

,...,

2

,

1

=

 

 
 

kartezjańskie (prostokątne) 

i

i

i

z

y

x

,

,

         

p

i

,...,

2

,

1

=

 

 
Współrzędne uogólnione:

                                                   

i

q   ,       gdzie     

s

i

,...,

2

,

1

=

,     przy czym:     

w

n

s

−

=

    - liczba stopni swobody 

 

 

w                 - liczba więzi  

 

 

n                  - liczba współrzędnych  

Współrzędne uogólnione są to współrzędne niezaleŜne od siebie, 
opisujące jednoznacznie połoŜenie układu w przestrzeni  
(jest to minimalna liczba współrzędnych potrzebnych do opisu połoŜenia układu) 

O 

x 

y 

z 

i

r

 

i

P

 

punkt materialny 
o masie m

i

 

x

i 

y

i 

z

i 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Więzy 

 

Więzami  są  ograniczenia  nałoŜone  na  ruch  układu  (na  współrzędne  lub  prędkości  punktów  lub  brył  układu).  MoŜna  je 
wyrazić w postaci zaleŜności analitycznych nazywanych równaniami więzów. 

 

Rodzaje więzi: 

 

geometryczne i kinematyczne  

 

holonomiczne i nieholonomiczne 

 

skleronomiczne i reonomiczne  

 

dwustronne i jednostronne  

 

idealne i rzeczywiste  

 
 

Więzy geometryczne dwustronne są więzami, których równania więzów w zapisie wektorowym mają postać 

 

 

0

)

,.....,

,

,

(

2

1

=

p

j

r

r

r

t

f

 ,      

w

j

,.....,

2

,

1

=

, 

 
a w zapisie skalarnym 

 

0

)

,

,

,

,.........

,

,

,

,

,

,

(

2

2

2

1

1

1

=

p

p

p

j

z

y

x

z

y

x

z

y

x

t

f

 ,     

w

j

,.....,

2

,

1

=

, 

gdzie w 

−

 liczba nałoŜonych na układ więzi (odebranych stopni swobody). 

 
 

Prof. Edmund Wittbrodt 

 
 
 
 
 

Przykład układu z więziami geometrycznymi (punkt B związany z A za pomocą sztywnego 
łącznika) o jednym stopniu swobody 

 
 
 
 
 
ZaleŜności  pomiędzy  współrzędnymi  dowolnymi,  a  współrzędnymi  uogólnionymi  dla  układu  z  więzami  holonomicznymi 
i reonomicznymi 
 
 
 

)

,

,.......,

,

(

2

1

t

q

q

q

x

x

s

i

i

=

 

 

)

,

,.......,

,

(

2

1

t

q

q

q

y

y

s

i

i

=

            lub w zapisie wektorowym       

)

,

,.......,

,

(

2

1

t

q

q

q

r

r

s

i

i

=

 

p

i

,...,

1

=

 

 

)

,

,.......,

,

(

2

1

t

q

q

q

z

z

s

i

i

=

 

 

gdzie: s 

−

 liczba stopni swobody układu, p 

−

 liczba punktów materialnych. 

f(x,y)= x

2

+y

2

-l

2

=0 

y 

x 

l 

y 

x 

O 

 

A

 

B

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Przemieszczenia przygotowane 

 

 

Przemieszczenie (przesunięcie) przygotowane (wirtualne) jest to kaŜde dowolne, moŜliwe przemieszczenie punktu, zgodne z 
więzami. JeŜeli połoŜenie punktu określone jest za pomocą wektora 

r

, to przemieszczenie przygotowane oznaczamy 

symbolem 

r

δ

. 

 
 
 
 
 

Przemieszczenia: a) przygotowane 

r

δ

, 

b) rzeczywiste 

dr

 

 
 
 

 
 
 
 
Przemieszczenie przygotowane 

r

δ

 jest to pomyślane (wyobraŜalne) przesuniecie punktu, o kierunku zgodnym 

z kierunkiem moŜliwej prędkości tego punktu. 
 
Przemieszczenie przygotowane jest wektorem, który moŜemy przedstawić w postaci  
 
 

k

z

j

y

i

x

r

δ

δ

δ

δ

+

+

=

. 

 

P

 

O

 

x

 

z

 

P

 

a) 

r

δ

 

r

δ

 

r

δ

 

r

δ

 

r

δ

 

r

 

y

 

P

 

O

 

x

 

y

 

z

 

r

 

b) 

dr

 

dx

 

dy

 

dz

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

JeŜeli  dane  jest  równanie  więzów  w  postaci 

0

)

,

,

(

=

z

y

x

f

,  przedstawiające  równanie  powierzchni,  na  której  znajduje  się 

rozpatrywany punkt, to dla przesunięcia przygotowanego zachodzi związek 
 
 

 

0

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

z

z

f

y

y

f

x

x

f

δ

δ

δ

,                       co moŜna zapisać                        

0

=

⋅

∂

r

f

grad

r

δ

. 

 

JeŜeli mamy do czynienia z układem  p  punktów materialnych, poddanych w więzom, to zachodzą następujące związki 

 

0

1

=













⋅

∂

∂

+

⋅

∂

∂

+

⋅

∂

∂

∑

=

p

i

i

i

j

i

i

j

i

i

j

z

z

f

y

y

f

x

x

f

δ

δ

δ

,     

w

j

,.....,

2

,

1

=

 ,       lub w postaci wektorowej       

0

1

=

⋅

∑

=

∂

i

p

i

j

r

r

f

grad

i

δ

,        

w

j

,.....,

2

,

1

=

. 

 

Przyrosty elementarne współrzędnych prostokątnych dowolnego i-tego punktu są równe: 

 

 

∑

=

∂

∂

=

s

j

j

j

i

i

q

q

x

x

1

δ

δ

, 

 

∑

=

∂

∂

=

s

j

j

j

i

i

q

q

y

y

1

δ

δ

,        

p

i

,.....,

2

,

1

=

         lub w zapisie wektorowym          

∑

=

∂

∂

=

s

j

j

j

i

i

q

q

r

r

1

δ

δ

,         

p

i

,.....,

2

,

1

=

 

 

∑

=

∂

∂

=

s

j

j

j

i

i

q

q

z

z

1

δ

δ

, 

 
gdzie s 

−

 liczba stopni swobody. 

 
 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Zasada prac przygotowanych (wirtualnych) 
 
 

Praca przygotowana jest to elementarna praca siły 

,  

,  

i

xi

yi

zi

P P

P

P









 na przemieszczeniu przygotowanym 

[

]

,  

,  

i

i

i

i

r

x

y

z

δ δ

δ

δ

  

 

 

i

zi

i

yi

i

xi

i

i

z

P

y

P

x

P

r

P

L

δ

δ

δ

δ

δ

+

+

=

⋅

=

. 

 
JeŜeli na układ p punktów materialnych, na które działają siły 

i

P

, poddano przesunięciom przygotowanym 

i

r

δ

, to praca 

przygotowana tych sił jest równa 
 

 

∑

∑

=

=

+

+

=

⋅

=

p

i

i

zi

i

yi

i

xi

p

i

i

i

z

P

y

P

x

P

r

P

L

1

1

)

(

δ

δ

δ

δ

δ

 

 
gdzie: 

i

i

i

z

y

x

δ

δ

δ

,

,

  

−

  przyrosty elementarne współrzędnych i-tego punktu w układzie x,y,z, 

           

zi

yi

xi

P

P

P

,

,

  

−

  składowe siły działającej na i-ty punkt w układzie x,y,z. 

 
 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Zasada  prac  przygotowanych:  Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym  równowagi  dowolnego  układu  punktów  jest,  aby 
suma  prac  przygotowanych  wszystkich  sił  czynnych  i  sił  reakcji  więzów,  przy  dowolnym  przemieszczeniu  przygotowanym, 
była równa zeru  

 

0

)

(

1

=

⋅

+

⋅

=

∑

=

i

i

p

i

i

i

r

R

r

P

L

δ

δ

δ

, 

gdzie: 

i

P

 

−

 siła czynna działająca na i-ty punkt, 

i

R

 

−

 reakcja  

więzów działających na i-ty punkt, 

i

R

 

i

r

δ

 

−

 przesunięcie  

przygotowane i-tego punktu. 
 
Praca przygotowana więzów idealnych jest zawsze równa zeru 
 
 

0

=

⋅

i

i

r

R

δ

 ,         

p

i

,.....

2

,

1

=

, 

 
gdyŜ są to wektory prostopadłe. 
 
 

Zasada  prac  przygotowanych  dla  układów  o  więzach  idealnych:  Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym  równowagi 
dowolnego układu punktów o więzach idealnych jest, aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych działających 
na ten układ, przy dowolnym przemieszczeniu przygotowanym, była równa zeru  

 

 

0

1

=

⋅

=

∑

=

p

i

i

i

r

P

L

δ

δ

. 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Siły uogólnione 

 
Siły uogólnione 

j

Q

 są to wielkości spełniające równanie 

 

 

∑

=

=

s

j

j

j

q

Q

L

1

δ

δ

  ,      j=1,2,...s, 

 
gdzie: 

L

δ

 – praca przygotowana układu, 

j

q

δ

 – przesunięcie przygotowane, zgodne z j-tą współrzędną uogólnioną, 

j

Q

 – j-ta 

siła uogólniona, zgodna z j-tą współrzędną uogólnioną, s – liczba stopni swobody (współrzędnych uogólnionych). 
 
 
Siłę uogólnioną moŜemy wyznaczyć z następującej zaleŜności 
 

 

∑

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

p

i

j

i

zi

j

i

yi

j

i

xi

j

q

z

P

q

y

P

q

x

P

Q

1

)

(

,      j=1,2,...s, 

 
gdzie: 

zi

yi

xi

P

P

P

,

,

  –  rzuty  siły  działającej  na  i-ty  punkt, 

i

i

i

z

y

x

,

,

  –  współrzędne  prostokątne  i-tego  punktu, 

j

q

  –  j-ta 

współrzędna uogólniona, s – liczba stopni swobody układu, p – liczba punktów układu. 
 
 
Siła uogólniona w zachowawczym polu sił jest równa 
 

 

j

j

q

V

Q

∂

∂

−

=

 ,       j=1,2,...s 

 
gdzie: V – energia potencjalna układu, podawana jako funkcja współrzędnych uogólnionych. 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Równowaga w zachowawczym polu sił 

 
JeŜeli  na  układ  materialny  o  więzach  idealnych  działa  zachowawcze  pole  sił,  to  jest  on  w  równowadze  wtedy,  gdy  jego 
energia potencjalna przyjmuje wartość ekstremalną 
 

 

0

=

∂

∂

j

q

V

,            j=1,2,...s 

 
gdzie:  V  –  energia  potencjalna  układu,  podawana  jako  funkcja  współrzędnych  uogólnionych,  s  –  liczba  stopni  swobody 
układu. 
 
 
 
Zasada Dirichleta: 
 
JeŜeli na nieswobodny układ materialny działa zachowawcze pole sił, wówczas połoŜenie, w którym energia potencjalna 
tego układu osiąga minimum, jest połoŜeniem równowagi stałej. 
 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Ogólne równanie dynamiki analitycznej 

 
Równania dynamiki, z uwzględnieniem sił reakcji więzów, w postaci  

 

i

i

i

i

R

P

r

m

+

=

&

&

 ,      

p

i

,.....,

2

,

1

=

            lub:                    

xi

xi

i

i

R

P

x

m

+

=

&

&

,   

yi

yi

i

i

R

P

y

m

+

=

&

&

   

zxi

zi

i

i

R

P

z

m

+

=

&

&

,         

p

i

,.....,

2

,

1

=

 

 

pomnoŜymy skalarnie przez 

i

r

δ

, lub odpowiednio przez 

,  

,  

δ

δ

δ

i

i

i

x

y

z

 oraz zsumujemy stronami. Wtedy otrzymujemy 

0

)

(

1

=

⋅

−

+

∑

=

p

i

i

i

i

i

r

r

m

R

P

δ

&

&

                    lub              

0

]

)

(

)

(

)

[(

1

=

−

+

+

−

+

+

−

+

∑

=

p

i

i

i

i

zi

zi

i

i

i

yi

yi

i

i

i

xi

xi

z

z

m

R

P

y

y

m

R

P

x

x

m

R

P

δ

δ

δ

&

&

&

&

&

&

. 

 
Natomiast dla układów z więzami holonomicznymi, idealnymi i dwustronnymi, zachodzą związki: 

 

0

)

(

1

=

⋅

−

∑

=

p

i

i

i

i

i

r

r

m

P

δ

&

&

                                lub                          

0

]

)

(

)

(

)

[(

1

=

−

+

−

+

−

∑

=

p

i

i

i

i

zi

i

i

i

yi

i

i

i

xi

z

z

m

P

y

y

m

P

x

x

m

P

δ

δ

δ

&

&

&

&

&

&

, 

 
gdzie: 

]

,

,

[

zi

yi

xi

i

P

P

P

P

  –  siła  działająca  na  i-ty  punkt, 

]

,

,

[

i

i

i

i

z

y

x

r

δ

δ

δ

δ

  –  przesunięcie  przygotowane  i-tego  punktu, 

i

i

a

r

=

&

&

  – 

przyspieszenie i-tego punktu, p – liczba punktów materialnych. 
 
Równania  te,  sformułowane  przez  Lagrange’a,  przedstawiają  zasadę  d’Alemberta  dla  układu  punktów  materialnych  o 
więzach idealnych, holonomicznych i dwustronnych w układzie inercjalnym. Noszą one równieŜ nazwę ogólnych równań 
dynamiki analitycznej.  

Prof. Edmund Wittbrodt 

Równania Lagrange’a II rodzaju 

 
Równania Lagrange’a II rodzaju mają postać 
 

 

j

j

j

j

j

Q

q

V

q

D

q

E

q

E

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂

&

&

,      

s

j

,.....,

2

,

1

=

 

 

gdzie:     E – energia kinetyczna układu,  

D – funkcja dyssypacji energii układu (prędkość rozpraszania energii mechanicznej),  

V – energia potencjalna układu,  

Q

j 

– siła uogólniona (niepotencjalna i niedyssypatywna część siły czynnej) działająca w kierunku j-tej współrzędnej 

uogólnionej,  

j

q

 – j-ta współrzędna uogólniona,  

j

q

&

– j-ta prędkość uogólniona (zgodna z j-tą współrzędną uogólnioną),  

s  – liczba stopni swobody układu.