WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
I
dr. Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2006
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
I
dr. Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2006
Spis treści
4
Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność,
4
Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych.
6
Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
8
Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny.
9
11
11
Twierdzenia o granicach funkcji.
14
15
3
1. CIĄGI LICZBOWE
4
1. CIĄGI LICZBOWE
Definicja 1.1.
Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze
liczb naturalnych.
Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy
a
n
≡ f(n),
n
∈ N.
Ciąg o wyrazach a
n
zapisujemy symbolem
(a
n
) lub a
1
, a
2
, . . . ,
zaś zbiór wartości ciągu oznaczamy przez
{a
n
}
n
∈N
.
Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o
wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wyrazy są
funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi.
1.1. Własności
ciągów
liczbowych o wyra-
zach rzeczywistych: monotoniczność, ogra-
niczoność, zbieżność.
Definicja 1.2.
a) Ciąg (a
n
) jest rosnący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
> a
n
.
b) Ciąg (a
n
) jest niemalejący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
a
n
.
c) Ciąg (a
n
) jest malejący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
< a
n
.
d) Ciąg (a
n
) jest nierosnący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
¬ a
n
.
Twierdzenie 1.3.
Jeśli a
n
> 0 dla n
∈ N, to
ciąg (a
n
) jest rosnący
⇔
V
n
∈N
a
n+1
a
n
> 1.
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nie-
rosnącego.
Definicja 1.5.
a) Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu
def
⇔
W
m
∈R
V
n
∈N
a
n
m.
b) Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry
def
⇔
W
M
∈R
V
n
∈N
a
n
¬ M.
c) Ciąg (a
n
) jest ograniczony
def
⇔ (a
n
) jest ograniczony z dołu i z góry.
1. CIĄGI LICZBOWE
5
Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych:
a) a
n
=
√
n;
c) a
n
=
(
−1)
n
n
−1
;
b) a
n
= (
−3)
n
;
d) a
n
=
1
n
2
+ 1
.
Definicja 1.7.
Ciąg liczbowy (a
n
) jest zbieżny do a
∈ R, gdy
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
|a
n
− a| < ε,
czyli
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
a
− ε < a
n
< a + ε.
Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a
n
) i zapisujemy
lim
n
→∞
a
n
= a lub a
n
→ a.
Przykład 1.8. Wykazać, że lim
n
→∞
1
n
= 0.
Definicja 1.9.
a) Ciąg (a
n
) jest rozbieżny do +
∞, gdy
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
a
n
> ε.
b) Ciąg (a
n
) jest rozbieżny do
−∞, gdy
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
a
n
<
−ε.
Zapisujemy odpowiednio:
lim
n
→∞
a
n
= +
∞ lub lim
n
→∞
a
n
=
−∞.
Jeśli ciąg (a
n
) nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej), to mówimy, że jest rozbieżny.
Przykład 1.10. Wykazać, że lim
n
→∞
n
2
= +
∞.
Twierdzenie 1.11.
Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Definicja 1.12.
Podciągiem ciągu (a
n
) nazywamy każdy ciąg (a
k
n
), gdzie (k
n
) jest dowolnym
rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
Np. Podciągami ciągu (a
n
) są ciągi:
a
1
, a
3
, a
5
, . . .
a
2
, a
4
, a
6
, . . .
a
3
, a
4
, a
5
, . . .
(a
2n
−1
)
∞
n=1
(a
2n
)
n
∈N
(a
n
)
n
3
Twierdzenie 1.13.
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany
ciąg.
Przykład 1.14. Wykazać, że nie istnieją granice:
a) lim
n
→∞
(
−1)
n
,
b) lim
n
→∞
cos
nπ
2
.
Ćwiczenie 1.15. Wykazać, że:
1. CIĄGI LICZBOWE
6
a) lim
n
→∞
a
n
=
±∞ ⇒ lim
n
→∞
1
a
n
= 0;
{
1
±∞
= 0
}
b) lim
n
→∞
a
n
= 0
⇒ lim
n
→∞
1
a
n
=
(
+
∞, gdy a
n
> 0 dla prawie wszystkich n
∈ N,
−∞, gdy a
n
< 0 dla prawie wszystkich n
∈ N.
{
1
0
+
= +
∞}
{
1
0
−
=
−∞}
Ćwiczenie 1.16. Wykazać, że
a) lim
n
→∞
q
n
=
nie istnieje dla q
¬ −1,
0
dla q
∈ (−1; 1),
1
dla q = 1,
+
∞
dla q > 1.
b) lim
n
→∞
n
α
=
0
dla α < 0,
1
dla α = 0,
+
∞ dla α > 0.
1.2. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i roz-
bieżnych.
Twierdzenie 1.17.
Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.18. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.17 nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 1.19 (Bolzano-Weierstrassa).
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje
podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do
−∞
lub +
∞.
Twierdzenie 1.20.
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.21. Jeśli ciągi (a
n
), (b
n
) są zbieżne oraz
W
K
∈N
V
n
K
a
n
¬ b
n
,
to lim
n
→∞
a
n
¬ lim
n
→∞
b
n
.
Twierdzenie 1.22 (o trzech ciągach).
Załóżmy,że
(
∗)
W
K
∈N
V
n
K
a
n
¬ b
n
¬ c
n
,
a) Jeśli lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
c
n
= a, to istnieje granica ciągu (b
n
), przy czym lim
n
→∞
b
n
= a.
1. CIĄGI LICZBOWE
7
b) Jeśli lim
n
→∞
a
n
= +
∞, to lim
n
→∞
b
n
= +
∞.
c) Jeśli lim
n
→∞
c
n
=
−∞, to lim
n
→∞
b
n
=
−∞.
Twierdzenie 1.23.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a oraz c
6= 0, to
lim
n
→∞
c
· a
n
=
(
c
· a, gdy a ∈ R,
±∞, gdy a = ±∞.
W szczególności dla c > 0
{c · (+∞) = +∞}
oraz
{c · (−∞) = −∞}
Twierdzenie 1.24.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a oraz
lim
n
→∞
b
n
= b, to
Twierdzenie 1.25.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a,
lim
n
→∞
b
n
= b oraz b
n
6= 0 dla n ∈ N, to
Twierdzenie 1.26.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a,
lim
n
→∞
b
n
= b oraz b
n
0 dla n ∈ N, to
1. CIĄGI LICZBOWE
8
Symbole nieoznaczone:
∞ − ∞ 0 · ∞
∞
∞
0
0
0
0
∞
0
1
∞
1.3. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
Liczba
e.
Twierdzenie 1.27.
a) lim
n
→∞
n
√
n = 1.
b) lim
n
→∞
n
√
a = 1.
c) Jeśli a
n
0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n
→∞
a
n
= a > 0, to lim
n
→∞
n
√
a
n
= 1.
Uwaga 1.28. Tw. 1.27 c) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +
∞.
Twierdzenie 1.29.
Ciąg a
n
= (1 +
1
n
)
n
dla n
∈ N jest ograniczony i monotoniczny.
Definicja 1.30.
Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 +
1
n
)
n
, n
∈ N.
Twierdzenie 1.31.
a)
∗
lim
n
→∞
n
X
k=0
1
k!
= e.
b) Liczba e jest liczbą niewymierną.
e = 2, 7182818284 . . .
Twierdzenie 1.32.
Jeśli a
n
6= 0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n
→∞
a
n
=
±∞, to lim
n
→∞
(1 +
1
a
n
)
a
n
= e.
Definicja 1.33.
Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i ozna-
czamy symbolem ln.
ln x
def
= log
a
x dla x > 0
1. CIĄGI LICZBOWE
9
1.4. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy gór-
ny i dolny.
Definicja 1.34.
Niech E
⊂ R, E 6= ∅.
a) Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy
∨
M
∈R
∧
x
∈E
x
¬ M.
Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E.
b) Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy
∨
m
∈R
∧
x
∈E
x
m.
Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
c) Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu.
Definicja 1.35.
Niech E
⊂ R, E 6= ∅.
a) Liczbę M
0
∈ E taką, że
∧
x
∈E
x
¬ M
0
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
b) Liczbę m
0
∈ E taką, że
∧
x
∈E
x
m
0
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.36.
Niech E
⊂ R, E 6= ∅.
a) Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M
∈ R taką, że
(1)
∧
x
∈E
x
¬ M,
(2)
∧
M
1
<M
∨
x
∈E
x > M
1
nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E.
(Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +
∞.
b) Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m
∈ R taką, że
(1)
∧
x
∈E
x
m,
(2)
∧
m
1
>m
∨
x
∈E
x < m
1
nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.
1. CIĄGI LICZBOWE
10
(Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E =
−∞.
Twierdzenie 1.37.
Każdy niepusty zbiór E
⊂ R posiada kresy górny i dolny, które należą do
zbioru R.
Twierdzenie 1.38.
a) Jeśli ciąg (a
n
) jest niemalejący, to
sup
{a
n
: n
∈ N} = lim
n
→∞
a
n
,
inf
{a
n
: n
∈ N} = a
1
.
b) Jeśli ciąg (a
n
) jest nierosnący, to
sup
{a
n
: n
∈ N} = a
1
,
inf
{a
n
: n
∈ N} = lim
n
→∞
a
n
.
2. GRANICE FUNKCJI
11
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje.
Niech X
⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 2.1.
Niech x
0
∈ R.
• Sąsiedztwem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór
S(x
0
) = (a, x
0
)
∪ (x
0
, b),
gdzie a, b
∈ R, a < x
0
< b.
Zbiory
S
−
(x
0
) = (a, x
0
),
S
+
(x
0
) = (x
0
, b),
nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x
0
.
• Otoczeniem punktu x
0
nazywamy zbiór
U (x
0
) = S(x
0
)
∪ {x
0
}.
Zbiory
U
−
(x
0
) = S
−
(x
0
)
∪ {x
0
},
U
+
(x
0
) = S
+
(x
0
)
∪ {x
0
}.
nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym otoczeniem punktu x
0
.
• Sąsiedztwem −∞ nazywamy zbiór
S(
−∞) = (−∞, b), gdzie b ∈ R.
• Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór
S(+
∞) = (a, +∞), gdzie a ∈ R.
Definicja 2.2.
• Punkt x
0
∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x
n
) taki, że
{x
n
} ⊂ X \ {x
0
} oraz
lim
n
→∞
x
n
= x
0
.
• Jeśli x
n
< x
0
dla n
∈ N (x
n
> x
0
dla n
∈ N), to x
0
nazywamy lewostronnym
(prawostronnym) punktem skupienia zbioru X.
• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X ozna-
czamy przez X
d
(X
d
−
, X
d+
).
2. GRANICE FUNKCJI
12
Definicja 2.3 (Heinego granicy funkcji w +
∞).
Niech f : X
→ R, X− zbiór nieograniczony z dołu.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +
∞, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X
[ lim
n
→∞
x
n
= +
∞ ⇒
lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x
→+∞
f (x) = g
b) Funkcja f ma w +
∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X
[ lim
n
→∞
x
n
= +
∞ ⇒
lim
n
→∞
f (x
n
) = +
∞].
Zapisujemy
lim
x
→+∞
f (x) = +
∞
Analogicznie definiujemy lim
x
→+∞
f (x) =
−∞, lim
x
→−∞
f (x) = g oraz lim
x
→−∞
f (x) =
±∞.
Definicja 2.4 (Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X
→ R oraz x
0
∈ X
d
.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x
0
, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x
→x
0
f (x) = g
b) Funkcja f posiada w x
0
granicę niewłaściwą +
∞, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = +
∞].
Zapisujemy
lim
x
→x
0
f (x) = +
∞
Analogicznie definiujemy lim
x
→x
0
f (x) =
−∞.
Definicja 2.5.
Niech f : X
→ R.
a) Niech x
0
∈ X
d
−
. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f
w punkcie
x
0
, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X∩(−∞,x
0
)
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
2. GRANICE FUNKCJI
13
lim
x
→x
−
0
f (x) = g lub f (x
−
0
) = g
b) Niech x
0
∈ X
d+
. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie
x
0
, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X∩(x
0
,+
∞)
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x
→x
+
0
f (x) = g lub f (x
+
0
) = g
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (Cauchy’ego granicy funkcji w +
∞).
Niech f : X
→ R, X− zbiór nieograniczony z dołu.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +
∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[x > δ
⇒ |f(x) − g| < ε].
b) Funkcja f ma w +
∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[x > δ
⇒ f(x) > ε].
c) Funkcja f ma w +
∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[x > δ
⇒ f(x) < −ε].
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w +
∞.
Definicja 2.7 (Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X
→ R oraz x
0
∈ X
d
.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[0 <
|x − x
0
| < δ ⇒ |f(x) − g| < ε].
b) Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +
∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[0 <
|x − x
0
| < δ ⇒ f(x) > ε].
c) Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą
−∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[0 <
|x − x
0
| < δ ⇒ f(x) < −ε].
Twierdzenie 2.8.
Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są rów-
noważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy).
Jeśli x
0
∈ X
d
−
∩ X
d+
, to
lim
x
→x
0
f (x) = g
⇔
lim
x
→x
−
0
f (x) = lim
x
→x
+
0
f (x) = g.
2. GRANICE FUNKCJI
14
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji.
Twierdzenie 2.10 (o arytmetyce granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X
→ R, lim
x
→x
0
f (x) = a oraz lim
x
→x
0
g(x) = b, to
a) lim
x
→x
0
(c
· f(x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;
b) lim
x
→x
0
(f (x)
± g(x) = a ± b;
c) lim
x
→x
0
(f (x)
· g(x)) = a · b;
d) lim
x
→x
0
f (x)
g(x)
=
a
b
, o ile b
6= 0;
e) lim
x
→x
0
(g(x))
f (x)
= b
a
, o ile b > 0 i a
6= 0.
Twierdzenie 2.11 (o arytmetyce granic niewłaściwych funkcji).
a +
∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a
· (+∞) = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a
∞
= 0 dla
−∞ < a < +∞
a
0
+
= +
∞ dla 0 < a ¬ +∞
b
∞
= 0 dla 0
+
¬ b < 1,
b
∞
= +
∞ dla 1 < b ¬ +∞
∞
a
= 0 dla
−∞ ¬ a < 0,
∞
a
= +
∞ dla 0 < a ¬ +∞
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X
→ Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli
(1)
lim
x
→x
0
f (x) = a,
(2)
f (x)
6= a dla każdego x ∈ S(x
0
),
(3)
lim
x
→a
g(x) = b,
to lim
x
→x
0
g(f (x)) = b.
2. GRANICE FUNKCJI
15
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach).
Jeśli funkcje f, g, h : X
→ R spełniają warunki
(1)
∧
x
∈S(x
0
)
f (x)
¬ g(x) ¬ h(x),
(2)
lim
x
→x
0
f (x) = lim
x
→x
0
h(x) = a,
to lim
x
→x
0
g(x) = a.
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach).
Niech f, g : X
→ R oraz
∧
x
∈S(x
0
)
f (x)
¬ g(x).
Jeśli lim
x
→x
0
f (x) = +
∞, to lim
x
→x
0
g(x) = +
∞.
Jeśli lim
x
→x
0
g(x) =
−∞, to lim
x
→x
0
f (x) =
−∞.
Powyższe twierdzenia o granicach funkcji zachodzą zarówno dla granic w punkcie, jak i dla
granic jednostronnych oraz granic w
±∞.
Twierdzenie 2.15.
lim
x
→0
sin x
x
= 1.
Twierdzenie 2.16.
lim
x
→0
(1 + x)
1
x
= e.
2.3. Asymptoty funkcji.
Definicja 2.17.
Niech f : X
→ R, x
0
∈ X
d
.
a) Prosta x = x
0
jest lewostronną (prawostronną) asymtotą pionową wykresu funkcji
f , jeśli
lim
x
→x
−
0
f (x) =
±∞ ( lim
x
→x
+
0
f (x) =
±∞).
b) Prosta x = x
0
jest obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jedno-
cześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18.
Niech f : X
→ R, X− zbiór nieograniczony z dołu. Prosta y = ax + b jest
asymptotą ukośną wykresu funkcji f w
−∞, gdy
lim
x
→−∞
[f (x)
− (ax + b)] = 0.
Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną w +
∞.
Przykład 2.19. Wykazać, że prosta y = x
− 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f(x) =
x
2
x+1
.
Twierdzenie 2.20.
a) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w
−∞ ⇔
a = lim
x
→−∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x
→−∞
(f (x)
− ax).
b) Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +
∞ ⇔
A = lim
x
→+∞
f (x)
x
oraz
B = lim
x
→+∞
(f (x)
− Ax).