9. SZEREGI FUNKCYJNE - CD.
9.1. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych.
Twierdzenie 9.1.
Niech f
n
: [a, b]
→ R, n ∈ N, będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli
∞
X
n=1
f
n
jest zbieżny jednostajnie na [a, b], to
a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x
0
∈ [a, b] zachodzi
równość
lim
x
→x
0
∞
X
n=1
f
n
(x) =
∞
X
n=1
lim
x
→x
0
f
n
(x);
b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz
b
Z
a
∞
X
n=1
f
n
(x)
!
dx =
∞
X
n=1
b
Z
a
f
n
(x)dx.
Twierdzenie 9.2.
Niech f
n
: [a, b]
→ R, n ∈ N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b].
Jeśli
∞
X
n=1
f
n
jest zbieżny, zaś szereg
∞
X
n=1
(f
n
)
0
jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu
funkcyjnego jest funkcją różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x
∈ [a, b] zachodzi równość
∞
X
n=1
f
n
(x)
!
0
=
∞
X
n=1
f
0
n
(x).
Wniosek 9.3. Niech (a
n
) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy
∞
X
n=0
a
n
x
n
ma
promień zbieżności R, to dla dowolnego x
∈ (−R, R) mamy
x
Z
0
∞
X
n=0
a
n
t
n
!
dt =
∞
X
n=0
a
n
n + 1
x
n+1
oraz
∞
X
n=0
a
n
x
n
!
0
=
∞
X
n=0
a
n
nx
n
−1
,
przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień
zbieżności jak dany szereg.
9.2. Szereg Taylora i Maclaurina.
Definicja 9.4.
Załóżmy, że funkcja f : (a, b)
→ R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie
x
0
∈ (a, b). Szereg potęgowy postaci
f (x
0
) +
∞
X
n=1
f
(n)
(x
0
)
n!
(x
− x
0
)
n
,
x
∈ (a, b),
53
9. SZEREGI CD.
54
nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x
0
. Jeśli x
0
= 0, to szereg
ten nazywamy szeregiem Maclaurina odpowiadającym funkcji f .
Twierdzenie 9.5.
Jeśli funkcja f : (a, b)
→ R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie
x
0
∈ (a, b) oraz
lim
n
→∞
R
n
(x) = 0
dla x
∈ (a, b),
(1)
gdzie R
n
(x) oznacza resztę we wzorze Taylora odpowiadającym funkcji f , to szereg Taylora
odpowiadający funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość
f (x) = f (x
0
) +
∞
X
n=1
f
(n)
(x
0
)
n!
(x
− x
0
)
n
dla x
∈ (a, b).
Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy
x
0
= 0).
Uwaga 9.6.
1. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograni-
czone na przedziale (a, b).
2.
Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji
e
x
=
∞
X
n=0
x
n
n!
, x
∈ R
sin x =
∞
X
n=0
(
−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
, x
∈ R
cos x =
∞
X
n=0
(
−1)
n
x
2n
(2n)!
, x
∈ R
1
1
− x
=
∞
X
n=0
x
n
x
∈ (−1, 1)
Przykład 9.7. Wyznaczyć rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina:
a) f (x) = e
−x
2
;
b) f (x) = x
2
sin x;
c) f (x) =
1
1 + x
2
;
d) f (x) = ln(1 + x);
e) f (x) = arctg x;
f ) f (x) =
1
1 + 2x + x
2
.
9. SZEREGI CD.
55
Przykład 9.8. Obliczyć całki:
a)
Z
e
−x
2
dx;
b)
Z
sin x
x
dx.
9.3. Szereg Fouriera.
Niech T oznacza dowolną liczbę dodatnią.
Definicja 9.9.
Niech (a
n
)
∞
n=0
, (b
n
)
∞
n=1
będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygono-
metrycznym nazywamy szereg postaci
a
0
2
+
∞
X
n=1
(a
n
cos
nπx
T
+ b
n
sin
nπx
T
),
x
∈ R.
Uwaga 9.10. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o
okresie 2T , więc jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [
−T, T ], to jego suma ma również
okres 2T i szereg jest zbieżny do niej na R.
Twierdzenie 9.11 (wzory Eulera-Fouriera).
Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie
zbieżny na przedziale [
−T, T ] i f jest jego sumą, to
a
n
=
1
T
T
Z
−T
f (x) cos
nπx
T
dx,
n = 0, 1, 2, . . . ,
b
n
=
1
T
T
Z
−T
f (x) sin
nπx
T
dx,
n = 1, 2, . . . .
Definicja 9.12.
Załóżmy, że f : [
−T, T ] → R jest funkcją całkowalną na przedziale [−T, T ].
Szereg trygonometryczny, w którym współczynniki a
n
, b
n
są określone powyższymi wzorami
nazywamy szeregiem Fouriera odpowiadającym funkcji f .
Definicja 9.13.
Mówimy, że funkcja f : [
−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki
Dirichleta, gdy
(1) f (
−T ) = f(T ) =
f (
−T
+
) + f (T
−
)
2
,
(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie
nieciągłości x
0
∈ (−T, T ) zachodzi warunek:
f (x
0
) =
f (x
−
0
) + f (x
+
0
)
2
,
(3) istnieje podział przedziału [
−T, T ]
−T = t
0
< t
1
<
· · · < t
k
−1
< t
k
= T,
k
∈ N,
taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (t
i
−1
, t
i
), i = 1, ..., k.
Twierdzenie 9.14.
Jeśli funkcja f : [
−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki
Dirichleta, to
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
(a
n
cos
nπx
T
+ b
n
sin
nπx
T
),
x
∈ [−T, T ],
9. SZEREGI CD.
56
gdzie współczynniki a
n
, b
n
są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest roz-
wijalna w szereg Fouriera na przedziale [
−T, T ].
Przykład 9.15. Rozwinąć w szereg Fouriera (o ile to możliwe) funkcje:
a) f (x) =
(
0, x
∈ [−π, 0),
2, x
∈ [0, π];
b) f (x) =
(
0, x
∈ (−π, 0),
2, x
∈ (0, π);
c) f (x) =
(
1, x
∈ (−
π
2
,
π
2
),
2, x
∈ (−π, −
π
2
)
∪ (
π
2
, π);
d) f (x) = x, x
∈ (−π, π).