3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RZECZYWISTEJ

3.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji, podstawowe

własności

Niech a, b ∈ R i a < b.

Definicja 3.1.

Niech f : (a, b) → R oraz x

∈ (a, b).

• Funkcję ϕ : (a, b) \ {x

} → R daną wzorem

ϕ(x)

def

f (x) − f (x

)

x − x

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x

• Jeśli granica lim

x→x

ϕ(x) istnieje i jest skończona, to nazywamy ją pochodną właściwą funkcji f w

punkcie x

i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x

. Zapisujemy

)

def

= lim

x→x

f (x) − f (x

)

x − x

• Jeśli x

∈ C

i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą funkcji f

w punkcie x

Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x

i oznaczamy je odpowiednio przez

+
0

) oraz f

−
0

Definicja 3.2.

Niech f : [a, b] → R.

• Jeśli A ⊂ (a, b) oraz funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x ∈ A, to mówimy, że f jest

różniczkowalna na zbiorze A.

• Mówimy, że

f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawostronnie

różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.

• Funkcję

x 7−→ f

(x),

określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją pochodną funkcji
f i oznaczamy przez f

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie:

Twierdzenie 3.3 (warunek konieczny różniczkowalności funkcji).

Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest

różniczkowalna w punkcie x

∈ (a, b), to jest ciągła w tym punkcie.

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Twierdzenie 3.4 (o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji).

Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) → R

są różniczkowalne w punkcie x

∈ (a, b). Wówczas funkcje f +g, f ·g oraz

są różniczkowalne w tym punkcie

oraz

a) (f + g)

) = f

) + g

b) (f · g)

) = f

)g(x

) + f (x

c) (

)

) =

)g(x

) − f (x

)

, o ile g(x

) 6= 0.

Twierdzenie 3.5 (o pochodnej funkcji złożonej).

Załóżmy, że

(1) funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x

∈ (a, b),

(2) f [(a, b)] ⊂ (c, d) oraz

(3) funkcja g : (c, d) → R jest różniczkowalna w punkcie f (x

Wówczas funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x

oraz

(g ◦ f )

) = g

(f (x

))f

Twierdzenie 3.6 (o pochodnej funkcji odwrotnej).

Załóżmy, że

(1) funkcja f : (a, b) → R jest różnowartościowa,

(2) f jest różniczkowalna w punkcie x

∈ (a, b), przy czym f

) 6= 0.

Wówczas funkcja f

−1

jest różniczkowalna w punkcie y

= f (x

) oraz

−1

)

) =

)

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Twierdzenie 3.7 (pochodne podstawowych funkcji).

Wzór

Założenia

(c)

= 0

c ∈ R

)

= αx

α−1

α ∈ R, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}

)

= a

ln a

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R

(log

x ln a

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x > 0

(sin x)

= cos x

x ∈ R

(cos x)

= − sin x

x ∈ R

(tg x)

cos

x ∈ R\{

+ kπ : k ∈ Z}

(ctg x)

= −

sin

x ∈ R\{kπ : k ∈ Z}

(arc sin x)

√

1 − x

x ∈ (−1, 1)

(arc cos x)

= −

√

1 − x

x ∈ (−1, 1)

(arctg x)

1 + x

x ∈ R

(arcctg x)

= −

1 + x

x ∈ R

Definicja 3.8.

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x

∈ (a, b). Funkcję liniową

h 7−→ f

nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x

i oznaczamy przez df (x

Definicja 3.9.

Niech f : (a, b) → R oraz n ∈ N.

• Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x

∈ (a, b) definiujemy indukcyjnie:

(n)

)

def

= [f

(n−1)

]

gdzie f

(1)

)

def

= f

) oraz f

(0)

)

def

= f (x

• Funkcję

x 7−→ f

(n)

(x),

określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazywamy funkcją
pochodną n-tego rzędu funkcji f .

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

3.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania

Twierdzenie 3.10 (Rolle’a).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest

(1) ciągła na [a, b],

(2) różniczkowalna na (a, b) oraz

(3) f (a) = f (b),

to istnieje punkt x

∈ (a, b) taki, że f

) = 0.

Twierdzenie 3.11 (Lagrange’a).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest

(1) ciągła na [a, b] oraz

(2) różniczkowalna na (a, b),

to istnieje punkt x

∈ (a, b) taki, że

) =

f (b) − f (a)

b − a

Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).

Twierdzenie 3.12 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji).

Niech f : I → R. Wówczas

a) jeśli f

(x) = 0 dla każdego x ∈ I, to f jest stała na I;

b) jeśli f

(x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest rosnąca na I;

c) jeśli f

(x) 0 dla każdego x ∈ I, to f jest niemalejąca na I;

d) jeśli f

(x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest malejąca na I;

e) jeśli f

(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ I, to f jest nierosnąca na I.

Twierdzenie 3.13.

Załóżmy, że funkcja f : I → R jest różniczkowalna na I. Jeśli

a) f jest rosnąca na I, to f

(x) 0 dla każdego x ∈ I oraz f

nie jest równa 0 na żadnym przedziale

zawartym w I;

b) f jest malejąca na I, to f

(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ I oraz f

nie jest równa 0 na żadnym przedziale

zawartym w I.

Twierdzenie 3.14.

Załóżmy, że f, g : I → R i x

∈ I.

a) Jeśli

(1) f (x

) = g(x

) oraz

(2)

x∈I

(x) = g

(x),

to f (x) = g(x) dla wszystkich x ∈ I.

b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na I oraz

(1) f (x

) ¬ g(x

) i

(2)

x∈I∩(x

,+∞)

(x) ¬ g

(x),

to f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ I ∩ (x

, +∞).

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Twierdzenie 3.15 (reguła de l’Hospitala).

Niech x

∈ R oraz niech S(x

) będzie pewnym sąsiedztwem

punktu x

. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x

) → R są różniczkowalne na S(x

), przy czym g

(x) 6= 0 dla

x ∈ S(x

). Jeśli

lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = 0

albo

lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = ±∞,

oraz istnieje granica lim

x→x

(x)

= g ∈

R, to lim

x→x

f (x)

g(x)

= g.

Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.

Uwaga 3.16. Regułę de l’Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku sym-
boli nieoznaczonych innych niż

0
0

∞
∞

, posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.

Symbol przed

Przekształcenie

Symbol po

przekształceniem

przekształceniu

∞ − ∞

f − g =











f (1 −

)

1
g

−

f ·g

∞(1 −

∞
∞

)

0
0

0 · ∞

f · g =











1
g

0
0

∞
∞

, ∞

lub 1

∞

= e

g ln f

0·(±∞)

Twierdzenie 3.17 (wzór Taylora).

Niech f : [a, b] → R oraz n ∈ N. Załóżmy, że pochodna f

(n−1)

funkcji

f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f

(n)

istnieje wszędzie na (a, b). Niech x

∈ [a, b]. Wówczas dla

każdego x ∈ [a, x

) ∪ (x

, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x

taki, że

f (x) = f (x

) +

)

(x − x

) + · · · +

(n−1)

)

(n − 1)!

(x − x

)

n−1

}

n−1

(x) − wielomian Taylora

(n)

(c)

(x − x

)

}

(x) − reszta w postaci Lagrange’a

Uwaga 3.18.

(1) Jeśli x

= 0, to powyższy wzór przyjmuje postać

f (x) = f (0) +

(0)

x + · · · +

(n−1)

(0)

(n − 1)!

n−1

}

n−1

(x) − wielomian Maclaurina

(n)

(c)

i nosi nazwę wzoru Maclaurina.

(2) Jeśli założymy, że

M >0

n∈N

x∈(a,b)

(n)

(x)

¬ M,

to lim

n→∞

(x) = 0 dla x ∈ (a, b).

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

(3)

Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji

= 1 +

+ · · · +

n−1

(n − 1)!

sin x =

−

− · · · + (−1)

n−1

2n−1

(2n − 1)!

+ (−1)

2n+1

(2n + 1)!

sin c

cos x = 1 −

− · · · + (−1)

n−1

2n−2

(2n − 2)!

+ (−1)

(2n)!

cos c

ln(1 + x) = x −

− · · · + (−1)

n−1

+ (−1)

n+1

(n + 1)(1 + c)

n+1

3.3. Ekstrema globalne i lokalne funkcji

Niech X ⊂ R, X 6= ∅.

Definicja 3.19.

Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x

∈ X

• maksimum globalne na X, gdy

x∈X

f (x) ¬ f (x

• minimum globalne na X, gdy

x∈X

f (x)  f (x

Definicja 3.20.

Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x

∈ X

• maksimum lokalne, gdy

S(x

)

x∈S(x

)∩X

f (x) ¬ f (x

• minimum lokalne, gdy

S(x

)

x∈S(x

)∩X

f (x)  f (x

Jeśli w powyższych definicjach nierówności ”¬”i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<”i ”>”, to otrzymamy
definicje ekstremów globalnych i lokalnych właściwych.

Twierdzenie 3.21 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Fermata).

Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w x

∈ (a, b) oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to

) = 0.

Twierdzenie 3.22.

Załóżmy, że funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na [a, b]. Niech

A = {x ∈ (a, b) : f

(x) = 0}

oraz B = {x ∈ (a, b) : f

(x) nie istnieje}.

Wówczas

sup{f (x) : x ∈ [a, b]} = max{f (x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B},

inf{f (x) : x ∈ [a, b]} = min{f (x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B}.

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Twierdzenie 3.23 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U (x

) = S(x

) ∪ {x

} ⊂ (a, b).

Jeśli

(1) f

) = 0,

(2)

x∈S

−

)

(x) > 0 i

x∈S

)

(x) < 0

(albo

x∈S

−

)

(x) < 0 i

x∈S

)

(x) > 0),

to f ma w x

maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).

Uwaga 3.24.

(1) Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym sąsiedztwie

S(x

) i ciągła w punkcie x

(2) Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

Twierdzenie 3.25 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x

∈ (a, b).

Jeśli

(1) f

) = 0,

(2) f

jest ciągła w x

(3) f

) 6= 0,

to f ma w x

ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to

• maksimum lokalne w przypadku, gdy f

) < 0,

• minimum lokalne w przypadku, gdy f

) > 0.

3.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty przegięcia

Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).

Definicja 3.26.

Niech f : I → R. Dla dowolnych x

, x

∈ I oznaczmy przez l

funkcję, której wykresem

jest prosta przechodząca przez punkty (x

, f (x

)) i (x

, f (x

)).

Mówimy, że funkcja f jest

• wypukła na I, gdy

∈I, x

x∈(x

)

f (x) ¬ l

(x),

• wklęsła na I, gdy

∈I, x

x∈(x

)

f (x)  l

(x).

Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”¬”i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<”i ”>”, to otrzymamy
definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale I.

Twierdzenie 3.27.

Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas

a) f jest wypukła na I ⇔

∈I

x∈I\{x

}

f (x)  f

)(x − x

) + f (x

);

b) f jest wklęsła na I ⇔

∈I

x∈I\{x

}

f (x) ¬ f

)(x − x

) + f (x

Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.

2007, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Twierdzenie 3.28 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).

Niech f : I → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas

a) jeśli f

(x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest ściśle wypukła na I;

b) jeśli f

(x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest ściśle wklęsła na I.

Definicja 3.29.

Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x

∈ (a, b). Mówimy, że x

jest punktem przegięcia funkcji f, gdy istnieje sąsiedztwo S(x

) ⊂ (a, b) takie, że

f jest ściśle wypukła na S

−

) i ściśle wklęsła na S

)

albo

f jest ściśle wklęsła na S

−

) i ściśle wypukła na S

Twierdzenie 3.30 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).

Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x

jest punktem przegięcia funkcji

f, to f

) = 0.

Uwaga 3.31. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

Twierdzenie 3.32 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie S(x

) ⊂ (a, b)

punktu x

. Jeśli

(1) f jest różniczkowalna w x

(2)

x∈S

−

)

(x) > 0 i

x∈S

)

(x) < 0

albo

x∈S

−

)

(x) < 0 i

x∈S

)

(x) > 0,

to x

jest punktem przegięcia funkcji f.

Twierdzenie 3.33.

Niech n ∈ N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest n-krotnie różniczkowalna na

pewnym otoczeniu punktu x

∈ (a, b). Jeśli

(1)

k∈{1,...,n−1}

(k)

) = 0,

(2) f

(n)

jest ciągła w x

(3) f

(n)

) 6= 0,

to f ma w x

a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą;

b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to

• maksimum lokalne w przypadku, gdy f

(n)

) < 0,

• minimum lokalne w przypadku, gdy f

(n)

) > 0.

2007, E. Kotlicka

Document Outline