ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
1
1. ANALIZA SŁUPA MIMOŚRODOWO ŚCISKANEGO
ZADANIE: przeanalizować zachowanie słupa wolnopodpartego mimośrodowo ściskanego siłą P
(obciążenie konserwatywne). Mimośród e mierzony jest od środka ciężkości przekroju do linii
działania siły P.
( )
( )
[
]
M x
P e w x
=
+
( )
( )
( )
[
]
E I w
x
M x
P e w x
′′
= −
= −
+
k
P
E I
def
2
=
( )
( )
′′
+
= −
w
x
k w x
k e
2
2
( )
( )
( )
w x
w
x
w
x
oRJ
sRN
=
+
( )
w
x
C
kx C
kx
oRJ
=
+
1
2
sin
cos
( )
w
x
e
sRN
= −
( )
w x
C
kx C
kx e
=
+
−
1
2
sin
cos
∗
warunki brzegowe dla wyznaczenia stałych całkowania C
1
i C
2
(
)
(
)
w x
w x L
=
=
=
=
0
0
0
;
C
e
C
e
k L
k L
e
k L
2
1
1
2
=
=
−
=
;
cos
sin
tan
( )
w x
e
k L
k x
k x
=
+
−
tan
sin
cos
2
1
w
w x
L
e
k L
max
sec
=
=
=
−
2
2
1
w
e
k L
max
sec
=
−
2
1
k
P
E I
=
e
e
P
P
L
w
x
M,w
e=0
e
3
e
2
e
1
e
3
> e
2
> e
1
w
max
P
P
kr
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
2
∗
związek w
max
z siłą P jest nieliniowy, mimo że wykorzystano zlinearyzowane równanie linii
ugięcia (zlinearyzowany wzór na krzywiznę), jak również liniowy związek fizyczny (w oparciu o
niego otrzymano równanie linii ugięcia). Jest to wynikiem „sprzężenia” momentu zginającego z
ugięciami (moment zginający nie da się określić bez znajomości ugięć). Mówiąc inaczej - jest to
wynik odstępstwa od zasady zesztywnienia (mówi ona, że wpływ przemieszczeń na wielkości
sił przekrojowych jest pomijalny)
∗
ugięcie rośnie nieograniczenie, gdy siła zmierza do pewnej wartości, którą nazwano siłą
krytyczną P
kr
.
w
k L
max
cos
→ ∞ ⇔
→
2
0
k L
n
n
2
2
1 3 5
=
=
π
, , ....
P n
E I
L
=
2
2
2
π
P
E I
L
kr
= π
2
2
∗
jeżeli mimośród e=0, ugięcie w
max
wynosi:
dla skończonej i dodatniej wartości
k L
czyli
k L
w
sec
;
max
2
1
2
2
0
−
<
=
π
dla
kL
czyli P
P
w
kr
2
2
=
=
π
;
max
jest nieokreślone i może przyjmować dowolną wartość
Tak długo, jak P<P
kr
pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie
początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas, gdy siła osiągnie wartość krytyczną P
kr
pręt
traci stateczność (ulega wyboczeniu),
a jego ugięcia mogą być dowolnie duże.
Wyboczenie
jest to zatem utrata przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na rzecz
równowagi obojętnej lub niestatecznej
.
P < P
kr
P > P
kr
równowaga
stateczna
P
≅
P
kr
równowaga
obojętna
równowaga
niestateczna
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
3
1.1. Naprężenie w słupie z odstępstwem od zasady zesztywnienia
M
P e
k L
max
sec
=
2
σ
max
max
max
sec
= −
−
=
+
P
A
M
I
z
P
A
A e
W
L
P
E I
1
2
( I człon opisuje osiowe ściskanie pręta, zaś drugi - zginanie słupa )
σ
max
sec
=
+
<
P
A
A e
W
L
r
P
E A
R
1
2
∗
naprężenie maksymalne przy wykorzystaniu zasady zesztywnienia (postępowanie
analogiczne, jak w przypadku mimośrodowego rozciągania)
σ
max
max
max
max
= −
−
= −
−
=
+
<
P
A
M
I
z
P
A
P e
I
z
P
A
A e
W
R
1
∗
Przykład liczbowy
Obliczyć nośność pręta ściskanego P, wykonanego z dwuteownika 120, o długości L=5 m.
I
m
x
=
×
−
328 10
8
4
A
m
=
×
−
14 2 10
4
2
.
E
GPa
=
210
R
MPa
=
200
e
m
=
0 05
.
Rozwiązanie:
∗
bez zasady zesztywnienia (teoria II rzędu)
P
kN
II
=
912
.
∗
z zasadą
zesztywnienia
P
kN
I
=
123 5
.
∆
P = 26 %
2. SIŁA KRYTYCZNA DLA SŁUPA
2.1. Zakres liniowo sprężysty
∗
analizowany jest tzw. słup idealny, tzn. idealnie prosty i obciążony centralnie przyłożoną siłą
ściskającą P
∗
materiał słupa jest liniowo sprężysty (materiał Hooke’a)
x
y
e
e
P
P
w
x
x
y
z
P
M
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
4
∗
pręt swobodnie podparty
( )
( )
M x
P w x
kr
=
( )
( )
( )
E I w
x
M x
P w x
kr
′′
= −
= −
k
P
E I
def
kr
2
=
( )
( )
′′
+
=
w
x
k w x
2
0
( )
w x
A
kx B
kx
=
+
sin
cos
(
)
w x
B
=
=
⇒
=
0
0
0
(
)
w x L
A
k L
=
=
⇒
=
0
0
sin
k L n
n
=
=
π
;
, , .....
1 2 3
( )
w x
A
n x
L
=
sin
π
P
EI
n
L
P
n
EI
L
kr
kr
=
⇒
=
π
π
2
2
2
(
)
minP
P
n
P
EI
L
kr
kr
E
=
=
=
=
1
2
2
π
∗
pręt wspornikowy
( )
( )
[
]
M x
P
f w x
kr
= −
−
( )
( )
E I w
x
M x
′′
= −
k
P
E I
def
kr
2
=
( )
w x
A
kx B
kx f
=
+
+
sin
cos
(
)
w x
f
B
=
=
⇒
=
0
0
(
)
w x L
A
k L f
=
=
⇒
=
+
0
0
sin
(
)
′
=
=
⇒
=
w x L
k A
k L
0
0
cos
k L n
n
=
=
π
2
1 3 5
;
, , .....
( )
P
EI
n
L
P
n
EI
L
kr
kr
=
⇒
=
π
π
2
2
2
2
2
(
)
( )
minP
P
n
P
EI
L
kr
kr
E
=
=
=
=
1
2
2
2
π
P
kr
L
w
x
M,w
f
P
P
L
w
x
M,w
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
5
∗
ogólna postać siły krytycznej (siły Eulera 1707-1783)
długości wyboczeniowe L
w
L
w
= L
L
w
= 2 L
L
L
w
≅
1
2
L
L
w
=
1
2
P
P
E I
L
kr
E
w
=
=
π
2
2
min
∗
podstawowe zasady kształtowania słupów
¬
siła krytyczna, jako obciążenie powodujące wyboczenie słupa (z reguły wyboczenie oznacza
utratę przez konstrukcję zdolności do prawidłowej pracy), powinna być jak największa
¬
siła krytyczna jest proporcjonalna do sztywności giętnej słupa E I
min
i odwrotnie proporcjonalna
do długości wyboczeniowej L
w
- tak więc zwiększenie siły P
kr
może nastąpić jedynie w
drodze odpowiedniego ukształtowania przekroju poprzecznego lub/i schematu
statycznego
słupa. Nie zwiększa siły krytycznej zastosowanie materiału o bardzo wysokiej
wytrzymałości !
¬
w przypadku słupów przez odpowiednie ukształtowanie przekroju rozumie się taki dobór
jego geometrii, który z określonej ilości materiału pozwala uzyskać przekrój o
maksymalnej sztywności
, czyli maksymalnym momencie bezwładności. Można to osiągnąć
poprzez rozmieszczenie materiału tak daleko od środka ciężkości przekroju, jak to tylko
możliwe.
Przykład.
Pole przekroju słupa ma wynosić A=50 cm
2
. Porównać siły krytyczne dla słupa o przekroju
prostokątnym, kołowym i rurowym.
h b k
k
=
>
;
1 ; A k b
=
2
; I
h b
A
k
min
=
=
3
2
12
12
A
R
I
R
=
=
π
π
2
4
4
;
; R
cm
=
3 989
.
; I
cm
=
198 944
4
.
(
)
(
)
k
R
r
A
R
r
r
R
r
r k
=
=
−
=
−
=
−
;
π
π
π
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
I
R
r
r
k
=
−
=
−
π
π
4
4
1
4
4
4
4
R
b
h
R
r
L
L
L
L
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
6
¬
z wykresów widać, że przekrój rury jest zdecydowanie bardziej ekonomiczny niż przekrój
lity
o tym samym polu
0
100
200
300
400
500
1
2
3
4
5
współczynnik wymiarów k
mom. bezw
ładn. [cm
4
]
prostokąt
koło
rura
0
1000
2000
3000
4000
5000
1
2
3
4
5
stosunek średnic k
mom. bezw
ładn. [cm
4
]
rura
¬
czym stosunek promieni ścianki zewn. i wewn. jest mniejszy (a zatem „cieńsza” jest
ścianka rury) tym korzyści płynące z zastosowania przekroju rurowego są większe. Niestety,
jeżeli grubość jest zbyt mała
ścianka rury sama staje się niestateczna i może dojść do
lokalnego wyboczenia
w postaci „pofałdowania” powierzchni rury. Zamiast globalnego
wyboczenia słupa mamy wówczas tzw. lokalną utratę stateczności (zapobiega się jej przez
stosowanie użebrowania).
0
2
4
6
8
10
12
14
1
2
3
4
5
stosunek średnic k = R/r
promienie R, r i grubo
ść
[cm]
promień zewnętrzny R
promień wewnętrzny r
grubość ścianki
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
7
3. NAPRĘŻENIE NORMALNE W SŁUPIE
∗
średnie naprężenie ściskające
2
w
2
min
2
2
w
min
2
kr
E
kr
L
i
E
L
A
I
E
A
P
π
=
π
=
=
σ
=
σ
min
w
.
def
smukłość
i
L
=
λ
⇒
σ
π
λ
E
E
=
2
2
∗
zakres liniowo sprężystej ( LS )pracy materiału
σ
λ λ
π
E
H
gr
H
R
E
R
<
⇒
>
=
∗
zakres pozaliniowo sprężystej pracy materiału
R
R
H
E
e
gr
<
<
⇒
<
σ
λ λ
R
R
H
E
e
gr
<
<
⇒
<
σ
λ λ
warunki „brzegowe”
λ
σ
λ λ
σ
=
⇒
=
=
⇒
=
0
R
R
e
gr
H
;
aproksymacja liniowa T-J
σ
λ
σ
π
λ
kr
T J
kr
T J
e
e
H
H
a b
R
R
R
R
E
−
−
= −
⇒
=
−
−
aproksymacja paraboliczna J-O
σ
λ
σ
π
λ
kr
J O
kr
J O
e
e
H
H
A B
R
R
R R
E
−
−
= −
⇒
=
−
−
2
2
2
krzywa Eulera
aproks. Johnsona-Ostenfelda
aproks. Tetmajera-Jasińskiego
smukłość
λ
λ
gr
R
H
naprężenie krytyczne
σ
E
wyboczenie poza
zakresem LS
wyboczenie w
zakresie LS
R
e
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
8
4. PROJEKTOWANIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH
z
warunek projektowania
kr
A
P
σ
≤
=
σ
z
W przypadku dopuszczenia do wyboczenia w zakresie pozaliniowo sprężystym przyjmuje
się, że zamiast granicy plastyczności R
e
należy wziąć wytrzymałość obliczeniową na
rozciąganie R
o
.
λ
<
λ
<
λ
π
−
−
π
=
λ
>
λ
λ
π
=
σ
gr
H
H
o
o
H
gr
2
2
kr
0
dla
E
R
R
R
R
R
E
dla
E
z
założenie
( )
o
kr
R
λ
ϕ
=
σ
( )
o
kr
R
σ
=
λ
ϕ
współczynnik wyboczeniowy
Normy uwzględniają we współczynniku wyboczeniowym takie czynniki jak losowość
charakterystyk materiałowych, losowość obciążenia i odstępstwa od prostoliniowości pręta
ściskanego (tzw. imperfekcje)
( )
λ
<
λ
<
λ
π
−
−
π
=
λ
>
λ
λ
π
=
λ
ϕ
gr
H
o
H
o
H
gr
o
2
2
0
dla
E
R
R
R
R
1
R
E
dla
R
E
4.1. Algorytm obliczeń
1. warunek
wytrzymałościowy
A
R
A
P
o
⇒
≤
2. przyjąć przekrój
A
3
A
×
≅
′
3. obliczyć smukłość pręta
min
w
i
L
=
λ
oraz tzw. smukłość porównawczą
o
p
R
E
15
.
1
π
=
λ
4. z tablic wziąć wartość wsp. wyboczeniowego
ϕ
dla określonego stosunku
p
λ
λ
5. sprawdzić warunek projektowania
( )
o
kr
R
A
P
≤
λ
ϕ
⇒
σ
≤
σ
6. jeżeli warunek projektowania jest spełniony, to proces projektowania jest zakończony. W
przeciwnym wypadku należy zwiększyć przekrój A’ i wrócić do punktu 3.