Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 5
Filtracja dyskretna sygnałów
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
E-mail:
maslowski@prz.edu.pl
http://maslowski.sd.prz.edu.pl/
Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 5
Filtracja dyskretna sygnałów
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
E-mail:
maslowski@prz.edu.pl
http://maslowski.sd.prz.edu.pl/
2
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry cyfrowe
Filtry cyfrowe
-
-
wstęp
wstęp
Filtracja cyfrowa to jedna z najstarszych metod Cyfrowego
Przetwarzania Sygnałów CPS (lub DSP – Digital Signal Procesing),
stosowana już od pierwszej połowy lat 60-tych.
Filtr analogowy działa na sygnał ciągły zmieniając jego widmo,
natomiast filtr cyfrowy przetwarza ciąg wartości próbek dyskretnych
(co też powoduje zmianę widma sygnału dyskretnego)
Filtr cyfrowy można zrealizować za pomocą:
- programu komputerowego
- programowalnego procesora
- dedykowanego układu scalonego
3
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry SOI (FIR)
Filtry SOI (FIR)
Nazwa filtru (SOI - Skończona Odpowiedź Impulsowa lub z ang. FIR
– Finite Impulse Response) pochodzi stąd, że każdy skończony ciąg
próbek wejściowych, przekształcany jest w skończony ciąg
niezerowych próbek wyjściowych.
Filtry SOI są filtrami nierekursywnymi, czyli do uzyskania
odpowiedzi wykorzystują próbkę bieżącą i próbki wcześniejsze ciągu
wejściowego, natomiast nie korzystają z wartości wcześniejszych
próbek wyjściowych (brak sprzężenia zwrotnego).
Właściwości filtru SOI określają współczynniki, przez które
wymnażamy wartości próbek wejściowych.
4
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
W trakcie semestru wyznaczana była na bieżąco średnia frekwencja z ostatnich
3 i 6 wykładów. Pokazać, iż uzyskane po 15 wykładach dwa ciągi próbek są
rezultatem dyskretnej filtracji uśredniającej.
-----------
-----------
y1[2]=146,33
y1[3]=119,67
y1[4]=109,67
y1[5]=98,67
y1[6]=96,67
y1[7]=75,00
y1[8]=84,33
y1[9]=77,67
y1[10]=85,67
y1[11]=72,67
y1[12]=75,33
y1[13]=77,33
y1[14]=101,33
Średnia z ostatnich
3 wykładów
-----------
-----------
-----------
-----------
-----------
y2[5]=122,50
y2[6]=108,17
y2[7]=92,33
y2[8]=91,50
y2[9]=87,17
y2[10]=80,33
y2[11]=78,50
y2[12]=76,50
2y[13]=81,50
y2[14]=87,00
x[0]=179
x[1]= 140
x[2]= 120
x[3]= 99
x[4]= 110
x[5]= 87
x[6]= 93
x[7]= 45
x[8]= 115
X[9]= 73
x[10]= 69
x[11]= 76
x[12]= 81
x[13]= 75
x[14]= 148
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Średnia z ostatnich
6 wykładów
Ilość studentów
Nr wykładu
Przykład
Przykład
–
–
filtr SOI 3
filtr SOI 3
-
-
go i 6
go i 6
-
-
go rzędu
go rzędu
5
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Efekty filtracji uśredniającej
6
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry SOI 3
Filtry SOI 3
-
-
go rzędu
go rzędu
Pierwszy ciąg próbek wyjściowych jest przykładem działania filtru
cyfrowego SOI 3-go rzędu, który opisuje następujące równanie:
(
)
∑
−
=
=
+
−
+
−
=
n
n
k
k
x
n
y
n
x
n
x
n
x
n
y
2
]
[
3
1
]
[
1
lub
]
[
]
1
[
]
2
[
3
1
]
[
1
7
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtr SOI 3
Filtr SOI 3
-
-
go rzędu
go rzędu
Do realizacji praktycznej wykorzystywana jest równoważna postać
równania rozpatrywanego filtru SOI 3-go rzędu:
]
[
3
1
]
1
[
3
1
]
2
[
3
1
]
[
1
n
x
n
x
n
x
n
y
+
−
+
−
=
]
[
]
0
[
]
1
[
]
1
[
]
2
[
]
2
[
]
[
1
n
x
h
n
x
h
n
x
h
n
y
+
−
+
−
=
W naszym przypadku filtr cyfrowy jest określony trzema takimi
samymi współczynnikami:
gdzie
3
1
]
2
[
]
1
[
]
0
[
=
=
=
h
h
h
8
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
SPLOT DYSKRETNY
SPLOT DYSKRETNY
Równanie określające nasz filtr SOI 3-go rzędu można zapisać :
∑
=
−
=
2
0
]
[
]
[
]
[
1
k
k
n
x
k
h
n
y
]
[
]
[
]
[
1
n
x
n
h
n
y
∗
=
Uproszczony zapis
Sygnał wyjściowy to splot
dyskretny sygnału
wejściowego ze
współczynnikami filtru SOI
SPLOT
SYGNAŁÓW
DYSKRETNYCH
Splot dyskretny dla filtru M-tego rzędu definiuje się analogicznie jako :
1
0
1[ ]
[ ] [
]
M
k
y n
h k x n k
−
=
=
−
∑
9
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Splot sygnałów dla n=2
Splot sygnałów dla n=2
∑
=
−
=
2
0
]
2
[
]
[
]
2
[
k
k
x
k
h
y
x[2]
x[3]
10
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Splot sygnałów dla n=3
Splot sygnałów dla n=3
∑
=
−
=
2
0
]
3
[
]
[
]
3
[
k
k
x
k
h
y
11
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Splot sygnałów dla n=4
Splot sygnałów dla n=4
∑
=
−
=
2
0
]
4
[
]
[
]
4
[
k
k
x
k
h
y
12
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Splot sygnałów dla n=7
Splot sygnałów dla n=7
∑
=
−
=
2
0
]
7
[
]
[
]
7
[
k
k
x
k
h
y
13
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
itd.
itd.
14
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry SOI 6
Filtry SOI 6
-
-
go rzędu
go rzędu
Drugi ciąg próbek wyjściowych jest przykładem działania filtru
cyfrowego SOI 6-go rzędu, który opisuje następujące równanie:
∑
=
−
=
5
0
]
[
]
[
]
[
2
k
k
n
x
k
h
n
y
W naszym przypadku filtru uśredniającego mamy 6 stałych (i takich
samych) współczynników charakteryzujących filtr cyfrowy.
Oczywiście w ogólnym przypadku współczynniki h[k] mogą być różne
dla różnych wartości k.
15
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Struktura uśredniającego filtru SOI 3
Struktura uśredniającego filtru SOI 3
-
-
go rzędu
go rzędu
+
opóźnienie
z
-1
opóźnienie
z
-1
x[n]
x[n-1]
x[n-2]
h[0]
=1/3
y1[n]
h[0]
=1/3
h[0]
=1/3
16
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Struktura uśredniającego filtru SOI 6
Struktura uśredniającego filtru SOI 6
-
-
go rzędu
go rzędu
17
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedź impulsowa filtru SOI 3
Odpowiedź impulsowa filtru SOI 3
-
-
go rzędu
go rzędu
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0
1
2
h[0]
h[1]
h[2]
y[2]
2
h[0]
18
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedź impulsowa filtru SOI 3
Odpowiedź impulsowa filtru SOI 3
-
-
go rzędu
go rzędu
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0
1
2
h[0]
h[1]
h[2]
y[3]
2
h[0]
3
h[1]
19
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedź impulsowa filtru SOI 3
Odpowiedź impulsowa filtru SOI 3
-
-
go rzędu
go rzędu
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0
1
2
h[0]
h[1]
h[2]
y[4]
2
h[0]
3
h[1]
4
h[2]
20
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedź impulsowa filtru SOI
Odpowiedź impulsowa filtru SOI
dowolnego rzędu
dowolnego rzędu
Odpowiedź impulsowa filtru SOI jest identyczna jak
wartości współczynników tego filtru.
Wyznaczanie odpowiedzi impulsowej jest zatem
równoznaczne z wyznaczaniem współczynników h[k]
filtru SOI k+1 rzędu.
21
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transmitancja filtru SOI
Transmitancja filtru SOI
DFT odpowiedzi impulsowej określa zatem własności filtru w
dziedzinie częstotliwości a zatem definiuje transmitancję
częstotliwościową filtru SOI.
]
[
]
[
]
[
]
[
k
h
n
x
n
h
n
y
=
∗
=
gdzie k=0, 1 , ... jest indeksem kolejnych wartości współczynników
filtru i zakres wartości zależy od rzędu tego filtru.
]
[
]
[
]
[
m
H
m
Y
n
y
=
↔
δ
δ
DFT
22
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Twierdzenie o splocie dyskretnym
Twierdzenie o splocie dyskretnym
Podstawowym prawem wykorzystywanym w DSP jest
twierdzenie o splocie dyskretnym:
Jeżeli mamy dwa sygnały dyskretne h[n] i x[n], których
dyskretne transformaty Fouriera DFT wynoszą
odpowiednio H[m] i X[m] to DFT splotu tych sygnałów
jest iloczynem H[m]X[m].
Twierdzenie to umożliwia m. in. wyznaczenie odpowiedzi filtru
na podstawie widma dyskretnego sygnału wejściowego i
transmitancji częstotliwościowej filtru.
23
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Wykorzystanie twierdzenia
Wykorzystanie twierdzenia
o splocie dyskretnym
o splocie dyskretnym
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
m
Y
n
y
m
X
n
x
m
H
n
h
↔
↔
↔
]
[
]
[
]
[
n
x
n
h
n
y
∗
=
]
[
]
[
]
[
m
X
m
H
m
Y
=
DFT
DFT
DFT
Filtr realizuje to działanie,
czyli operuje na próbkach
czasowych
W fazie projektowania filtru można
wykorzystać tw. o splocie aby przewidzieć
właściwości filtru na podstawie jego
transmitancji (modelowanie matematyczne).
24
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego
Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego
Dziedzina próbek czasowych
Dziedzina dyskretnych częstotliwości
25
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
2
,
1
,
0
dla
3
1
]
[
=
=
k
k
h
Transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI 3-go rzędu
z poprzedniego przykładu:
Aby wyznaczyć transmitancję filtru
SOI wystarczy obliczyć DFT
odpowiedzi impulsowej, czyli DFT
ciągu jaki tworzą współczynniki filtru.
Wyznaczenie DFT na podstawie tylko 3
próbek daje bardzo niską rozdzielczość
widmową, więc w praktyce przy
wyznaczaniu transmitancji dodaje się
dodatkowo z prawej strony
odpowiednią ilość zer.
26
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
3-go rzędu (dopisano 5 zer co daje w sumie 8 próbek):
27
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
3-go rzędu (dopisano 29 zer co daje w sumie 32 próbki):
28
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
dla
6
1
]
[
=
=
k
k
h
Transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI 6-go rzędu
z poprzedniego przykładu:
29
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
6-go rzędu (dopisano 10 zer co daje w sumie 16 próbek):
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
30
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
6-go rzędu (dopisano 58 zer co daje w sumie 64 próbek):
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
31
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI 6-go rzędu
określonego następującym zestawem współczynników:
32
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
6-go rzędu (dopisano 58 zer co daje w sumie 64 próbek):
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
33
SYGNAŁY I SYSTEMY
SYGNAŁY I SYSTEMY
-
-
dr inż. Grzegorz
dr inż. Grzegorz
Masłowski
Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry cyfrowe
Filtry cyfrowe
-
-
podsumowanie
podsumowanie
Filtr cyfrowy SOI przekształca skończony i dyskretny sygnał
wejściowy w skończony i dyskretny sygnał wyjściowy.
Działanie filtru cyfrowego SOI jest równoważne splotowi wejściowego
sygnału dyskretnego z ciągiem współczynników określających
właściwości tego filtru.
Transmitancja częstotliwościowa filtru SOI jest transformatą dyskretną
Fouriera DFT odpowiedzi impulsowej filtru.
Transmitancję tę wyznacza się dodając odpowiednią ilość zer do ciągu
współczynników filtru, który jest tożsamy z odpowiedzią impulsową.
Dyskretne widmo sygnału wyjściowego wyznacza się mnożąc widmo
sygnału wejściowego przez transmitancję filtru.