1
Zagadnienia wst
,
epne
B
,
edziemy si
,
e zajmowali funkcjami postaci f : D → R gdzie D ⊂ R
2
. Poj
,
ecia
granicy, ci
,
ag lo´
sci, pochodnej, ekstremum lokalnego i globalnego zostan
,
a prze-
niesione w t
,
e now
,
a przestrze´
n. Na pocz
,
atek kilka podstawowych poj
,
e´
c topolo-
gicznych na p laszczy´
znie.
Definicja 1.1 Niech
(x
n
, y
n
)
n∈N
b
,
edzie ci
,
agiem punkt´
ow p laszczyzny. Po-
wiemy, ˙ze ci
,
ag ten d
,
a˙zy do punktu (x
0
, y
0
), gdy x
n
→ x
0
i y
n
→ y
0
przy n → ∞.
Definicja 1.2 Niech (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
) ∈ R
2
. Odleg lo´
sci
,
a mi
,
edzy tymi punktami
b
,
edziemy nazywali liczb
,
e
d
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
)
=
p
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
.
Definicja 1.3 Kul
,
a o ´
srodku w p ∈ R
2
i promieniu r > 0 nazywamy zbi´
or
K(p, r) = {q ∈ R
2
: d(p, q) < r}.
Definicja 1.4 Niech D ⊂ R
2
, p ∈ D. Powiemy, ˙ze D jest otoczeniem punktu
p (lub: punkt p le˙zy we wn
,
etrzu D), je´
sli istnieje taki promie´
n r > 0, ˙ze
K(p, r) ⊂ D. Zbi´
or wszystkich punkt´
ow wewn
,
etrznych zbioru D nazywamy jego
wn
,
etrzem i oznaczamy przez IntD.
Definicja 1.5 Zbi´
or D ⊂ R
2
nazwiemy otwartym, je˙zeli jest on otoczeniem
ka˙zdego swojego punktu.
Definicja 1.6 Zbi´
or D ⊂ R
2
nazwiemy domkni
,
etym, je˙zeli R
2
\ D jest zbiorem
otwartym.
Definicja 1.7 Zbi´
or D ⊂ R
2
nazwiemy ograniczonym, je˙zeli istnieje takie r > 0,
˙ze
D ⊂ K((0, 0), r).
1
Definicja 1.8 Niech D ⊂ R
2
, p ∈ R
2
. Powiemy, ˙ze p jest punktem skupienia
zbioru D je˙zeli istnieje ci
,
ag (q
n
)
n∈N
punkt´
ow zbioru D r´
o˙znych od p, zbie˙zny
do p.
Definicja 1.9 Suma zbioru D i zbioru jego punkt´
ow skupienia jest nazywana
domkni
,
eciem zbioru D.
Definicja 1.10 Zbi´
or otwarty, kt´
orego nie da si
,
e przedstawi´
c jako sumy dw´
och
roz lacznych zbior´
ow otwartych i niepustych, nazywamy obszarem.
Definicja 1.11 Domkni
,
ecie obszaru nazywamy obszarem domkni
,
etym.
Definicja 1.12 Liczb
,
e
δ(D) = sup{d(p, q) : p, q ∈ D}
nazywamy ´
srednic
,
a zbioru D.
2
Granica i ci
,
ag lo´
s´
c funkcji dw´
och zmiennych
Definicja 2.1 Niech f
: D → R gdzie D ⊂ R
2
. Niech p = (x
0
, y
0
) b
,
edzie
punktem skupienia zbioru D. Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie p granic
,
e g
(r´
own
,
a by´
c mo˙ze + − ∞), je˙zeli dla ka˙zdego ci
,
agu (q
n
)
n∈N
punkt´
ow zbioru D
r´
o˙znych od p, zbie˙znego do p zachodzi f (q
n
) → g.
Definicja 2.2 Niech f
: D → R gdzie D ⊂ R
2
. Niech p = (x
0
, y
0
) ∈ D.
Powiemy, ˙ze funkcja f jest ci
,
ag la w punkcie p, je˙zeli dla ka˙zdego ci
,
agu (q
n
)
n∈N
punkt´
ow zbioru D zbie˙znego do p zachodzi f (q
n
) → f(p).
Definicja 2.3 Powiemy, ˙ze f : D → R jest ci
,
ag la na D, je˙zeli jest ci
,
ag la w
ka˙zdym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie 2.1 (o lokalnym zachowaniu znaku.) Niech f : D → R b
,
edzie
ci
,
ag la w punkcie p ∈ D i niech f (p) > 0. W´
owczas istnieje takie otoczenie V
punktu p, ˙ze f (q) > 0 dla q ∈ D ∩ V.
2
Twierdzenie 2.2 (Weierstrassa o przyjmowaniu kres´
ow) Niech f : D → R
gdzie D ⊂ R
2
jest zbiorem domkni
,
etym i ograniczonym. Niech f b
,
edzie ci
,
ag la
na D. W´
owczas
1. f jest funkcj
,
a ograniczon
,
a,
2. istniej
,
a takie punkty p
max
i p
min
, ˙ze
f (p
max
) = max{f(q) : q ∈ D}
i
f(p
min
) = min{f(q) : q ∈ D}.
3
Pochodne cz
,
astkowe i ekstrema funkcji dw´
och
zmiennych
Definicja 3.1 Niech f : D → R, niech D b
,
edzie otoczeniem punktu (x
0
, y
0
).
Granic
,
e
lim
h→0
f (x
0
+ h, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
h
(je´
sli istnieje) b
,
edziemy nazywa´
c pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a funkcji f po pierwszej
zmiennej w punkcie (x
0
, y
0
) i oznacza´
c przez f
0
x
(x
0
, y
0
). Liczb
,
e t
,
e mo˙zna uto˙zsami´
c
z pochodn
,
a w punkcie x
0
funkcji jednej zmiennej powsta lej z f przez ustalenie
y = y
0
.
Definicj
,
e pochodnej cz
,
astkowej po drugiej zmiennej pozostawiamy czytelni-
kowi.
Je˙zeli pochodnie cz
,
astkowe f
0
x
i f
0
y
istniej
,
a w pewnym otoczeniu V punktu
(x
0
, y
0
), to mo˙zemy je potraktowa´
c jako nowe funkcje dw´
och zmiennych. Licz
,
ac
z kolei ich pochodne cz
,
astkowe w (x
0
, y
0
) (je´
sli istniej
,
a) otrzymamy liczby
f
00
xx
(x
0
, y
0
), f
00
xy
(x
0
, y
0
), f
00
yx
(x
0
, y
0
), f
00
yy
(x
0
, y
0
)
zwane pochodnymi cz
,
astkowymi drugiego rz
,
edu funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
).
Twierdzenie 3.1 (Schwarza) Je˙zeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu
(x
0
, y
0
) pochodne cz
,
astkowe mieszane f
00
xy
i f
00
yx
i s
,
a one ci
,
ag le w (x
0
, y
0
) to
f
00
xy
(x
0
, y
0
) = f
00
yx
(x
0
, y
0
)
3
Definicja 3.2 Powiemy, ˙ze funkcja f
:
D → R ma maksimum lokalne w
punkcie p ∈ D, je˙zeli istnieje takie otoczenie V punktu p, ˙ze f (p) ≥ f(q) dla
q ∈ D ∩ V.
Definicja 3.3 Powiemy, ˙ze funkcja f : D → R ma maksimum lokalne w la´
sciwe
w punkcie p ∈ D je˙zeli istnieje takie otoczenie V punktu p, ˙ze f (p) > f(q) dla
q ∈ D ∩ V \ {p}.
Definicja 3.4 Powiemy, ˙ze funkcja f : D → R ma maksimum absolutne w
punkcie p ∈ D, je˙zeli f (p) ≥ f(q) dla q ∈ D.
Twierdzenie 3.2 (warunek konieczny istniena ekstremum) Niech f
: D →
R, niech D b
,
edzie otoczeniem punktu (x
0
, y
0
). Je˙zeli funkcja f ma w (x
0
, y
0
)
pochodne cz
,
astkowe i ma w tym punkcie maksimum lokalne, to
f
0
x
(x
0
, y
0
) = f
0
y
(x
0
, y
0
) = 0.
Definicja 3.5 Niech f posiada ci
,
ag le pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu na
pewnym zbiorze otwartym D. Liczb
,
e
W (x
0
, y
0
) = det
h
f
00
xx
(x
0
, y
0
)
f
00
xy
(x
0
, y
0
)
f
00
yx
(x
0
, y
0
)
f
00
yy
(x
0
, y
0
)
i
nazywamy wyr´
o˙znikiem funkcji f w (x
0
, y
0
).
Twierdzenie 3.3 (warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum lokalnego) Niech
f posiada ci
,
ag le pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu na pewnym otoczeniu
otwartym D punktu (x
0
, y
0
). Je˙zeli
1. f
0
x
(x
0
, y
0
) = 0, f
0
y
(x
0
, y
0
) = 0,
2. W (x
0
, y
0
) > 0,
to funkcja f ma w (x
0
, y
0
) ekstremum lokalne w la´
sciwe.
Uwaga 3.1 Je˙zeli w tej samej sytuacji otrzymamy W (x
0
, y
0
) < 0, oznacza to,
˙ze w punkcie (x
0
, y
0
) nie ma ekstremum lokalnego.
4
4
R´
o ˙zniczka zupe lna funkcji
Definicja 4.1 Niech f : D → R, niech D b
,
edzie otoczeniem punktu (x
0
, y
0
).
Funkcj
,
e liniow
,
a A(x, y) = a · x + b · y spe lniaj
,
ac
,
a warunek
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f (x, y) − f (x
0
, y
0
) − A(x − x
0
, y − y
0
)
p(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
= 0
(je´
sli taka istnieje) nazwiemy r´
o˙zniczk
,
a zupe ln
,
a funkcji f w (x
0
, y
0
). O funkcji
f powiemy w´
owczas, ˙ze jest r´
o˙zniczkowalna w punkcie (x
0
, y
0
).
Twierdzenie 4.1 Je˙zeli funkcja liniowa A(x, y) = a · x + b · y jest r´
o˙zniczk
,
a
zupe ln
,
a funkcji f w (x
0
, y
0
) to f posiada w tym punkcie pochodne cz
,
astkowe
r´
owne
f
0
x
(x
0
, y
0
) = a, f
0
y
(x
0
, y
0
) = b.
5
Funkcja uwik lana
Definicja 5.1 Niech F : D → R, gdzie D jest zbiorem otwartym w R
2
.
Ka˙zd
,
a funkcj
,
e ci
,
ag l
,
a y = y(x) okre´
slon
,
a na pewnym przedziale I ⊂ R tak
,
a,
˙ze F (x, y(x)) = 0 dla x ∈ I nazwiemy funkcj
,
a uwik lan
,
a dan
,
a r´
ownaniem
F (x, y) = 0.
Uwaga 5.1 R´
ownanie F (x, y) = 0 mo˙ze na pewnym przedziale okre´
sla´
c jedn
,
a
funkcj
,
e uwik lan
,
a, wiele funkcji uwik lanych lub ˙zadnej.
Twierdzenie 5.1 (o istnieniu funkcji uwik lanej) Je˙zeli F jest klasy C
1
(czyli
ma ci
,
ag le pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu) w pewnym otoczeniu punktu
(x
0
, y
0
) oraz
F (x
0
, y
0
) = 0 i F
0
y
(x
0
, y
0
) 6= 0
to na pewnym otoczeniu punktu x
0
istnieje dok ladnie jedna funkcja dana r´
ownaniem
F (x, y) = 0 i spe lniaj
,
aca warunek y(x
0
) = y
0
. Funkcja ta ma ci
,
ag l
,
a pochodn
,
a
okre´
slon
,
a wzorem
y
0
(x) = −
F
0
x
(x, y(x))
F
0
y
(x, y(x))
.
5
Twierdzenie 5.2 (warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum funkcji uwik lanej)
Je˙zeli F jest funkcj
,
a klasy C
2
na pewnym otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) oraz
1. F (x
0
, y
0
) = 0,
2. F
0
x
(x
0
, y
0
) = 0,
3. F
0
y
(x
0
, y
0
) 6= 0,
4. I(x
0
, y
0
) = −
F
00
xx
(x
0
,y
0
)
F
0
y
(x
0
,y
0
)
6= 0
to funkcja uwik lana y = y(x) okre´
slona r´
ownaniem F (x, y) = 0 i spe lniaj
,
aca
warunek y(x
0
) = y
0
ma w punkcie x
0
ekstremum lokalne y
0
. Jest to maksimum
gdy I(x
0
, y
0
) < 0 i minimum, gdy I(x
0
, y
0
) > 0.
6