1
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Def.
JeŜeli kaŜdemu punktowi (
x
,
y
) ze zbioru E
płaszczyzny 0XY przyporządkujemy pewną
liczbę rzeczywistą
z
, to mówimy, Ŝe na zbiorze E
określona została funkcja
z = f(x, y)
.
Gdy zbiór E nie jest wyraźnie podany,
sprawdzamy dla jakich par (x, y) funkcja
Z = f(x, y) ma sens, np.:
Funkcja
y
x
y
x
x
z
−
+
=
2
jest określona gdy:
1. pod pierwiastkiem jest liczba nieujemna tj.
0
≥
−
+
y
x
y
x
czyli :
(x +y)≥
≥≥≥0 i (x -y) ≥≥≥≥0 albo
(x +y)≤
≤≤≤0 i (x -y)≤≤≤≤0
2
Pole funkcji
y
x
y
x
x
z
−
+
=
2
2.wyraŜenie w mianowniku jest róŜne od zera
tj. gdy (x -y)≠
≠≠≠0 to x≠≠≠≠y
Def.
Zbiór E to pole funkcji dwóch zmiennych,
inaczej zwany dziedziną funkcji. Jest to część
płaszczyzny.
3
Wykresem funkcji dwóch zmiennych
nazywamy zbiór W punktów w przestrzeni R
3
spełniających warunki:
(
) ( )
( )
(
)
y
x
f
z
E
y
x
z
y
x
W
,
,
:
,
,
=
∧
∈
=
Jest to zatem pewna powierzchnia w
przestrzeni R
3
.
Na przykład obrazem geometrycznym
funkcji:
( )
2
2
2
,
,
R
y
x
gdzie
y
x
z
∈
+
=
jest powierzchnia zwana paraboloidą
obrotową.
4
Paraboloida
2
2
y
x
z
+
=
5
Funkcja potęgowa
3
2
4
y
x
z =
Def.
Rzut prostopadły na płaszczyznę OXY
przekroju powierzchni z = f(x, y) płaszczyzną
równoległą do płaszczyzny OXY nazywamy
warstwicą tej funkcji.
Jak wynika z definicji warstwice funkcji
dwóch zmiennych są pewnymi prostymi lub
krzywymi na płaszczyźnie OXY.
6
7
POCHODNA CZĄSTKOWA FUNKCJI
z =f(x, y)
Def.
Dana jest funkcja z= f (x, y). Zakładając, Ŝe
jedna ze zmiennych jest ustalona, np. zmienna
y=y
0
otrzymujemy w ten sposób funkcję jednej
zmiennej z=f(x, y
0
). JeŜeli funkcja f(x, y
0
)
posiada pochodną w punkcie x
0
, to pochodną tę
nazywamy pochodną cząstkową w punkcie (x
0
,
y
0
) funkcji f(x, y) względem zmiennej x i
oznaczamy przez
(
)
)
y
,
(
0
,
0
'
0
0
y)
,
(
lub
x
x
x
x
f
y
x
f
δ
δ
Analogicznie definiujemy pochodną
cząstkową względem zmiennej y f'
y
(x
0
, y
0
)
Analogicznie moŜemy definiować pochodną
pochodnej czyli drugą pochodną. Z tym, Ŝe w
tym przypadku mamy aŜ cztery pochodne
rzędu drugiego:
f´´
xx
, f´´
xy
, f´´
yx
, f´´
yy
Przykład:
8
6
3
2
+
−
+
=
y
x
y
x
z
3
1
2
2
'
'
−
=
+
=
x
f
xy
f
y
x
x
f
x
f
y
f
yx
xy
xx
2
2
0
f
2
''
''
yy
''
''
=
=
=
=
GRADIENT FUNKCJI z= f(x, y)
GRADIENTEM funkcji z nazywamy wektor,
którego składowymi są pochodne cząstkowe
rzędu pierwszego
(
)
(
)
(
)
=
0
0
'
0
,
0
'
0
0
,
,
y
x
f
y
x
f
y
x
gradf
y
x
W otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) gradient wskazuje
kierunek w którym funkcja f wzrasta
najszybciej.
Przykład:
WskaŜ kierunek najszybszego przyrostu
wartości funkcji
(
)
1
,
2
x
przy
5
6
0
0
2
3
=
=
+
−
=
y
x
xy
x
z
9
( )
−
+
−
=
2
3
15
2
5
6
,
xy
x
y
y
x
f
grad
( )
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
1
2
15
2
2
1
5
6
1
,
2
f
grad
( )
−
=
30
5
1
,
2
f
grad
Elastyczność cząstkowa funkcji z= f(x, y)
Elastyczności cząstkowe funkcji dwóch
zmiennych definiujemy:
( )
( )
( )
y
x
f
y
x
f
x
y
x
f
E
Ez
x
x
x
,
,
,
'
⋅
=
=
10
( )
( )
( )
y
x
f
y
x
f
y
y
x
f
E
Ez
y
y
y
,
,
,
'
⋅
=
=
Określamy w ten sposób % wzrost wartości
funkcji z= f(x, y), gdy jedna zmienna
niezaleŜna (x lub y)wzrasta o 1%.
Przykład:
Obliczyć elastyczności cząstkowe funkcji
3
2
2
y
x
z =
3
'
4xy
z
x
=
2
2
'
6
y
x
z
y
=
stąd
3
6
2
Ez
2
4
2
2
2
3
2
y
3
3
2
=
=
=
=
y
x
y
x
y
xy
y
x
x
Ez
x
Z kolei dla funkcji
2
2
y
x
e
z
+
=
pochodne
cząstkowe i elastyczności wynoszą:
11
2
2
2
2
2
,
2
'
'
y
x
y
y
x
x
ye
z
xe
z
+
+
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
ye
e
y
Ez
x
xe
e
x
Ez
y
x
y
x
y
y
x
y
x
x
=
=
=
=
+
+
+
+
RÓśNICZKA ZUPEŁNA z= f(x, y)
Zakładamy, Ŝe funkcja z= f(x, y) jest
róŜniczkowalna w pewnym obszarze. RóŜniczki
cząstkowe tej funkcji względem zmiennej x i
zmiennej y są określone następującymi wzorami:
y
f
y
x
f
d
oraz
x
f
y
x
f
d
y
y
x
x
∆
=
∆
⋅
=
'
'
)
,
(
)
,
(
Jako, Ŝe róŜniczka zmiennej niezaleŜnej jest po
prostu równa przyrostowi tej zmiennej to
powyŜsze wzory moŜna zapisać:
dy
f
y
x
f
d
oraz
dx
f
y
x
f
d
y
y
x
x
'
'
)
,
(
)
,
(
=
⋅
=
Sumę róŜniczek cząstkowych nazywamy róŜniczką
zupełną funkcji f(x,y).
12
( )
dy
f
dx
f
y
x
f
d
y
x
f
d
y
x
df
y
x
y
x
'
'
)
,
(
)
,
(
,
+
⋅
=
+
=
Przykład:
Obliczyć przyrost funkcji
3
2
2
y
x
z
+
=
z
punktu (x
0
=2, y
0
=1) przy ∆x=∆y=0,01
( )
(
)
(
)
(
)
11
,
0
01
,
0
3
01
,
0
8
3
4
,
0
0
0
0
0
0
,
2
,
,
=
⋅
+
⋅
=
∆
⋅
+
∆
≈
∆
y
y
x
x
y
x
f
y
x
y
x
y
x
Przykład:
W badaniach ekonomicznych stosowana jest tzw
funkcja Cobb-Douglasa
β
α
Z
aM
D =
D- wielkość wytworzonego dochodu narodowego
M- wielkość produkcyjnego majątku trwałego
funkcjonującego w gospodarce narodowej
Z- wielkość zatrudnienia w produkcji materialnej
a, α, β- parametry (dodatnie)
średnie tempo wzrostu dochodu narodowego:
D
D
r
D
∆
=
13
poniewaŜ :
(
)
Z
M
f
D
,
=
to przyrost zupełny funkcji wynosi:
Z
D
M
D
D
Z
M
∆
′
+
∆
′
=
∆
β
α
α
Z
M
a
D
M
1
−
=
′
czyli:
Z
Z
aM
M
Z
aM
D
∆
+
∆
=
∆
−
−
1
1
β
α
β
α
β
α
stąd średnie tempo wzrostu dochodu narodowego
wynosi:
Z
Z
M
M
Z
aM
Z
Z
aM
M
Z
aM
D
D
∆
+
∆
=
∆
+
∆
=
∆
−
−
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
1
1
1
−
=
′
β
α
β
Z
M
a
D
Z
14
Uwzględniając inny zapis:
m
r
M
M =
∆
oznacza średnie tempo wzrostu produkcyjnego
majątku trwałego
Z
r
Z
Z =
∆
oznacza średnie tempo wzrostu zatrudnienia w
produkcji materialnej
średnie tempo wzrostu dochodu narodowego
wynosi:
Z
r
β
α
+
=
M
D
r
r
Na podstawie funkcji Cobb-Douglasa obliczamy
elastyczność dochodu narodowego względem
produkcyjnego majątku trwałego i zatrudnienia:
α
α
β
α
β
α
=
=
′
⋅
=
−
Z
M
a
Z
aM
M
D
D
M
ED
M
M
1
β
β
β
α
β
α
=
=
′
⋅
=
−1
Z
M
a
Z
aM
Z
D
D
Z
ED
Z
Z
15
EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.
F: D→ Z, D∈R
2
i (x, y)∈D
Funkcja f(x, y) ma w punkcie (x
0
, y
0
) maksimum,
jeŜeli istnieje otoczenie tego punktu takie, Ŝe dla
kaŜdego punktu (x, y) naleŜącego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
( )
(
)
(
)
(
) (
)
( )
(
)
0
0
2
2
0
2
0
,
0
0
0
,
,
,
,
y
x
f
y
x
f
r
y
y
x
x
czyli
y
x
f
y
x
f
D
y
x
r
≤
⇒
≤
−
+
−
∧
∨
≤
∈
>
Def.
Funkcja f(x, y) ma w punkcie (x
0
,y
0
) minimum
jeŜeli istnieje otoczenie tego punktu takie, Ŝe dla
kaŜdego punktu (x, y) naleŜącego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
16
( )
(
)
(
)
(
) (
)
( )
(
)
0
0
2
2
0
2
0
,
0
0
0
,
,
,
,
y
x
f
y
x
f
r
y
y
x
x
czyli
y
x
f
y
x
f
D
y
x
r
≥
⇒
≤
−
+
−
∧
∨
≥
∈
>
Maksima i minima funkcji to inaczej ekstrema
funkcji.
Tw. [WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA
EKSTREMUM]
JeŜeli funkcja F: D→Z, D∈R
2
ma w punkcie
(x
0
,y
0
)∈D ekstremum i obie pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu, to pochodne te są w tym
punkcie równe zeru to jest:
(
)
(
)
0
,
'
0
,
'
0
0
0
0
=
=
y
x
f
i
y
x
f
y
x
Tw. [WARUNEK WYSTARCZAJACY
ISTNIENIA EKSTREMUM]
ZałóŜmy, Ŝe funkcja f(x, y) ma w otoczeniu punktu
(x
0
, y
0
) ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu
i oznaczmy:
17
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
yy
yx
xy
xx
yx
xy
yy
xx
f
f
f
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
w
=
=
⋅
−
⋅
=
,
,
,
,
,
wyraŜenie W wyróŜnik funkcji f
Zakładamy, Ŝe f
x
(x
0
, y
0
)=f
y
(x
0
, y
0
)=0
1
0
JeŜeli W(x
0
, y
0
)>0 i f
xx
>0 to funkcja ma w
punkcie (x
0
, y
0
) minimum.
2
0
JeŜeli W(x
0
, y
0
)>0 i f
xx
<0 to funkcja ma w
punkcie (x
0
, y
0
) maksimum
3
0
JeŜeli W(x
0
, y
0
)<0 to funkcja nie ma w punkcie
(x
0
, y
0
) ekstremum
4
0
JeŜeli W(x
0
, y
0
)=0 to funkcja moŜe mieć lub nie
mieć w punkcie (x
0
, y
0
) ekstremum
Przykład:
Zbadać ekstrema funkcji
98
54
16
9
-4x
y)
,
(
2
2
−
−
+
−
=
y
x
y
x
f
54
18
16
8
−
−
=
′
+
−
=
′
y
f
x
f
y
x
0
=
′
=
′
y
x
f
f
18
-3
y
2
0
54
18
0
16
8
=
=
=
−
−
=
+
−
x
y
x
0
18
8
=
′′
=
′′
−
=
′′
−
=
′′
yx
xy
yy
xx
f
f
f
f
(
) ( )(
)
0
0
144
0
0
18
8
3
,
2
<
′′
>
=
⋅
−
−
−
=
−
xx
f
W
czyli funkcja f posiada w tym punkcie (2, -3)
maksimum.
19
W zastosowaniach matematyki do ekonomii
występuje problem wyznaczenia zaleŜności
między wielkościami ekonomicznymi na przykład:
między dochodem narodowym, a inwestycjami,
popytem na dane dobro, a dochodami ludności.
Przez X określimy jedną z wielkości
ekonomicznych, a przez Y drugą oraz załoŜymy,
Ŝe mamy odpowiednie informacje statystyczne o
tych wielkościach w ilości „n” danych.
Metoda najmniejszych kwadratów polega na
wyznaczeniu parametrów funkcji f(x), które
zapewniałyby, Ŝe suma kwadratów S odchyleń
przyjmowała wartość najmniejszą:
( )
(
)
∑
∑
=
=
−
=
=
n
i
i
i
n
i
i
x
f
y
e
S
1
2
1
2
ZałóŜmy, Ŝe zaleŜność między zmiennymi ma
charakter liniowy:
b
aX
Y
+
=
Metoda najmniejszych kwadratów pozwala nam na
wyznaczenie parametrów a i b :
(
)
∑
=
−
−
=
n
i
i
i
b
ax
y
S
1
2
Jest to funkcja dwóch zmiennych a i b
20
Naszym zadaniem jest znalezienie minimum
funkcji dwóch zmiennych.
Pochodne cząstkowe funkcji S(a,b) określonej
wzorem:
(
)
∑
=
−
−
=
n
i
i
i
b
ax
y
S
1
2
wynoszą:
( )
(
) (
)
(
)
∑
∑
=
=
−
−
−
=
−
⋅
−
−
=
′
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
a
b
ax
y
x
x
b
ax
y
b
a
S
1
1
2
2
,
( )
(
) ( )
(
)
∑
∑
=
=
−
−
−
=
−
⋅
−
−
=
′
n
i
i
i
n
i
i
i
b
b
ax
y
b
ax
y
b
a
S
1
1
2
1
2
,
warunek konieczny na ekstremum przyjmuje
postać układu równań:
(
)
(
)
∑
∑
=
=
=
−
−
=
−
−
n
i
i
i
n
i
i
i
i
b
ax
y
b
ax
y
x
1
1
,
0
,
0
21
po przekształceniach równania przyjmują postać:
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
+
=
+
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
nb
x
a
y
x
x
b
x
a
1
1
1
1
1
2
co daje rozwiązanie tego układu względem
zmiennych a i b:
2
1
1
2
1
1
1
−
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
x
x
n
y
x
y
x
n
a
n
x
a
y
b
n
i
i
n
i
i
∑
∑
=
=
−
=
1
1
Zakładając, Ŝe:
0
2
1
1
2
≠
−
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
x
x
n
22
funkcja S moŜe mieć ekstremum w punkcie o
współrzędnych określonych wzorami na a ib
Sprawdzimy jeszcze czy funkcja spełnia warunek
dostateczny istnienia ekstremum w tym punkcie:
(
)(
)
∑
∑
=
=
=
−
−
=
′′
n
i
n
i
i
i
i
aa
x
x
x
S
1
1
2
2
2
( )( )
n
S
n
i
bb
2
1
1
2
1
=
−
−
=
′′
∑
=
( )(
)
∑
∑
=
=
=
−
−
=
′′
n
i
n
i
i
i
ab
x
x
S
1
1
2
1
2
(
)( )
∑
∑
=
=
=
−
−
=
′′
n
i
i
n
i
i
ba
x
x
S
1
1
2
1
2
WyróŜnik:
( )
−
=
−
⋅
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
n
x
n
x
b
a
W
1
2
1
2
2
1
1
2
4
2
2
2
,
MoŜna udowodnić, Ŝe jeŜeli x
i
(i=1, 2, 3, 4,…,n)
23
nie są wszystkie równe, (załoŜenie to w metodzie
najmniejszych kwadratów jest spełnione), to
0
2
1
1
2
>
−
∑
∑
=
=
n
i
n
i
i
i
x
x
n
Z tego warunku wynika, Ŝe wyróŜnik jest dodatni
w kaŜdym punkcie (a, b). Jest on funkcją stałą
zmiennych a, b- jest więc dodatni w punkcie o
współrzędnych a, b wyznaczonych MNK. Zatem w
punkcie tym funkcja S ma ekstremum i jest to
minimum (
( )
0
,
>
′′
b
a
S
aa
dla kaŜdego punktu (a, b).