Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

1

Imię i Nazwisko:

.

Grupa:

Zad. 1. Wyznacz wartość akcji spółki Beta, jeżeli w poprzednim roku wypłaciła 1 zł dywidendy na akcję,
a oczekiwana przez inwestora stopa zwrotu wynosi 9%. Tempo rozwoju spółki pozwala oczekiwać, że
dywidenda będzie rosła o 6% rocznie.
a) 35

b) 36

c) 37

d) żadna z powyższych

Zad. 2. Dane są: akcje spółki A o E(R

A

) = 10% i σ

A

= 15% oraz akcje spółki B o E(R

B

) = 11% i σ

B

= 18%.

Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się zerowym ryzykiem
mierzonym odchyleniem standardowym, jeżeli ρ

AB

= 1.

a) w

A

< 0

b) w

A

= 3

c) w

A

> 4

d) żadna z powyższych

Zad. 3. Dana jest 5-letnia obligacja o nominale 1 000 zł, kuponie płatnym rocznie w wysokości 9%. Jeżeli
rentowność jest na poziomie 8%, a do wykupu pozostały 4 lata, to ryzyko mierzone czasem trwania D
(Duration) wynosi:
a) 3,54

b) 3,58

c) 3,63

d) żadna z powyższych

Zad. 4. Obowiązuje zasada oprocentowania prostego. Wyznacz wartość procentu należnego od kwoty 10 000
zł za okres od 15 stycznia do 6 marca, jeżeli stopa procentowa wynosi 10%, a czas liczony jest zgodnie z regułą
bankową. (luty ma 28 dni).
a) 136,99

b) 138,89

c) 139,73

d) 141,67

Zad. 5. Obowiązuje zasada oprocentowania prostego. Dane są trzy kapitały K

A

= 14 000 dany na 1-1-2002, K

B

= 17 000 dany na 1-1-2007 oraz K

C

= 13 000 dany na 1-1-2003. Porównaj kapitały na dzień 1-1-1998 i zaznacz

prawidłową odpowiedź, jeżeli i = 10 %.
a) K

B

> K

A

> K

C

b) K

A

> K

B

> K

C

c) K

A

> K

C

> K

B

d) żadna z powyższych

Zad. 6. Dla jakiej nominalnej stopy dyskontowej kapitalizowanej w okresie pięcioletnim wartość kapitału
wzrośnie sześciokrotnie w okresie trzynastu lat.
a) 9,22 %

b) 9,54 %

c) 9,96 %

d) żadna z powyższych

Zad. 7. Dla wskazanego projektu znajdź MIRR, jeżeli rynkowa stopa procentowa wynosi 5%

Rok

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Projekt

A

- 11 - 2

- 2

- 2

4

4

4

4

4

4

4

a) MIRR < 5 %

b) MIRR

∈ (5 %; 6 %)

c) MIRR

∈ (6 %; 7 %)

d) MIRR > 7 %

Zad. 8. Kredyt w wysokości 14 000 zł jest spłacany w kwartalnych stałych łącznych ratach. Jaka jest wartość
zadłużenia po spłacie 16 raty, jeżeli ustalono ją na wysokości 550 zł, a i

(4)

= 12%.

a) 11 379,61

b) 11 391,61

c) 11 410,61

d) żadna z powyższych

Zad. 9. Dany jest portfel składający się w 35% z akcji spółki A i w 65% z akcji spółki B. Jeżeli E(R

A

) = 8%,

σ

A

= 11%, E(R

B

) = 15%, σ

B

= 23%, a ρ

AB

= 0,45, to E(R

P

) i σ

P

wynoszą:

a)

E(R

P

) = 13% σ

P

= 17%

b)

E(R

P

) = 13% σ

P

= 18%

c)

E(R

P

) = 12% σ

P

= 17%

d)

E(R

P

) = 12% σ

P

= 18%

Zad. 10. Wskaż prawidłową odpowiedź, jeżeli i = 8%.

Rok

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Projekt

A

-

12 0 0 0 4 4 4 4 4 4 4

Projekt

B

-

8 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2

a) NPV

B

> NPV

A

b) NPV

A

> 1,50

c) NPV

B

> 2,10

d) żadna z powyższych

Zad. 11. Przez ile lat na początku każdego kwartału możesz pobierać z funduszu o wartości początkowej w
wysokości 150 000 zł kwotę 8 000 zł, jeżeli i

(12)

= 8%? Obliczenia przeprowadź dla modelu wykładniczego.

a) 5,31

b) 5,80

c) 6,09

d) żadna z powyższych

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

2

Zad. 12. Wyznacz nominalną stopę procentową kapitalizowaną w okresie półrocza, dla której realna stopa
procentowa wynosi 7%, przy inflacji równej 6%.
a) 12,51 %

b) 12,77 %

c) 13,00 %

d) żadna z powyższych

Zad. 13. Dla wskazanego projektu oszacuj IRR:

Rok

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Projekt

A

- 9

- 1

- 1

- 1

4

4

4

4

4

4

4

a) IRR < 5 %

b) IRR

∈ (7 %; 9 %)

c) IRR

∈ (9 %; 11 %)

d) IRR > 11 %

Zad. 14. Dane są: akcje spółki A o E(R

A

) = 12% i σ

A

= 17% oraz akcje spółki B o E(R

B

) = 8% i σ

B

= 10%.

Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się oczekiwaną stopą
zwrotu na poziomie 10%, jeżeli ρ

AB

= -1.

a) w

A

< 0,3

b) w

A

= 0,5

c) w

A

> 0,7

d) żadna z powyższych

Zad. 15. Bank nabył na przetargu 28-dniowy bon pieniężny płacąc za niego 9 900 zł, Jaką stopę zwrotu
osiągnął bank, jeżeli sprzedał ten bon po 15 dniach przy rentowności na poziomie 12%? Rok ma 360 dni.
a) 13,78 %

b) 14,21 %

c) 14,86 %

d) żadna z powyższych

Zad. 16. Wyznacz efektywną 4 miesięczną stopę procentową, jeżeli 3 miesięczna bazowa stopa procentowa
kapitalizowana w okresie 2 miesięcznym wynosi 10%.
a) 13,78 %

b) 14,25 %

c) 14,71 %

d) żadna z powyższych

Zad. 17. Jakie jest maksymalne oprocentowanie kredytów, przy którym kupiec zapłaci za towar gotówką, jeżeli
termin płatności przypada za 30 dni, a oferowane przez hurtownika skonto (rabat) w przypadku
natychmiastowego uregulowania należności wynosi 1%. Rok ma 365 dni.
a) 8 %

b) 10 %

c) 14 %

d) 18 %

Zad. 18. Kredyt w wysokości 23 000 zł ma zostać spłacony w 37 miesięcznych stałych ratach kapitałowych.
Wyznacz wysokość odsetek płaconych w 35 racie, jeżeli i

(12)

= 12 %.

a) 16,41

b) 17,54

c) 18,65

d) żadna z powyższych

Zad. 19. Jaką kwotę otrzyma posiadacz 6 miesięcznego weksla o sumie wekslowej w wysokości 10 000 zł,

jeżeli przedstawi go do dyskonta na 4 miesiące przed terminem wykupu, a stopa dyskontowa wynosi 10%?

a) 9 641,13

b) 9 666,67

c) 9 702,22

d) żadna z powyższych

Zad. 20. Wyznacz średnią roczną intensywność oprocentowania kapitału, jeżeli przez pierwsze 5 lat był on
oprocentowany stopą i

(3)

= 15%, przez kolejne 6 lata stopą dyskontową kapitalizowaną w okresie sześcioletnim

w wysokości 10%, a przez ostatnie 3 lata intensywnością oprocentowania w wysokości 11%.
a) 14,13%

b) 14,51%

c) 14,87%

d) żadna z powyższych

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

Zad. 1.

Korzystamy ze wzoru:

(

)

i

r

r

1

D

A

−

+

⋅

=

gdzie: A-wartość

akcji A=?

D-wartość dywidendy

D=1

r - stopa wzrostu dywidendy

r=0,06

i

–

stopa

rynkowa

i=0,09

333

35

06

0

09

0

06

0

1

1

A

,

,

,

)

,

(

=

−

+

⋅

=

Uzyskany wynik zaokrąglamy do pełnych złotych, ponieważ odpowiedzi podane są z taką dokładnością. W
rezultacie uzyskujemy 35 zł.
Prawidłowa odpowiedź to a) 35

Zad. 2.
Ze wzoru na ryzyko portfela: (*)

(

) (

)

AB

B

A

B

A

2

B

B

2

A

A

P

w

w

2

w

w

ρ

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

=

dla

1

w

w

B

A

=

+

gdzie: σ

A

– ryzyko spółki

A

σ

A

= 15%

σ

B

– ryzyko spółki

B

σ

B

= 18%

ρ

AB

– korelacja między zwrotami spółek A i B

ρ

AB

= 1

w

A

– waga spółki A w portfelu

w

B

– waga spółki B w portfelu

1

w

w

B

A

=

+

Szukamy w

A

oraz w

B

dla których σ

P

= 0%

Ponieważ

1

AB

=

ρ

ryzyko portfela – wzór (*) - przyjmuje postać:

(

) (

)

B

B

A

A

2

B

B

A

A

B

A

B

A

2

B

B

2

A

A

P

w

w

w

w

w

w

2

w

w

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+

=

+

=

+

+

=

)

(

Ponieważ σ

P

= 0, to

0

w

w

B

B

A

A

=

+

σ

σ

(**)

Ponieważ

to

1

w

w

B

A

=

+

A

B

w

1

w

−

=

, a wzór (**)

A

B

B

A

B

B

A

A

B

B

A

A

A

B

A

A

A

w

0

w

0

w

w

0

w

1

w

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

=

=

+

−

⇒

=

+

−

⇒

=

−

+

)

(

)

(

6

03

0

18

0

15

0

18

0

18

0

w

A

=

=

−

=

,

,

,

,

,

Prawidłowa odpowiedź to c) w

A

>4

Zad. 3.

Wzór na duration:

(

)

P

i

1

N

n

i

1

t

C

D

n

n

1

t

t

+

⋅

+

+

⋅

=

∑

=

)

(

gdzie: N – nominał obligacji,

N=1000

C – kupon płatny co roku

C = stopa kuponu*N = 0,09*1.000=90

n – liczba lat do wykupu obligacji, n = 4
i – rynkowa stopa procentowa

i = 0,08

P– wartość obligacji (cena), dana wzorem:

3

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

4

i

i

1

1

i

i

N

N

P

n

KUPONU

−

+

−

⋅

−

⋅

+

=

)

(

)

(

121

033

1

08

0

08

0

1

1

08

0

09

0

000

1

000

1

P

4

,

.

,

)

,

(

)

,

,

(

.

.

=

+

−

⋅

−

⋅

+

=

−

Duration wynosi:

54

3

5395

3

121

033

1

08

1

1090

4

08

1

90

3

08

1

90

2

08

1

90

1

D

4

3

2

,

,

,

.

,

,

,

,

≈

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

Prawidłowa odpowiedź a) 3,54

Zad. 4.
Zgodnie z regułą bankową miesiąc ma dokładną liczbę dni, natomiast rok ma 360 dni.
Liczba dni pomiędzy 15 stycznia a 6 marca wynosi: 16+28+6=50

Odsetki wynoszą:

8889

138

360

50

1

0

000

10

,

,

.

=

⋅

⋅

Prawidłowa odpowiedź to b) 138,89

Zad. 5.
Ponieważ obowiązuje zasada oprocentowania prostego, aby porównać kapitały należy każdy z nich przeliczyć
na ten dzień 1.01.1998:

(

)

(

)

(

)

667

8

10

0

1998

2003

1

000

13

K

947

8

10

0

1998

2007

1

000

17

K

000

10

10

0

1998

2002

1

000

14

K

1

C

1998

1

B

1998

1

A

1998

.

,

)

(

.

.

,

)

(

.

.

,

)

(

.

=

⋅

−

+

⋅

=

=

⋅

−

+

⋅

=

=

⋅

−

+

⋅

=

−

−

−

Prawidłową odpowiedzią jest a) K

A

> K

B

> K

C

Zad. 6.
Szukamy stopy dyskontowej dla oprocentowania z góry, złożonego w nadokresach,
dla k-krotnego wzrostu kapitału. Po przekształceniach wzór ma postać:

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

n

m

k

1

1

m

1

d

gdzie: m-liczba lat w ciągu jednej kapitalizacji

m=5

k

-krotność wzrostu kapitału końcowego k=6

n

–

liczba

lat

n=13

0996

0

6

1

1

5

1

d

13

5

,

=

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

Prawidłowa odpowiedź to c) 9,96%

Zad. 7.

Ze wzoru na MIRR:

1

i

i

1

1

CF

I

i

1

i

1

CF

MIRR

n

m

k

−

+

−

+

−

+

⋅

=

−

−

+

)

(

)

(

gdzie: CF

+

- przepływy dodatnie

CF

+

= 4

k – ilość przepływów dodatnich

k = 7

CF

-

- przepływy ujemne

CF

-

= -2 we wzorze z modułem: | CF

-

|=2

m – ilość przepływów ujemnych

m = 3

I – nakłady

I = -11 we wzorze z modułem: | I |=11

n

–

łączna ilość przepływów

n=k+m=7+3=10

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

i – rynkowa stopa procentowa

i = 0,05

0707

0

1

05

0

05

1

1

11

05

0

1

05

1

4

MIRR

10

3

7

,

,

)

,

(

,

)

,

(

=

−

−

+

−

⋅

=

−

Prawidłowa odpowiedź to d) MIRR > 7%

Zad. 8.
Wartość zadłużenia po spłacie j-tej raty ma postać:

( )

i

i

R

i

P

P

j

j

j

1

)

1

(

1

−

+

⋅

−

+

⋅

=

gdzie: Pj – wartość zadłużenia po spłacie

j-tej

raty

P

j

=?

i – stopa kredytu, należy dostosować do kapitalizacji

i=0,12/4=0,03

R – wartość stałej łącznej

raty, R=550

P – wysokość zaciągniętego

kredytu

P=14.000

(

)

61

379

11

28

086

11

89

465

22

03

0

1

03

1

550

03

0

1

000

14

P

16

16

j

,

.

,

.

,

.

,

)

,

(

,

.

=

−

=

−

⋅

−

+

⋅

=

Prawidłowa odpowiedź a) 11 379,61

Zad. 9.

Korzystając ze wzoru:

( )

( )

( )

B

B

A

A

P

R

E

w

R

E

w

R

E

+

=

gdzie: E(R

P

) – oczekiwany zwrot z portfela

E(R

A

) – oczekiwany zwrot z akcji A

E(R

A

) = 8%

E(R

B

) – oczekiwany zwrot z akcji B

E(R

B

) = 15%

w

A

– waga spółki A w portfelu

w

A

= 0,35

w

B

– waga spółki B w portfelu

w

B

= 0,65

( )

%

,

,

,

,

,

,

55

12

1255

0

15

0

65

0

08

0

35

0

R

E

P

=

=

⋅

+

⋅

=

Uzyskany wynik zaokrąglamy do liczby całkowitej, ponieważ odpowiedzi podane są z taką dokładnością. W
rezultacie uzyskujemy E(R

P

) = 13%

Ze wzoru na ryzyko portfela:

(

) (

)

AB

B

A

B

A

2

B

B

2

A

A

P

w

w

2

w

w

ρ

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

=

gdzie: σ

A

– ryzyko spółki A

σ

A

= 11%

σ

B

– ryzyko spółki B

σ

B

= 23%

ρ

AB

– korelacja między zwrotami spółek A i B

ρ

AB

= 0,45

w

A

– waga spółki A w portfelu

w

A

= 0,35

w

B

– waga spółki B w portfelu

w

B

= 0,65

(

) (

)

%

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

033

17

170331

0

45

0

23

0

11

0

65

0

35

0

2

23

0

65

0

11

0

35

0

2

2

P

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

σ

Po zapisaniu uzyskanych wyników z dokładnością, z jaką zapisane są odpowiedzi σ

P

= 17%.

Prawidłowa odpowiedź a) E(R

P

) = 13% σ

P

= 17%

Zad. 10.

n

2

n

i

1

CF

i

1

CF

i

1

CF

I

i

i

1

1

CF

I

NPV

)

(

)

(

)

(

)

(

+

+

+

+

+

+

+

=

+

−

⋅

+

=

−

L

Jeśli piersze k przepływów jest zerem, to wzór przybiera postać:

5

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

6

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

L

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

2

1

L

k

n

n

1

k

k

k

2

i

1

CF

i

1

CF

i

1

0

i

1

0

i

1

0

I

NPV

−

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

−

+

k

n

2

1

k

n

1

k

i

1

1

i

1

1

i

1

1

i

1

CF

I

i

1

CF

i

1

CF

I

NPV

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

L

L

Stąd:

i

i

1

1

i

1

CF

I

NPV

k

n

k

)

(

)

(

)

(

−

−

+

−

⋅

+

+

=

gdzie: I – wydatki inicjujące,

CF– przepływy generowane przez projekt w kolejnych latach,
k – liczba przepływów o zerowej wartości,
n – liczba lat przez które projekt jest realizowany.

8536

1

08

0

08

1

1

08

1

2

8

NPV

5319

4

08

0

08

1

1

08

1

4

12

NPV

8

2

B

7

3

A

,

,

)

,

(

)

,

(

,

,

)

,

(

)

,

(

=

−

⋅

+

−

=

=

−

⋅

+

−

=

−

−

Porównując uzyskane wartości NPV

A

> NPV

B

, przy czym NPV

A

> 1,50

Prawidłowa odpowiedź b) NPV

A

> 1,50

Zad. 11.
Wzór jest analogiczny jak dla rent zgodnych z góry, przy czym w miejsce zgodnej stopy i wstawiamy
wyliczoną stopę i

ef

:

)

(

)

(

ef

ef

n

ef

0

i

1

i

i

1

1

R

R

+

+

−

=

−

+

Po

przekształceniach:

)

ln(

)

(

)

(

ln

ef

ef

0

ef

ef

i

1

i

R

i

1

R

i

1

R

n

+

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⋅

+

+

+

=

+

gdzie: R

0

+

– wartość początkowa renty z góry

R

0

+

=150 000

R – wysokość

renty

R=8

000

n – liczba wypłat

n-

liczba

kwartałów

i

ef

– stopa efektywna dana wzorem:

( )

1

i

1

i

k

ef

−

+

=

gdzie:

i

–

stopa

dostosowana do kapitalizacji

i=0,08/12

k-liczba kapitalizacji pomiedzy wypłatami k=3

1. Ponieważ kapitalizacja jest miesięczna, a wypłaty kwartalne, będą trzy kapitalizacje pomiędzy kolejnymi

wypłatami, stąd k=3, a

(

)

020134

0

1

1

kwartalma

i

3

12

08

0

ef

,

)

(

,

=

−

+

=

2. Podstawiając:

18307

23

020134

0

1

020134

0

000

150

020134

0

1

000

8

020134

0

1

000

8

n

,

)

,

ln(

,

.

)

,

(

.

)

,

(

.

ln

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

−

+

+

⋅

=

Ponieważ n jest liczbą wypłat, w tym przypadku kwartalnych, należy wynik zamienić na lata:

7957

5

4

18307

23

4

n

t

,

,

=

=

=

t – liczba lat dokonywania płatności.

Prawidłowa odpowiedź b) 5,80

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

Zad. 12.

Ze wzoru:

inf

inf

i

1

i

i

i

ef

r

+

−

=

, otrzymujemy:

inf

inf

)

(

i

i

i

1

i

r

ef

+

⋅

+

=

gdzie: i

inf

– stopa inflacji

i

inf

= 0,06

i

r

– stopa realna

i

r

= 0,07

i

ef

– stopa efektywna

1342

0

06

0

07

0

06

0

1

i

ef

,

,

,

)

,

(

=

+

⋅

+

=

Szukana nominalna stopa daje się zapisać wzorem:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

1

i

1

m

i

m

1

ef

m

)

(

)

(

129977

0

1

1342

0

1

2

i

2

1

2

,

)

,

(

)

(

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

Prawidłowa odpowiedź to c) 13 %

Zad.13.

IRR

to wewnętrzna stopa zwrotu taka, dla której NPV = 0.

Zapisujemy wzór na NPV wykorzystując dane o przepływach:

IRR

IRR

1

1

IRR

1

4

IRR

IRR

1

1

1

9

NPV

7

3

3

−

−

+

−

⋅

+

+

+

−

⋅

−

−

=

)

(

)

(

)

(

W celu rozwiązania zadania, należy w miejsce IRR podstawiać stopy podane w odpowiedziach, aż wartość
NPV spadnie poniżej 0. Szukając IRR dążymy do wyznaczenia takich dwóch stóp procentowych, dla których
NPV badanego projektu przyjmuje odpowiednio wartość dodatnią oraz ujemną (pomiędzy tymi stopami
znajduje się ta, dla której NPV = 0).

Do powyższego równania podstawiamy za IRR stopę 11% i uzyskujemy NPV = 2,34. Wynik oznacza, że dla
badanego projektu IRR ma wartość wyższą niż 11% (im wyższa stopa tym niższa wartość NPV).
Prawidłowa odpowiedź to d) IRR > 11%

Zad. 14.
Korzystając ze wzoru: (*)

( )

( )

( )

B

B

A

A

P

R

E

w

R

E

w

R

E

+

=

dla

1

w

w

B

A

=

+

gdzie: E(R

P

) – oczekiwany zwrot z portfela

E(R

P

) = 10%

E(R

A

) – oczekiwany zwrot z akcji A

E(R

A

) = 12%

E(R

B

) – oczekiwany zwrot z akcji B

E(R

B

) = 8%

w

A

– waga spółki A w portfelu

1

w

w

B

A

=

+

w

B

– waga spółki B w portfelu

Ponieważ

to

1

w

w

B

A

=

+

A

B

w

1

w

−

=

, a wzór (*) przyjmuje postać:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

(

( ) ( )

[

]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

)

B

A

B

P

A

B

P

B

A

A

P

B

B

A

A

A

B

A

A

A

P

R

E

R

E

R

E

R

E

w

R

E

R

E

R

E

R

E

w

R

E

R

E

R

E

w

R

E

w

R

E

w

1

R

E

w

R

E

−

−

=

−

=

−

=

+

−

⇒

−

+

=

)

(

5

0

04

0

02

0

08

0

12

0

08

0

1

0

w

A

,

,

,

,

,

,

,

=

=

−

−

=

Prawidłowa odpowiedź to b) w

A

= 0,5

Zad. 15.
W celu wyznaczenia stopy zysku z operacji na bonie pieniężnym należy wyznaczyć cenę X, po której bank
sprzedał bon na rynku wtórnym. W tym celu należy skorzystać z następującej zależności:

7

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

8

wykup

000

10

X

zakupu

cena

dni

28

I

etap

12

i

13

t

II

etap

i

15

t

=

⎯

⎯

⎯

⎯

→

←

⎯

⎯

⎯

→

←

=

=

=

=

.

%

?

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

2

1

4

4 8

4

4 7

6

48

47

6

Zadanie rozwiązuje się w II etapach:
I – wyznaczenie ceny X, po której bank sprzedał bon na rynku wtórnym (sprzedaje bon 1-dniowy)
II – wyznaczenie stopy zysku z operacji kupna-sprzedaży (bank miał bon w portfelu przez 27 dni)

Etap I

. Wyznaczenie ceny X z następującej zależności:

360

t

i

1

K

X

K

n

0

⋅

+

=

=

gdzie: i – stopa rentowności, po której bon jest sprzedawany,

i=0,05

t – liczba dni, która pozostała do wykupu bonu

t=1

K

n

– wartość końcowa, czyli nominał

K

n

=10.000

K

0

- wartość początkowa, czyli cena sprzedaży dla banku i jednocześnie cena zakupu dla nowego

właściciela

854

9956

360

13

12

0

1

000

10

X

K

0

,

,

.

=

⋅

+

=

=

Etap II

. Wyznaczenie stopy zysku z operacji kupna-sprzedaży, przy czym ceną sprzedaży jest wyliczona

wartość X:

137827

0

15

360

9900

9900

854

9956

t

360

K

K

X

t

360

K

K

K

i

0

0

0

0

n

z

,

,

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

gdzie: K

0

– cena po której bank nabył

bon

K

0

=9.900

X = K

n

– cena, po której bank sprzedał

bon

X

=9.956,854

t – liczba dni do wykupu sprzedawanego bonu

t=15

Prawidłowa odpowiedź a) 13,78%

Zad. 16.

Ze wzoru:

( )

1

i

1

i

k

ef

−

+

=

gdzie: i – stopa dostosowana do kapitalizacji

k-liczba kapitalizacji w czasie inwestycji

Daną bazową 3-miesięczną stopę procentową należy tak dostosować do kapitalizacji 2-miesięcznej:

2

3

1

0

i

⋅

=

,

Ponieważ kapitalizacja jest 2-miesięczna, a okres inwestycji wynosi 4-miesiące, będą dwie kapitalizacje w
czasie inwestycji, stąd k=2, a

(

)

137778

0

1

2

1

miesieczna

4

i

2

3

1

0

ef

,

)

(

,

=

−

+

=

−

Prawidłowa odpowiedź to a) 13,78%

Zad. 17.
Po t-dniach odroczenia płatności klient jest zobligowany zapłacić za towar cenę C.
Przy natychmiastowej zapłacie (finansowanej kredytem) cena będzie pomniejszona o skonto Cs: C-Cs=C(1-s)
Klient skorzysta z oferty skonta, jeśli odsetki z zaciągniętego na czas t, kredytu C(1-s), nie przekroczą kwoty
skonta Cs. Stąd zależność:

s

365

t

i

s

1

Cs

365

t

i

s

1

C

k

k

<

⋅

⋅

−

⇒

<

⋅

⋅

−

)

(

)

(

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zestaw II

t

365

s

1

s

i

k

⋅

−

<

gdzie: s – wysokość oferowanego skonta w %,

i

k

– stopa oprocentowania kredytów,

t – okres kredytowania w dniach.

122896

0

30

365

01

0

1

01

0

i

k

,

,

,

=

⋅

−

<

Spośród odpowiedzi spełniających warunek i

k

<12,29%

maksymalną wartość (bo szukana jest wartość

maksymalna) ma oprocentowanie kredytów równe 10%.
Prawidłowa odpowiedź b) 10%

Zad. 18.
W celu wyznaczenia wartości odsetek płaconych w j-tej racie w przypadku kredytu spłacanego w równych
ratach kapitałowych należy skorzystać z następującej zależności:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

⋅

=

n

j

P

i

O

j

1

1

gdzie: Oj – wartość odsetek płatnych w j-tej racie

i – oprocentowanie kredytu,
n – liczba wszystkich rat, w których kredyt ma zostać spłacony,
P – wysokość zaciągniętego kredytu.

Podstawiając dane z zadania uzyskujemy:

65

18

649

18

37

1

35

1

23000

12

12

0

O

35

,

,

,

≈

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

⋅

=

Prawidłowa odpowiedź c) 18,65

Zad. 19.
Ponieważ do wykupu weksla pozostały 4 miesiące, dlatego posiadacz weksla otrzyma następującą kwotę z
operacji dyskontowania:

67

666

9

12

4

10

0

1

000

10

,

.

,

.

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

⋅

Prawidłowa odpowiedź to b) 9 666,67

Zad. 20.
Wyznaczenie średniej intensywności równoważnej danym stopom obowiązującym w podokresach oznacza
rozwiązanie następującego równania:

(

)

141296

0

14

229307

7

e

229307

7

e

e

6

1

0

1

3

15

0

1

śr

14

14

11

0

3

6

6

5

3

śr

śr

,

)

,

ln(

,

,

,

,

=

=

=

=

⋅

⋅

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

⋅

⋅

−

⋅

σ

σ

σ

Prawidłowa odpowiedź to a) 14,13%

9