Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Zadanie 1.
Oblicz podaną granicę ciągu
(a) lim
n→∞
2
n
4
+ 4n
2
+
4
n
4
+ 4n
2
+
6
n
4
+ 4n
2
+ . . . +
2n
2
− 4n
n
4
+ 4n
2
!
3 sin n−2n
; n > 3
(b) lim
n→∞
√
9n + 2
1 −
ln n
2
n
!
2
n−1
(c) lim
n→∞
2
n+2
n − 2
2n + 4
n−2
(d) lim
n→∞
16
n+13
n
2n + 333
4n
(e) lim
n→∞
(
√
n −
√
n − n
k
) w zależności od k < 1
(f) lim
n→∞
tg
π
4
+ tg
π
n
sin 2
n
sin2 1
n
(g) lim
n→∞
3n −
q
9n
2
+ narctg(n!)
(h) lim
n→∞
n + arctgn
n − arctgn
!
ln 2
n
(i) lim
n→∞
1
2
−3n
+ 3
−2n+3
2
3n+4
(j) lim
n→∞
(1 + log
n
2)
log
4
(2n)
(k) lim
n→∞
1 − sin
2
n
1+ctg
1
n
(l) lim
n→∞
√
n
2
+ n
α
+ αn − n
w zależności od α ∈
R
1
Analiza
Matematyczna
(ł) lim
n→∞
n−1
n
n
2
+ 3
2−n
(sin n)
2n
+ (arctg(n!))
n−1
2
n
(m) lim
n→∞
2
n−13
n
2n − 13
n+1
(n) lim
n→∞
log
2
8
n
+ 2
n
(tg
1
n
)
n
+ (log
8
2)
n
!
2
n
Zadanie 2.
Dla jakich wartości α ∈
R
zachodzi lim
n→∞
log
n
n
3
ln n
α
< 9?
Zadanie
3.
Dla jakich wartości x > 0 mamy lim
n→∞
n−1
√
2
n
+ x
1−n
∈ (2, 22)?
Zadanie 4.
Dla jakich wartości a > 0 zachodzi lim
n→∞
n+1
s
2
2n
+ (arctg(−n))
n
3
n
+ a
n
2
< 1?
Zadanie 5.
Wyznacz zbiór tych wartości β ∈
R
, dla których lim
n→∞
n
2
− β
n
2
− βn
!
(1−n) ln(−β)
< 4.
Zadanie
6.
Oblicz granicę lim
n→∞
n − A
n + A
An
w zależności od A ∈
R
. Wyznacz zbiór możliwych wartości liczbowych
tej granicy.
Zadanie 7.
Dla jakich wartości α ∈
R
mamy lim
n→∞
3
√
n
3
+ n
α
−
3
√
n
3
− αn
∈
R
, a dla jakich ∈
R
\ {0}?
Zadanie 8.
Naszkicuj wykres funkcji f (x) = lim
n→∞
n
q
2
−n
+ (sin
2
2x)
n
; x ∈ [0, π].
Zadanie 9.
Wyznacz wszystkie wartości β ∈
R
, dla których istnieje granica właściwa
lim
n→∞
β
n
n
2
+ 1
+
n + 1
n
2
+ 1
+
n + 2
n
2
+ 1
+ . . . +
3n
n
2
+ 1
n
.
Jakie wartości może przyjąć wtedy ta granica?
Zadanie 10.
Oblicz granicę lim
n→∞
(n + 2)
3
− (n + 1)
3
2(2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 4))
!
n
. Następnie bez obliczania wskaż, ile wyniosłaby
taka granica, gdyby ostatni składnik mianownika wyniósł (3n + 2), a ile gdyby wyniósł on (6n − 1).
2
Zadanie 11.
Oblicz (bez wykorzystywania reguły de l’Hospitala) podane granice funkcji
(a) lim
x→1
3x − 4
1 − 2x
x
x−1
(b) lim
x→π
cos(x −
π
2
)
tg
nx
2
w zależności od n ∈
N
(c) lim
x→∞
log
1−
5
x
x + 1
x
(d) lim
x→1
(1 − ln x)
log
x
e
(e) lim
x→1
x
log
2−x
2
(f) lim
x→∞
log
x
ln x
(g) lim
x→0
x cos x + sin x
e
4x
− 1
(h) lim
x→1
2 · 4
x
− 2
x+2
1 − x
(i) lim
x→0−
e
1
x
− cos(2x)
e
1
x
+ ctg x
(j) lim
x→0
1 + sin
2
x
1
1−cos x
(k) lim
x→
π
2
(1 + cos x)
x
2x−π
(l) lim
x→0
3
x
− 6
x
cos
6x−3π
2
(m) lim
x→3
2x − 1
8 − x
4
3−x
(n) lim
x→−1
1 + x
3
sin(πx) + log
2
(x + 2)
Zadanie 12.
Znajdź asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji
(a) f (x) =
√
4x − x
3
√
2 − x
(b) g(x) =
|1 + x|
√
x
2
− 1
(c) h(x) =
x
2
+ 4x + 3
√
x
2
+ 2x − 3
Zadanie 13.
W jakim punkcie i pod jakim kątem przetną się asymptoty funkcji f (x) =
8 + x
3
4 − x
2
?
Zadanie 14.
Wyznacz A z równania lim
x→1
(ln(ex))
log
x
(2A)
= A
2
− 7.
Zadanie 15.
Wyznacz wszystkie pary (A, B), dla których funkcja f (x) =
(
(1 − 2
2x
) ctg
x
2
dla 0 < x < π
x
2
− Ax + B
dla x ∈
R
\ (0, π)
jest ciągła w dokładnie jednym z dwóch punktów: 0 albo π.
3