Uogólnione prawo Hooke’a dla materiału
anizotropowego
Dowolny przestrzenny stan naprężenia
{
ε
ij
}=[S
ijkl
]{
σ
kl
}
i= x,y,z
j= x,y,z
k= x,y,z
l= x,y,z
zx
yz
xy
z
y
x
,
,
,
,
,
zx
zx
yz
yz
xy
xy
z
y
x
2
1
,
2
1
,
2
1
,
,
,
36 współczynników S
ijkl
ale tylko
21 niezależnych stałych sprężystych!!!
{
ε
ij
}
– macierz kolumnowa odkształceń
{
σ
kl
}
– macierz kolumnowa naprężeń
[S
ijkl
]
– macierz podatności
x
y
z
x
τ
zy
z
y
τ
zx
τ
yz
τ
yx
τ
xy
τ
xz
Uogólnione prawo Hooke’a dla materiału
ortotropowego
Dowolny przestrzenny stan naprężenia
x
z
y
3 prostopadłe płaszczyzny symetrii właściwości sprężystych
12 współczynników S
ijkl
ale tylko
9 niezależnych stałych sprężystych!!!
,
,
,
,
,
,
,
,
,
zx
yz
xy
zx
yz
xy
z
y
x
G
G
G
E
E
E
moduły Younga w głównych kierunkach ortotropii
liczby Poissona w głównych kierunkach ortotropii
moduły Kirchhoffa w głównych kierunkach ortotropii
zx
zx
zx
z
z
y
z
zy
x
z
zx
z
yz
yz
yz
z
y
yz
y
y
x
y
yx
y
xy
xy
xy
z
x
xz
y
x
xy
x
x
x
G
E
E
E
G
E
E
E
G
E
E
E
1
;
1
1
;
1
1
;
1
;
;
;
z
zx
x
xz
z
zy
y
yz
y
yx
x
xy
E
E
E
E
E
E
Uogólnione prawo Hooke’a dla materiału
ortotropowego
Dowolny przestrzenny stan naprężenia
WYBRANE HIPOTEZY
WYTRZYMAŁOŚCIOWE
Hipoteza największego naprężenia stycznego (
max
)
2
2
*
3
*
1
max
red
(5.2)
(a) (b)
Rys. 5.1. Maksymalne naprężenia styczne według hipotezy największego naprężenia
stycznego
min
max
*
3
*
1
red
, gdzie
*
3
*
2
*
1
(5.3)
2
2
*
3
*
1
max
red
(5.2)
(a) (b)
Rys. 5.1. Maksymalne naprężenia styczne według hipotezy największego naprężenia
stycznego
min
max
*
3
*
1
red
, gdzie
*
3
*
2
*
1
(5.3)
(a) (b)
Rys. 5.1. Maksymalne naprężenia styczne według hipotezy największego naprężenia
stycznego
Hipoteza Mohra
W przypadku materiału izotropowego mającego różną wytrzymałość na rozciąganie i
ściskanie Mohr zaproponował modyfikację hipotezy
max
w postaci ogólnej:
min
max
*
3
*
1
1
1
z
z
red
(5.4)
gdzie stosunek wytrzymałości na ściskanie i rozciąganie:
m
c
R
R
z
(5.5)
W przypadku materiału izotropowego mającego różną wytrzymałość na rozciąganie i
ściskanie Mohr zaproponował modyfikację hipotezy
max
w postaci ogólnej:
min
max
*
3
*
1
1
1
z
z
red
(5.4)
gdzie stosunek wytrzymałości na ściskanie i rozciąganie:
m
c
R
R
z
(5.5)
W przypadku materiału izotropowego mającego różną wytrzymałość na rozciąganie i
ściskanie Mohr zaproponował modyfikację hipotezy
max
w postaci ogólnej:
min
max
*
3
*
1
1
1
z
z
red
(5.4)
gdzie stosunek wytrzymałości na ściskanie i rozciąganie:
m
c
R
R
z
(5.5)
W przypadku materiału izotropowego mającego różną wytrzymałość na rozciąganie
i ściskanie Mohr zaproponował modyfikację hipotezy
max
w postaci ogólnej:
Hipoteza Hubera
d
oct
red
I
3
2
3
2
3
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
*
1
*
3
2
*
3
*
2
2
*
2
*
1
(5.6)
lub postać:
)
(
6
)
(
)
(
)
(
2
1
2
31
2
23
2
12
2
11
33
2
33
22
2
22
11
red
(5.7)
Materiały izotropowe o różnych R
m
i R
c
Hipoteza Burzyńskiego dla przypadku naprężeń głównych
2
1
3
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
red
m
c
R
R
x
y
z
1
1
3
2
2
3
Kryterium maksymalnych odkształceń - płaski stan odkształcenia
t
m
c
m
c
12
2
2
2
1
1
1
12
12
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
/ G
R
E
R
E
R
E
R
E
R
t
m
m
m
m
c
c
c
c
Płaski dowolny stan naprężenia
Kryterium Hilla
– wzajemne oddziaływanie naprężeń
1
1
1
1
1
2
12
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
t
m
m
m
m
R
R
R
R
R
R
m1
=R
c1
– wytrzymałość na rozciąganie/ściskanie w kierunku 1
R
m2
=R
c2
– wytrzymałość na rozciąganie/ściskanie w kierunku 2
R
t
– wytrzymałość na ścinanie
1,2
– główne kierunki ortotropii
1
12
1
2
2
2
12
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
t
m
m
m
m
m
red
R
R
R
R
R
R
Kryteria interakcji naprężeń niszczących
Kryterium Hilla
Definiując naprężenie efektywne (zredukowane)
eff
(2.48) dla płaskiego stanu naprężenia w sposób
podobny do kryterium Hubera-Misesa-Hencky’ego sformułowanego dla materiałów izotropowych,
kryterium Hilla można zapisać w postaci:
2
12
3
2
1
12
2
2
2
2
1
1
2
eff
2
red
3
a
a
a
a
(6.51)
gdzie:
12
2
1
,
,
są składowymi naprężenia w głównych kierunkach ortotropii,
3
1
a
a
nazywane są
parametrami anizotropii,
eff
oznacza naprężenie efektywne, zaś
red
naprężenia zredukowane.
Kryteria interakcyjne dla materiałów o różnych właściwościach na rozciąganie i ściskanie
W kryterium Hilla przyjmuje się jednakowe wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie w głównych
kierunkach ortotropii
2
1
. Omówione pierwsze dwa kryteria nie uwzględniają oddziaływania pomiędzy
formami zniszczenia. Kryteria zniszczenia, w których uwzględniono różnice pomiędzy zachowaniem się
materiałów podczas rozciągania i ściskania można zapisać w najbardziej znanej i najczęściej stosowanej
postaci:
1
3
2
12
33
2
1
12
2
2
22
2
1
11
2
2
1
1
k
k
k
k
k
k
f
(6.56)
gdzie:
1
1
1
1
1
C
T
k
,
1
1
11
1
C
T
k
,
2
2
2
1
1
C
T
k
,
2
2
22
1
C
T
k
,
2
33
3
1
S
k
(6.57)
Wartości współczynnika
12
k mogą być określane w różny sposób:
kryterium Tsai-Wu [33,34]:
2
2
1
1
12
1
C
T
C
T
k
(6.58)
kryterium Hoffmana [14]:
1
1
12
1
C
T
k
(6.59)
kryterium Wilczyńskiego [37]:
2
1
2
1
12
2
C
C
T
T
k
(6.60)
kryterium Cui, Wisnoma i Jonesa [6]:
0
12
k
(6.61)
kryterium Pucka [29]:
0
12
k
oraz ponadto
1
1
T
;
1
1
C
(6.62)