Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-1

Wykład 33 

33.

 

Model atomu Bohra 

33.1

 

Wstęp 

Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, Ŝe 

atomy zawierają elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne). 
PoniewaŜ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one 
mieć ładunek dodatni równy ujemnemu. 
PoniewaŜ  masa  elektronów  jest  bardzo mała w porównaniu z masą najlŜejszych nawet 
atomów oznaczało ponadto, Ŝe ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą. 
Tego typu rozwaŜania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich i 
ujemnych w atomie. 
J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie nałado-
wane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły 
ładunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”). Ładunek dodatni tworzył kulę o promie-

niu rzędu 10

-10

 m. W tej kuli ładunki ujemne byłyby roz-

łoŜone równomiernie (w wyniku sił odpychania). 
W  atomie  znajdującym  się  w  stanie  o  najniŜszej  energii 
elektrony były  nieruchome. Natomiast w atomach o wyŜ-
szej  energii,  tzn.  w  atomach  wzbudzonych  (np.  w  wyso-
kiej  temperaturze)  elektrony  wykonywałyby  drgania  wo-
kół połoŜeń równowagi. 
Uwaga

:  Zgodnie  z  prawami  elektrodynamiki  klasycznej 

kaŜde  naładowane  ciało  poruszające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowa-
nie  elektromagnetyczne

.  Dowód  wykracza  poza  ramy  tego  wykładu  ale  przypomnijmy 

sobie jeszcze raz antenę dipolową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drga-
nia ładunku (prąd zmienny) i antena emituje falę elektromagnetyczną. 
Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona 
wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy. 
Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano. 
Ostateczny  dowód  nieadekwatności  modelu  Thomsona  otrzymał  w  1911  r.  jego  uczeń 
E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek 

α

 na atomach. 

Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, Ŝe ładunek dodatni nie jest roz-
łoŜony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym jądrem 
(o rozmiarze 10

-14

 m) leŜącym w środku atomu. 

Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w sze-
regu doświadczeń. 
Zgodnie z tym modelem: 

•

 

W  środku  atomu  znajduje  się  jądro  o  masie  w  przybliŜeniu  równej  masie  całego 
atomu, 

•

 

Ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e, 

•

 

Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak Ŝe cały atom jest obojętny. 

 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-2

WaŜnym  problemem  pozostaje  wyjaśnienie  zagadnienia  stabilności  takiego  atomu. 
Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zo-
stałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. JeŜeli do-
puścimy  ruch  elektronów  wokół  jądra  (tak  jak  planety  wokół  Słońca  w  układzie  sło-
necznym) to teŜ natrafiamy na trudność interpretacyjną. KrąŜący elektron doznaje stale 
przyspieszenia  (dośrodkowego)  i  zgodnie  z  elektrodynamiką  klasyczną  wysyła  energię 
kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, Ŝe poruszałby się po spirali osta-
tecznie spadając na jądro (model Thomsona). 
Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowa-
nego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, Ŝe umoŜliwiał przewidy-
wanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy. 
Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm. 

33.2

 

Widma atomowe 

Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych. 
Ź

ródłem  promieniowania  jest  jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wy-

ładowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą a na-
stępnie  pada  na  pryzmat  (lub  siatkę  dyfrakcyjną),  który  rozkłada  promieniowanie  na 
składowe o róŜnych długościach fal. 

Na  kliszy  fotograficznej  uwidacznia  się  cecha  szczególna  obserwowanych  widm. 
W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrza-
nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawie-
ra  tylko  pewną  liczbę  długości  fal.  KaŜda  z  takich  składowych  długości  fal  nazywana 
jest linią (bo taki jest obraz szczeliny). 
Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru. 
To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego mo-
delu atomu. Model ten chociaŜ posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w spo-
sób prosty matematycznie. 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-3

33.3

 

Model Bohra atomu wodoru 

Jak  juŜ  mówiliśmy  fizyka  klasyczna przewidywała,  Ŝe  atom krąŜący po orbicie bę-

dzie wypromieniowywał energię, tak Ŝe częstość elektronu a za tym takŜe częstość wy-
syłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwuje-
my bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali). 
Bohr  uniknął  tej  trudności  zakładając,  Ŝe  podobnie  jak  oscylatory  Plancka,  tak  samo 
atom wodoru moŜe znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w któ-
rych  nie  wypromieniowuje  energii.  Emisja  następuje  tylko wtedy gdy  atom przechodzi 
z jednego stanu o energii E

k

 do stanu o niŜszej energii E

j

. Ujmując to w postaci równa-

nia 
 
 

 E

k

 – E

j

 = hv  

(33.1) 

 
gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia 
wypromieniowany przez atom. 
Teraz konieczna jest znajomość energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając moŜli-
we róŜnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emito-
wanego przez atom. 
ZałoŜenia: 

•

 

elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu ją-
dra, 

•

 

jądro (pojedynczy proton) jest tak cięŜkie, Ŝe środek masy pokrywa się ze środkiem 
protonu. 

 
Korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy 
 

F = ma 

albo 

 

r

m

r

e

2

2

2

0

4

1

v

=

πε

 

(33.2) 

 
Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujem-
nym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie? 

360

400

440

480

520

560

600

640

680

λ

 (nm)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-4

 

Przykład 1 

Obliczyć  stosunek  sił  przyciągania  grawitacyjnego  do  elektrostatycznego  dla  protonu  i 
elektronu  w  atomie  wodoru.  Masa  elektronu  m

e

  =  9.1·10

-31

  kg,  masa  protonu  m

p

  = 

1.7·10

-27

  kg,  ładunek  elementarny  e  =  1.6·10

-19 

C  stała  grawitacyjna  G  =  6.67·10

-11

 

Nm

2

/kg

2

, a stała w prawie Coulomba 1/4

πε

0

 = 8.99·10

9

 Nm

2

/C

2

. 

 

39

2

0

2

2

0

2

10

5

4

4

−

⋅

≈

=

=

e

m

m

G

e

r

r

m

Gm

F

F

e

p

e

p

E

G

πε

πε

 

 
Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania. 
Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną 
 

 

r

e

m

E

k

0

2

2

8

2

1

πε

=

=

v

 

(33.3) 

 
Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem  
 

 

r

e

E

p

0

2

4

πε

−

=

 

(33.4) 

 
Całkowita energia układu wynosi 
 

 

r

e

E

E

E

p

k

0

2

8

πε

−

=

+

=

 

(33.5) 

 
PoniewaŜ, promień orbity moŜe przyjmować dowolną wartość więc i energia teŜ moŜe 
być dowolna. Ze wzoru (33.3) moŜemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu 
 

mr

e

0

2

4

πε

=

v

 

 
a następnie częstotliwość 

3

0

3

2

0

16

2

mr

e

r

v

ε

π

π

=

=

v

 

 
Pęd dany jest równaniem 

r

me

m

p

0

2

4

πε

=

=

v

 

a moment pędu 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-5

 

0

2

4

πε

r

me

pr

L

=

=

 

(33.6) 

Tak więc, jeŜeli jest dane r, to znane są równieŜ parametry orbitalne: E

k

, E

p

, E, 

v

, v

0

, p, 

oraz L. 
JeŜeli  jakakolwiek  z  tych wielkości jest 

skwantowana

, to wszystkie muszą być skwan-

towane. 
Na tym etapie Bohr nie miał Ŝadnych zasad, którymi mógłby się posłuŜyć. 
W związku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parame-
trów orbity i zastosował ją do momentu pędu L. 
Postulaty Bohra były następujące: 
1.

 

Elektron  w  atomie  porusza  się  po  orbicie  kołowej  pod  wpływem  przyciągania  ku-
lombowskiego pomiędzy elektronem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki 
klasycznej. 

2.

 

Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-
sycznej,  elektron  moŜe  poruszać  się  tylko  po  takich  orbitach,  dla  których momemt 
pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2

π

. 

 

 

,.....

3

,

2

,

1

2

=

=

n

h

n

L

π

 

(33.7) 

 

gdzie stała n oznacza liczbę kwantową. (Zwróćmy uwagę, Ŝe ponownie tak jak przy 
opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, pojawia 
się stała Plancka h.) 

3.

 

Pomimo,  Ŝe  elektron  doznaje  przyspieszenia  (poruszając  się  po  takiej  orbicie),  to 

jednak nie wypromieniowuje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała. 

4.

 

Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszający 

się po orbicie o całkowitej energii E

j

 zmienia swój ruch skokowo, tak Ŝe porusza się 

następnie  po  orbicie  o  energii  E

k

.  Częstotliwość  emitowanego  promieniowania  jest 

równa 

 

 

h

E

E

v

k

j

−

=

 

(33.8) 

 
Uwaga:  To  jest  postulat  Einsteina  głoszący,  Ŝe  częstotliwość  fotonu  promieniowania 
elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka. 
Drugi postulat  opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak juŜ mówiliśmy jeŜeli ja-
kakolwiek z wielkości: E

k

, E

p

, E, 

v

, v

0

, p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być 

skwantowane. 
Łącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy 
 

 

,.........

3

,

2

,

1

1

2

2

0

2

2

=

=

=

n

r

n

me

h

n

r

π

ε

 

(33.9) 

 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-6

Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równanie do wyraŜenia na energię 
całkowitą (33.5) daje 
 

 

.......

,

3

,

2

,

1

8

2

1

2

2

2

0

4

=

=

−

=

n

n

E

n

h

me

E

ε

 

(33.10) 

 
Z tego równania otrzymujemy 

wartości energii dozwolonych stanów stacjonarych

. 

Stan n = 

∞

 odpowiada stanowi E = 0, w którym elektron jest całkowicie usunięty poza 

atom. 
Na rysunku poniŜej są pokazane wybrane przeskoki między róŜnymi stanami stacjonar-
nymi. Długość kaŜdej ze strzałek jest równa róŜnicy energii między dwoma stanami sta-
cjonarnymi  czyli  równa  energii  hv  wypromieniowanego  kwantu.  Częstotliwość  emito-
wanego  promieniowania  moŜna  obliczyć  korzystając  z  postulatu  Bohra  dotyczącego 
częstotliwości  promieniowania  emitowanego  przez  atom  oraz  ze  wzoru  na  energię 
(33.7) 
 

 













−

=

2

2

3

2

0

4

1

1

8

k

j

h

me

v

ε

 

(33.11) 

 
gdzie j, k są liczbami kwantowymi opisującymi niŜszy i wyŜszy stan stacjonarny. 

n

∞

6

4
3

2

1

5

seria Lymana

seria Balmera

seria Paschena

g

ra

n

ic

a

 s

e

ri

i

g

ra

n

ic

a

 s

e

ri

i

g

ra

n

ic

a

 s

e

ri

i

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

 

 

33-7

Na gruncie modelu Bohra moŜna łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych atomów 
jednoelektronowych. MoŜna równieŜ zrozumieć widma absorpcyjne. PoniewaŜ elektron 
musi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stanu sta-
cjonarnego)  więc  z  padającego  promieniowania  moŜe  on  absorbować  tylko  określone 
porcje  (kwanty)  energii.  Energia  absorbowanych  kwantów  hv  musi  być  równa  róŜnicy 
pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorpcyjnego mają te 
same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego. 
Na początku atom jest w stanie podstawowym n = 1 więc procesy absorpcji odpowiada-
ją  serii  Lymana.  W  bardzo  wysokich  temperaturach  atomy  będą  juŜ  w  stanie  n  =  2 
i moŜemy obserwować linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).