Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
Wykład 33
33. Model atomu Bohra
33.1 Wstęp
Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że
atomy zawierają elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).
Ponieważ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one
mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.
Ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet
atomów oznaczało ponadto, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.
Tego typu rozważania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich
i ujemnych w atomie.
J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie nałado-
wane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły
ładunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”).
Ładunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10
-10
m. W tej kuli ładunki ujemne
byłyby rozłożone równomiernie (w wyniku sił odpychania).
W atomie znajdującym się w stanie o najniższej energii elektrony były nieruchome. Na-
tomiast w atomach o wyższej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej
temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wokół położeń równowagi.
Uwaga
: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poru-
szające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne
. Do-
wód wykracza poza ramy tego wykładu ale przypomnijmy sobie jeszcze raz antenę di-
polową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drgania ładunku (prąd zmienny)
i antena emituje falę elektromagnetyczną.
Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona
wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.
Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.
Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona otrzymał w 1911 r. jego uczeń
E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek
α na atomach.
Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest roz-
łożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym ją-
drem (o rozmiarze 10
-14
m) leżącym w środku atomu.
Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w sze-
regu doświadczeń.
Zgodnie z tym modelem:
33-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
• W środku atomu znajduje się jądro o masie w przybliżeniu równej masie całego
atomu,
• Ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e,
• Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak że cały atom jest obojętny.
Ważnym problemem pozostaje wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.
Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zo-
stałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. Jeżeli
dopuścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planety wokół Słońca w układzie sło-
necznym) to też natrafiamy na trudność interpretacyjną. Krążący elektron doznaje stale
przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyła energię
kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali osta-
tecznie spadając na jądro (model Thomsona).
Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowa-
nego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewi-
dywanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy.
Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm.
33.2 Widma
atomowe
Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych.
Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wy-
ładowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą, a na-
stępnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na
składowe o różnych długościach fal.
Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm.
W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrza-
nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawie-
ra tylko pewną liczbę długości fal. Każda z takich składowych długości fal nazywana
jest linią (bo taki jest obraz szczeliny).
Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.
33-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
360
400
440
480
520
560
600
640
680
λ
(nm)
To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego mo-
delu atomu. Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w spo-
sób prosty matematycznie.
33.3 Model Bohra atomu wodoru
Jak już mówiliśmy fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie bę-
dzie wypromieniowywał energię, tak że częstość elektronu a za tym także częstość wy-
syłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwu-
jemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).
Bohr uniknął tej trudności zakładając, że podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo
E
k
– E
j
= hv
(33.1)
atom wodoru może znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w któ-
rych nie wypromieniowuje energii. Emisja następuje tylko wtedy gdy atom przechodzi
z jednego stanu o energii E
k
do stanu o niższej energii E
j
. Ujmując to w postaci równa-
nia
gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia
energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając moż-
porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu ją-
•
(pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem
orzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy
F = ma
albo
wypromieniowany przez atom.
Teraz konieczna jest znajomość
liwe różnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emi-
towanego przez atom.
Założenia:
• elektron
dra,
jądro
protonu.
K
r
m
r
e
2
2
2
0
4
1
v
=
πε
(33.2)
33-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
względniliśmy tylko przyciągani
ym elektronem zaniedbując oddzia
łusznie?
U
pomiędzy dodatnim jądrem i ujem-
e elektrostatyczne
ływanie grawitacyjne. Czy s
n
Przykład 1
Obliczyć stosunek sił przyciągania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i
atomie wodoru. Masa elektronu m
e
= 9.1·10
-31
kg, masa protonu m
p
=
-19
-11
elektronu w
-27
1.7·10 kg, ładunek elementarny e = 1.6·10
C stała grawitacyjna G = 6.67·10
Nm
2
/kg
2
, a stała w prawie Coulomba 1/4
πε
0
= 8.99·10
9
Nm
2
/C
2
.
2
0
2
2
0
2
10
5
4
4
⋅
≈
=
=
m
m
G
r
m
Gm
F
e
p
e
p
G
πε
πε
39
−
e
e
r
F
E
Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania.
Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną
e
m
E
k
2
1
=
=
v
r
0
2
8
2
πε
(33.3)
nergia potencjalna układu elekt
E
równaniem
ron - proton jest dana
e
E
p
−
=
r
0
2
4
πε
C
(33.4)
ałkowita energia układu wynosi
r
e
E
E
p
k
0
2
8
πε
−
=
+
=
E
(33.5)
onieważ, promień orbity moż
yć dowolna. Ze wzoru (33.3) m
dkość liniową elektronu
P
wartość więc i energia też może
e przyjmować dowolną
ożemy wyznaczyć prę
b
e
2
=
v
mr
0
4
πε
a następnie częstotliwość
3
0
3
2
0
16
2
mr
e
r
v
ε
π
π
=
= v
Pęd dany jest równaniem
33-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
r
0
4
πε
me
m
p
2
=
= v
a moment pędu
0
4
πε
2
r
me
pr
L
=
=
(33.6)
ak więc, jeżeli jest dane r, to znane s
oraz L.
ku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parame-
łowej pod wpływem przyciągania ku-
onem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki
2.
tron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment
T
metry orbitalne: E
k
, E
p
, E,
v
, v
0
, p,
ą również para
Jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest
skwantowana
, to wszystkie muszą być skwan-
towane.
Na tym etapie Bohr nie miał żadnych zasad, którymi mógłby się posłużyć.
W związ
trów orbity i zastosował ją do momentu pędu L.
Postulaty Bohra były następujące:
1. Elektron w atomie porusza się po orbicie ko
lombowskiego pomiędzy elektr
klasycznej.
Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-
sycznej, elek
pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2
π.
,.....
3
,
2
,
1
=
=
n
h
n
L
(33.
2
π
kwantową. (Zwróćmy u
7)
gdzie stała n oznacza liczbę
wagę, że ponownie tak jak przy
opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, poja-
3.
uje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.
s
wia się stała Plancka h.)
Pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to
jednak nie wypromieniow
4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszają-
cy się po orbicie o całkowitej energii E
j
zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza
ię następnie po orbicie o energii E
k
. Częstotliwość emitowanego promieniowania
jest równa
h
E
E
v
k
j
−
=
(33.8)
Uwaga: To jest postulat Einsteina g
ęstotliwość fotonu promieniowania
lektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.
zą być
skwantowane.
Łącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy
łoszący, że cz
e
Drugi postulat opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak już mówiliśmy jeżeli ja-
kakolwiek z wielkości: E
k
, E
p
, E,
v
, v
0
, p, i L jest skwantowana, to wszystkie mus
33-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
2
0
2
2
=
h
ε
,.........
3
,
2
,
1
1
2
=
=
n
r
n
me
n
r
π
(33.9)
idzimy jak skwantowane jest
żenia na energię
ałkowitą (33.5) daje
W
r. Podstawienie tego równanie do wyra
c
.......
,
3
,
2
,
1
8
2
2
2
2
=
=
−
=
n
n
n
h
E
ε
(33.10)
1
0
4
E
me
Z tego równania otrzym
.
tan n =
∞ odpowiada stanowi
atom.
a rysunku poniżej są pokazane wybrane przeskoki między różnymi stanami stacjonar-
ujemy
wartości energii dozwolonych stanów stacjonarych
E = 0, w którym elektron jest c
S
ałkowicie usunięty poza
N
nymi.
n
3
2
1
seria Lymana
seria Balmera
seria Paschena
granica serii
granica serii
dej ze strzałek jest równa różnicy energii między dwom
i czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwo
ieniowania można obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotycz
ieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energi
∞
6
granica serii
4
5
Długość każ
a stanami stacjo-
narnym
ść emitowa-
nego prom
ącego czę-
stotliwości prom
ę (33.7)
−
=
2
2
3
2
0
4
1
1
8
k
j
h
me
v
ε
(33.11)
33-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
gdzie j, k są liczbami kwantowym
szy i wyższy stan stacjonarny.
a gruncie modelu Bohra można
jednoelektronowych. Można równie
a absorpcyjne. Ponieważ elektron
usi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stanu sta-
ślone
i opisującymi niż
łatwo zrozumieć wła
ż zrozumieć widm
N
sności widm emisyjnych atomów
m
cjonarnego) więc z padającego promieniowania może on absorbować tylko okre
porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi być równa różnicy
pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorpcyjnego mają te
same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego.
Na początku atom jest w stanie podstawowym n = 1 więc procesy absorpcji odpowiada-
ją serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy będą już w stanie n = 2
i możemy obserwować linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).
33-7