Ćwiczenie 1

Temat:

OBWÓD SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY

RLC PRZY WYMUSZENIU SINUSOIDANYM

– REZONANS NAPIĘĆ I PRĄDÓW

I. ZAGADNIENIA

1.

Badanie własności obwodu RLC przy szeregowym i równoległym
połączeniu elementów w stanie ustalonym.

2.

Pomiar prądów i napięć oraz wyznaczanie mocy; wykresy wektorowe.

3.

Rezonans fazowy napięć i prądów.

4. Dobroć cewki rzeczywistej, kondensatora rzeczywistego, dobroć obwodu

rezonansowego i jego związek z pasmem przepuszczania.

II. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE

W obwodach prądu zmiennego zawierających elementy indukcyjne i pojemno-
ściowe następuje ciągła zamiana energii pola elektrycznego w energię pola
magnetycznego i na odwrót. Rzeczywiste cewki i kondensatory oprócz induk-
cyjności L i pojemności C charakteryzują się też pewną rezystancją R, Część
energii doprowadzonej do obwodu zostaje stracona na ciepło na wszystkich
rezystancjach obwodu.

1.1. GAŁĄŹ SZEREGOWA R, L, C, REZONANS NAPIĘĆ

Do obwodu złożonego z szeregowo połączonych elementów idealnych R, L, C
doprowadzone jest napięcie sinusoidalnie zmienne (rys.1.la). Przepływający
przez te elementy prąd wywołuje na nich napięcia UR, UL, UC, przy czym
zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla wartości chwilowych możemy z2-
sać:

u=u

R

+u

L

+u

C

(1.1)

lub:

∫

+

+

•

=

idt

C

1

dt

di

L

i

R

u

(1.2)

Zakładamy, że prąd w omawianym obwodzie ma też charakter sinusoidalny:

i=I

m

sin(ωt+α)

(1.3)

gdzie α jest fazą początkową prądu.
Równanie (1.1) lub (1.2) możemy również zapisać:

)

2

sin(

)

2

sin(

)

sin(

Π

−

+

•

+

Π

+

+

•

+

+

•

=

α

ω

α

ω

α

ω

t

U

t

U

t

U

u

Cm

Lm

Rm

(1.4)

Ponieważ:

)

2

sin(

)

2

sin(

Π

+

+

−

=

Π

−

+

α

ω

α

ω

t

t

(1.5)

to równanie (1.4) możemy zapisać w postaci:

)

2

sin(

)

(

)

sin(

Π

+

+

•

−

+

+

•

=

α

ω

α

ω

t

U

U

t

U

u

Cm

Lm

Rm

(1.5)

gdzie:

m

C

Cm

m

L

Lm

m

Rm

I

X

U

I

X

U

I

R

U

•

=

•

=

•

=

,

,

(1.6)

lub dla wartości skutecznych:

fC

C

X

I

X

U

fL

L

X

I

X

U

I

R

U

C

C

C

L

L

L

R

Π

=

=

•

=

Π

=

=

•

=

•

=

2

1

1

2

,

ω

ω

(1.7)

Rys 1.1

Dodając rzędne poszczególnych sinusoid u

R

, u

L

, u

c

dla tego samego czasu t lub

kąta (ωt) otrzymujemy sinusoidę wypadkową napięcia zasilającego
rozpatrywany obwód:

)

sin(

ψ

ω

+

•

=

t

U

u

m

(1.8)

W wyniku takiego sumowania otrzymujemy sinusoidę o tym samym okresie T
(lub częstotliwości f), co sinusoidy składowe. Z rys. 1.lb możemy bezpośrednio
odczytać amplitudę U oraz fazę początkową sinusoidy wypadkowej. Aby
uzyskać dokładny wynik, rysunek należałoby wykonać bardzo precyzyjnie na
papierze milimetrowym, co jest uciążliwe i pracochłonne, zwłaszcza w z2-
dku sumowania więcej niż dwóch sinusoid.
Przedstawiając przebieg sinusoidalny w postaci kolejnych rzutów wektora,
wirującego ze stałą prędkością kątową ω, na oś rzędnych, możemy zastąpić
sumowanie sinusoid geometrycznym dodawaniem wektorów (rys. 3.1c).
Długości wektorów odpowiadają amplitudom lub wartościom skutecznym
poszczególnych wielkości sinusoidalnych, a kąty, jakie tworzą te wektory z
dodatnim kierunkiem osi liczb rzeczywistych, odpowiadają fazom począt-
kowym tych przebiegów.
Na podstawie wykresu wektorowego łatwo możemy wyznaczyć amplitudę (lub
wartość skuteczną) przebiegu wypadkowego. W naszym przypadku amplituda
napięcia zasilającego szeregowy obwód RLC wynosi:

2

2

)

(

Cm

Lm

Rm

m

U

U

U

U

−

+

=

(1.9)

Korzystając z odpowiedniości pomiędzy przebiegiem sinusoidalnym i wektorem
wirującym, można przedstawić wymuszenie i odpowiedź odpowiednio w
postaci wektorów wirujących. Następnie, przechodząc do wektorów z2-
chomych (zakładając t=0) i do wartości skutecznych zespolonych, otrzymujemy
dla szeregowego, obwodu RLC wyrażenie zwane prawem Ohma w postaci z2-
olonej:

I

Z

I

C

L

j

R

U

•

=









−

+

=

)

1

(

ω

ω

(1.10)

nazywamy impedancją zespoloną gałęzi szeregowej RLC, R= Re [Z] – rezystan-
cja tej gałęzi, zaś X

L

-X

C

= X = Im [Z] - reaktancją, która w zależności od

charakteru obwodu może być indukcyjna, pojemnościowa lub mieć wartość z2-
.
Impedancję zespoloną można zapisać również w postaci wykładniczej jako:

2

2

)

(

C

L

j

X

X

R

Z

gdzie

Ze

Z

−

+

=

=

ϕ

(1.12)

φ- kąt przesunięcia fazowego wnoszony przez rozpatrywany obwód.

Przesunięcie fazowe (φ jest to kąt, jaki tworzy wektor napięcia z wektorem

prądu. Obliczamy go ze wzoru:

R

X

X

tg

Z

X

X

C

L

C

L

−

=

−

=

ϕ

ϕ

lub

sin

(1.13)

Kąt φ może być dodatni, ujemny lub zerowy, zależnie od charakteru obwodu.

W przypadku, gdy X

L

>Xc, obwód ma charakter indukcyjny i kąt φ ma wartość

dodatnią, co oznacza, że przebieg napięcia wyprzedza przebieg prądu. Dla z2-
du o charakterze pojemnościowym, tzn., gdy X

C

>X

L

kąt φ ma wartość ujemną i

wówczas przebieg napięcia na gałęzi RLC opóźnia się o kąt φ za przebiegiem
prądu.

Jeśli X

c

= X

L

, reaktancja X obwodu i kąt φ są równe zeru. W obwodzie

występuje wówczas tzw. rezonans napięć, gdyż napięcia U

L

i U

C

są sobie równe

co do wartości, lecz przeciwne co do fazy (przesunięte w fazie o 180°), wobec
czego kompensują się.

Ponieważ impedancja obwodu zgodnie ze wzorem (1.11) równa jest przy

rezonansie napięciowym tylko rezystancji R, prąd w obwodzie osiąga wartość
największą, równa: U/R, a gdy rezystancja zmierza do zera, prąd osiąga war-
tość nieskończenie dużą.

W chwili rezonansu prąd i napięcie są ze sobą w fazie. Z warunku rezonansu

napięciowego:

L

C

ω

ω

=

1

(1.14)

wynika, że rezonans można uzyskać zmieniając częstotliwość źródła przy z2-
ienionych parametrach obwodu, lub gdy będziemy zmieniać parametry obwodu
L lub C przy stałej częstotliwości.

Pulsacja rezonansowa

LC

1

0

=

ω

a odpowiadająca jej częstotliwość rezonan-

sowa:

LC

f

π

2

1

0

=

W przypadku rezonansu lub w jego pobliżu mogą wystąpić na elementach bier-
nych obwodu przepięcia, tzn. napięcia o wartościach większych od napięcia na
zaciskach obwodu. Wynika to z proporcji:

C

C

L

L

rez

X

U

X

U

R

U

I

=

=

=

(1.15)

więc U

L

> U gdy X

L

> R, oraz Uc > U przy X

c

> R.

Jak stąd wynika, warunkiem wystąpienia przepięć jest rezonans napięć i więk-
sza wartość reaktancji (indukcyjnej lub pojemnościowej) niż rezystancji.

Na rys. 1.2. wykonane są wykresy wektorów napięć i prądu dla obwodów

o charakterze indukcyjnym, pojemnościowym i rezystancyjnym. Dla uprosz-
czenia przyjęto fazę początkową wektora prądu równą zeru.

Rys 1.2

1.2. OBWÓD RÓWNOLEGŁY R, L, C, REZONANS PRĄDÓW

Rozważmy obwód jak na rys. 1.3:

Rys 1.3

Rys 1.4

W obwodzie tym wystąpi rezonans prądów, gdy składowe bierne prądów w
gałęziach zrównają się (rys. 1.3): I

1

”

= I

2

”

. Całkowity prąd pobierany ze źródła

jest równy w chwili rezonansu tylko sumie składowych czynnych obu prądów
gałęziowych, czyli osiąga minimum i jest w fazie z napięciem zasilającym obie
gałęzie. Ponieważ:

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

)

(

)

(

L

R

L

U

j

L

R

UR

L

j

R

U

Z

U

I

ω

ω

ω

ω

+

−

+

=

+

=

=

(1.16)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

1

(

1

)

1

(

1

C

R

C

U

j

C

R

UR

C

j

R

U

Z

U

I

ω

ω

ω

ω

+

+

+

=

+

=

=

(1.17)

gdzie:

V

Ue

U

o

j0

=

, więc:

2

2

2

2

2

1

)

1

(

1

)

(

C

R

C

U

L

R

L

U

ω

ω

ω

ω

+

=

+

(1.18)

Ostatecznie warunek rezonansu w rozpatrywanym obwodzie ma postać:

2

2

2

2

2

1

C

C

L

L

X

R

X

X

R

X

+

=

+

(1.19)

czyli: B

1

=B

2

Rezonans prądów można uzyskać nie zmieniając częstotliwości źródła zasilania,
a tylko wielkości R

1

,R

2

,L,C. Przy zmianie indukcyjności lub pojemności

możliwy jest nie jeden, lecz nawet dwa stany rezonansu; wynika to z warunku
(1.19), z którego otrzymać można równanie kwadratowe względem L lub C.

III. POMIARY

1. Obwód szeregowy RLC – rezonans napięć

1.1. Schemat układu pomiarowego:

V

U

cos

ϕ

A

V

V

V

R

R

L

C

L

1

2

3

1.2

Zmierzyć wartości napięć i prądu w układzie jak na rysunku.

1.3

Wyznaczyć na podstawie pomiarów parametry układu (XL, XC, R, RL).

UWAGA: uwzględnić rezystancję cewki.

1.4

Obliczyć moc czynną, bierną, pozorną oraz cos

ϕ

całego układu dla

wybranego pomiaru.

1.5

Wykonać w skali wykres wektorowy napięć, prądu oraz przeprowadzić
wektorowe sumowanie.

1.6

Przy stałej wartości napięcia zasilania U i stałych wartościach R i L zdjąć
charakterystyki:

UL = f1(C) , UR = f2(C) , UC = f3(C) , I = f4(C) i sporządzić wykresy.
1.7 Z powyższych wykresów określić wartość C, przy której wystąpił

rezonans napięć.

1.8 Wyznaczyć teoretycznie wartość reaktancji rezonansowej XC, prądu Ir

oraz porównać wyniki z otrzymanymi z pomiarów.

2. Obwód równoległy RLC – rezonans prądów

2.1

Schemat układu pomiarowego:

V

U

cos

ϕ

A

A

A

R

L

C

L

1

2

2.2

Zmierzyć napięcie i prądy w układzie jak na rysunku.

2.3

Obliczyć moc czynną, bierną, pozorną oraz cos

ϕ

całego układu dla

wybranego pomiaru.

2.4

Wykonać w skali wykres wektorowy prądów i napięcia oraz przeprowa-
dzić wektorowe sumowanie prądów I1, I2.

2.5

Przy stałej wartości napięcia zasilania U i stałych wartościach R, L i f
zmieniając C i mierząc prądy, zdjąć charakterystyki: I1 = f1(C), I2 = f2(C)
i sporządzić wykresy.

2.6

Obliczyć pojemność, przy której wystąpi rezonans prądów w powyższym
układzie, wartość prądu Ir oraz porównać wyniki z otrzymanymi w pkt.

2.7

Wykonać w skali wykres wektorowy rezonansu prądów.

3. Badanie układu rezonansowego przy zmianie częstotliwości

3.1 Układ o szeregowym połączeniu elementów RLC
3.1.1 Schemat układu pomiarowego:

R

L

C

U

R

U

L

C

R

w

U

w

model

źródła

napięcia

U=const

I

Wartości elementów RLC:

R1 = 22

Ω

L1 = 69 mH

C1 = 143 nF

R

w

= 100 

R2 = 52

Ω

L2 = 153 mH

C2 = 547 nF

R3 = 82

Ω

3.1.2

Multimetr cyfrowy ustawić na pomiar napięcia zmiennego,

3.1.3 Ustawić wartość napięcia zasilającego U na około 1 V,
3.1.4 Zmieniając częstotliwość f napięcia od ok. 100 Hz do 2 kHz z krokiem

ok. 100 Hz (20 pomiarów) zmierzyć wartości skuteczne napięć U

R

, U

L

, U

C

na poszczególnych elementach R, L, C oraz napięcie U

w

na rezystorze

wzorcowym R

w

podłączając kolejno woltomierz do odpowiednich z2-

sków na modelu, oraz zapisać częstotliwość, przy której napięcie U

w

osiąga wartość maksymalną,

3.1.5

Zmienić wartość indukcyjności L, pomiary powtórzyć,

3.1.6

Zmienić wartość pojemności C, pomiary powtórzyć,

3.1.7 Zmienić wartość rezystancji R, pomiary powtórzyć,
3.1.8 Obliczenia:

Korzystając ze wzorów (1, 2, 3, 4, 5, 6):

w

w

R

U

I

=

(1)

I

U

R

R

=

(2)

I

U

X

L

L

=

(3)

I

U

X

C

C

=

(4)

I

U

Z

=

(5)









−

=

R

C

L

U

U

U

arctg

ϕ

(6)

obliczyć wartości I, R, X

L

, X

C

, X

L

– X

C

, Z oraz kąta przesunięcia fazowego

ϕ

pomiędzy napięciem a prądem w obwodzie i zapisać.

Korzystając ze wzorów (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13) obliczyć:

-

częstotliwość rezonansowa

LC

f

π

2

1

0

=

(7)

-

częstotliwość

1

f

przy której napięcie

L

U

osiąga maksimum

2

2

1

2

1

2

1

C

R

LC

f

−

=

π

(8)

-

częstotliwość

2

f

przy której napięcie

c

U

osiąga maksimum

2

2

2

4

1

2

1

L

R

LC

f

−

=

π

(9)

-

dobroć cewki

R

L

f

R

L

Q

0

0

2

π

ω

=

=

(10)

-

dolna częstotliwość przepuszczania

L

R

2

0

1

−

=

ω

ω

L

R

f

f

π

4

0

1

−

=

(11)

-

górna częstotliwość przepuszczania

L

R

2

0

2

+

=

ω

ω

L

R

f

f

π

4

0

2

+

=

(12)

-

pasmo przepuszczania

Q

L

R

0

1

2

ω

ω

ω

=

=

−

=

−

1

2

f

f

(13)

Dla różnych kombinacji elementów R, L, C wykreślić (uwzględniając na

wykresie

punkty U

wmax

):

a)

charakterystyki zmian prądu I w obwodzie w funkcji częstotliwości f;

( )

f

f

I

=

.

b)

charakterystyki reaktancji X

L

i X

C

oraz charakterystykę X

L

– X

C

w funkcji

częstotliwości f;

( )

f

f

X

L

=

,

( )

f

f

X

C

=

,

( )

f

f

X

X

C

L

=

−

.

c)

charakterystyki zmian impedancji Z oraz kąta przesunięcia fazowego  w
funkcji częstotliwości f;

( )

f

f

Z

=

,

( )

f

f

=

ϕ

.

Z wykresów odczytać:

-

Wartość częstotliwości przy której prąd I osiąga wartość maksymalną.

-

Wartość częstotliwości przy której X

L

– X

C

równa się zero.

-

Wartość częstotliwości przy której Z osiąga wartość minimalną a 
wynosi zero.

-

Wyznaczyć pasmo przepuszczania prądu i dobroć obwodu Q.

-

Określić wpływ R na dobroć obwodu.

-

Określić wpływ R i L na szerokość pasma przepuszczania w obwodzie
RLC.

-

Zakładając stałą wartość napięcia w obwodzie RLC wykreślić krzywe:

( )

f

f

I

=

,

( )

f

f

U

R

=

,

( )

f

f

U

C

=

,

( )

f

f

U

L

=

. Obliczyć teoretycznie i z2-

ytać z wykresów częstotliwość

1

f

i

2

f

przy których napięcia

L

U

i

C

U

osiągają wartość maksymalne. Zbadać wpływ rezystancji na częstotliwo-
ść

1

f

i

2

f

(szerokość pasma przepuszczania B). Porównać wyniki

pomiarów z wynikami obliczeń teoretycznych.

Komentarz:

Gdy częstotliwość napięcia zasilającego U równa jest częstotliwości rezonan-

sowej f

r

to X

L

= X

C

i obwód ma charakter czysto rezystancyjny. Wówczas war-

tość skuteczna prądu I osiąga maksimum, zgodnie ze wzorem 14. Jest to jeden
ze sposobów znalezienia częstotliwości rezonansowej szeregowego obwodu
RLC.

(

)

2

2

C

L

X

X

R

U

Z

U

I

−

+

=

=

(14)

Gdy częstotliwość napięcia zasilającego U równa jest częstotliwości rezonan-

sowej obwodu f

r

to reaktancja indukcyjna X

L

równa jest reaktancji pojemno-

ściowej X

C

i ich różnica wynosi zero. Jest to kolejny sposób na znalezienie

częstotliwości rezonansowej szeregowego obwodu RLC.
Wraz ze wzrostem częstotliwości zmienia się charakter obwodu z czynno -
pojemnościowego na czynno - indukcyjny. Ilustruje to wykres X

L

– X

C

.

Rezystancja R jest stała w funkcji częstotliwości, reaktancja indukcyjna X

L

jest

wprost proporcjonalna a reaktancja pojemnościowa X

C

odwrotnie proporcjonal-

na do częstotliwości napięcia zasilającego (zgodnie ze wzorami 15, 16, 17):

R = const

(15)

L

f

2

X

L

⋅

π

=

(16)

C

f

2

1

X

C

⋅

π

=

(17)

Wraz ze wzrostem częstotliwości impedancja Z maleje do wartości minimal-

nej a następnie rośnie. Zmienia się wówczas charakter obwodu z czynno -
pojemnościowego na czynno - indukcyjny. Kąt przesunięcia fazowego

ϕ

rośnie

od wartości ujemnych (prąd wyprzedza napięcie) do wartości dodatnich (z2-
ęcie wyprzedza prąd) poprzez wartość zerową. Wtedy prąd jest w fazie z z2-
ęciem zasilającym (

ϕ

= 0°) i obwód ma charakter czysto rezystancyjny (wzory

18, 19):

(

)

2

C

L

2

X

X

R

Z

−

+

=

(18)













−

=

R

X

X

C

L

arctg

ϕ

(19)

Inne obliczenia:

Dla podanych wartości elementów R, L, C obliczyć teoretyczną wartość

częstotliwości rezonansowej f

0

i porównać z wartością otrzymaną z pomiarów.

Do obliczeń można wykorzystać wzór (20)

C

L

f

⋅

=

π

2

1

0

(20)

lub przydatny w praktyce wzór (21) (L podstawić w mH, C w F)

C

L

f

⋅

=

5033

0

(21)

Dla obliczonej częstotliwości rezonansowej f

0

wyliczyć rezystancję charakte-

rystyczną obwodu

ρ

w stanie rezonansu napięć (wzór 22) oraz dobroć obwodu Q

dla tego stanu (wzór 23).

C

L

C

1

L

r

r

=

ω

=

ω

=

ρ

(22)

C

L

R

1

R

Q

=

ρ

=

(23)

3.2 Układ o równoległym połączeniu elementów RLC
3.2.1 Schemat układu pomiarowego:

R

L

C

U

R

U

L

U

C

R

w

U

w

U=const

model
źródła

napięcia

Zasilając dwójnik równoległy RLC przedstawiony na rys. z idealnego źródła z2-
ęcia o stałej wartości skutecznej wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową
prądu.

Ustawić wartość napięcia zasilającego U na około 1V. Zmierzyć i zapisać

jego wartość.

Zapisać wartości nastawionych elementów R, L, C.

Zmieniając częstotliwość f napięcia od ok. 200 Hz do 2,5 kHz z krokiem ok.

100 Hz (23 pomiarów) zmierzyć wartość skuteczną napięcia U

w

na rezystorze

wzorcowym R

w

podłączając woltomierz do odpowiednich zacisków na modelu.

Wyniki zapisać. Znając wartość rezystora R

w

obliczamy wartość prądu

płynącego w układzie.

Zmieniając częstotliwość napięcia z generatora, zapisać częstotliwość przy

której napięcie U

w

osiąga wartość minimalną.

Pomiary przeprowadzić dla różnych wartości rezystancji R.

Korzystając ze wzoru:

2

0

1

2

1













−

=

L

R

LC

f

π

obliczyć teoretyczną wartość częstotliwości rezonansowej