Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

1 

Elementy statystyki matematycznej 

1. 

Wstęp 

Poprzednie  trzy  konspekty,  przygotowane  na  zajęcia,  dotyczyły  rachunku  prawdopodo-

bieństwa. Teraz przejdziemy do statystyki matematycznej, a więc nauki zajmującej się opisy-

waniem zjawisk masowych przy użyciu metod rachunku prawdopodobieństwa. 

Aby łatwiej było nam zrozumieć zagadnienia występujące w statystyce, musimy najpierw 

zdefiniować sobie pewne podstawowe pojęcia tam występujące. 

Wyobraźmy  sobie,  że  mamy  pewien  zbiór  Z,  którego  elementy  podlegają  badaniu  ze 

względu na jedną lub więcej  cech. Jeśli zbiór Z ma przynajmniej jedną  cechę wspólną dla 
wszystkich jego elementów, 

oraz przynajmniej jedną właściwość, ze względu na którą ele-

menty tego zbioru 

mogą się różnić między sobą, to taki zbiór nazywać będziemy populacją 

(

zbiorowością) generalną, lub krócej populacją. 

PRZYKŁAD 1.1. Przykładem populacji może być zbiór składający się ze studentów uczelni. Cechą wspólną 

dla wszystkich elementów (studentów) tego zbioru 

może być np. wzrost, waga, wiek. Ale np. nazwa wojewódz-

twa, w którym dany 

student  urodził  się  niekoniecznie  musi  być  cechą  wspólną  wszystkich  studentów.  Może 

przecież okazać się, że ktoś urodził się za granicą. 

Badać można wszystkie elementy zbioru Z albo tylko ich część. W pierwszym przypadku 

mówimy, że badanie jest kompletne (stuprocentowe, całkowite), w drugim, że jest częściowe. 

Badanie kompletne dostarcza pełnej informacji o pewnej właściwości badanej populacji. Czę-

sto jednak badań kompletnych nie wykonuje się. Na przykład, gdy takie badanie jest czaso-

chłonne, kosztowne, elementy ulegają zniszczeniu podczas badania (np. trzeba wyciąć próbkę 

z odlewu do oceny twardości, wytrzymałości na rozciąganie itp.), zbiór Z nie zawiera ściśle 

określonej liczby elementów (np. w produkcji seryjnej przez cały czas  do zbioru dochodzą 
nowe elementy) itp.  Badaniami kompletnymi statystyka rzadko  za

jmuje  się.  Głównym  bo-

wiem jej zadaniem jest wnioskowanie o pewnych 

właściwościach zbioru Z, na podstawie in-

formacji uzyskanych z oceny 

tych samach właściwości pewnego skończonego podzbioru z

1

 

zbioru 

Z. Taki skończony  podzbiór będziemy  nazywać próbką (próbą).  Oczywiście próbka 

powinna  stanowić  reprezentację  całej  populacji  w  tym  sensie,  że  częstości  występowania 
w 

próbce  każdej  z  badanych  cech  nie  powinny  znacznie  różnić  od  częstości  występowania 

tych cech w populacji. Aby to osiągnąć, elementy próbki losuje się spośród elementów zbioru 

Z. Tak otrzymany zbiór będziemy nazywać próbką (próbą) losową. 

Gdy n-elementowa próbka losowana jest ze zbioru 

Z w taki sposób, że prawdopodobień-

s

two  trafienia  każdego  elementu  do  próbki  jest  takie  samo,  to  będziemy  nazywać  ją 

n-

elementową próbką (próbą) prostą. 

W dalszej części konspektu zostaną przedstawione podstawowe pojęcia statystyki opiso-

wej,  czyli 

działu statystyki matematycznej zajmującego się wstępnym opracowaniem próbki 

bez posługiwania się rachunkiem prawdopodobieństwa. 

2.  Szereg rozdzielczy 

W

yobraźmy sobie, że mamy przeanalizować dużą próbkę losową

(I

                                                           

(I)

 Za dużą próbkę losową, umownie przyjmuje się gdy liczy ona co najmniej 30 elementów (n≥30) 

)

.  W takim przypadku 

zamiast analizować wszystkie wyniki pojedynczo, co może być żmudne i pracochłonne, gru-

puje się je w tzw. klasy. Klasy są to nic innego jak przedziały, najczęściej o jednakowej dłu-

gości, do których „wrzuca” się poszczególne wartości próbki losowej. 

Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

2 

PRZYKŁAD 2.1. Wyobraźmy sobie, że mamy próbkę losową zawierającą następujące pięć elementów: 2.5, 

2.6, 

2.3, 2.4, 2.6. Odstąpmy na razie od zasady mówiącej, że klasy tworzy się dla próbek dużych. Załóżmy, że 

dla naszej próbki utworzyliśmy dwie klasy tj. przedział pierwszy [2.25; 2.45) oraz drugi [2.45; 2.65). W takim 
razie do klasy pier

wszej  będą  należeć  wartości:  2.3,  2.4;  natomiast  do  drugiej  klasy:  2.5,  2.6,  2.6.  Zwróćmy 

uwagę, że w klasie drugiej występuje dwa razy wartość 2.6. Może przecież tak zdarzyć się, że podczas przepro-
wadzania pomiarów

,  kilka  razy  uzyskamy  tą  samą  wartość.  W  takim  przypadku  uwzględniamy  ten  wynik 

w 

naszej próbce tyle razy ile on wystąpił. 

Jak tworzyć takie klasy zostanie pokazane poniżej. 
Mamy 

pewną n-elementową próbę losową w postaci 

 

n

x

x ,...,

1

 

(1) 

gdzie x

j

 dla j = 1, 2,...,n 

oznaczają poszczególne wartości mierzonej cechy w próbce losowej. 

Taką  cechą  może  być  np.  wartość  masy,  natężenie  prądu  itp.  Rozstępem  badanej cechy 
w próbie (1) 

będziemy nazywać różnicę 

 

min

max

x

x

R

−

=

 

(2), 

gdzie  x

max

  i  x

min

 

oznaczają  odpowiednio  największą  i  najmniejszą  wartość  badanej  cechy 

w próbce (1). 

Ilość klas uzależniona jest od liczności próbki. Istnieje kilka reguł wyznaczania orienta-

cyjnej liczby k klas 

 

n

k

ln

5

≤

 

(3), 

 

n

k

ln

322

.

3

1

+

=

 

(4), 

 

n

k

=

 

(5). 

Otrzymaną wartość k z któregoś powyższego wzoru należy zaokrąglić do najbliższej licz-

by całkowitej. 

Przybliżoną długość (szerokość) klasy wyliczamy z następującej zależności 

 

k

R

b

≈

 

(6), 

zaokrąglając otrzymaną wartość b w górę do wartość b’ tak aby b’·k ≥ R. 

Punkty graniczne 

przedziałów wyznacza się w następujący sposób. W pierwszej kolejno-

ści należy wyznaczyć dolną granicę x

d

 

z zależności 

 

α

2

1

min

−

= x

x

d

 

(7), 

gdzie 

α oznacza dokładność

(II

1

)

 

z jaką zostały wyznaczone wartości próbki. Następnie wyzna-

czamy lewe granice x

l,i

. Dla i-tego 

przedziału (patrz rys.  ) wylicza się ją następująco 

 

(

)







>

−

+

=

=

1

'

1

1

,

i

dla

b

i

x

i

dla

x

x

d

d

i

l

 

(8). 

Pozostaje jeszcze wyliczyć prawe granice x

p,i

 

i środki przedziałów x

s,i

. Dla i-tego przedzia-

łu można to zrobić korzystając z poniższych prostych zależności 

                                                           

(II)

 Gdy próbka zawiera np. dane: 2.48, 2.44, 2.59, 2.33, 2.78 to α = 0.01. Natomiast dla próbki z danymi: 2.5, 

3.0, 2.0, 3.5, 1.5 dokładność α wynosi 0.5. 

Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

3 

 

'

,

b

i

x

x

d

i

p

⋅

+

=

 

(9), 

 

2

,

,

,

i

l

i

p

i

s

x

x

x

+

=

 

(10). 

Wartość x

j

 

z próby losowej będziemy zaliczać do i-tej klasy jeśli spełniona będzie nastę-

pu

jąca nierówność 

 

n

j

k

i

x

x

x

i

p

j

i

l

,...,

1

;

,...,

1

dla

,

,

,

=

=

<

≤

 

(11). 

Ilość wartości x

j

 próbki (1)

, które trafiają do i-tej klasy będziemy nazywać licznością (li-

czebnością) klasy i oznaczać symbolem n

i

. Jeśli liczność n

i

 i-tej klasy podzielimy przez licz-

ność n całej próby losowej, to dostaniemy tzw. częstość w

i

 i-tej klasy. 

 

Rys 1. 

Schemat ilustrujący sposób wyznaczania granic poszczególnych klas (czerwone 

kropki – 

środki przedziałów) 

Jeżeli jakaś próba losowa x

1

,…,x

n

 

kwalifikuje się do podziału na k klas, to pod dokonaniu 

grupowania jej wyników do poszczególnych klas 

otrzymuje się tzw. szereg rozdzielczy. Sze-

reg rozdzielczy stanowią pary liczb o środkach 

i

x  

w kolejnych klasach oraz ich liczności n

i

 

(lub częstości w

i

), i = 1,…,k. 

PRZYKŁAD 2.2. Z populacji generalnej pobrano próbę losową zawierającą n = 60 elementów i przebadano 

ją ze względu na cechę X. Poszczególne wartości próby losowej są następujące: 5.1; 3.4; 6.2; 5.3; 3.9; 3.4; 4.6; 
3.1; 5.2; 5.0; 6.2; 6.1; 3.9; 5.1; 5.5; 5.1; 6.0; 4.7; 5.5; 6.6; 5.1; 5.4; 4.2; 5.4; 4.5; 4.4; 5.7; 4.4; 5.6; 4.0; 5.5; 5.3; 
7.2; 6.8; 5.4; 6.0; 6.5; 5.1; 5.1; 5.6; 5.6; 5.5; 4.0; 5.7; 6.7; 3.4; 3.7; 4.6; 5.6; 4.6; 5.7; 4.5; 5.7; 5.1; 3.8; 5.2; 5.6; 
4.5; 4.1; 4.1. 

Należy sporządzić szereg rozdzielczy dla danej próby losowej. 

 

Znajdźmy w pierwszej kolejności wartość maksymalną i minimalną w naszej próbce. Wynoszą one odpo-

wiednio:  x

max

  = 7.2 oraz x

min

 

=  3.1.  Następnie  wyliczmy  rozstęp  R  z równania (2). Po wyliczeniu dostajemy 

R = 4.1. 

Wszystkie 60 wartości naszej próbki musimy posegregować do k klas. Ilość tych klas obliczymy korzystając 

np. ze wzoru (5)

.  Dostajemy  przybliżoną  wartość  k  ≈  7.75.  Zaokrąglamy  ją  do  najbliższej  liczby  całkowitej. 

A 

więc k = 8. Teraz cały odcinek o długości R = 4.1 dzielimy na k klas (przedziałów). Otrzymujemy przybliżoną 

szerokość przedziału (równanie (6)) b = 0.5125. Zaokrąglimy tą wartość w górę do wartości b’ = 0.52 tak aby 

spełniona była nierówność b’·k ≥ R. 

Wartości w naszej próbce wyznaczone są z dokładnością α = 0.1. Dolną granicę, która jednocześnie równa 

jest lewej granicy pierwszego przedziału, liczymy z zależności (7), dostając jako wynik 3.05. Pozostałe punkty 

graniczne tj. granice lewe, prawe oraz środki wyliczono z zależności (8), (9) oraz (10) i zestawiono w tabeli 1. 

 

 

R = k·b 

x

min

 

x

max

 

b’·k 

x

l,1

 = 

x

d

 

b’ 

x 

x

l,i

=x

p,i-1

 

x

s,i

 

x

g

 = 

x

p,k

 

Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

4 

Tab. 1. Zestawienie 

wyników obliczeń z przykładu 

Nr klasy 

i 

Granice przedziałów  Grupowanie warto-

ści próby 

(gwiazdki oznaczają ile 

wartości x

j

 

należy do danej 

klasy) 

Szereg rozdzielczy 

x

l,i

 

x

p,i

 

Środki 

klas 

x

s,i

 

Liczności 

klas 

n

i

 

Częstości 

klas 

w

i

 

1 

3.05 

3.57 

**** 

3.31 

4 

0.067 

2 

3.57 

4.09 

****** 

3.83 

6 

0.100 

3 

4.09 

4.61 

*********** 

4.35 

11 

0.183 

4 

4.61 

5.13 

********* 

4.87 

9 

0.150 

5 

5.13 

5.65 

**************** 

5.39 

16 

0.267 

6 

5.65 

6.17 

******* 

5.91 

7 

0.117 

7 

6.17 

6.69 

**** 

6.43 

4 

0.067 

8 

6.69 

7.21 

*** 

6.95 

3 

0.050 

Otrzymany szereg można przedstawić w postaci histogramu (rys. 2). Na osi poziomej zaznacza się środki 

klas 

a na osi pionowej liczności n

i

 i 

częstości w

i

. 

 

Rys. 2. Szereg rozdzielczy przedstawiony w postaci histogramu 

3. 

Miary położenia 

Miary położenia, zwane czasami wartościami przeciętnymi, służą do określenia położenia 

rozkładu empirycznego (w naszym przypadku szeregu rozdzielczego) na osi liczb rzeczywi-

stych. Poniżej zostaną przedstawione dwa typy położenia, mianowicie średnie

(III

3.1. Średnia arytmetyczna 

)

 i tzw. prze-

ciętne pozycyjne (mediana i moda). 

Średnią arytmetyczną liczb x

1

,…,x

n

 

nazywamy liczbę 

x

 

określoną wzorem 

 

∑

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

 

(12). 

                                                           

(III)

 W niniejszym konspekcie przedstawiono tylko niektóre rodzaje średnich. Istnieją jeszcze kilka innych śred-

nich takich jak: średnia harmoniczna ważona, średnia geometryczna ważona oraz średnia potęgowa rzędu r. 

Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

5 

Jeżeli w próbie losowej wynik pomiaru x

i

 

wystąpił n

i

 razy, gdzie i = 1,…,k oraz 

∑

=

=

k

i

i

n

n

1

, 

to średnią daną poniższym wzorem 

 

∑

=

=

k

i

i

i

n

x

n

x

1

1

 

(13) 

będziemy nazywać średnią arytmetyczną ważoną. 

Średnia arytmetyczna ważona, często interpretowana jest jako współrzędna środka masy 

układu  punktów  materialnych  o  masach  n

i

, umieszczonych na osi liczbowej w punktach 

o 

współrzędnych x

i

. 

Średnia arytmetyczna ma następujące właściwości 

 

max

min

x

x

x

≤

≤

 

(14), 

 

(

)

0

1

=

−

∑

=

n

i

i

x

x

 

(15). 

Średnią arytmetyczną można obliczyć korzystając z funkcji ŚREDNIA znajdującej się w ar-

kuszu kalkulacyjnym MS Excel. 
3.2. Średnia harmoniczna 

Średnią harmoniczną liczb x

i

,...,x

n

 

różnych od zera, nazywamy liczbę  h  daną wzorem 

 

∑

=

=

n

i

i

x

n

h

1

1

 

(16). 

Podobnie jak w przy

padku średniej arytmetycznej aby obliczyć średnią harmoniczną moż-

na skorzystać z funkcji ŚREDNIA.HARMONICZNA w Excelu. 
3.3. Średnia geometryczna 

Średnia geometryczna liczb x

i

,..,x

n

 

większych od zera dana jest wzorem 

 

n

n

i

i

x

g

∏

=

=

1

 

(17). 

Analogicznie do dwóch pozostałych średnich, średnią geometryczną wyliczyć można przy 

użyciu funkcji ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA. 
3.4. Mediana 

Medianą lub wartością środkową nazywamy taką liczbę m

e

, dla której połowa realizacji 

zmienn

ej  losowej  ma  wartości  nie  przekraczające  m

e

,  natomiast  druga  połowa  –  wartości 

wyższe  niż  m

e

.  Aby  wyznaczyć  medianę,  w  pierwszej  kolejności  należy  uporządkować 

wszystkie wartości x

j

 (j = 1,..,n

) zmiennej losowej w kolejności od najmniejszej do najwięk-

szej. W drugim kroku postępowania stosuje się jeden z poniższych wzorów. Jeśli n jest liczbą 

nieparzystą, to 

 

2

1

+

=

n

e

x

m

 

(18). 

W przypadku gdy n jest parzyste, to korzystamy ze wzoru 

Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

6 

 













+

=

+

2

1

2

2

1

n

n

e

x

x

m

 

(19). 

Funkcja wyliczająca medianę w Excelu ma nazwę MEDIANA. 

PRZYKŁAD 3.1. Obliczyć medianę próbki z przykładu 2.2. 
Przedstawmy 

wyniki próbki w postaci uporządkowanej w tabeli 2. Ponieważ n = 60 (jest parzyste) należy 

zastosować wzór (19). 

Tab. 2

. Zestawienie uporządkowanych wyników próbki 

j 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

x

j

 

3.1 

3.4 

3.4 

3.4 

3.7 

3.8 

3.9 

3.9 

4.0 

4 

4.1 

4.1 

4.2 

4.4 

4.4 

j 

16 

17 

18 

19 

20 

21 

22 

23 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

30 

x

j

 

4.5 

4.5 

4.5 

4.6 

4.6 

4.6 

4.7 

5 

5.1 

5.1 

5.1 

5.1 

5.1 

5.1 

5.1 

j 

31 

32 

33 

34 

35 

36 

37 

38 

39 

40 

41 

42 

43 

44 

45 

x

j

 

5.2 

5.2 

5.3 

5.3 

5.4 

5.4 

5.4 

5.5 

5.5 

5.5 

5.5 

5.6 

5.6 

5.6 

5.6 

j 

46 

47 

48 

49 

50 

51 

52 

53 

54 

55 

56 

57 

58 

59 

60 

x

j

 

5.6 

5.7 

5.7 

5.7 

5.7 

6 

6 

6.1 

6.2 

6.2 

6.5 

6.6 

6.7 

6.8 

7.2 

Z tabeli 2 odczytujemy x

30

 = 5.1, x

31

 

= 5.2. Podstawiając do wzoru otrzymujemy 

 

(

)

(

)

15

.

5

2

.

5

1

.

5

2

1

2

1

31

30

=

+

=

+

=

x

x

m

e

. 

3.5. Moda 

Modą (wartością modalną, dominantą) m

o

 próbki (1) 

nazywamy najczęściej powtarzającą 

się wartość, o ile istnieje. 

PRZYKŁAD 3.2. Wyznaczyć modę dla próbki z przykładu 2.2. 

Zadanie można rozwiązać wykorzystując arkusz kalkulacyjny MS Excel. Funkcja obliczająca modę ma na-

zwę WYST.NAJCZĘŚCIEJ(zakres). Zmienna zakres jest zakresem komórek, w których znajdują się wyniki próbki. 

Przykładowo  może  to  być  A1:A60.  Jeśli  w  próbce  wszystkie  wartości  byłyby  różne,  to  oczywiście  moda  nie 
istnieje i funkcja 

WYST.NAJCZĘŚCIEJ zwraca wynik #N/D!. Wartością m

o

 

w naszym przykładzie jest liczba 5.1. 

Można to sprawdzić analizując wyniki w tabeli 2. 

 

 

Konspekt nr 4 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

7 

LITERATURA 
 
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dysza, K. Królikowska, M. Wasilewska: Rachunek prawdopo-

dobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-
wa 2005. 

 
A. Iwasiewicz, A. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania 

procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004. 

 
W. Kordecki: 

Rachunek  prawdopodobieństwa  i  statystyka  matematyczny. Oficyna Wy-

dawnicza GiS, 

Wrocław 2003.