Kolokwium nr 2 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

Zad.1. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dany jest rozk lad zmiennej losowej X

X

:

x

i

-1

0

1

2

p

i

0.2

0.3

0.2

0.3

Wyznaczy´c:

a) rozk lad p-stwa zmiennej losowej Y = X

2

b) dystrybuant¸e zmiennej losowej Y oraz narysowa´c jej wykres

c) P (Y ≥

1
2

), korzystaj¸ac z funkcji p-stwa oraz z dystrybuanty

d) D

2

Y

oraz D

2

(3Y − 2)

Zad.2. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c zbi´

or tych x ∈ R, dla kt´orych szereg

∞

P

n

=1

(−4)

n

x

2n

2n

jest zbie˙zny (ustali´c tak˙ze rodzaj zbie˙zno´sci). Poda´c promie´

n zbie˙zno´sci tego szeregu oraz obliczy´c jego sum¸e

wewn¸atrz przedzia lu zbie˙zno´sci.

Zad.3. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Ca lk¸e

1
2

R

0

e

−

x2

4

dx

przedstawi´c za pomoc¸a szeregu a nast¸epnie obliczy´c jego sum¸e z dok ladno´sci¸a do 0.001.

Zad.4. [4p+2p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Poda´c kryterium por´ownawcze zbie˙zno´sci szeregu a nast¸epnie korzystaj¸ac z tego kryterium wykaza´c, ˙ze

∞

P

n

=1

sin

1

n

tg

1

n

jest zbie˙zny.

b) Sformu lowa´c twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora.

c) Poda´c definicj¸e odchylenia standardowego zmiennej losowej. Ile wynosi odchylenie standardowe dla zmiennej

losowej Y z zadania nr 1?