Powszechna Grawitacja
Mechanika nieba
Powszechna Grawitacja
Mechanika nieba
II w. n.e., Aleksandria – Ptolemeusz-
geocentryczny układ ciał niebieskich; podstawy matematyczne.
Obroty całego sklepienia; planetes („błąkający”): deferensy,
epicykle, ekwansy; 15 wieków nawigacji żeglarskiej
1473 – 1543, Toruń/Frombork - Mikołaj Kopernik –
heliocentryczny układ planetarny ; orbity kołowe, epicykle;
M.K. 30 lat zwleka z opublikowaniem „De revolutionibus
orbium coelestium”, umiera nie widząc swego dzieła
1571 – 1630, Graz/Tybinga - Johanes Kepler -
Poprawny model matematyczny układu planetarnego;
orbity eliptyczne, 3 prawa „fenomenologiczne”
oparte na danych obserwacyjnych, głównie Tychona de Brache
Prawo ciążenia powszechnego
(1689)
Prawo ciążenia powszechnego
Isaac Newton (1643–1727), Cambridge/Londyn
Przesłanki Newtona:
1. doświadczalne prawa Keplera
T
2
/r
3
= const = C
2. kształt Ziemi - kula o promieniu
R
≈ 6400 km
3. kształt orbity Księżyca – koło o promieniu
r
≈ 384 000 km
= 60R
4.
kinematyka
i własne
prawa dynamiki
:
a
n
=
ω
2
r ; (
ω = 2π/T); a
n
= [(4
π
2
/T
2
) r] e
r
;
F= m a
5. obserwacja spadania ciał na powierzchni Ziemi („ jabłko Newtona”)
Wnioski Newtona (1666)
1.
-jabłko spada ruchem przyspieszonym – doznaje siły F=m
g
przyspieszenie g=9,81 m/s
2
jednakowe dla każdego ciała
-spada na Ziemię
siła jest oddziaływaniem Ziemi
-ta siła rozciąga się w przestrzeni; może „dosięgać” Księżyca
-przyspieszenie dośrodkowe Księżyca z ruchu po okręgu
po obliczeniu
a
n
= [(4
π
2
/T
2
) r] =
0,0027 m/s
2
;
-siła działająca na Księżyc oddalony od Ziemi o
r
:
F
r
= M
Ks
a
n
-siła jaka działałaby na Księżyc na powierzchni Ziemi (
R
)
F
R
= M
Ks
g
-stosunek
g/
a
n
= 3600= (60)
2
= (
r
K
/R)
2
;
-stosunek sił
F
R
/F
r
= g/ a
n
= (r
K
/R)
2
(F=m a)
-siła oddziaływania Ziemi zatem F
÷ 1/r
2
- dodatkowo, z doświadczenia na Ziemi F
÷ m (F=mg)
-stąd i z III prawa dynamiki :
2
r
M
m
G
F
Z
Ks
=
2
.
- z III prawa Keplera T
2
= C r
3
,
z kinematyki
a
n
= (4
π
2
/T
2
)r
a
n
= (4
π
2
/Cr
2
)
F = m
Ks
a
n
= (4
π
2
/C) m
Ks
/r
2
-stąd i z III prawa dynamiki ( F
a
=F
r
)
; G = (4
π
2
/C)
Uwaga 1
Pole grawitacyjne
masy kulisto-symetrycznej jest polem centralnym
F = f(r) e
r
,
gdzie f(r)= G m M/r
2
,
jest
więc
polem zachowawczym
Uwaga 2
Intuicyjne,słuszne, ale formalnie nieuzasadnione założenie Newtona
- odległość r liczona jest od środka Ziemi a nie od powierzchni
r
Z
Ks
e
r
M
m
G
F
r
r
2
=
2
r
M
m
G
F
Z
Ks
=
F = [(G M
Z
M
Ks
) / r
2
] e
MM
Po sformułowaniu prawa ciążenia I. Newton sprawdza jego słuszność
obliczając orbitę Księżyca; orbita się nie zgadza z pomiarami
i Newton wstrzymuje publikację swych równań na 4 lata; publikuje
je dopiero po sprawdzeniu z nowymi, poprawniejszymi danymi;
jednak mimo to spotyka go krytyka świata uniwersyteckiego
R. Bentley z Cambridge, 10 grudnia 1692 r. :
gdyby istotnie wszystkie ciała przyciągały się z siłą sięgającą
nieskończenie daleko, to wszystkie gwiazdy spadłyby na siebie
tworząc gigantyczną kulę ogniową...
Zakłopotany Newton odpowiada
:
...Wszechświat mógłby ocaleć, gdyby gwiazdy były rozmieszczone
równomiernie w nieskończonej przestrzeni....mógłby tak istnieć,
gdyby siła boska zapewniła takie ich rozmieszczenie....choć to, że
jedno ciało może oddziaływać na drugie na odległość przez
próżnię bez pośrednictwa jakiejkolwiek innej rzeczy jest i dla mnie
tak wielkim absurdem, że nie wierzę, aby ktokolwiek zdolny do
kompetentnego myślenia w filozofii mógł tak twierdzić.....
Prawo ciążenia powszechnego Newtona dla dwóch
mas punktowych m
1
, m
2
m
1
r
12
m
2
F
12
W tej formie prawo to stosuje się również do brył kulisto-
symetrycznych
Pomiar Cavendisha (1798), Philippe von Jolly’ego (ok. 1860),
Heyla i Chrzanowskiego (NBS,1942):
G= (6,673
±0,003) 10
-11
Nm
2
kg
2
12
2
2
1
12
e
r
m
m
G
F
r
r
=
Pole grawitacyjne - opis pośredni grawitacji
Oddziaływania grawitacyjne realizują się za pośrednictwem
specyficznej przestrzeni - pola grawitacyjnego;
Definicja 1:
Natężeniem pola grawitacyjnego jest stosunek siły grawitacyjnej
działającej w pewnym miejscu przestrzeni na dowolną masę
punktową m do tej masy
(t. zn. siła grawitacyjna wywierana na jednostkową masę)
γ = F(m)/m
początek układu odniesienia jest w centrum pola (środku masy M)
g
e
r
M
G
r
v
r
=
−
=
12
2
12
γ
Pole grawitacyjne - opis pośredni grawitacji
Oddziaływania grawitacyjne realizują się za pośrednictwem
specyficznej przestrzeni - pola grawitacyjnego;
Energia potencjalna U ciała o masie m w polu grawitacyjnym:
F
gr
= - grad U
r
mM
G
r
d
e
r
mM
G
r
d
e
F
U
r
r
gr
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∞
∞
r
v
r
v
r
12
2
12
Układ dwu ciał
:
Słoneczny układ odniesienia
Zagadnienie dwóch ciał
siła działająca na planetę F
p
= - f(r) e
r
,
siła działająca na Słońce F
S
= f(r) e
r
,
f(r) = G
m
p
M
S
/r
2
Wniosek 8
Oba ciała są w ruchu przyspieszonym
o przyspieszeniach (w układzie „laboratoryjnym”) :
a
p
= - (1/m
p
) f(r) e
r
= - G(
M
S
/r
2
)e
r
,
a
S
= (1/M
S
)f(r) e
r
= +G(
m
p
/r
2
)e
r
,
F
S
F
p
Przyspieszenie planety względem Słońca
(w układzie słonecznym- transformacja Galileusza)
a’ = a
p
- a
S
= -[G(M
S
+m
p
)/r
2
]e
r
,
lub
d
2
r’/dt
2
= -[G(M
S
+m
p
)/r
2
]e
r
d
2
r’/dt
2
= -[G (M
S
+m
p
)/
(M
S
m
p
)
r
2
]e
r
•
(M
S
m
p
)
Oznaczenie
(M
S
m
p
)/ (M
S
+m
p
) =
μ
- masa zredukowana,
μ
(d
2
r’/dt
2
) = -G(
m
p
M
S
/r
2
)e
r
,
inaczej
μ a’ = F
gr
Wniosek 9
W układzie słonecznym
(t.zn.
dokoła nieruchomego Słońca
)
ruch planety można znaleźć przyjmując zamiast jej masy –
masę zredukowaną
μ
Wobec tego całkowita energia mechaniczna
układu planeta – Słońce,
w układzie słonecznym
(
układ zamknięty
) jest:
½
μ v’
p
2
+ U
p
= const
½
μ v’
p
2
-
(G m
p
M
S
)/r
p-S
= C
prędkość
grawitacja
Rozwiązanie tego równania daje tor planety dookoła Słońca;
wyróżnione są warunki:
1.
gdy C
<0
, tor planety jest krzywą zamkniętą -
elipsą
,
2.
gdy C=0
, tor planety jest krzywą zamkniętą -
parabolą
3.
gdy C
>0
, tor planety jest krzywą otwartą -
hiperbolą
,
C<0
C=0
C>0
Prawa Keplera ruchu planet
I prawo Keplera
Każda z planet porusza się po torze eliptycznym
dookoła Słońca, które jest w jednym z ognisk elipsy
Ruch w polu centralnym = grawitacyjnym
Słońce - planeta (
m
)
dA
= ½ r [(v dt) sin
α] =
= ½
⏐r x v dt⏐= ½ ⏐
r x v
⏐dt ,
moment pędu
M
=
⏐
M
⏐ = ⏐m (r x v)⏐
r x v =
M
/m
dA
= ½ (
M
dt) /(m),
F= f(r) e
r
N(o) = 0
M
(o) = const,
dA
/dt =
M
/2m = const
Słońce
planeta
vdt
α
o
dA
h
r
Wniosek 7
W polu centralnym (grawitacyjnym) tor ciała jest krzywą płaską
(M=const),
a prędkość polowa jest stała
(dA/dt = const)
II Prawo Keplera:
Promień wodzący od Słońca do planety zakreśla
w równych odstępach czasu równe pola
Przyspieszenie planety jest przyspieszeniem dośrodkowym
a
n
=
ω
2
r, (
ω
= 2
π
/T)
więc
(4
π
2
r/T
2
) = F
dośr
/m
p
=
F
graw
/m
p
= G(M
S
/r
2
)
,
T
2
= 4
π
2
r
3
/(G M
S
)
zatem
T
2
/r
3
= 4
π
2
/(G M
S
) = const
III Prawo Keplera
Kwadraty okresów obiegu planet są proporcjonalne
do sześcianów ich wielkich półosi
Konsekwencje siły ciężkości
:
budowa wszechświata - skupiona materia w kosmosie, ruchy ciał
niebieskich, kształt Ziemi, zjawisko przypływów i odpływów i.t.d.
Prędkości kosmiczne
I prędkość kosmiczna: prędkość orbitalna satelity na niskiej orbicie
okołoziemskiej (m – masa satelity, M - masa Ziemi)
F
dośr
= F
graw
:
m (v
2
/R
Z
)
= m g
v
I
=
√ gR
Z
= 8 km/s
II prędkość kosmiczna: prędkość ucieczki z Ziemi
E
kin
= U(R
Z
)
(m v
2
)/2
= (m G M)/R
Z
v
II
=
√ 2gR
Z
=
√ 2) v
I
≈ 11,2 km/s
Wartość v
II
nie zależy
od kierunku ruchu ciała względem Ziemi; zależy
tor
III prędkość kosmiczna: prędkość ucieczki z układu Słonecznego
v
IIImin
= 17 km/s,
v
IIImax
= 73 km/s
Wartość v
III
zależy od kierunku ruchu ciała względem Ziemi
Zasada równoważności
dynamika
grawitacja
F =
m
b
a
F = G (
m
g
M
Z
)/r
2
m
b
= m
g
?
Doświadczenie Eotvosa
Oś obrotu Ziemi
F
g
F
g
m
g
g
m
a
a
b
Doświadczalny pomiar stosunku m
b
/m
g
Eotvos (1887- 25 lat) m
b
/m
g
=
1
± 10
-8
Dicke (1961 - 1964)
m
b
/m
g
=
1
± 10
-11
Bragiński, Panow (1971) m
b
/m
g
=
1
± 10
-12
Oznacza to
równoważność sił grawitacyjnych i bezwładności
;
Ta sama cecha ciał (m) i w ten sam sposób (m•a) określa obie siły
Zasada równoważności mas jest podstawą
ogólnej teorii względności Einsteina