Serwomechanizm hydrauliczny, zasada działania model matematyczny.
Na rys. 1 pokazano schemat serwonapędu hydraulicznego. Składa się on z siłownika
(cylindra) hydraulicznego i rozdzielacza sterującego przepływem cieczy do komór siłownika.
Rys. 1. Schemat ideowy serwomechanizmu hydraulicznego.
Przesunięcie tłoczka rozdzielacza - sygnał
u jest sygnałem sterującym, siła obciążająca
r
f
jest sygnałem zakłócającym, natomiast położenie tłoka siłownika
x i jego prędkość
x
v
są
sygnałami wyjściowymi.
Oznaczenia:
a
p - ciśnienie wejściowe - MPa,
b
p - ciśnienie wyjściowe - MPa,
u - sygnał sterujący - m,
x - przemieszczenie tłoka w cylindrze sygnał wyjściowy - m,
dt
dx
v
- prędkość tłoka w cylindrze -
1
ms
1
q - natężenie przepływu cieczy wpływającej do komory 1 -
1
3
s
m
,
2
q - natężenie przepływu cieczy wpływającej do komory 2 -
1
3
s
m
,
dla cieczy wpływającej do komory
0
i
q
f
q - natężenie przepływu przecieków międzykomorowych w cylindrze -
1
3
s
m
,
1
p ,
2
p - ciśnienia w komorach siłownika - MPa,
B
- moduł sprężystości objętościowej cieczy - MPa,
S
- pole czynnego przekroju tłoka w cylindrze -
2
m ,
r
f - siła zewnętrzna działająca na tłoczysko - N,
- współczynnik wiskotycznych oporów ruchu -
1
Nsm ,
M
- masa napędzanego mechanizmu zredukowana do osi tłoka - kg,
h
- połowa wartości skoku (zakresu ruchu) tłoka w cylindrze - m,
R
- współczynnik oporów przepływu laminarnego -
3
m
s
MPa
Równania opisujące procesy w siłowniku:
dt
dp
B
x
h
S
q
v
S
q
f
1
1
,
- wydatek cieczy dopływającej do komory „1”,
dt
dp
B
x
h
S
q
v
S
q
f
2
2
- wydatek cieczy dopływającej do komory „2”,
f
q
R
p
p
2
1
- spadek ciśnienia przy przepływie laminarnym,
r
f
v
p
p
S
dt
dv
M
2
1
- równanie ruchu ,
gdzie:
2
1
p
p
S
- siła parcia cieczy na tłok wskutek różnicy ciśnień,
v
- siła oporów ruchu (tarcia wiskotycznego),
r
f
- siła zewnętrzna działająca na tłoczysko.
Po uporządkowaniu otrzymuje się następujący układ równań stanu siłownika:
1
2
1
1
1
q
v
S
R
p
R
p
x
h
S
p
B
p
(1)
2
2
1
2
2
q
v
S
R
p
R
p
x
h
S
p
B
p
(2)
r
f
v
p
S
p
S
M
v
2
1
1
(3)
v
x
(4)
Któremu odpowiada schemat blokowy pokazany na rys. 2a.
Rys. 2. Schemat blokowy: a) serwomechanizmu hydraulicznego, b) siłownika w układzie.
Wektor zmiennych stanu ma postać:
x
v
p
p
2
1
x
Dodatkowo na rys. 2b pokazano schemat blokowy siłownika z zaznaczeniem zmiennych
wejściowych i wyjściowych.
Uwaga:
- zmienne
1
q ,
2
q i
r
f są traktowane jako sygnały wejściowe chociaż często
r
f jest zależne
od
x i
x
,
- moduł sprężystości objętościowej
B
jest zależny od rodzaju cieczy i bardzo silnie od jej
zapowietrzenia.
Rys. 3. Zależność modułu sprężystości objętościowej oleju mineralnego od zapowietrzenia.
Na rys. 3 przedstawiono Zależność modułu sprężystości objętościowej typowego oleju
mineralnego od współczynnika zapowietrzenia z wyrażającego procentową zawartość
masową powietrza rozpuszczonego w oleju do masy mieszaniny. Jak widać przy
%
1
,
0
z
i
ciśnieniu
MPa
p
10
można przyjąć
.
const
p
B
Dla
MPa
p
2
i zapowietrzeniu
%
01
,
0
z
można przyjmować, że
.
const
p
B
(dla olejów pochodzenia mineralnego
.
10
5
.
1
4
.
1
1500
1400
9
const
Pa
MPa
p
B
) Natomiast jeśli w obliczeniach
hydraulicznego układu napędowego i jego symulacjach nie uwzględni się rzeczywistej
zależności współczynnika B od wartości bieżącej ciśnienia
p
B
, to czasami można otrzymać
absurdalne wyniki, że
0
i
p
. W rzeczywistości przy dużym spadku ciśnienia w cieczy
zapowietrzonej następuje wydzielanie pęcherzy gazu, natomiast ciecz niezapowietrzona przy
spadku ciśnienia poniżej
Pa
p
i
1000
ulega intensywnemu wrzeniu w całej objętości co
nazywamy kawitacją. Fakt ten należy uwzględnić w obliczeniach symulacyjnych w postaci
odpowiednich warunków logicznych.
Rozdzielacz hydrauliczny
W celu odpowiedniej dystrybucji cieczy do cylindra stosuje się zespoły rozdzielaczy. Na
rys. 4 pokazano schemat ideowy typowego pojedynczego rozdzielacza. Składa się on z
tłoczka kształtowego oraz tulei do której z jednej strony jest doprowadzony czynnik pod
ciśnieniem
a
p a z drugiej czynnik jest odprowadzany na zlew do zbiornika zbiorczego przy
ciśnieniu
b
p . W tulei znajdują się też tzw. okna przepływowe z kanałami łączącymi do komór
cylindra hydraulicznego. Na rys. 4 pokazano jedno okno połączone z komorą. Rozdzielacz
pokazany na rys. 4 jest rozdzielaczem o przekryciu zerowym, tzn. szerokość tłoczka c jest
dokładnie równa szerokości okna e
e
c
z dokładnością do pojedynczych mikrometrów.
Należy wyjaśnić, że typowe średnice tłoczka wynoszą kilka do kilkanaście milimetrów przy
czym między tłoczkiem a tulejką nie montuje się uszczelek lecz poprzez dobór luzu o
wartości kilku mikrometrów jest realizowane tzw. uszczelnienie szczelinowe – stosunkowo
wysoka lepkość oleju w mikroskopijnej szczelinie nie pozwala na niekontrolowany przepływ
czynnika (przecieki). Takie rozwiązanie konstrukcyjne rozdzielacza wymaga bardzo
wysokich dokładności wykonania współpracujących elementów co do walcowości (kołowości
i prostoliniowości) oraz współliniowości elementów składowych zarówno tłoczka (w zespole
elementy o różnych średnicach) jak i tulejki (powierzchnia cylindryczna główna oraz
prowadzące tuleje boczne).
Rys. 4. Schemat ideowy rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem zerowym (c=e).
Traktując przepływ w rozdzielaczu jako turbulentny oraz zakładając przekrycie zerowe,
mamy:
e
c ,
b
i
a
p
p
p
Natężenie przepływu w szczelinie rozdzielacza:
dla
e
u
0
,
2
,
1
i
0
2
i
a
i
p
p
u
k
q
Tutaj
0
i
q
oznacza przepływ w kierunku do i-tej komory
Mimo że w wyrażeniu pod pierwiastkiem występują wielkości mianowane (ciśnienie
p
) jest
to uwzględnione w wymiarze współczynnika
k
.
dla
e
u
natężenie przepływu osiąga wartość maksymalną i pozostaje stałe o wartości:
0
2
i
a
im
i
p
p
e
k
q
q
dla
0
u
dla
0
u
e
b
i
i
p
p
u
k
q
2
dla
e
u
b
i
im
p
p
e
k
q
2
,
W wypadku rozdzielacza tego typu w układzie serwomechanizmu z rys. 1 stosuje się
zależności:
dla
0
u
dla
0
u
0
2
1
1
p
p
u
k
q
a
0
2
2
2
b
p
p
u
k
q
0
2
1
1
b
p
p
u
k
q
(5)
0
2
2
2
p
p
u
k
q
a
(6)
Co można opisać w sposób jednolity za pomocą wzorów:
b
a
p
p
u
u
p
p
u
u
k
q
1
1
1
2
2
(5a)
2
2
2
2
2
p
p
u
u
p
p
u
u
k
q
a
b
(6a)
Uwaga: wzory te obowiązują przy założeniu
a
i
b
p
p
p
,
2
,
1
i
Jeżeli założenie to nie może być spełnione, to należy stosować wzór ogólny w postaci:
i
j
i
j
j
i
p
p
p
p
Fsign
q
2
,
(7)
gdzie
j
i
q
,
jest natężeniem przepływu cieczy z
tej
j
do
tej
i
komory, F jest umownym
(zastępczym) przekrojem przewodu łączącego komory
tą
j
i
tą
i
,
- jest gęstością
cieczy. Wzór (7) można stosować do wyznaczania natężenia przepływu między dowolnymi
komorami połączonymi krótkim przewodem którego przekrój zastępczy (umowny) ma
powierzchnię F . Dla rozdzielacza wartość bieżąca
u
k
F
a maksymalna
e
k
F
max
.
Wzory (1) do (6) stanowią pełny model wzmacniacza hydraulicznego i są wykorzystywane w
komputerowych modelach symulacyjnych.
Stan ustalony układu rozdzielacz-cylinder.
W pracy serwomechanizmu występują różne stany pracy, wśród których do celów oceny ich
pracy i do celów porównawczych wyróżnia się stany o wybranych parametrach zadanych i
stałych. Stan ustalony to taki, w którym prędkość na wyjściu jest równa zero, chwilowe
położenie jest stałe. Oznaczając zmienne w stanie ustalonym poziomą kreską ponad
symbolem zastosujemy następujące podstawienia:
u
u
:
,
i
i
p
p
:
,
0
i
p
,
0
v
,
.
:
const
x
x
co oznacza, że w układzie z rys. 1 tłok w cylindrze stoi zablokowany (ale nie przez hamulec
zewnętrzny lecz wskutek równowagi ciśnień i siły zewnętrznej w obecności innych
czynników).
Rozważymy własności układu z rys. 1 wyposażonego w rozdzielacz z przekryciem zerowym.
Mamy tu
f
q
q
q
2
1
,
co oznacza, że
b
a
p
p
u
k
p
p
u
k
2
1
,
czyli
b
a
p
p
p
p
2
1
skąd
b
a
p
p
p
p
2
1
(8)
Z zależności (3) dla stanu ustalonego mamy:
S
f
p
p
r
2
1
(3a)
Wobec tego z (8) i (3a) można napisać:
S
f
p
p
p
r
b
a
2
1
1
(9)
S
f
p
p
p
r
b
a
2
1
2
(10)
Nominalne własności rozdzielacza określa się w warunkach nominalnych, dla których
0
r
f
,
wtedy:
b
a
nom
p
p
p
p
p
2
1
2
1
Maksymalne natężenie przepływu w warunkach nominalnych wynosi:
b
a
b
a
a
m
m
p
p
e
k
p
p
p
e
k
q
q
2
1
2
1
Współczynnik wzmocnienia rozdzielacza określa się dla warunków nominalnych jako:
b
a
m
p
p
k
e
q
u
q
A
Na rys. 5 pokazano charakterystykę statyczną rozważanego rozdzielacza (z przekryciem
zerowym) w warunkach nominalnych.
Rys. 5. Charakterystyka statyczna rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem zerowym.
Jak widać z wykresu na rys. 5 zmiana sygnału sterującego u w przedziale
e
e
u
,
wywołuje liniową zmianę wydatku cieczy przepływającej przez rozdzielacz a przy dalszym
wzroście wartości bezwzględnej sygnału u wartość natężenia przepływu (wydatku) ulega
ustaleniu – mówimy, że rozdzielacz przechodzi w stan nasycenia. Doświadczalnie wartość
wzmocnienia można wyznaczyć wykorzystując liniowość przebiegu w zakresie
e
e
u
,
z
zależności:
e
q
u
q
A
m
2
2
gdzie wartości
m
q
2
i
e
2
można łatwo zmierzyć albo oszacować z wykresów sporządzonych
na podstawie pomiarów.
Własności rozdzielacza z przekryciem dodatnim.
Rys. 6. Schemat ideowy rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem dodatnim (c>e).
Na rys. 6 pokazano schemat ideowy rozdzielacza z przekryciem dodatnim. Tłoczek w tym
rozwiązaniu ma szerokość większą od szerokości okna, co powoduje, że w trakcie pracy przy
zmianie sygnału sterującego z wartości dodatniej na wartość ujemną w zakresie
r
r
u
,
prześwit rozdzielacza jest zamknięty i zmiana sygnału sterującego w tym zakresie nie
wywołuje zmiany stanu przepływu.
Mamy tutaj:
r
e
u
,
e
A
q
q
m
,
r
u
r
e
r
u
A
q
r
u
r
0
q
r
e
u
r
r
u
A
q
dla
r
e
u
,
e
A
q
q
m
,
Rys. 7. Charakterystyka statyczna rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem dodatnim.
Własności rozdzielacza z przekryciem ujemnym.
Rys. 8. Schemat ideowy rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem ujemnym (c<e).
Na rys. 8 pokazano schemat ideowy rozdzielacza z przekryciem ujemnym. Tłoczek w tym
rozwiązaniu ma szerokość mniejszą od szerokości okna, co powoduje, że w trakcie pracy przy
zmianie sygnału sterującego z wartości dodatniej na wartość ujemną w zakresie
d
d
u
,
prześwit między tłoczkiem i oknem rozdzielacza zarówno po prawej jak i po lewej stronie
tłoczka jest otwarty, co w trakcie pracy wywołuje przecieki przepływu z części zasilającej na
zlew.
Mamy tutaj:
dla,
d
e
u
0
'
q
,
m
q
q
"
,
e
A
q
q
m
d
u
d
e
0
'
q
,
d
u
A
q
"
,
d
u
A
q
d
u
d
d
u
A
q
'
,
d
u
A
q
"
,
u
A
q
2
d
e
u
d
d
u
A
q
'
,
0
"
q
,
d
u
A
q
d
e
u
,
m
q
q
'
,
0
"
q
,
e
A
q
q
m
Rys. 9. Charakterystyka statyczna rozdzielacza hydraulicznego z przekryciem ujemnym.
W zakresie sygnału sterującego
d
d
u
,
wzmocnienie rozdzielacza jest dwukrotnie
większe niż rozdzielacza z przekryciem zerowym i dodatnim co zapewnia wyższą jakość
przebiegów przejściowych. Ponadto przecieki skrośne w tym zakresie sygnału u zapewniają
lepsze własności tłumiące dla przebiegów przejściowych. Wadą tego rozwiązania są straty
mocy i niższa sprawność oraz silne nagrzewanie się czynnika i elementów rozdzielacza.