1

 
 
 
 
 
    

          RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 

 
                  I STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 
                                       Maria Kotłowska 
 

 
Przedmiot rachunku prawdopodobieństwa – ścisłe ujęcie 
częstościowego

 

bądź też statystycznego sensu słowa 

prawdopodobnie. 
 
Pojęcie prawdopodobieństwa  łączymy z reguły z wynikiem  
obserwacji lub eksperymentu bądź to rzeczywistego bądź to 
myślowego. 
 
W rachunku prawdopodobieństwa możliwy wynik eksperymentu, o 
którego prawdopodobieństwie chcemy mówić nazywamy 
zdarzeniem. 
 
Zdarzenia elementarne utożsamiamy z elementami pewnego 
podstawowego zbioru, reprezentującego pojedyncze, elementarne, 
nierozkładalne na drobniejsze części wyniki rozpatrywanego 
eksperymentu.  
 
Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór elementów stanowiących 
wszystkie elementarne, niepodzielne wyniki doświadczeń czy 
obserwacji. Oznaczamy ją literą  

Ω

, a jej elementy zwane 

zdarzeniami elementarnymi literą 

ω

, ewentualnie ze wskaźnikiem. 

 
 Ogólnie  zdarzeniami w teorii prawdopodobieństwa nazywamy 
podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych czyli zbiory zdarzeń 
elementarnych.

 

 

 

2

                    

DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH 

 

1. Sumą dwóch zdarzeń  A i B nazywamy zdarzenie C złożone z tych 
wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą co najmniej do 
jednego ze zdarzeń   A , B , co oznaczamy; 
 
                  A

∪B = C 

 

Sumowanie uogólnia się na dowolną liczbę składników.  
Tak więc sumą n zdarzeń A

1

,A

2

,.....,A

n

 nazywamy zdarzenie 

          

                    

i

n

i

n

A

A

A

A

C

1

2

1

....

=

∪

=

∪

∪

∪

=

 

 
złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą co 
najmniej do jednego ze zdarzeń  A

1

,A

2

,.....,A

n

. 

Podobnie definiujemy sumę nieskończonego ciągu zdarzeń. 
 
2. Iloczynem dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C złożone z 
tych zdarzeń elementarnych, które są zawarte jednocześnie i w A i w 
B, co oznaczamy: 
 
              A

∩B = C 

 
Iloczyn większej ilości zdarzeń  
 

             

i

n

i

n

A

A

A

A

C

1

2

1

......

=

∩

=

∩

∩

∩

=

 

 

to zdarzenie C złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych , 
które należą jednocześnie do każdego ze zdarzeń  A

1

,A

2

,....,A

n  

. 

Podobnie definiujemy iloczyn nieskończonego ciągu zdarzeń. 
 
3. Różnicą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C złożone z 
tych zdarzeń elementarnych, które należą do zdarzenia A , ale nie 
należą do zdarzenia B, co oznaczamy 
 
             A|B = C  

 

3

 

4. Dopełnieniem zdarzenia A nazywamy zdarzenie B złożone z tych 
wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do zdarzenia A. 
Dopełnienie oznaczamy A`; A` = B oznacza, że B jest dopełnieniem 
A`. 

 

5. Zdarzenie pewne – to cala przestrzeń 

Ω

 zdarzeń elementarnych  

(reprezentuje wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, a więc musi 
się zdarzyć wynik należący do 

Ω

). 

 
6. Zdarzenie niemożliwe – oznaczymy przez Ø, czyli  A = Ø  jest 
zdarzeniem niemożliwym, a więc nie zawiera żadnego zdarzenia 
elementarnego. 

 

7. Zdarzenia A i B są rozłączne wtedy, gdy ich iloczyn jest 
zdarzeniem niemożliwym, A

∩B =Ø , co oznacza, że A i B nie 

zawierają wspólnych zdarzeń elementarnych. 
 
8. Zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B wtedy, gdy jeśli realizuje 
się zdarzenie A, to realizuje się zdarzenie B. Oznaczamy A

⊂B, czyli 

wszystkie zdarzenia elementarne zawarte w A są jednocześnie zawarte 
w zdarzeniu B. 
 
9.  A

∪A` = 

Ω

 , suma zdarzenia A i jego dopełnienia A` jest  

zdarzeniem pewnym 

Ω. 

 
10. A

∩A` = Ø, iloczyn zdarzenia A i jego dopełnienia A` jest 

zdarzeniem niemożliwym, czyli są to zdarzenia rozłączne. 
  
11.       A

∪A = A 

            A

∩A = A 

           (A`)` = A 

 

12.  A|B = A

∩B`, co oznacza, że każde zdarzenie elementarne 

należące do A i B` nie należy do B. 

 

Związki między dodawaniem i mnożeniem zdarzeń opisują równości 
zwane prawami de Morgana. 

 

4

  

                      

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

....

.....

....

.....

.

3

....

...

....

....

.

2

.

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

∪

′

∪

′

=

′

∩

∩

∩

′

∩

′

=

′

∪

∪

′

∪

∪

′

∪

′

=

′

∩

∩

∩

′

∩

∩

′

∩

′

=

′

∪

∪

∪

′

∪

′

=

′

∩

′

∩

′

=

′

∪

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

n

n

n

n

                              

 

Z powyższych praw wynikają następujące związki: 
 

                       

(

)

(

)

Ω

=

Ω

∪

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∪

′

∪

′

=

∩

∩

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∩

′

∩

′

=

∪

∪

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

∪

∪

′

∪

′

=

∩

∩

∩

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

∩

∩

′

∩

′

=

∪

∪

∪

′

′

∪

′

=

∩

′

′

∩

′

=

∪

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

n

n

n

n

.

4

...

....

...

....

.

3

...

....

...

...

.

2

.

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

 

 

5

                    5. Jeżeli A

⊂B, to  A∩Ø = Ø 

 
                    6.  Ø

∩Ø = Ø 

 
                    7.  Ø` = 

Ω

 ,     

Ω

`  = Ø 

 
Zbiór wszystkich zdarzeń nazywamy ciałem zdarzeń i oznaczamy S. 
Jednak nie każdy zbiór zdarzeń elementarnych możemy uważać za 
zdarzenie i zaliczyć do zbioru S. Wiąże się to z istnieniem przestrzeni 
nieprzeliczalnych. Dlatego w ogólnej teorii zamiast mówić o 
zdarzeniach

 

po prostu jako o

 

podzbiorach przestrzeni zdarzeń 

elementarnych  mając na myśli wszystkie takie podzbiory, wprowadza 
się zbiór S wszystkich zdarzeń i formułuje się jedynie postulaty co do 
domknięcia zbioru S ze względu na pewne działania na zdarzeniach. 
 
Postulaty dotyczące zbioru S wszystkich zdarzeń 

 

1. Dopełnienie A` każdego zdarzenia A jest zdarzeniem, czyli  jeżeli  
A 

∈ S ⇒ A` ∈ S. 

 
2. Suma każdego skończonego lub przeliczalnego zbioru zdarzeń A 

i 

 

jest zdarzeniem, czyli jeśli dla każdego i przebiegającego zbiór 
skończony lub przeliczalny,  A

i 

∈

 

S

⇒ ∪A

i

 

∈S. 

                                                                       

i 

Z powyższych postulatów wynikają następujące twierdzenia: 
 
1. Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe są elementami zbioru S, 
czyli jeśli 

Ω

  

∈  S  ∧ Ø  ∈ S. 

 
2. Iloczyn dwóch zdarzeń jest zdarzeniem, czyli jeśli   
A 

∈ S ∧B ∈ S ⇒(A∩B) ∈S.   

 
3. Iloczyn skończenie  lub przeliczalnie wielu zdarzeń jest 
zdarzeniem, czyli jeśli dla skończenie  lub przeliczalnie wielu i mamy 
A

i

  

∈ S⇒∩A

i

  

∈ S. 

                

i

 

 

6

4. Różnica zdarzeń jest zdarzeniem, czyli jeśli   
A 

∈ S∧B ∈S⇒(A|B)∈S. 

 
Zbiór S zdarzeń pokrywa się z klasą wszystkich podzbiorów 
przestrzeni zdarzeń elementarnych, gdy przestrzeń zdarzeń 
elementarnych składa się ze skończonej bądź przeliczalnej liczby 
elementów. 
Prawdopodobieństwo  odnosimy do eksperymentu, traktując je jako 
abstrakcyjny opis jego własności. 
 
DEFINICJE PRAWDOPODOBIEŃSTWA 
 
I. Aksjomatyczna 
II. Oparta na częstości względnej 
III. Klasyczna – a priori 
 
I. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa 
 
 Prawdopodobieństwo jest to funkcja, której wartościami są liczby 
rzeczywiste, a argumentami zdarzenia i która ma następujące 
własności: 
 
1.Prawdopodobieństwo  P(A)  zdarzenia A przyjmuje wartości od  
0 do 1, czyli 
                  0 

≤  P(A) ≤ 1 ,          gdzie  A ∈ S 

 
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego 

Ω

 jest równe 1, czyli 

 
                  P(

Ω

) = 1 

 
3. Prawdopodobieństwo jest przeliczalnie  addytywne, to znaczy, że 
dla każdego ciągu parami rozłącznych zdarzeń A

1

, A

2

,....  ze zbioru S 

 
              P( A

1

 

∪ A

2

  

∪   .......) = P(A

1

) + P(A

2

) + ......... ,  

gdzie 
A

1

, A

2 

, .....

∈ S. 

 

 

7

Aksjomat 2 – aksjomat unormowania 
 
Aksjomat 3 – aksjomat przeliczalnej addytywności 
 
Elementarne własności prawdopodobieństwa  wynikające z jego 
aksjomatycznej definicji  
 
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zero, czyli 
 
                P(Ø) = 0 
 
2. Jeżeli zdarzenia A

1

, A

2

,......., A

n 

 są parami rozłączne, to 

 
               P( A

1

 

∪  A

2

 

∪  ......  ∪ A

n

 ) = P(A

1

) + P(A

2

) +....+ P(A

n

) 

 
Jeżeli dwa zdarzenia A i B się nie wykluczają, to 
 
               P( A 

∪  B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩  B) 

 
3. Suma prawdopodobieństw  zdarzeń przeciwnych równa się 
jedności, czyli 
 
                 P(A) + P(A`) = 1 
 
4. Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych 

Ω

 jest co najwyżej 

przeliczalna i przy tym  określone  są prawdopodobieństwa p

i

   

poszczególnych zdarzeń jednoelementowych 

⎨

ω

i

⎬, czyli 

 
                 P(

⎨

ω

i

⎬) = p

i ,              

p

i  

≥ 0 

i  
                 p

1

 + p

2

 + ...+ p

n

 = 1, gdy przestrzeń 

Ω

  jest skończona 

                 p

1

 + p

2

 +........... = 1, gdy przestrzeń 

Ω

 jest przeliczalna, 

 
to prawdopodobieństwo zdarzenia  A

i

, któremu sprzyjają zdarzenia 

elementarne 

ω

i1

,.....,

ω

ik

 jest dane równością : 

 
                 P(A

i

) = p

i1

 +........+ p

ik

. 

 

8

 
 
II. Oparta na częstości względnej – popularna wśród fizyków  
i inżynierów 
 
Rozpatrywane doświadczenie powtarzamy n razy. Jeżeli zdarzenie  
A pojawia się n

A

 razy, to jego prawdopodobieństwo P(A) definiuje się 

jako granicę częstości względnej  n

n

A

  zajścia zdarzenia A, czyli 

                

( )

n

n

A

P

A

n

∞

→

= lim

.  

                                       
III. Definicja klasyczna 
 
    Prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia A znajdujemy a priori  
( bez przeprowadzenia doświadczenia) przez zliczenie ogólnej liczby 
N możliwych wyników. Jeżeli zdarzenie A zachodzi w N

A

 wynikach 

doświadczenia, to P(A) dane jest wzorem 
 

               

( )

N

N

A

P

A

=

   

 
czyli prawdopodobieństwo P(A) jest równe stosunkowi liczby zdarzeń 
sprzyjających do wszystkich możliwych pod  warunkiem, że są one 
jednakowo możliwe. 
 
Doświadczenie losowe D 
 
Na doświadczenie losowe D składają się: 
 

1. Zbiór 

Ω

 elementów lub wyników czyli przestrzeń zdarzeń 

elementarnych 

2. Ciało zdarzeń, zbiór zdarzeń S. 
3. Liczba P(A) przypisana  każdemu zdarzeniu A. Liczba ta jest 

prawdopodobieństwem zdarzenia A i podlega aksjomatycznej 
definicji prawdopodobieństwa. 

 

 

9

Przestrzeń probabilistyczna  stanowi matematyczny opis 
doświadczenia D, czyli zgodnie z powyższym  określają ją dla danego 
doświadczenia D: przestrzeń zdarzeń elementarnych 

Ω

,  

zbiór S zdarzeń i prawdopodobieństwo P określone na zdarzeniach 
należących do S. Oznaczamy ( 

Ω

,S,P). 

 
Prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych 
 
Dwa zdarzenia A, B 

∈ S są niezależne, gdy : 

 
                   P( A 

∩ B ) = P(A) 

⋅

 P(B). 

 
Równość ta nie wyklucza sytuacji, gdy P(A) = 0 i P(B) = 0. 
Jeżeli P(A) 

> 0  i  P(B) > 0, to wówczas każda z równości  

 
                  P(A

⎪

B) = P(A) ,                      P(B

⎪

A) = P(B)  

 
stanowi warunek konieczny i wystarczający na to, aby zdarzenia były 
niezależne. 
 
Statystyka matematyczna  dostarcza metod wnioskowania  
o wartości pewnych parametrów opisujących całą populację generalną 
czyli cały zbiór wyników na podstawie uzyskanych dla losowo 
wybranej części zbioru. 
 
Populacja generalna  zwana również  zbiorowością statystyczną, to 
ogół elementów ( przedmioty, grupy wiekowe, próbki, pomiary 
wyróżniające się pewną cechą ilościową i jakościową) będących 
przedmiotem naszego zainteresowania, dla których w oparciu  
o odpowiednią próbę losową ( losowo wybraną część zbioru) chcemy 
oszacować niektóre charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa 
jednej lub kilku ich cech.  
 
Rozróżniamy populację skończoną i nieskończoną. Populację 
generalną nieskończoną tworzy nieskończony zbiór elementów  
np. tworzą wyniki pomiarów pewnej wielkości, a więc te, które 
zostały wykonane  lub zostaną wykonane. 

 

10

 
 
Próba losowa będzie losowo wybranym podzbiorem elementów   
i badania statystyczne wykonujemy dla wszystkich elementów próby. 
Statystyka matematyczna pozwala rozszerzyć wnioski z badań próby 
na całą populację pod warunkiem, że  próba jest reprezentatywna, 
czyli że jej struktura nie różni się od struktury  populacji generalnej. 
 
 ZMIENNA LOSOWA 
 
Zmienna losowa przyjmuje wartości, których nie można ustalić przed 
doświadczeniem, czyli zależy od zdarzenia elementarnego, które 
realizowało się w doświadczeniu. 
 
Definicja zmiennej losowej 
          Niech ( 

Ω

,S,P) będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. 

Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję  X określoną na 
przestrzeni zdarzeń elementarnych 

Ω

, o wartościach ze zbioru R liczb 

rzeczywistych mającą następujące własności: 
dla dowolnej, ustalonej liczby rzeczywistej x  zbiór zdarzeń 
elementarnych  

ω

, dla których spełniona jest nierówność  

 
                  X(

ω

)

< x , jest zdarzeniem, 

 
czyli 
                  

⎨

ω

: X(

ω

)

<

x

⎬∈S ,      dla każdego  x∈R. 

 
Gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona, a zdarzeniami 
są wszystkie podzbiory, wtedy powyższy warunek nie stanowi 
żadnego ograniczenia i wobec tego każda funkcja  X  
odwzorowująca zbiór zdarzeń elementarnych 

Ω

  w zbiór R liczb 

rzeczywistych jest  zmienną losową.   
Jeżeli zmienna losowa będzie przyjmowała wartości skończone lub 
przeliczalne to nazywamy ją zmienną skokową (dyskretną), 
natomiast gdy przyjmuje dowolne wartości z pewnego przedziału 
nazywamy ją zmienną losową ciągłą. 
  

 

11

            Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej 
 
   Niech będzie dana zmienna losowa X i liczba rzeczywista  x, która 
może przyjmować dowolną wartość ze zbioru liczb rzeczywistych     
R = ( -

∞ ,+∞ ). Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia ⎨

ω

: X(

ω

)

<

 x

⎬ 

jest funkcją  x i nazywa się dystrybuantą zmiennej losowej X.  
 
                  F

x

(x) = P[ 

⎨

ω

: X(

ω

)

< x ⎬] = P( X< x) 

      
 Posiada ona następujące własności: 
 
1.  0 

≤ F(x) ≤1                  dla każdego  x ∈ R 

 
1. 

( )

,

0

lim

=

−∞

→

x

F

x

                     

( )

1

lim

=

+∞

→

x

F

x

  

2. F(x) jest funkcją niemalejącą  
 
3. F(x) jest funkcją ( co najmniej ) lewostronnie ciągłą, czyli: 
 
                 F( x

0

 – 0 ) = F(x

0

)           dla każdego x 

∈ R, 

 

gdzie F( x

0

 – 0) oznacza granicę lewostronną funkcji F w punkcie 

x

0

:  

 
           

(

)

( )

x

F

x

F

x

x

−

→

=

−

0

lim

0

0

 

 
4. Prawdopodobieństwo P( a

≤ X < b) przyjęcia przez zmienną  

losową X wartości z przedziału  

<a, b) jest równe przyrostowi 

dystrybuanty F między punktami  a, b: 

 
             P( a

≤X < b) = F(b) – F(a) 

 

5. Prawdopodobieństwo P(X=x

0

) przyjęcia przez zmienną losową X 

dowolnej ustalonej wartości  x

0

 wyraża się za pomocą dystrybuanty F 

równością: 
 

 

12

 
                 
                 P ( X= x

0

) = F( x

0

 + 0) – F( x

0

), 

 
gdzie F( x

0

+0) oznacza granicę prawostronną dystrybuanty w punkcie 

x

0

 , czyli: 

 
                

(

)

( )

x

F

x

F

x

x

+

→

=

+

0

lim

0

0

 

                                             

           

 

                Zmienna losowa skokowa ( dyskretna) 

 
Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeżeli istnieje skończony lub 
przeliczalny  zbiór  W

x

 = { x

1

, ......, x

n

,.....} jej wartości  x

1

, ......,  

x

n

 , ...  taki, że: 

 
                 P ( X=x

i

 ) = p

i

  

> 0,                    i∈ N 

 

∑ p

i

 = 1 ( warunek unormowania ) 

i=1 

gdzie górna granica  sumowania wynosi  n  albo  

∞ 

 stosownie do tego, czy zbiór  W

x

  jest skończony  czy przeliczalny, 

 
 x

1

,......,x

n       -    

punkty

 

skokowe 

 
p

1

, ..........,p

n

     - skoki       

 
Rozkład prawdopodobieństwa  zmiennej losowej skokowej można 
przedstawić za pomocą: 
 
1.funkcji prawdopodobieństwa 
2.dystrybuanty 
 
     
 
 
 
 

 

13

1. Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej 
 
  Funkcję p określoną na zbiorze W

x 

 równością 

 
                   p ( x

i

 ) = P(X=x

i

) 

≡

 p

i

 ,                   x

i

 

∈W

x

, 

 
albo  co jest  równoważne, dwuwierszową tablicą 
 
 
x

i

  x

1

  x

2

 ..... x

n

 

p

i

  P

1

  p

2

 ..... p

n

 

 
i spełniającą warunek unormowania 
 
                 

∑  p

i

 = 1, 

                

i =1

     

nazywamy  funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. 
 
2. Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej 
 
Gdy dana jest funkcja  p prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to 
prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości ze zbioru  
A jest określone  równością: 
 
                     P( X

∈A)  =  ∑ p

i

 

                                        

x

i

∈A

      

Dystrybuanta zmiennej losowej  wyraża się wówczas następująco: 
                 
                    F(x) = P (X 

< x ) =  ∑  p

i

 

                                                

−∞<x

i

<x

 

 
                    Zmienna  losowa   ciągła 
 
         Zmienna losowa  X przyjmująca wartości z pewnego 
przedziału, dla której istnieje nieujemna funkcja  f  taka, że 
dystrybuantę  F  zmiennej losowej X można przedstawić w postaci: 
 

 

14

                                 

x

 

                     F(x) = 

∫ f(t) dt                    dla x∈ R,  

                             

−

∞                                               

nazywamy zmienną losową ciągłą, a funkcję  f  jej gęstością 
prawdopodobieństwa. 
 
Jeżeli  x  jest  punktem ciągłości gęstości  f, to: 
                                         

                   F`(x)  = 

dx

x

dF )

(

   = f(x) 

przy czym  
                             
             

+∞ 

             

∫ f(x) dx  = 1.    ( warunek unormowania) 

          

−∞ 

 

                            

Własności zmiennej losowej ciągłej

 

 
 
 P( a 

≤ X<b ) = P ( a<X≤b) = P( a<X<b) = P( a≤X≤b) = F(b) – F(a) 

 

 

          

∧ P(X=c) = 0  

             c

∈R 

                                                           b 

 

          P( a

≤ X ≤b ) =    ∫ f(x) dx = F(b) – F(a) 

                                                            

a 

 

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej 
przedstawiamy za pomocą 
 

1. gęstości prawdopodobieństwa f(x) 
2. dystrybuanty F(x) 

 
 
                       
 

 

15

                  Funkcje zmiennej losowej X 
 
1. Zmienna losowa skokowa 
 
     Niech  X  będzie skokową zmienną losową o zbiorze W

x

  jej 

punktów skokowych  x

i

 i funkcji prawdopodobieństwa  p. Niech   

g  będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych określoną co 
najmniej na zbiorze W

x

 . 

Wówczas równość: 
 
                 Y =g(X) , czyli   Y(

ω

) = g[X(

ω

)] ,      

ω

∈

Ω

 ,  

 
określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych  

Ω

 jest nową skokową 

zmienną losową  Y, zwaną funkcją zmiennej losowej X,  
o punktach skokowych y

j

, gdzie  y

j

 = g(x

i

 ), tworzących pewien zbiór 

W

y

; gdy  g nie jest funkcją różnowartościową, to ten sam punkt 

skokowy  y

j

 może odpowiadać więcej niż jednemu punktowi 

skokowemu  x

i

. 

 
    Niech  q oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y. 
Funkcja ta jest wyznaczona przez prawdopodobieństwa   
p

i

 następującymi równościami: 

 

                 

( ) (

)

( )

( )

∑

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∈

∈

=

=

=

=

≡

y

j

x

i

j

i

i

W

y

W

x

y

x

g

x

i

j

j

j

x

p

y

Y

P

y

q

q

,

:

 

                                                       
2. Zmienna losowa ciągła 
 
 Rozważmy zmienną losową  Y  określoną równością: 
Y = g(X), gdzie y = g(x) jest określona co najmniej na zbiorze 
wartości zmiennej losowej X. Zmienna losowa  X jest zmienną ciągłą 
o dystrybuancie  F. 
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y można wyznaczyć 
bezpośrednio z definicji dystrybuanty G tej zmiennej. 
 

 

16

                 G(y) = P(Y

<y) = P[g(X)

<

y] 

 
Gęstość prawdopodobieństwa k  zmiennej losowej Y, w przypadku 
gdy  funkcja  g jest ściśle monotoniczna  wyznaczamy, korzystając  
z następującego twierdzenia. 
 
Twierdzenie 
Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o gęstości  f skoncentrowanej na 
przedziale (a, b)  oraz y = g(x) jest funkcją ściśle monotoniczną klasy 
C

1

 o pochodnej g`(x) 

≠ 0 w tym przedziale, przy czym x = h(y) jest 

funkcją odwrotną do  y = g(x), to gęstość  k  zmiennej losowej ciągłej 
Y =g(X), jest postaci: 
 
                                          

                 

( )

( )

[ ]

( )

⎩

⎨

⎧

≥

≤

〈

〈

=

d

y

c

y

dla

d

y

c

dla

y

h

y

h

f

y

k

0

'

 

 
gdzie   c = min(c

1

 , d

1

),   d= max(c

1

, d

1

) 

 
              c

1

= lim g(x)                                      d

1

 = lim  g(x) 

                     

x

→

a+                                                                               x

→

b

−

 

 

 

               CHARAKTERYSTYKI    LICZBOWE 

 
Charakterystyki liczbowe – parametry charakteryzujące rozkład 
prawdopodobieństwa zmiennej losowej. 
            
 
                   MOMENTY  STATYSTYCZNE  

 
 W przypadku wyboru funkcji 
 
                   g(X) = (X- a)

l

, 

 

wartości oczekiwane 

 
                  E[g(X)] = E[(X-a)

l

] =

μ

l

, 

 

17

 
nazywane są  l- tymi momentami statystycznymi względem  
punktu  a. 
 
Jeżeli 
a = 0       -          momenty bezwzględne 
  
a = E(X)  -          momenty centralne 
 

1. Zmienna losowa skokowa 

 
                 

μ

l

 = 

∑ (x

i

 – a )

l

  P(X=x

i

 ) 

                       

x

i

∈W

x

 

 

 

2. Zmienna losowa ciągła 
                        

+∞ 

                

μ

l

 = 

∫ (x- a)

l

 f(x) dx 

                      

-

∞

  

 
I. Wartość  oczekiwana (przeciętna, średnia) zmiennej losowej  

 

Wartość oczekiwana  E(X)   zmiennej losowej X jest bezwzględnym 
momentem statystycznym  pierwszego rzędu, 

                           
         

0

1

μ

   = E(X). 

 

I.1. Zmienna losowa skokowa 

      

Wartość oczekiwana  E(X)    jest równa sumie  możliwych wartości x

i

 

zmiennej losowej X mnożonych przez ich prawdopodobieństwa p

i 

 

                            

 

                 

( )

∑

∑

∈

∈

=

≡

=

x

i

x

i

W

x

W

x

i

i

i

i

x

X

P

x

p

x

X

E

)

(

 

 

 
                  

 

18

                 E(Y) = E[g(X)]  = 

∑g(x

i

) P(X=x

i

) 

                                  

( )

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∈

∈

=

y

j

x

i

j

i

i

W

y

W

x

y

x

g

x

,

:

                   

 

I. 2. Zmienna losowa ciągła

 

                                          

+∞   

                 E(X) = 

∫ x f(x) dx 

                         

−∞ 

                                                                    +

∞ 

                         

E(Y) = E[g(X)] = 

∫ g(x) f(x) dx

 

                                           

−∞ 

                                             

+

∞ 

                         

E(Y)  = 

∫ y k(y) dy

 

                           

−∞

 

        Własności   wartości  oczekiwanych   
 

   1. E(cX) = c E(X)                      c – stała 

 
2. E(c) = c 
 
3. E( X + Y ) = E(X) + E(Y) 
 
4.

(

)

( ) ( )

( )

,

2

1

2

1

n

n

X

E

X

E

X

E

X

X

X

E

⋅⋅

⋅⋅

⋅

=

⋅⋅

⋅⋅

⋅

 

  

jeżeli zmienne losowe X

1

,  X

2 

, ......., X

n 

są niezależne i mają wartości 

oczekiwane. 

 

II. Wariancja  zmiennej losowej   

 
   Moment statystyczny centralny drugiego rzędu 
 
               

μ

2

 = E{[ X – E(X) ]

2

}   = D

2

(X)   

 

nazywamy wariancją  D

2

(X)  zmiennej losowej  X. 

Wariancja  D

2

(X)  zmiennej losowej X jest miarą szerokości rozkładu  

w pobliżu wartości oczekiwanej E(X).  

 

19

Dodatni pierwiastek z wariancji tj. 

( )

X

D

2

  nazywamy  

odchyleniem standardowym  i jest on miarą średniego odchylenia 
wartości zmiennej losowej X  od jej wartości oczekiwanej E(X). 

 

II.1. Zmienna losowa skokowa 

 
               D

2

(X) = 

∑ [ x

i

 – E(X)]

2

 P(X=x

i

) 

                           

x

i

∈W

x

 

 

II.2. Zmienna losowa ciągła 

               

                                            +

∞ 

                     

D

2

(X) =

∫ [x-E(X)]

2

 f(x) dx                                                                           

-                                     -

∞ 

     
                        Własności wariancji 
 
1. D

2

( X

±Y ) =  D

2

 (X) + D

2

(Y), gdy X, Y są niezależne.  

 
2. D

2

(c) = 0               c - stała 

 
3. D

2

(cX) = c

2

 D

2

(X) 

 
4. D

2 

(X +b) = D

2

(X) 

 
5. D

2

(X) =E(X

2

) – [E(X)]

2

 

 

III. Współczynnik asymetrii 

 
      Trzeci moment statystyczny  centralny trzeciego rzędu 
 
                

μ

3

 = E{[X – E(X) ]

3

}  

 
nazywamy skośnością. 

 

20

Wygodniej jest jednak zdefiniować parametr bezwymiarowy 
 

                  

( )

( )

X

D

X

D

2

2

3

μ

γ

=

 , 

 
który nazywamy  współczynnikiem  asymetrii  rozkładu 
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.  
Zawiera on informację o możliwych różnicach między dodatnimi  
a ujemnymi odchyleniami od wartości oczekiwanej. 
 

IV. Współczynnik spłaszczenia 

       
        Moment statystyczny centralny czwartego rzędu pozwala 
zdefiniować  współczynnik spłaszczenia 
 

                    

( )

[

]

3

`

2

2

4

−

=

X

D

μ

γ

, 

 
przy czym dla rozkładu  normalnego standaryzowanego   

μ

4

 = 3 [D

2

(X)]

2

,  

γ

` = 0. 

 
 Jeżeli 

γ

`

< 0, to krzywa w pobliżu max jest rozmyta w porównaniu  

z rozkładem standaryzowanym, a jeżeli 

γ

>0  bardziej wysmukła. 

 
V. Wartość modalna (moda, dominanta) 
     
     Wartość modalną  x

M   

rozkładu prawdopodobieństwa   

definiujemy jako  wartość zmiennej losowej X  odpowiadającej 
maximum:  
 
a)  funkcji prawdopodobieństwa p(x

i

) dla zmiennej skokowej,  

 
                 p(x

M

) = P(X=x

M 

) = max, 

 
czyli  będzie to punkt skokowy oprócz punktu x

min

 i x

max

, 

 

21

  b) maximum absolutnemu gęstości f(x) dla zmiennej ciągłej, 

czyli, jeżeli   gęstość f(x)  posiada pierwszą  i drugą pochodną, 
wartość modalna x

M

 odpowiada maximum rozkładu, określone 

przez warunki  
 

               

( )

( )

0

,

0

2

2

〈

=

x

f

dx

d

x

f

dx

d

 

 

Jeżeli  gęstość f(x) posiada więcej niż jedno maximum, to modą jest ta 
wartość zmiennej losowej, która odpowiada maximum absolutnemu 
( f(x) przyjmuje tu największą wartość).   
Jeżeli  rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma jedno 
max, to mówimy, że jest to rozkład jednomodalny, jeżeli więcej to 
wielomodalny. Wartość modalna dla  rozkładu prawdopodobieństwa 
w  próbie nazywa się  dominantą(D). 
 

VI.  Mediana (wartość środkowa) 

 
       Medianę   x

0.5

  ( dla próby Me ) rozkładu prawdopodobieństwa 

zmiennej losowej X definiujemy jako wartość zmiennej losowej dla 
której dystrybuanta przyjmuje wartość równą  0.5,   
 

                    F(x

0.5

) = P(X

<

 x

0.5

 ) = 0.5 

 

VI.1. Zmienna losowa skokowa 

 
                 F(x

0.5

 ) =  

∑ P(X=x

i

 )   = 0.5 

                              

−∞<x

i

<

x

0.5

 

 

VI.2. Zmienna losowa ciągła 

 
                                x

0.5

  

                 F(x

0.5

) = 

∫ f(x) dx = 0.5 

                             

−∞

 

Mediana dzieli cały zakres wartości zmiennej losowej na dwa obszary 
o równym prawdopodobieństwie. 

 

 

22

Dla rozkładu jednomodalnego, symetrycznego, posiadającego 
ciągłą gęstość prawdopodobieństwa, wartość modalna, średnia  
i mediana są identyczne. 

 

VII.  Kwantyle 

 

     Definicję mediany można uogólnić wprowadzając  
kwantyle(fraktyle) będącymi wartościami x

q  

zmiennej losowej X, dla 

których  

 
                               x

q

   

                  F(x

q

) = 

∫ f(x) dx  = q                             0<q<1 

                           

−∞ 

 

F(x

0.25

) = 0.25  -    kwartyl dolny

 

 
F(x

0,75

) = 0.75  -   kwartyl górny  

 
x

0.1

 

, x

0.2

 ,           - decyle 

 

Definicja ogólna kwantyli 
        Kwantylem  rzędu q, 0

<q<1   zmiennej losowej X  

o dystrybuancie F(x)  nazywamy taką liczbę x

q

, że  

 

                    P(X 

< x

q

)  

≤  q  ≤  P(X ≤ x

q

), 

czyli 

                     
                  F(x

q

) 

≤ q ≤ F(x

q

 + 0).                

 

 
       WYBRANE ROZKŁADY  PRAWDOPODOBIEŃSTWA 
 
I. Zmienna losowa skokowa 
 
I.1. Rozkład dwumianowy(binomialny), Bernouliego 

 

 
 

 

23

Definicja    
        Zmienna losowa K typu skokowego ma rozkład dwumianowy  
z parametrami (n,p),  n

∈N,     0< p < 1, jeżeli jej funkcja 

prawdopodobieństwa  p

k

 

≡

 P(k; n ,p) = P(K =k), jest postaci : 

 

                   

(

)

k

n

k

q

p

p

n

k

P

k

n

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

,

;

,

 

             k=0,1,2.....,n  i  q = 1 – p 

  

Zmienna ta przyjmuje z dodatnimi prawdopodobieństwami 

 

( n+1) wartości: 0,1.....,n. 
Wśród nich jest jedna albo dwie wartości najbardziej prawdopodobne: 
 
a) gdy  (n+1)p jest liczbą całkowitą to tymi wartościami są  liczby  
                
                     k

1

 = (n+1)p – 1,              k

2 

= (n+1)p, 

 
b) gdy ( n+1)p nie jest liczbą całkowitą to wartość najbardziej 

prawdopodobna dana jest wzorem 

 
                     k

0

 =[(n+1)p], 

 
czyli częścią całkowitą liczby (n+1)p. 
 
                     E(K) = np,           D

2

(X) = npq , 

 

                    

npq

p

2

1

−

=

γ

            

   
I.2. Rozkład wielomianowy 
 
 Uogólniony na przypadek, gdy w wyniku jednego doświadczenia 
może wystąpić  l  zdarzeń rozłącznych  A

1

  , A

2

  ,......., A

l

 

i  

Ω

 = A

1

∪A

2

∪.......∪A

l. 

 

   Definicja    
         Niech prawdopodobieństwa zajścia wzajemnie wykluczających 
się zdarzeń A

j

 będą dane przez : 

 

 

24

                  P(A

j

) = p

j

        i       

.

1

1

=

∑

=

l

j

j

p

 

 
Każdemu zdarzeniu A

j

 przyporządkowujemy zmienną losową  K

j

, tak  

że  

( )

{

}

j

j

j

j

k

A

K

:

A

=

, to prawdopodobieństwa zajścia k

j 

 zdarzeń  A

j

   

w n doświadczeniach 
 

                

{

}

∏

∏

=

=

=

=

=

=

l

j

k

j

l

j

j

l

l

j

p

k

n

k

K

k

K

k

K

P

1

1

2

2

1

1

!

!

;

;.........

;

 

                 E(K

j

)=np

j

 ,      D

2

(K

j

)=np

j

(1 – p

j

 ). 

 
 
I.3. Rozkład hipergeometryczny 
 
      Jest to rozkład dla prób bez zwrotu, tzn. po wylosowaniu danego 
elementu  zmienia się wzajemna  proporcja pozostałych. 
 
   Definicja   
      Zmienna losowa skokowa  K  ma rozkład  hipergeometryczny    
z parametrami  (N, M, n), gdzie  N,M,n  liczby naturalne  oraz  M,n

≤

N, 

jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa 
 
p

k

≡

 P(k; N,M,n ) = P(K=k)  jest postaci: 

 
 

               

(

)

( )( )

( )

N

n

M

N

k

n

M
k

n

M

N

k

P

−

−

=

,

,

;

 , 

 
gdzie     k=0,1,....,n           n 

≤ N,     k ≤ M,   k ≤n,       n – k ≤ N – M 

 

E(K)=np,                 

( )

1

2

−

−

=

N

n

N

npq

X

D

 , 

 
 

 

25

gdzie   
 

N

M

p

=

    i  q=1 – p 

   
Możemy powiedzieć, że zmienna losowa  K  jest możliwą liczbą 
elementów mających wyróżnioną cechę  A  wśród  n wylosowanych 
bez zwrotu z populacji  N  elementów  wśród  których znajdowało się  
M  elementów cechy  A. 

Gdy  N

→

∞, M

→

∞,  tak że  

p

N

M →

,     0

<p<1, 

wtedy  
 
                 P(k;N,M,n) 

→

 P(k;n,p) 

 
Powyższy  rozkład możemy rozszerzyć  na przypadek, gdy 
wyróżnionych cech w populacji jest więcej. 

 

 Definicja 
         Niech każde  z N  elementów naszej populacji posiada jedną  
z l cech 
 
                 N =  N

1

 + N

2

 +.......+ N

l

. 

 
Prawdopodobieństwo wylosowania bez zwrotu  k

j

  ( j= 1,2,.......,l) 

elementów każdego rodzaju  przy n losowaniach  
 

                 

(

)

( )( )

( )

( )

N

n

N

k

N

k

N

k

l

l

l

l

k

K

k

K

k

K

P

.....

;.......;

;

2

2

1

1

2

2

1

1

=

=

=

=

    ,  

gdzie   k

1

 + k

2

 +..+k

n

= n. 

 
I.4. Rozkład Poissona 
 
 Stosujemy, gdy  n

→∞

 , a   p  bardzo małe,  

λ

 = np. 

 
  
 

 

26

 
Definicja 
     Zmienna losowa skokowa  K   ma rozkład  Poissona   
z parametrem  

λ

, 

λ>

0, jeżeli  jej funkcja prawdopodobieństwa   

p

k 

≡

 P(k;

λ

) = P(K=k)  jest postaci: 

 

                  

( )

!

;

k

e

k

P

k

λ

λ

λ

−

=

 ,                  k

∈N

0

=N

∪{0}.    

 
W praktyce stosujemy, gdy  n

≥50,   p ≤ 0.1,     np≤ 10. 

 
 Rozkład Poissona jest granicznym przypadkiem rozkładu 
dwumianowego. 
 
Twierdzenie 
     Jeżeli  K

1

,K

2 

, ......, K

n

,..  jest ciągiem zmiennych losowych  

o rozkładzie dwumianowym odpowiednio z parametrami   
(1, p 

1

),..,(n,p

n

),...     oraz np

n

→λ

, 

λ

>0, gdy n→∞, to: 

 

                    

( )

,

!

)

1

(

lim

k

e

p

p

k

k

n

n

k

n

n
k

n

λ

λ

−

−

∞

→

=

−

           k

∈N∪{0} 

 
czyli ciąg rozkładów dwumianowych jest zbieżny do rozkładu 
Poissona z parametrem 

λ

. 

 

λ

λ

λ

λ

e

k

e

n

k

k

n

n

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

∑

∞

=

−

∞

→

0

!

,

1

lim

 

E(K)=

λ

,                D

2

(K) = 

λ

,              

λ

γ

1

=

 

 
Rozkład Poissona jest rozkładem o asymetrii prawostronnej .  
 
 
 
 

 

27

 
II. Zmienna losowa ciągła 
 
II.1 Rozkład jednostajny 
 
Definicja 
   Zmienna losowa X  ma rozkład jednostajny ( prostokątny ) 
skoncentrowany na przedziale 

<

 a, b

>

 jeżeli jej gęstość 

prawdopodobieństwa  jest określona wzorem:  
 
 

                 

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

〉

〈

≤

≤

−

=

b

x

a

x

dla

b

x

a

dla

a

b

x

f

lub

0

1

)

(

 

 
Dystrybuantą tego rozkładu jest funkcja 

 

 
                      

                 

( )

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

〉

≤

〈

−

−

≤

=

b

x

dla

b

x

a

dla

a

b

a

x

a

x

dla

x

F

1

0

 

          

( ) (

)

( ) ( )

x

x

b

x

x

a

x

X

D

a

b

X

D

b

a

X

E

rzecz

rzecz

Δ

+

=

Δ

−

=

Δ

=

−

=

+

=

,

3

,

12

,

2

)

(

2

2

2

2

 

 

 

 
 
 

 

28

II.2. Rozkład normalny standaryzowany 

 

     Twierdzenie Moivrea – Laplacea  pozwala na przejście  
z rozkładu dwumianowego do rozkładu normalnego 
standaryzowanego. 
       
     Dla ustalonego    p,    0

< p < 1  i  q = 1 – p, prawdopodobieństwo 

 
                   

( )

∑

+

〈

〈

+

=

=

npq

b

np

k

npq

a

np

n

k

K

P

b

a

P

)

(

,

, 

 
tego, że w serii n  prób Bernouliego  o prawdopodobieństwie   
p zdarzenia sprzyjającego, ilość tych zdarzeń  będzie zawarta  
w granicach  

npq

b

np

k

npq

a

np

+

〈

〈

+

   przy  n

→

∞, będzie dążyć  

 

                    

( )

du

e

b

a

P

u

b

a

n

n

2

2

2

1

,

lim

−

∞

→

∫

=

π

. 

 
     Zmienna losowa  U ma rozkład normalny standaryzowany, jeżeli 
jej gęstość 

ϕ

 określona jest wzorem 

 

                    

( )

2

2

2

1

u

e

u

−

=

π

ϕ

                 dla  

−∞

<

u

<+∞ 

 

π

2

1

2

2

=

∫

+∞

∞

−

−

dt

e

t

t

                      ,           

π

=

∫

+∞

∞

−

−

dt

e

t

2

 

 
 

π

4

3

2

4

=

−

+∞

∞

−

∫

dt

e

t

t

 

 
 
 
 

 

29

Dystrybuanta 

Φ

(u) wyraża się następująco: 

 

                 

( )

( )

dt

e

dt

t

u

t

u

u

2

2

1

−

∞

−

∞

−

∫

∫

=

=

Φ

π

ϕ

.   ( funkcje Laplacea) 

 

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

6826

.

0

1

8413

.

0

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

=

−

⋅

=

=

−

+

Φ

=

+

Φ

−

−

+

Φ

=

−

Φ

−

+

Φ

=

∫

+

−

du

u

ϕ

 

( )

( )

( )

( )

9973

.

0

1

998650

.

0

2

1

3

2

3

3

3

3

=

−

⋅

=

−

+

Φ

=

−

Φ

−

+

Φ

=

∫

+

−

du

u

ϕ

 

 
II.3. Rozkład normalny 
 
    Wprowadzamy zmienną losową X, która jest liniową funkcją 
zmiennej U 
 
                      X=m+

σ

U             gdzie m, 

σ

 są stałymi i 

σ

>0 

 
Gęstość   f  zmiennej losowej  X wyznaczymy następująco: 
 

X=g(U)          U=h(X)                

( )

σ

m

X

X

h

−

=

, 

 

                      

( )

(

)

( )

x

h

e

x

f

m

x

′

=

−

−

2

2

2

2

1

σ

π

                       stąd 

 

                      

( )

(

)

2

2

2

2

1

σ

π

σ

m

x

e

x

f

−

−

=

   

 
 
 
 
 
 

 

30

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X  określony 
gęstością  f 
 

                  

( )

(

)

2

2

2

2

1

σ

π

σ

m

x

e

x

f

−

−

=

               gdzie        

−∞<x<+∞ 

 
nazywamy  rozkładem normalnym N(m,

σ

). 

Podobnie oznaczamy rozkład normalny standaryzowany, czyli 
N(0,1). 
 
E(X)=m,        D

2

(X) = D

2

(m) + 

σ

2

D

2

(U) ,    D

2

(X)= 

σ

2

 

 
punkty przegięcia  
 
x

1

 = m – 

σ

 ,      x

2

 = m+

σ

     

 
Dystrybuanta F(x) ma następującą postać: 
 

           

( )

( )

(

)

( )

σ

−

=

Φ

=

π

σ

=

=

σ

−

−

∞

−

∞

−

∫

∫

m

x

u

gdzie

,

u

e

dt

t

f

x

F

m

x

x

x

2

2

2

2

1

 

 
Zmienną losową X nazywamy zmienną normalną, natomiast 
zmienną U normalną standaryzowaną. Powyższe zależności opisują 
standaryzację zmiennej losowej X. 
 
P(m-

σ<

X

<

m+

σ

) = F(m

+σ

)

−

F(m

−σ

) = 

Φ

(

+1)

−Φ

(

−1)=0.6826,     

 
ponieważ dla 
  

x

1

=m –

σ

                     

1

1

−

=

−

−

=

σ

σ

m

m

u

  

 

x

2

=m

+σ

                    

1

2

=

−

+

=

σ

σ

m

m

u

 

  

 

31

                  P(x –

σ

<m<x+

σ

) 

≅0.68     gdzie przyjmujemy  m = x

rzecz 

 

Podobnie możemy pokazać, że  
 
                  P(m –3

σ<

X

<

m+3

σ

) 

≅ 0.998 

 
                                     
                             PRÓBA   LOSOWA 
 
Najprostszym rodzajem próby statystycznej jest próba prosta. 

  

Definicja 
      Jeżeli X

1

 ,X

2

 ,  ......., X

n

  jest ciągiem niezależnych obserwacji 

losowych  ze zbiorowości, w której dystrybuanta zmiennej losowej X 
jest równa F(x) i jeżeli mechanizm doboru obserwacji jest taki, że 
każda ze zmiennych losowych  X

i

 ( i=1,2,3..,n) ma dystrybuantę 

równą F(x), to ciąg odpowiednich wyników obserwacji x

1

, x

2

 ,....,x

n  

nazywać będziemy  statystyczną próbą prostą ze zbiorowości  
o dystrybuancie F(x). 
Każdą inną próbę nie będącą próbą prostą będziemy nazywać próbą 
złożoną. 
 
Próba prosta ( losowanie niezależne, losowanie zwrotne) 
Próba złożona ( losowanie zależne, losowanie bezzwrotne) 
 
 
                             Losowanie prób prostych  
 
1. Tablice liczb losowych (2,4,6 cyfrowe) 
Zostały tak utworzone, że dzieląc liczby w tablicach przez 
10

r

(r=2,4,6)  otrzymujemy ciąg niezależnych zmiennych losowych  

o rozkładzie jednostajnym w przedziale 

<0, 1>. 

2. Losowanie systematyczne 
Jeżeli elementy zbiorowości są w naturalny sposób ponumerowane  
i tak wyznaczony porządek nie jest powiązany ze zmienną losową, 
wówczas do próby bierzemy co k-ty element, gdzie k jest największą 

liczbą naturalną nie przekraczającą   

n

N

 (N – liczebność populacji   

 

32

n – liczebność próby).  
n

0

≤

k   n

0

 , n

0

+k, n

0

+2k,       ,N 

 
np. N=50  ,    n

0

=3  ,   n= 10 

 
                   k=5,         3,8,11,14,17,20,23,26,29,32. 
 
 
                          Losowanie prób złożonych 
 
A. Kryterium podzielności populacji 

a) losowanie nieograniczone (z całej populacji) 
b) losowanie warstwowe (elementy z warstw populacji) 

B. Jednostki biorące udział w losowaniu 

a)losowanie indywidualne 
b)losowanie grupowe (grupy charakteryzuje wspólna cecha, 
większa ilość elementów) 
 

W przypadku badań eksperymentalnych mamy  do czynienia  
z populacjami nieskończonymi. Stąd trudno mówić o sposobie 
losowania. Sposób losowania nie jest istotny, ponieważ realizacje 
zmiennych losowych są znane. Badania statystyczne polegają tu na 
wnioskowaniu o dystrybuantach badanych zmiennych losowych. 
Często badamy wpływ czynników stabilizowanych, kontrolowanych z 
odpowiednim natężeniem na naszą próbę. Jeżeli natężenie czynników 
zmienia się w sposób ciągły mamy do czynienia  
z modelem regresyjnym, jeżeli skokowo lub nie jest mierzalne 
liczbowo z  analizą wariancji. 
 
Wstępnym badaniem próby zajmuje się statystyka opisowa, gdzie nie 
stosujemy rachunku prawdopodobieństwa. 
 

 
         

                           
 
 
 

 

33

                          STATYSTYKA OPISOWA 

 

Wstępnym badaniem próby zajmuje się statystyka opisowa. 
Rozróżniamy trzy rodzaje prób. W każdej z nich wyznaczamy: 

 

a) wartość średnią 

( )

x

 

b) medianę ( Me ) 
c) dominantę( wartość modalną )(D) 
d) miary rozproszenia 
d

1

) najprostszy rozstęp (R = x

max

 – x

min

) 

d

2

) odchylenie standardowe 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

S

S,

  

e) współczynnik zmienności  

x

S

V

=

 

f) kwartyl dolny Q

1

( mediana wartości mniejszych i równych Me ) 

g) kwartyl górny Q

3

 ( mediana wartości większych i równych Me) 

h) odchylenie ćwiartkowe  

2

1

3

Q

Q

Q

−

=

 

                              
                                  Rodzaje prób  
 

1. Mamy n różnych wartości x

i

 

 

 

a)

    

∑

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

 

  

b)    Me = 

x

n

2

1

+

 dla n nieparzystego 

 

      Me

 = 

2

1

2

2

x

x

n

n

+

+

    

dla n parzystego, przy uporządkowaniu 

rosnącym 

 

 d

2

)

    

(

)

∑

−

−

=

∧

2

1

1

x

x

n

s

i

   

dla  n<30 

 

34

 
 

          

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

1

         

 dla  n

≥ 30 

 

2.    Wartości  x

i

 powtarzają się  n

i

 - krotnie 

  

a)     

∑

=

=

k

i

i

i

n

x

n

x

1

1

 , 

gdzie 

 

n

n

k

i

i

=

∑

=1

 

 

b)  przed wyznaczeniem wartości Me, musimy znaleźć liczebności  N

i

 

skumulowane (ponumerowane obserwacje odpowiadające danej  
 wartości x

i

) 

 
          N

i

 = N

i-1

 + n

i

 

 
Wartość mediany odpowiada tej wartości x

i 

 dla której  

N

i-1 

<  N

Me 

≤ N

i

 , 

 

 

gdzie 

   

2

1

+

=

n

N

Me

    

dla  n  nieparzystego

 

               

2

n

N

Me

=

        

dla n parzystego

 

 

c)  dominanta (D)  to wartość  x

i 

 dla   n

i

 = max  

 

 

d

2

)

             

(

)

n

n

x

x

s

k

i

i

i

∑

=

−

=

1

2

 

 
 

 
 
 
 
 

 

35

 
3.   Szeregi rozdzielcze 

 

Wyniki grupujemy  i przedstawiamy w postaci klas (przedziałów). 
Liczbę  k klas możemy ustalić  korzystając z następujących 
zależności: 

 

                  k 

≤

 5 lnn ,  

n

k

=

 , k = 1 + 3.322lnn  (k

max

 = 30) 

 

Szerokość przedziału h (h = x

i

 – x

i-1 

)  zależy od ilości klas i wartości  

rozstępu

 R. 

 

                    

k

R

h

≥

 

 

Dolną granicę pierwszego przedziału  przyjmujemy: [ x

min

 – (

α/

2) ], 

gdzie 

α

  jest dokładnością pomiarów. 

 

a)

    

∑

=

i

i

n

n

x

x

0

1

, gdzie

  

2

1

0

i

i

i

x

x

x

+

=

−

     

jest środkiem i-tego

 

przedziału, n

i

  jego liczebnością 

 

b)             

(

)

∗

−

+

=

N

N

n

h

x

Me

Me

0

0

, 

gdzie  

 
    

N

Me

 

– 

numer obserwacji odpowiadającej medianie 

 
    N

*

  - skumulowana liczba obserwacji przed przedziałem mediany 

 
    x

0

 – dolna granica przedziału klasowego mediany 

 
    n

0

 – liczebność przedziału mediany 

 

 
 
 
 

 

36

c) dominanta – wybieramy przedział o n

i

 = max ( przedział 

dominanty) 
 

                     

)

(

)

(

1

1

1

0

+

−

−

−

+

−

−

+

=

d

d

d

d

d

d

n

n

n

n

n

n

h

x

D

 , 

 
 

 x

0

 – dolna granica przedziału dominanty 

  n

d

 

– liczebność przedziału dominanty 

  n

d-1

 – liczebność przedziału przed przedziałem dominanty 

  

n

d+1 

– liczebność przedziału za przedziałem dominanty 

 

d

2

)

               

(

)

n

n

x

x

s

k

i

i

i

∑

=

−

=

1

2

0

 

 

Jeżeli  n

> 1000 lub k > 20 musimy od S

2  

odjąć poprawkę  

Shepparda: 

2

12

1

h

 

    
 
                  

STATYSTYKI,  ROZKŁADY 

               PRAWDOPODOBIEŃSTWA

 

 
 

Statystyką  nazywamy każdą zdefiniowaną  funkcję obserwowanych 

w próbie zmiennych losowych, która sama jest zmienną losową. Jako 
zmienna losowa  statystyka  ma pewien rozkład prawdopodobieństwa  
a ponieważ jest określoną funkcją zmiennych losowych, przeto jej 
rozkład jest wyznaczony przez rozkład zmiennych losowych i postać 
funkcji. 
 
STATYSTYKI 

1. Średnia arytmetyczna  z próby,  X  

 

                 

∑

=

=

n

i

i

X

n

X

1

1

  

 

37

 
Twierdzenie  
o rozkładzie prawdopodobieństwa zmiennej losowej .

X  

    Jeżeli  X

1, 

X

2, 

......,X

n

 jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych 

o rozkładach normalnych N(m,

σ

) i jeżeli  

 

                 

∑

=

=

n

i

i

X

n

X

1

1

 

to zmienna losowa 

X

 ma rozkład normalny  

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

n

m

N

σ

,

. 

Twierdzenie 
      Niech 

X

 będzie średnią arytmetyczną niezależnych zmiennych 

losowych  X

1,

 X

2,

 ......, X

n1 

 o rozkładach normalnych N

 

(m

1

,

σ

1

) i niech 

Y

 będzie średnią arytmetyczną niezależnych zmiennych losowych   

Y

1

, Y

2

, ......, Y

n2

 o rozkładach normalnych N(m

2

,

σ

2

). Jeżeli zmienne 

losowe X

1

 , X

2

 ,........,X 

n1

      oraz  Y

1

 , Y

2

 ,.........,Y

n2

   są niezależne, 

wówczas zmienna losowa  

Y

X

−

 ma rozkład normalny 

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

−

2

2

2

1

2

1

2

1

,

n

n

m

m

N

σ

σ

. 

 

2. Statystyka 

χ

2

 

 
     Niech  U

1

 , U

2

,......, U

k 

 będzie ciągiem niezależnych zmiennych 

standaryzowanych N(0,1). Statystykę 
 

                  

∑

=

=

k

i

i

U

1

2

2

χ

  

definiujemy jako sumę kwadratów zmiennych losowych  U

1

, 

U

2

,....,U

k

. Rozkład prawdopodobieństwa statystyki 

χ

2

 będziemy 

nazywać rozkładem chi-kwadrat, a liczbę niezależnych składników 
składających się na 

χ

2

 nazywamy stopniami swobody  k. 

 E(

χ

2

) = k ,  

    

,

4

k

=

γ

  

f(

χ

2

) = max   dla  

χ

2

 = k – 2  

 

 

38

Twierdzenie 
 Jeżeli zmienne losowe 

χ

1

2

 i 

χ

2

2

 są niezależne i mają rozkłady  chi- 

kwadrat  o k

1 

i  

 

k

2  

stopniach swobody, to zmienna losowa   

χ

2

 = 

χ

1

2

 +

χ

2

2

 ma rozkład chi-kwadrat  

o k

1 

+k

2  

stopniach swobody. 

 
       ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA DLA 
WARIANCJI  I ODCHYLENIA STANDARDOWEGO 
 
Wprowadzamy dwie definicje: 
 
                                              

(

)

(

)

m

znamy

nie

gdy

X

X

n

S

m

znamy

gdy

m

X

n

S

n

i

i

n

i

i

2

1

2

2

1

2

1

1

∑

∑

=

=

∗

−

=

−

=

 

 
 
Twierdzenie 
    Jeżeli  X

1, 

X

2

,.......,X

n

  jest ciągiem niezależnych zmiennych 

losowych o rozkładzie normalnym  N(m,

σ

)  to zmienna losowa 

2

2

σ

∗

nS

  

ma rozkład chi- kwadrat o n stopniach swobody.  
 
Dowód 

                  

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

∗

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

U

m

X

m

X

n

n

nS

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

σ

σ

σ

 

 

ponieważ   

i

i

U

m

X

=

−

σ

  jest zmienną losową o rozkładzie  

N(m,

σ

), zmienne są niezależne, ilość stopni swobody równa jest  n. 

 

 

39

 

                  

n

nS

E

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∗

2

2

σ

 ,        

( )

2

2

σ

=

∗

S

E

 

 
Twierdzenie 
         Jeżeli  X

1

,  X

2

, ......,X

n

 jest ciągiem zmiennych losowych  o 

rozkładzie normalnym N(m,

σ

), to zmienna losowa  

2

2

σ

nS

 ma rozkład 

chi-kwadrat o  n – 1   stopniach swobody, ponieważ  ostatni składnik 
sumy musi spełniać warunek 
 

                 

(

)

0

1

=

−

∑

=

n

i

i

X

X

. 

 
3. Statystyka F( Snedecora) 
 
  Definicja 
          Niech   

2

1

χ

i   

2

2

χ  będą niezależnymi zmiennymi losowymi  

o rozkładzie  chi-kwadrat i odpowiednio  k

1

  i  k

2  

stopniach swobody, 

to statystyka 
 

                

1

2

2

2

2

1

k

k

F

⋅

⋅

=

χ

χ

 ,  

 
ma rozkład F (rozkład Snedecora)  o  k

1

 i k

2

   stopniach swobody. 

Rozkład  F ma zastosowanie do badania wariancji dwóch populacji. 
 
Twierdzenie 

        Jeżeli  

2

1

∧

S

 i  

2

2

∧

S

  są wariancjami z prób prostych, pobranych ze 

zbiorowości o rozkładach normalnych  w których odchylenia 
standardowe są jednakowe, i zdefiniowane są następująco: 
 

           

(

)

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

∑

=

∧

−

−

=

n

j

j

X

X

n

S

,           

(

)

∑

=

∧

−

−

=

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

n

j

j

X

X

n

S

                    

 

40

 

to gdy obie próby są niezależne zmienna losowa  

2

2

2

1

∧

∧

S

S

   ma rozkład  F  

o (n

1

 – 1)  oraz   (n

2

 – 1 ) stopniach swobody.     

 
 
4. Statystyka  t-Studenta 
 
Definicja  
       Niech  U  będzie zmienną losową standaryzowaną  N(0,1)  i niech 

χ

2

 będzie zmienną losową o rozkładzie chi-kwadrat  i  k stopniach 

swobody. Jeżeli zmienne  U i 

χ

2

 są niezależne, to statystyka  

 

                  

k

U

t

2

χ

=

 

 
ma rozkład  t-Studenta o k- stopniach swobody. 
 
E(t) = 0,       -

∞<t<+∞  ,    

γ

 = 0 

 
Twierdzenie 
       Ciąg dystrybuant  zmiennej losowej o rozkładzie  f(t)  przy k

→∞ 

jest zbieżny do dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego 
N(0,1). 
 
Twierdzenie 
       Jeżeli  X

1

, X

2

, .........,X

n

 jest ciągiem niezależnych zmiennych 

losowych o rozkładzie normalnym N(m,

σ

) i mamy określone zmienne 

losowe  

X

, S

2

, to zmienna losowa 

 

                  

1

−

−

=

n

S

m

X

t

 

 
ma rozkład  t- Studenta o n – 1  stopniach swobody. 
 

 

41

 
Twierdzenie 
       Jeżeli  

1

X

 i S

1

 oznaczają odpowiednio średnią arytmetyczną  

i odchylenie standardowe  z próby liczącej n

1 

 niezależnych obserwacji 

losowych  ze zbiorowości o rozkładzie N(m

1

, 

σ

) i jeżeli 

2

X

, S

2

 to 

średnia arytmetyczna oraz odchylenie standardowe z drugiej próby 
liczącej n

2 

 niezależnych obserwacji pobranych ze zbiorowości  

o rozkładzie  N(m

2

, 

σ

) i jeżeli obie próby są niezależne, to zmienna 

losowa  
 
 

                   

(

)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

⋅

+

⋅

−

−

−

=

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

S

n

S

n

m

m

X

X

t

 

    

                               

                               
 
                         ESTYMACJA 
 
 
I.  ESTYMACJA PUNKTOWA 
II.  ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA 
 

Ad.I Szukanie liczby, która w oparciu o odpowiednie wyniki z próby i 
odpowiednie kryteria dokładności  będzie najlepszym przybliżeniem 
nieznanego, interesującego nas parametru rozkładu zmiennej losowej 
dla populacji. 
Ad.II Szukanie przedziałów liczbowych takich, by z odpowiednim 
prawdopodobieństwem bliskim jedności można oczekiwać, że wartość 
szukanego parametru rozkładu(charakterystyki liczbowej) znajdzie się 
w tym przedziale. 
Parametry rozkładu – wielkości stałe, nielosowe 
Wyniki próby statystycznej – losowe 
 
 

 

42

Definicja estymatora 
       Estymatorem parametru 

Θ

 rozkładu prawdopodobieństwa 

zmiennej losowej X nazywamy każdą taką  funkcję zmiennych 
losowych obserwowanych w próbie, że jest ona zmienną losową  o 
rozkładzie zależnym od 

Θ

 i że wnioskowanie o wartości 

Θ

 można 

oprzeć na zaobserwowanej w próbie wartości funkcji. 
 
 Jeżeli przez  X

1

, X

2

,.......,X

n 

 oznaczymy zaobserwowane w próbie 

zmienne losowe to oparty na tych zmiennych estymator będziemy 
oznaczać T

n

( X

1

, X

2

 ,.......,X

n

;

Θ

) 

≡

 T

n

. 

 
 
           METODY WYZNACZANIA ESTYMATORÓW 
 
1. Metoda momentów Pearsona 
     Obliczamy momenty z próby i przyrównujemy do odpowiednich 
momentów rozkładu, będących funkcjami nieznanych parametrów 
rozkładu . Rozwiązujemy równania i znajdujemy wzory na 
odpowiednie estymatory. 
 

a) wartość oczekiwana E(X) 

           E(X) = 

μ

1

0

                         

x

x

n

n

x

n

i

i

n

i

i

=

=

=

∑

∑

=

=

1

1

0

1

1

1

μ

 

b) wariancja D

2

(X) 

          
                 D

2

(X) = 

μ

0

2

 – [

μ

0

1

]

2

                  

 
 

( )

( )

{

}

( )

( )

(

)

(

)

2

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

0

1

0

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

S

x

x

n

x

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x

x

x

x

n

x

n

x

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

=

−

=

+

−

=

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

−

+

−

=

−

=

−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

μ

μ