1

RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ŃSTWA i STATYSTYKA MATEMATYCZNA dr inż Krzysztof Bryś

Wyk lad 3

Podstawowe teoretyczne rozk lady prawdopodobieństwa zmiennej losowej jednowymiarowej Typu skokowego

1. Rozk lad jednopunktowy.

Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = c) = 1 dla pewnej sta lej c Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = c

Wariancja: D 2( X) = 0

Interpretacja: Rozk lad dowolnej sta lej liczbowej X.

2. Rozk lad dwupunktowy (zerojedynkowy).

Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = 1) = p, P ( X = 0) = q = 1 − p Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = p

Wariancja: D 2( X) = p · q = p · (1 − p) Interpretacja: Rozk lad dowolnej zmiennej X, która odpowiada na pewne pytanie albo TAK

( X = 1-”sukces”) albo NIE ( X = 0-”porażka”), rozk lad dowolnej cechy ”zero-jedynkowej” (obiekt albo j¸a posiada ( X = 1) albo nie posiada ( X = 0).

3. Rozk lad Bernoulliego (dwumianowy) - B( n, p) Schemat doświadczeń Bernoulliego:

- n niezależnych doświadczeń,

- w każdym doświadczeniu albo sukces z prawdopodobieństwem p albo porażka (z prawdopodobieństwem q = 1 − p);

Interpretacja: Zmienna losowa X ma rozk lad B( n, p) jeśli mówi o liczbie sukcesów w schemacie n niezależnych doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p w każdym z nich. Jest sum¸a n niezależnych zmiennych losowych o rozk ladzie zerojedynkowym.

Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = k) = n pk · qn−k dla k = 0 , 1 , 2 , . . . , n, q = 1 − p.

k

Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = np

Wariancja: D 2( X) = n · p · q

4. Rozk lad Poissona - Po( λ)

Funkcja prawdopodobieństwa : P ( X = k) = e−λ · λk dla k = 0 , 1 , 2 , . . .

k!

Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = λ

Wariancja: D 2( X) = λ

Interpretacja: Rozk lad graniczny dla rozk laadu B( n, p) przy n → + ∞.

Dla dostatecznie dużych n, zmienna losowa o rozk ladzie B( n, p) ma w przybliżeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p.

Typu ci¸ag lego

1. Rozk lad jednostajny na przedziale ( a; b) - U( a, b) Funkcja g¸estości prawdopodobieństwa :

(

1

, dla a < x < b

f ( x) =

b−a

0

, dla pozosta lych x

Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = a+ b 2

2

Wariancja: D 2( X) = ( b−a)2

12

Interpretacja Zmienna losowa X ma rozk lad U( a, b) jeśli przyj¸ecie przez t¸a zmienn¸a dowolnej wartości z przedzia lu ( a; b) jest jednakowo prawdopodobne.

2. Rozk lad normalny (Gaussa) - N( m, σ) Funkcja g¸estości prawdopodobieństwa : f ( x) =

1

√

· e−( x−m)2

2 σ 2

dla x ∈ R

2 πσ

Wartoś˙c oczekiwana: E( X) = m

Wariancja: D 2( X) = σ 2

Wykresem powyższej funkcji g¸estości prawdopodobieństwa jest krzywa Gaussa Zmienna losowa standaryzowa dla zmiennej losowej o rozk ladzie N( m, σ): X − m

X =

σ

ma rozk lad normalny standardowy N(0 , 1).

Dystrybuanta rozk ladu normalnego standardowego N(0 , 1): Z x

1

Φ( x) =

√

· e−t 22 dt dla x ∈ R

−∞

2 π

Z parzystości funkcji g¸estości prawdopodobieństwa rozk ladu N(0 , 1) wynika, że: Φ( −x) = 1 − Φ( x) .

uα - kwantyl rz¸edu α zmiennej losowej o rozk ladzie N(0 , 1) (tzn. Φ( uα) = α) 3. Rozk lad chi kwadrat o n stopniach swobody

Zmienna losowa χ 2 = X 2 + X 2 + . . . + X 2, gdzie X

1

2

n

1 , X 2 , . . . Xn zmienne o rozk ladzie N (0 , 1) ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody

Wartoś˙c oczekiwana: E( χ 2) = n

Wariancja: D 2( χ 2) = 2 n

Dla dużych n ( n > 40) rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody można przybliża˙c rozk ladem

√

N( n, 2 n).

χ 2( α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − α zmiennej o rozk ladzie chi-kwadrat o n stopniach swobody 4. Rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody.

Zmienna losowa T = X

q

, gdzie X zmienna losowa o rozk ladzie N(0 , 1) a zmienna χ 2 ma rozk lad χ 2

n

chi-kwadrat o n stopniach swobody.

Wartoś˙c oczekiwana: E( T ) = 0.

Wariancja: D 2( T ) = n .

n− 2

Dla dużych n ( n > 40) rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody można przybliża˙c rozk ladem N(0 , 1).

t( α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − α zmiennej o rozk ladzie t-Studenta o n stopniach swobody.

2