RACHUNEK
PRAWDOPODOBIEŃSTWA I
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK
PRAWDOPODOBIEŃSTWA I
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zdecydowana większość procesów fizycznych, technicznych, społecznych,
ekonomicznych i innych, przebiega w sposób bardziej lub mniej losowy.
Zjawiskami, których przebieg jesteśmy skłonni uważać za dość
przypadkowy są na przykład:
• rzut kostką do gry - nie wiemy, ile oczek wypadnie,
• opady deszczu w Krakowie w roku 2008 - nie wiemy, kiedy i ile będzie
padać,
• gra na giełdzie - nie wiemy, ile będą warte akcje "naszych" spółek za dwa
tygodnie, a tym bardziej za rok.
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka są tymi działami matematyki,
które badają i opisują zjawiska, uwzględniając ich losowy charakter.
Rachunek prawdopodobieństwa, teoria matematyczna zajmująca się
badaniem modeli zjawisk losowych (przypadkowych); podstawowymi
pojęciami teorii prawdopodobieństwa są: zdarzenie elementarne, zdarzenie
losowe (jako podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych) oraz
prawdopodobieństwo, określone jako funkcja zdefiniowana na przestrzeni
zdarzeń losowych i przyjmująca wartości w przedziale [0, 1]
Wprowadzenie
Pojęcia podstawowe
• Zdarzenie elementarne
• Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie,
którego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie informacje
o zbiorze możliwych wyników tego doświadczenia. Wynik
doświadczenia losowego wykluczający inne możliwe wyniki
nazywamy zdarzeniem elementarnym.
• Zdarzenie elementarne to możliwy wynik doświadczenia
losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór
zdarzeń elementarnych. Może on być
,
bądź
.
Zbiór ten zwykle oznacza się wielką
omega,
czyli Omega.
Pojęcia podstawowe
• Zdarzenie losowe
• Zdarzenia losowe to pewne
przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo to funkcja P(X), która przyporządkowuje każdemu
elementowi zbioru zdarzeń losowych pewną nieujemną wartość rzeczywistą i
ma następujące własności:
•P(Ω) = 1, gdzie Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych
•prawdopodobieństwo sumy przeliczalnego zbioru zdarzeń parami
rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:
P(A1 ∪ ... ∪ An ∪ ... ) = P(A1) + ... + P(An) + ...
Wartość P(X) nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia X
Definicja klasyczna
prawdopodobieństwa
(Laplace'a)
Sposób liczenia prawdopodobieństwa podał po
raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku
1812. Definicję tę nazywamy klasyczną:
'''Prawdopodobieństwem''' zajścia zdarzenia ''A''
nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających
zdarzeniu ''A'' do liczby wszystkich możliwych
przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki
wzajemnie się wykluczają i są jednakowo
możliwe.
Prawdopodobieństwo w ujęciu
potocznym
Potocznie prawdopodobieństwo to pojęcie określające
nasze oczekiwania co do rezultatu danego zdarzenia,
którego wynik zależy wyłącznie od przypadku. Jeśli jakieś
mające nastąpić zdarzenie (np. rzut kostką), może przyjąć
kilka rezultatów (liczba oczek), to jeden z rezultatów (liczba
oczek większa od 1) możemy opisać jako bardziej
prawdopodobny od drugiego (liczba oczek równa 1), jeżeli
na podstawie jakiejś przesłanki (np. poprzednich
doświadczeń), nasze oczekiwania co do wystąpienia
rezultatu A są większe niż co do wystąpienia rezultatu B.
Definicja prawdopodobieństwa w oparciu o subiektywne
odczucia jest oczywiście zupełnie nieprzydatna dla celów
praktycznych. Brak sformalizowanej definicji musieli
szczególnie dotkliwie odczuwać pierwsi "praktycy" teorii
prawdopodobieństwa, czyli nałogowi hazardziści.
Prawdopodobieństwo a
częstość
Przypuśćmy, że ktoś zaproponował nam grę losową: "orzeł
wygrywamy, reszka przegrywamy". Na pewno zanim zagramy,
będziemy chcieli zbadać jakie są szanse wygranej,
przeprowadzamy więc doświadczenie, polegające na wielokrotnym
rzucie monetą. Rzucamy 100 razy, orzeł wypadł 48 razy, a więc w
48/100 = 0,48 wszystkich przypadków. Kontynuujemy
doświadczenie, po 1000 rzutów orzeł wypadł 508 razy, czyli w
508/1000 = 0,508 wszystkich przypadków. Zaobserwowaliśmy, że
badany przez nas iloraz jest ciągle bliski wartości 0,5. Znaleziona
przez nas wielkość to częstość wypadania orła. Teraz mamy już
pewne wyobrażenie o zaproponowanej grze.
Co jednak stałoby się, jeśli nie mielibyśmy możliwości
przeprowadzenia doświadczenia? Chcielibyśmy mieć możliwość
obliczenia prawdopodobieństwa wyrzucenia orła przed pierwszym
rzutem. Możemy zauważyć, że są tylko dwa rezultaty: orzeł i
reszka. Ponieważ obydwa rezultaty są jednakowo możliwe, dlatego
orzeł powinien pojawić się w 1/2 = 0,5 możliwych przypadków.
Obliczyliśmy prawdopodobieństwo zdarzenia bez konieczności
przeprowadzania doświadczenia.
Zmienna losowa
Wielkość liczbową X zależną od przypadku i taką, że
dla dowolnych stałych a<b określone jest prawdo-
podobieństwo, że X przybierze wartości z przedziału
(a,b) nazywamy zmienną losową. Wyznaczenie
rozkładu zmiennej losowej X polega na wyznaczeniu
wartości liczbowej prawdopodobieństw :
b
X
a
Dla wszystkich możliwych wartości a i b.
Zmienne losowe dzielimy na:
• ciągłe; zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału
(w szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych)
• skokowe (dyskretne); zmienna przyjmuje dowolne wartosci ze zbioru
przeliczalnego (np. zbiór liczb całkowitych z określonego przedziału)
PRZYKŁAD
Rzucamy kostka sześcienną do gry. Liczba wyrzuconych oczek jest zmienną
losową X. Wynik każdego rzutu jest wartością tej zmiennej (x).
Zbiór wartości zmiennej losowej jest następujący:
Liczba wyrzuconych oczek jest zmienna losową dyskretną.
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
{
X
DYSTRYBUANTA zmiennej losowej
X
Niech x oznacza liczbę rzeczywistą, zaś X zmienną losową.
Dla każdego x można obliczyć prawdopodobieństwo tego,
że zmienna X przyjmie wartość mniejszą lub równą x P(X
<= x).
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F
określoną na zbiorze liczb rzeczywistych taką, że:
F(x) = P(X <= x).
Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, to znaczy, że dla
dowolnych x1 i x2 takich, że x1 < x2 zachodzi nierówność
F(x1)<=F(x2).
W niektórych podręcznikach przy określaniu dystrybuanty
wprowadza się definicję:
F(x) = P (X < x).