Wykład 03

Witold Obłoza

24 listopada 2010

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 21

Jeżeli lim

n→∞

a

n

= 0, a ciąg {b

n

} jest ograniczony to lim

n→∞

a

n

b

n

= 0.

DOWÓD:

Niech |b

n

| ≤ M. Dla n > n

0

|a

n

| <

ε

M

Stąd dla n > n

0

|a

n

b

n

| = |a

n

||b

n

| <

ε

M

M = ε,

a to oznacza, że lim

n→∞

a

n

b

n

= 0.

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 22

Jeżeli lim

n→∞

h

n

= 0, lim

n→∞

c

n

= c > 0

to

lim

n→∞

c

h

n

n

= 1.

DOWÓD:

Z definicji granicy mamy ∃n

0

takie, że ∀n ≥ n

0

c

2

≤ c

n

≤

3c

2

,

a stąd min

(



c

2



h

n

,

 3c

2



h

n

)

≤ c

h

n

n

≤ max

(



c

2



h

n

,

 3c

2



h

n

)

Wystarczy więc pokazać, że lim

n→∞

c

h

n

= 1.

TWIERDZENIA O GRANICACH

Wiemy, że lim

k→∞

c

−1

k

= lim

k→∞

c

1
k

= 1.

Zatem ∀ε > 0

dla

∀k > k

0

c

−1

k

, c

1
k

∈ (1 − ε, 1 + ε)

Ale ∀k

∃n

0

∀n ≥ n

0

−

1
k

< h

n

<

1
k

,

Więc ∀n > n

0

c

h

n

∈ (1 − ε, 1 + ε) co kończy dowód.

SYMBOLE OZNACZONE

DEFINICJA 23
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

zmierza do 0 po wartościach dodatnich

( odpowiednio ujemnych )

wtw, gdy ∃n

0

∀n > n

0

a

n

> 0

( odpowiednio ∃n

0

∀n > n

0

a

n

< 0 ) oraz lim

n→∞

a

n

= 0.

Zapisujemy lim

n→∞

a

n

= 0

+

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= 0

−

).

TWIERDZENIE 24
Jeżeli lim

n→∞

a

n

= 0

+

, lim

n→∞

b

n

= 0

−

lim

n→∞

c

n

= c > 0, lim

n→∞

d

n

= d < 0

zaś lim

n→∞

p

n

= +∞, lim

n→∞

q

n

= −∞ to

lim

n→∞

c

n

a

n

= ∞,

lim

n→∞

c

n

b

n

= −∞,

lim

n→∞

d

n

a

n

= −∞,

lim

n→∞

d

n

b

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

a

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

b

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

a

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

b

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

· c

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

· d

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

· c

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

· d

n

= ∞,

SYMBOLE OZNACZONE

Jeżeli lim

n→∞

c

n

= c ≥ 0, lim

n→∞

p

n

= +∞, lim

n→∞

q

n

= −∞ i c < 1 to

lim

n→∞

c

p

n

n

= 0,

lim

n→∞

c

q

n

n

= ∞,

gdy c > 1 to

lim

n→∞

c

q

n

n

= 0,

lim

n→∞

c

p

n

n

= ∞.

UWAGA 25
Na mocy powyższego twierdzenia symbole

”

c

0

+

” ,

”

c

0

−

”,

”

±∞

0

+

”,

”

±∞

0

−

”,

” ± ∞ · c”

oraz ”c

±∞

” dla

c 6= 1

s

,

a symbolami oznaczonymi.

SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY

DOWODY:

Dla lim

n→∞

a

n

= 0

+

i lim

n→∞

c

n

= c > 0 mamy

∀M > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a

n

<

c

2M

oraz

∃n

2

∀n > n

2

0 <

c

2

< c

n

.

Dla n > n

0

= max{n

1

, n

2

} mamy

c

n

a

n

>

c
2
c

M

= M.

Oznacza to, że lim

n→∞

c

n

a

n

= ∞.

SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY

DOWODY:

Dla lim

n→∞

b

n

= 0

−

i lim

n→∞

p

n

= +∞, mamy

∀M < 0 ∃n

1

∀n > n

1

p

n

> −M oraz

∃n

2

∀n > n

2

−1 < b

n

< 0.

Dla n > n

0

= max{n

1

, n

2

} mamy

p

n

b

n

<

−M

b

n

< M.

Oznacza to, że lim

n→∞

p

n

b

n

= −∞.

SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY

DOWODY:

Dla lim

n→∞

c

n

= c > 1 i lim

n→∞

q

n

= −∞, mamy

∃n

1

∀n > n

1

c

n

>

1 + c

2

> 1

stąd ∀n > n

1

c

q

n

n

<

 1 + c

2



q

n

=



2

1 + c



−q

n

.

∀ε ∃n

2

∀k > n

2

> 0



2

1 + c



k

< ε.

Ustalmy k > n

2

.

∃n

3

∀n > n

3

−q

n

> k

( lim

n→∞

q

n

= −∞)

Dla ∀n > max{n

1

, n

3

} mamy c

q

n

n

<



2

1 + c



−q

n

<



2

1 + c



k

n

< ε.

Oznacza to, że lim

n→∞

c

q

n

n

= 0.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

TWIERDZENIE 26
Symbolami nieoznaczonymi s

,

a

”0 · (±∞)”,

”

0
0

”,

”

∞
∞

”,

”∞ − ∞”,

”0

0

”,

”∞

0

”,

”1

±∞

”.

UZASADNIENIA:

Dla ”0 · (+∞)”

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

· b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

= n

2

−→ ∞

i

a

n

· b

n

= n −→ ∞.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”

0
0

”

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

n

b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

2

−→ 0

i

a

n

b

n

= n −→ ∞.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”

∞
∞

”

a

n

= n −→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

= n

2

−→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

b

n

= n −→ ∞.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”∞ − ∞”

a

n

= (n + 1) −→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

− b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

= 2 · n −→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

− b

n

= n −→ ∞.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”0

0

”

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

=

1

n

√

n

−→ 1, ale

a

n

=

1

n

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

=

1

n

−→ 0.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”∞

0

”

a

n

= n −→ ∞,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

=

n

√

n −→ 1, ale

a

n

= n

n

−→ ∞,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

= n −→ ∞.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”1

∞

”

a

n

= 1 −→ 1,

b

n

= n −→ ∞

i

a

b

n

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

= (1 +

1

n

) −→ 1,

b

n

= n −→ ∞

i

a

b

n

n

= (1 +

1

n

)

n

−→ e.

GRANICA DOLNA I GRANICA GÓRNA

DEFINICJA 27

Niech A ⊂ R ∪ {−∞, ∞} b

,

edzie zbiorem punktów skupienia ( właściwych

i niewłaściwych ) ci

,

agu {a

n

}. Granic

,

a górn

,

a ci

,

agu {a

n

} nazywamy liczb

,

e

lim sup a

n

=











∞

gdy ∞ ∈ A,

sup A

gdy A ∩ R 6= ∅ ∧ ∞ /

∈ A,

−∞

gdy A = {−∞}.

Granic

,

a doln

,

a ci

,

agu {a

n

} nazywamy liczb

,

e

lim inf a

n

=











−∞

gdy − ∞ ∈ A,

inf A

gdy A ∩ R 6= ∅ ∧ −∞ /

∈ A,

∞

gdy A = {∞}.

Szeregi liczbowe

DEFINICJA 28

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {a

n

}

∞
n=l

.

Określamy ci

,

ag sum cz

,

eściowych {S

n

}

∞

n=1

szeregu

∞

P

n=l

a

n

wzorem

S

n

=

n

P

k=1

a

k

.

Mówimy, że szereg

∞

P

n=l

a

n

jest zbieżny, jeżeli jego ci

,

ag sum cz

,

eściowych

jest zbieżny do granicy właściwej.

W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

SZEREGI LICZBOWE

PRZYKŁAD 29

Szereg

∞

P

n=1

1

n(n + 1)

jest zbieżny.

DOWÓD:

S

n

=

n

P

k=1

1

k(k + 1)

=

n

P

k=1

(

1

k

−

1

k + 1

) =

n

P

k=1

1

k

−

n

P

k=1

1

k + 1

= 1 +

n

P

k=2

1

k

−

n−1

P

k=1

1

k + 1

−

1

n + 1

=

1 +

n−1

P

k=1

1

k + 1

−

n−1

P

k=1

1

k + 1

−

1

n + 1

= 1 −

1

n + 1

−→ 1