1 

 

AGH, Wydział Energetyki i Paliw, kierunek Energetyka 
Rok 2014/2015 
Inżynieria Materiałowa w Energetyce – ćwiczenia 
Zajęcia 6. - zadania 
 

Krystalografia: punkty, kierunki, płaszczyzny 

Literatura: 

1.  Krystalografia, Z. Bojarski, M. Gigla, K. Stróż, M. Surowiec, Wydawnictwo Naukowe PWN, 

2007 

2.  Materials Science and Engineering. An Introduction. W.D. Callister, John Wiley & Sons 2007.  

Rozdz. 3. The structure of crystalline solids. 

 

2 

 

Informacje z zajęć: 

Krystalograficzny układ współrzędnych: 

W krystalografii stosuje się prawoskrętny układ współrzędnych o 
osiach równoległych do krawędzi komórki elementarnej oraz o 
jednostkach równych długościom odpowiednich krawędzi 
komórki elementarnej. 

 

Sposób wyznaczania współrzędnych kierunku krystalograficznego 

0.  (!) Jeżeli prosta nie przechodzi przez początek układu 

współrzędnych należy wybrać inną prostą do niej 
równoległą (lub przesunąć układ współrzędnych), aby 
prosta przechodziła przez początek układu 
współrzędnych 

1.  Określ współrzędne punktu przecięcia prostej z 

przeciwległą ścianą komórki elementarnej 

2.  Sprowadź ułamki do najmniejszych liczb całkowitych 
3.  Współrzędne kierunku: [uvw] (Ujemny współczynnik 

jest oznaczany poziomą kreską ponad liczbą). 

 Na rysunku przedstawiono kierunek [120].

 

 

Sposób wyznaczania współrzędnych płaszczyzny krystalograficznej (wskaźniki Millera) 

0.  (!) Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez początek układu 

współrzędnych należy wybrać inną równoległą 
płaszczyznę lub przesunąć początek układu 
współrzędnych. 

1.  Wyraź współrzędne punktów przecięcia osi jako ułamki 

parametrów sieciowych a, b i c.  

Dla płaszczyzny równoległej do osi punkt przecięcia znajduje 
się w nieskończoności.

 

2.  Oblicz odwrotności ułamków. 
3.  Sprowadź odwrotności do najmniejszych liczb 

całkowitych. 

4.  Współrzędne płaszczyzny: (hkl). 

 

Na rysunku przedstawiono płaszczyznę (423). 

3 

 

Zadania: 

1.  Naszkicuj komórkę elementarną struktury regularnej przestrzennie centrowanej i zapisz 

położenia wszystkich atomów. 

2.  Naszkicuj tetragonalną komórkę elementarną (prostopadłościan o podstawie kwadratu) i 

zaznacz w niej pozycje o współrzędnych: a) 1 1 ½ i b) ½ ¼ ½. 

3.  W regularnej komórce elementarnej narysuj proste o współrzędnych [1 1 0], [1 1̅ 0], [1̅ 1 0], 

[1̅ 1̅ 0]. 

4.  W regularnej komórce elementarnej wyznacz następujące kierunki: [1 0 1], [2 1 1], [1 0 2̅], 

[3 1̅ 3], [1̅ 1 1̅], [2̅ 1 2], [3 1̅ 2], [3 0 1]. 

5.  Określ współrzędne prostych A, B, C i D na rysunku: 

 

6.  W regularnej komórce elementarnej narysuj płaszczyzny o wskaźnikach (1 1 0), (1 1̅ 0),  

(1̅ 1 0), (1̅ 1̅ 0). 

7.  W regularnej komórce elementarnej narysuj następujące płaszczyzny: (1 0 1̅), (2 1̅ 1) (0 1 2), 

(0 1 2), (3 1̅ 3), (1̅ 1 1̅), (2̅ 1 2), (3 1̅ 2), (3 0 1). 

8.  Określ wskaźniki płaszczyzn A i B na rysunku: 

 

 

Dla sprawdzenia poprawności rozwiązania zadań proponuję wykonać zadania odwrotne, tj. określić współrzędne 
narysowanych prostych lub płaszczyzn lub ponownie narysować płaszczyznę o wyznaczonych wskaźnikach.