1
Instytut Mikroelektroniki i Optoelektroniki
Zespół Laboratoriów Przyrządów Półprzewodnikowych
Pomoce dydaktyczne oraz instrukcja wykonawcza
do ćwiczenia pod tytułem:
„Kontakt półprzewodnik-półprzewodnik – złącze p-n”
(Z)
Opracowanie: dr inŜ. Aleksander Werbowy
I
. Część teoretyczna
1.
Fale materii – energia elektronu w nieskończonej i skończonej studni potencjału
Immanentną cechą materii jest jej dualna korpuskularno-falowa natura. Oznacza to, Ŝe
poruszające się cząstki, jak np. elektrony moŜna opisywać jako fale materii. Długość takiej
fali (nazywanej długością fali de Broglie’a) określa zaleŜność:
h
p
λ
=
,
(1)
gdzie: h jest stałą Plancka zaś p – pędem poruszającej się cząstki.
Jednym z przejawów falowej natury elektronu jest kwantyzacją jego energii (tzn. fakt, iŜ
elektron moŜe posiadać tylko ściśle określone wartości energii) w przypadku, gdy staje się on
zlokalizowany przestrzennie, czyli ograniczony w swoim istnieniu do pewnego skończonego
obszaru w przestrzeni. Taką pułapką jest tzw. studnia potencjału, tj. obszar o pewnych
skończonych rozmiarach ograniczony na krańcach barierami potencjału, zwanymi teŜ
barierami energetycznymi (o nieskończonej (sytuacja wyidealizowana) lub skończonej
(sytuacje rzeczywiste) wysokości). Bariery potencjału uniemoŜliwiają po prostu ucieczkę
elektronom, których energia jest mniejsza od potencjału bariery. Dyskretyzacja energii
elektronu staje się widoczna w przypadku studni o rozmiarach nanometrowych (tj. rzędu
10
-9
m), a wiec porównywalnych z długością fali de Broglie’a elektronu. Dla rozmiarów
przestrzennych znacznie większych (albo dla bardzo duŜych wartości liczb kwantowych
(np. głównej n)), zgodnie z zasadą korespondencji Bohra, efekt ten zanika, a dokładniej
rzecz ujmując staje się niedostrzegalny, gdyŜ skwantowane wartości energii elektronów
zaczynają się od siebie coraz mniej róŜnić, przechodząc płynnie w quasi ciągłe kontinuum
stanów, tj. z obszaru zjawisk i cech dających się poprawnie opisać tylko na gruncie fizyki
kwantowej do obszaru poprawnie opisywanego przez fizykę klasyczną.
W ogólności kaŜda fala materii (a więc równieŜ ta związana z elektronem) poruszająca
się w przestrzeni tak, iŜ nie jest w Ŝaden sposób ograniczona, tj. nie działa na nią Ŝadna siła
wypadkowa (a więc np. cząstka-fala nie znajduje się w Ŝadnym polu energii potencjalnej)
moŜe przyjmować kaŜdą dowolną (rozsądną) długość (czyli i częstość) – analogicznie jak
„klasyczna” fala biegnąca wzdłuŜ napręŜonej nieskończonej (albo dostatecznie długiej, aby
z dobrym przybliŜeniem za nieograniczoną ją uznać) liny. Natomiast w przypadku, gdy fala
materii zostanie w jakimś polu sił uwięziona (przypomnijmy, iŜ oznacza to jej lokalizację
przestrzenną), moŜe przyjmować juŜ jedynie wybrane długości. Inne, pośrednie, nie są
dopuszczalne. Podobnie, jak w linie skończonej (albo np. strunie gitary), w której moŜe
rozchodzić się tylko fala stojąca (a nie biegnąca, jak w nieskończonej) i to tylko o pewnych
dyskretnych długościach, a więc i częstościach (rys. 1). W rozwaŜaniach dotyczących fal
materii, zamiast długości czy częstości wygodniej jest zazwyczaj rozpatrywać ich energie E,
które moŜna określić przekształcając odpowiednio wzór de Broglie’a (1):
2
2
2
2
2
2
e
e
h
p
E
m
m
λ
=
=
,
(2)
gdzie m
e
jest masą elektronu. A skoro długość fali w dyskutowanym przypadku moŜe
przyjmować tylko określone wartości, to tym samym i jej energie będą skwantowane.
(a)
(b)
Rys.1 Fala stojąca w linie skończonej (a) i biegnąca w linie nieskończonej (b).
2.
Poziomy energetyczne elektronu w atomie izolowanym
Prostym przykładem rzeczywistej pułapki elektronowej jest kaŜdy atom, a najprostszym –
atom wodoru. Dodatni ładunek protonu i ujemny elektronu powodują, iŜ obydwie cząstki
przyciągają się elektrostatycznie. To samo dzieje się w atomach cięŜszych pierwiastków, tyle
Ŝe z rosnącą liczbą atomową Z, czyli po prostu liczbą protonów w jądrze, w ten sam sposób
wzrasta liczba elektronów je otaczających. MoŜna więc powiedzieć, Ŝe atom jest pułapką
dla elektronu lub elektronów ograniczając ich ruch do pewnego obszaru w przestrzeni
(aczkolwiek pamiętajmy o tym, Ŝe zawsze z pewnym niezerowym prawdopodobieństwem
elektron moŜe być gdzie indziej, nawet na krańcu wszechświata !). Wobec tego, w świetle
wcześniejszej dyskusji, elektron moŜe w atomie przebywać tylko w wybranych dyskretnych
stanach kwantowych o tj. stanach o pewnych wybranych energiach.
Rozpatrując atomy z tego punktu widzenia naleŜy pamiętać, Ŝe formalnie rzecz ujmując
tak naprawdę zawsze określamy energię potencjalną układu elektron-proton (czyli całego
atomu). Zazwyczaj jednak (ale nie zawsze !) energię w całości moŜna przypisać elektronowi,
poniewaŜ ma masę znacznie mniejszą od masy protonu (o 3 rzędy wielkości), więc niejako
to proton „rządzi” ruchem elektronu a nie na odwrót (po prostu obiekty mniej masywne
doznają w polu sił elektromagnetycznych znacznie większego przyspieszenia niŜ masywne).
Dozwolone wartości energii elektronu w atomie (nazywane teŜ poziomami
energetycznymi czy powłokami elektronowymi) moŜna określić rozwiązując równanie
Schrödingera ze skończoną energią potencjalną oddziaływania elektrostatycznego układu
protony-elektrony, czyli znajdując funkcje falowe opisujące stany elektronów w takiej
skończonej studni potencjału (poniŜej podana jest wersja równania dla studni
jednowymiarowej):
( )
2
2
2
2
d
8
0
d
m
E U x
x
h
π
Ψ +
−
Ψ =
,
(3)
3
gdzie E jest całkowitą energią mechaniczną (tj. sumą energii potencjalnej i kinetycznej)
cząstki, zaś U(x) – energią potencjalną pola działających na nią sił.
Stan o najniŜszej energii jest tzw. stanem podstawowym. Jego energia nie moŜe być
równa zeru, bo to oznaczałoby zerowanie kwadratu modułu funkcji falowej elektronu (czyli
gęstości prawdopodobieństwa), co z kolei byłoby równoznaczne z brakiem elektronu
w studni potencjału, czyli w atomie (lecz pamiętać naleŜy, iŜ dotyczy to tylko fal materii (w
tym przypadku elektronów) zlokalizowanych – niezlokalizowane mogą mieć energię
zerową). Elektrony, jak wszystko w przyrodzie, dąŜą do osiągnięcia dostępnego stanu o jak
najniŜszej energii, więc w atomie w naturalny sposób będą obsadzać poziomy poczynając
od najniŜszego (względem jądra). Nie stłoczą się na jednym poziomie o najniŜszej energii, bo
elektrony (jak i wiele innych cząstek zwanych fermionami (zaliczają się do nich takŜe
np. protony)) podlegają tzw. zakazowi Pauliego, regule, która mówi, Ŝe w dowolnym
układzie złoŜonym z oddziałujących na siebie cząstek (jak choćby właśnie elektrony
w atomie) nie moŜe być nawet 2 o identycznym zestawie pewnych cech, tzw. liczb
kwantowych, określających dopuszczalne stany kwantowe w jakich te cząstki mogą się
znaleźć. Innymi słowy w atomie nie moŜe być elektronów w tym samym, identycznym stanie
kwantowym. Z tego właśnie względu elektrony okupują coraz wyŜsze energetycznie
poziomy. Gdy mamy do czynienia z atomem o tak właśnie obsadzonych poziomach,
mówimy, Ŝe znajduje się on w stanie podstawowym (inaczej – niewzbudzonym). Rozwiązania
równania Schrödingera pokazują jednak, Ŝe w kaŜdym atomie obok owych
„podstawowych” istnieją takŜe „potencjalne” (oczywiście nadal dyskretne) poziomy
energetyczne, tj. takie, które mogą zostać zajęte przez elektrony, pod warunkiem, Ŝe zyskają
skądś potrzebną do takiego przeskoku energię (rozwaŜamy tu oczywiście stany o energiach
mniejszych niŜ energia potencjalna układu jądro-elektron – jeśli elektron zyska energie
większą, to po prostu uwolni się z pola oddziaływania jądra i opuści studnie potencjału
stając się elektronem swobodnym. Taką sytuację nazywamy jonizacją atomu (rys. 2).
(a)
(b)
Rys. 2 Nieskończona studnia potencjału (a) i skończona (b) oraz odpowiadające im
diagramy poziomów energetycznych
4
Jeśli elektron wędruje na wyŜszy poziom, mówimy o wzbudzeniu atomu/elektronu, ale jest
to generalnie stan „nienaturalny” i układ „z chęcią” powraca do stanu o najniŜszej moŜliwej
energii, czyli stanu podstawowego. Stany wzbudzone są więc krótkotrwałe (typowo
∆t
≅
10
-8
s), w rezultacie czego związane z nimi poziomy energetyczne nie są juŜ „ściśle”
dyskretne, jak stany podstawowe, lecz nieco rozmyte. Jest to ponownie przejaw falowej
natury materii, tym razem manifestującej się w postaci nieoznaczoności charakteryzującej
pewne pary wielkości fizycznych. Opisuje to zasada nieoznaczoności Heisenberga ∆E∆t
≥
h,
która natychmiast pozwala wyznaczyć szerokość, czyli rozmycie energetyczne takich
poziomów w atomach:
h
E
t
∆ ≅
∆
(4)
Typowe rozmycie poziomu energetycznego stanu wzbudzonego jest w takim razie rzędu
10
-7
eV. Jeszcze raz naleŜy podkreślić, Ŝe nie odnosi się to do stanów podstawowych
w atomie, gdyŜ czas przebywania w nich elektronów → ∞, w związku z czym ich rozmycie
energetyczne → 0 (rys. 3).
Rys. 3 Rozmycie energetyczne poziomów wzbudzonych w izolowanym atomie
3.
Poziomy energetyczne elektronu w krysztale; pasmowy model energetyczny ciała
stałego
W atomie izolowanym znajdującym się w stanie podstawowym poziomy energetyczne
przyjmują zatem dyskretne wartości (zaś wzbudzone są nieznacznie rozmyte). Sytuacja
zmienia się jednakŜe, gdy atomy zaczynają się do siebie zbliŜać, czyli np. gdy powstawać
zaczyna ciało stałe. Wówczas bowiem atomy zaczynają one „odczuwać” swoją obecność,
co wynika z faktu, Ŝe funkcje falowe ich elektronów zaczynają się na siebie nakładać,
poczynając przy tym oczywiście od funkcji falowych elektronów najbardziej zewnętrznych,
tzw. walencyjnych. Pojawia się teŜ skończone prawdopodobieństwo ich tunelowania
pomiędzy atomami. Powłoki wewnętrzne natomiast (nie mówiąc juŜ o funkcjach falowych
protonów i neutronów tworzących jądro, czyli po prostu funkcjach falowych jądra
atomowego) prawie na siebie nie oddziałują, bo odległości rozdzielające atomy w ciele
stałym (tzw. stałe sieci krystalicznej) w porównaniu z ich rozmiarami przestrzennymi są
znacznie większe. W rezultacie obsadzające je elektrony są bardzo silnie zlokalizowane
i związane z „macierzystym” jądrem atomowym, przebywając tam praktycznie „zawsze”
(bo prawdopodobieństwo tunelowania przez tak wysokie i szerokie bariery energetyczne jest
bliskie 0). Ponowne zastosowanie zasady nieoznaczoności pokazuje Ŝe tym razem nawet
poziomy podstawowe w atomie są rozmyte (choć minimalnie, np. dla poziomu 1s w atomie
sodu ∆E
≅
10
-19
eV) – patrz rys. 4a.
W miarę zbliŜania się atomów i rosnącego przekrywania się funkcji falowych elektronów,
przede wszystkim walencyjnych, zaczyna takŜe działać zakaz Pauliego. Tym razem
5
manifestuje się jednak inaczej, niŜ w przypadku obsadzania dozwolonych poziomów
w atomie izolowanym. Formując ciało stałe, np. kryształ z dowolnych atomów, przysuwamy
ku sobie atomy, z których w kaŜdym najniŜsze, podstawowe stany kwantowe są juŜ
obsadzone. Pozostają w takim razie do dyspozycji jedynie stany wzbudzone, a jak wiemy
elektrony przebywają w nich krótko a ponadto przeniesienie na nie elektronów ze wszystkich
głębokich powłok (a więc bardzo silnie związanych z jądrem macierzystym) stanowiłoby
bardzo duŜy wydatek energetyczny. Znacznie korzystniejsze energetycznie okazuje się inne
rozwiązanie. OtóŜ gdy elektrony tylko zaczynają odczuwać wzajemne oddziaływanie,
wartości energii zajmowanych przez nie poziomów w kaŜdym z atomów zaczynają się
rozszczepiać, tzn. przyjmować nieco inne wartości od tych w stanie izolowanym. I tak dla 2
zbliŜających się atomów kaŜdy dyskretny poziom rozszczepi się na 2 podpoziomy. Jeśli więc
przykładowo powstaje kryształ miedzi, której kaŜdy atom otacza 29 elektronów (co oznacza,
Ŝe znajdują się one w 29 róŜnych stanach kwantowych), to po zbliŜeniu 2 atomów
dostaniemy w sumie 2x29 czyli 58 podpoziomów itd. Innymi słowy, w układzie złoŜonym z N
atomów kaŜdy poziom izolowanego atomu ulegnie rozszczepieniu na N podpoziomów. Ich
sumaryczna liczba z kolei wyniesie N
×
liczba poziomów elektronowych w pojedynczym
atomie. W ten sposób kaŜdy dyskretny w izolowanym atomie poziom energetyczny
rozszczepia się na pasmo energetyczne złoŜone z N podpoziomów. Pasma powstałe
z najwyŜszych obsadzonych poziomów energetycznych w odizolowanych atomach są
najszersze – ich szerokość E wynosi zazwyczaj od jednego do kilku eV. Wynika z tego, Ŝe
np. w krysztale o objętości powiedzmy 1 cm
3
, czyli zawierającym ok. 10
22
atomów, nawet
w owych najszerszych pasmach odległość (energetyczna)
∆
E pomiędzy sąsiednimi
rozszczepionymi podpoziomami będzie rzędu E/10
22
eV, czyli jakieś 10
-22
eV ! MoŜna więc
powiedzieć, Ŝe podpoziomy te tworzą de facto ciągłe (ściśle rzecz jasna biorąc quasi
ciągłe) pasmo energetyczne (rys. 4b). Zwróćmy przy tym uwagę, Ŝe im większy kryształ
(więcej atomów), tym
∆
E mniejsza – w przypadku kryształu nieskończonego
∆
E spadłaby do
0 i pasma stałyby się faktycznie ciągłe.
E
atom Na
E
kryształ Na
3s
2p
2s
1s
2p
2s
1s
E
j
=5,14 eV
5,5 eV
E = 10
-19
eV
6N stanów
Konfiguracja elektronowa 1s
2
2s
2
2p
6
3s
1
3s
0
2N stanów
2N stanów
e
n
e
rg
ia
(a)
(b)
Rys. 4 Poziomy energetyczne w izolowanym atomie sodu i krysztale sodu (skala na osi energii
niezachowana) (a) oraz układ pasm i przerw energetycznych tworzących strukturę
energetyczną (model pasmowy) wyidealizowanego kryształu (b)
Pasma te, podobnie jak dyskretne poziomy w odizolowanych atomach, rozdzielone są
przez obszary energii zabronionych, tj. takich, których elektrony przyjmować nie mogą.
6
Warto tu zauwaŜyć prawidłowość, Ŝe im głębiej w stronę jądra, tym szerokość pasm
dozwolonych mniejsza zaś przerw większa (ich szerokości stają się tego samego rzędu
właściwie dla najwyŜej połoŜonych pasm energetycznych oraz rozdzielających je przerwy
zabronionej). Reprezentacja graficzna takiego układu pasm i przerw energetycznych
tworzących strukturę energetyczną ciała stałego nazywamy modelem pasmowym (rys.4b).
WiąŜe się to ze wzmiankowanym juŜ faktem, iŜ funkcje falowe elektronów obsadzających
niŜsze poziomy energetyczne przekrywają się z funkcjami falowymi elektronów innych
atomów w znacznie mniejszym stopniu niŜ funkcje falowe elektronów z powłok
zewnętrznych, czyli po prostu słabiej ze sobą oddziałują, co skutkuje mniejszym
rozszczepieniem tych poziomów – moŜna powiedzieć, Ŝe te głębsze poziomy są „bardziej”
ciągłe.
Podpoziomy energetyczne w pasmach kryształu, podobnie jak to się dzieje z dyskretnymi
poziomami w izolowanym atomie, obsadzane są poczynając od tych o najniŜszych
energiach, aczkolwiek występują pewne odstępstwa od tej reguły, bo atom, jak juŜ wiemy,
musimy traktować całościowo. OtóŜ bywa, Ŝe w atomie (dotyczy to cięŜszych pierwiastków)
niektóre z niŜszych poziomów podstawowych nie są obsadzane, bo elektrony w stanie
podstawowym lokują się na poziomach wyŜszych. WiąŜe się to z faktem, iŜ energia atomu
o tak ulokowanych elektronach jest niŜsza niŜ atomu, w którym elektrony zapełniałyby
literalnie poziomy od najniŜszego do najwyŜszego.
NajwyŜsze pasmo energetyczne obsadzone w temperaturze zera bezwzględnego
nazywamy pasmem walencyjnym bo zajmują je właśnie elektrony walencyjne, czyli
pochodzące z ostatniej, najbardziej zewnętrznej powłoki kaŜdego z atomów. Natomiast
pierwsze z kolei całkowicie nieobsadzone w temperaturze 0 K pasmo nazywane jest
pasmem przewodnictwa. W modelach energetycznych (jak i wielu innych rozwaŜaniach)
ograniczamy się zazwyczaj tylko do tych ostatnich pasm, bo właściwie o wszystkich
cechach materii w skali makroskopowej (czyli np. jej własnościach fizycznych czy
chemicznych) decyduje struktura atomowych powłok walencyjnych i oddziaływanie
obsadzających je elektronów (gdyŜ, jak wspomniano, głębiej zlokalizowane elektrony
praktycznie nie oddziałują z otoczeniem).
(a)
7
(b)
Rys. 5 Rozszczepianie się energetycznych poziomów przy tworzeniu się kryształów sodu (a)
i diamentu (b) oraz wynikające z tego struktury energetyczne obydwu materiałów
W zaleŜności od rodzaju atomów tworzących ciało stałe ich poziomy energetyczne
mogą się rozszczepiać w taki sposób, Ŝe powstające pasma będą się na siebie się nakładać
albo i nie – wówczas będą rozdzielone obszarami energii niedozwolonych dla elektronów,
nazywanymi przerwami energetycznymi E
g
(rys. 5). W analogiczny sposób rozszczepiać się
będą równieŜ i „ewoluować” wyŜsze pasma, nieobsadzone w sytuacji, gdy atom pozostaje
w stanie podstawowym – są one przecieŜ obszarami energii potencjalnie dostępnymi dla
elektronów, aczkolwiek zazwyczaj rozpatrywanie ich zachowania nie ma znaczenia
praktycznego.
4. Dielektryki, półprzewodniki i metale
Materiały, których pasmo walencyjne jest całkowicie obsadzone w temperaturze 0 K nie
mogą w takich warunkach przewodzić prądu, nawet przy duŜych wartościach pola
elektrycznego, bo zapełniające to pasmo elektrony, ze względu na zakaz Pauliego, „nie
mają gdzie się ruszyć”, bo nie mają w swoim sąsiedztwie energetycznym stanów, na które
mogłyby przejść. A brak ruchu ładunku oczywiście oznacza brak przepływu prądu. Aby
w takim materiale elektron mógł się przemieścić, musiałby przeskoczyć do wyŜszego pasma,
gdzie ma dostępne wolne poziomy energetyczne. Jednak przerwa energetyczna E
g
między
tymi pasmami jest typowo rzędu jednego-kilku elektronowoltów. Takiej więc energii trzeba
dostarczyć elektronom, aby się tam znalazły i tym samym umoŜliwiły przepływ prądu.
Fizycznie równowaŜne jest to jednak dostarczeniu elektronom energii potrzebnej do
wyrwania elektronu walencyjnego z pola sił przyciągania elektrostatycznego atomu
macierzystego (czyli po prostu do zerwania wiązania). Tyle, Ŝe energia (kinetyczna), jaką
elektron moŜe uzyskać pokonując średnią drogę swobodną w przyłoŜonym polu
elektrycznym o typowych dla struktur elektronicznych wartościach kształtuje się na poziomie
10
-8…4
eV, czyli o rzędy wielkości za mało. Do uzyskania zauwaŜalnego przewodnictwa jest
zatem potrzebna jakaś inna metoda aktywacji elektronów. Zazwyczaj odbywa się
to poprzez dostarczenie im energii w postaci kwantów (np. promieniowania
elektromagnetycznego) o wartości większej od E
g
albo po prostu aktywacja termiczna.
W tym drugim jednak przypadku i tak mało skuteczna, gdyŜ prawdopodobieństwo
obsadzeń przez elektrony nieobsadzonych poziomów w danych warunkach (temperaturze)
8
podlega statystyce Fermiego-Diraca, z której wynika, Ŝe średnio, wskutek podgrzewania
materiału elektrony i tak mogą uzyskać przyrost energii na poziomie od kT do maksymalnie
kilku kT. A kT to przecieŜ w temperaturze pokojowej zaledwie 0,026 eV. Zawsze oczywiście
istnieje w statystycznym rozkładzie energii cząstek wysokoenergetyczny „ogon”, ale
obejmuje niewielką ich liczbę, więc sama aktywacja termiczna w takim materiale jest mało
skuteczna. Temperatury, w których by zadziałała są na poziomie ponad 10
4
K (energia 1 eV
odpowiada temperaturze ponad 11 000 K !), a więc w zakresie, w którym Ŝadne ciało stałe
nie moŜe przecieŜ istnieć.
pasmo walencyjne
pasmo
przewodnictwa
e
n
e
rg
ia
pasmo walencyjne
pasmo
przewodnictwa
E
g
>
2...3 eV
E
g
<
2...3 eV
(a)
(b)
Rys. 6 Układ pasm i przerw tworzących strukturę energetyczną (model pasmowy) izolatora
(a) i półprzewodnika (b) (na czerwono zaznaczono poziomy całkowicie obsadzone)
Materiały o opisanych własnościach w ogólności nazywamy dielektrykami. W przypadku,
gdy szerokość ich przerwy energetycznej E
g
jest nie większa niŜ 2…3 eV określane są jako
półprzewodniki (rys. 6). Czyli półprzewodnik w tym ujęciu to po prostu dielektryk z względnie
wąską przerwą energetyczną, co oznacza, Ŝe w tych samych warunkach termicznych
charakteryzuje go większe prawdopodobieństwo pokonania przez niektóre elektrony
przerwy energetycznej (więcej z nich moŜe tego dokonać, czyli łatwiej im zerwać wiązania),
a więc koncentracja tzw. swobodnych nośników ładunku jest w nich większa niŜ
w dielektrykach (choć i tak mała).
Inaczej wygląda sytuacja w materiałach, w których w ogóle nie ma przerwy zabronionej.
MoŜna przy tym wyróŜnić 2 przypadki. W pierwszym w temperaturze 0 K pasmo walencyjne
jest zapełnione częściowo. NajwyŜszy obsadzony w takich warunkach poziom nazywany jest
poziomem Fermiego, zaś odpowiadająca mu energia nosi nazwę energii Fermiego (E
F
),
która wynosi typowo kilka eV (np. w Cu E
F
= 7 eV)
1
. Drugi zaś przypadek obejmuje materiały,
w których pasmo walencyjne i przewodnictwa (powstające, przypomnijmy, z wolnych,
normalnie nieobsadzonych, czyli wzbudzonych poziomów atomowych) nakładają się
częściowo na siebie (takie zjawisko nazywamy hybrydyzacją pasma), co daje elektronom
z pasma walencyjnego (nawet jeśli je całkowicie zapełniają) obszar dostępnych,
nieobsadzonych poziomów w ich bezpośrednim sąsiedztwie energetycznym. W obydwu
1
Pokazuje to, jak mylne jest wyobraŜenie, iŜ w temperaturze zera bezwzględnego panuje całkowity bezruch –
prędkość elektronu z poziomu Fermiego (v
F
), a więc o energii E
F
moŜe być bardzo duŜa (we wspomnianej Cu
jest rzędu 1,6
×
10
6
m/s !!! – a wszystko to wynika z zakazu Pauliego).
9
przypadkach więc, zarówno częściowo zapełnione pasmo walencyjne jak i hybrydowe
pełnią rolę pasma przewodnictwa (rys. 7).
e
n
e
rg
ia
(a)
(b)
Rys. 7 Układ pasm i przerw tworzących strukturę energetyczną (model pasmowy) metali –
materiał z częściowo zapełnionym pasmem walencyjnym (a) oraz z częściowo
nakładającymi się na siebie pasmami walencyjnym i przewodnictwa (b)
W rezultacie materiały te, nawet w temperaturze zera bezwzględnego mogą przewodzić
prąd elektryczny, poniewaŜ w obydwu przypadkach w bezpośrednim energetycznym
sąsiedztwie elektrony z poziomu Fermiego i z nim sąsiadujących mają do dyspozycji quasi
kontinuum nieobsadzonych stanów energetycznych, które mogą swobodnie, nawet
w temperaturze 0 K zajmować. Jest to moŜliwe, gdyŜ poziomy te, jak juŜ pokazano,
w typowych rozmiarów materiale odległe są od siebie o 10
-22…23
eV, podczas gdy typowe
pole elektryczne moŜe im nadać energie rzędu 10
-8…4
eV. Materiały o takich własnościach
nazywamy metalami.
Oczywiście równieŜ podniesienie temperatury metalu spowoduje, iŜ część elektronów
zyska energię termiczną pozwalającą na przeniesienie się na wyŜsze, nieobsadzone poziomy
energetyczne. Nie wpływa to jednak w rzeczywistości w jakiś istotny sposób na
przewodnictwo elektryczne metali (w rzeczywistości ze wzrostem temperatury wręcz ono
spada, co tłumaczy dopiero kwantowa teoria przewodnictwa, którą jednak tu nie będziemy
się zajmować). Analogicznie, jak w przypadku dielektryków (i półprzewodników), statystyka
Fermiego-Diraca pokazuje, iŜ nawet w wysokich temperaturach rzędu 1000 K (0,086 eV),
a więc gdy materiał juŜ zaczyna świecić, tylko bardzo mikroskopijna część ogólnej liczby
elektronów przewodnictwa (znajdujących się w pobliŜu poziomu Fermiego) moŜe zostać
wzbudzona termicznie, przechodząc na wyŜsze poziomy. Prawdopodobieństwo P(E)
obsadzenia stanu przekraczającego E
F
o E opisuje zaleŜność:
( )
1
1
F
E E
kT
P E
e
−
=
+
(5)
Podstawiając do niej konkretne dane moŜemy np. się przekonać, Ŝe w temperaturze 1000 K
prawdopodobieństwo obsadzenia stanu przekraczającego E
F
o 5kT wynosi zaledwie 0,6 % !
Widać więc, Ŝe tym bardziej w przypadku półprzewodników sama aktywacja termiczna
praktycznie nic nie zmieni, gdyŜ ich przewodnictwo, nie tylko w temperaturze pokojowej
ale i w temperaturach bliskich stopienia bądź wyparowania, będzie znikomo małe, bo takaŜ
będzie liczba elektronów w paśmie przewodnictwa (w półprzewodnikach E
F
lokuje się
w przerwie zabronionej, więc wartości E-E
F
i tym samym wykładnika w zaleŜności (5) są
10
jeszcze większe). Liczbę takich elektronów przypadających na jednostkę objętości
półprzewodnika nazywamy koncentracją samoistną n
i
. Przykładowo w temperaturze
pokojowej w krzemie kształtuje się ona na poziomie 10
10
cm
-3
, podczas gdy wszystkich
elektronów walencyjnych jest tam około 10
23
cm
-3
! RóŜnica między półprzewodnikiem
a dielektrykiem o typowych rozmiarach sprowadza się więc z tego punktu widzenia tylko
i wyłącznie do tego, Ŝe w tym pierwszym przypadku istnieje realne prawdopodobieństwo
tego, iŜ drgania termiczne w materiale są w stanie przenieść jakąś (choć bardzo małą)
część elektronów do pasma przewodnictwa (bo np. w Ge E
g
= 0,7 eV a w Si E
g
= 1,1 eV),
podczas gdy w drugim (np. w diamencie, w którym E
g
= 5,5 eV) jest to praktycznie
wykluczone. Niemniej w takim ujęciu zarówno półprzewodniki, jak i dielektryki w zasadzie
niewiele się róŜnią. Natomiast kardynalnie odróŜniają się od metali. Przykładowo
koncentracja swobodnych nośników prądu w Cu, porównywalna z koncentracją atomów
miedzi, jest 10
11
razy większa niŜ w czystym Ge i aŜ 10
13
niŜ w czystym Si, bo w Ge tylko jeden
na 10 miliardów (1/10
10
) zaś w Si tylko jeden na bilion (1/10
12
) atomów oddaje swój elektron
walencyjny na rzecz przewodnictwa !
Jednak jednym z czynników, który zadecydował o karierze półprzewodników jest m.in.
fakt, Ŝe moŜna w nich zmieniać koncentracje nośników prądu (a więc i przewodnictwo)
w bardzo szerokim (rzędy wielkości) zakresie.
pasmo walencyjne
pasmo
przewodnictwa
E
g
dziury
elektrony
Rys. 8 Model pasmowy półprzewodnika z zaznaczonymi elektronami przeniesionymi do
pasma przewodnictwa i „wytworzonymi” przez nie w związku z tym dziurami w paśmie
walencyjnym
Zacznijmy od tego, Ŝe te nieliczne elektrony z pasma walencyjnego, które pozyskają
dostatecznie duŜą energię aby przejść do pasma przewodnictwa (czyli fizycznie, jak
pamiętamy, zerwać wiązanie kowalencyjne) i tym samym stać się nośnikami swobodnymi,
pozostawiają po sobie w paśmie walencyjnym wolne nieobsadzone stany energetyczne,
luki, które nazywane są dziurami (rys. 8). W takiej sytuacji pozostałe elektrony z pasma
walencyjnego zyskują pewną swobodę ruchu, bo zyskują pewną ilość nieobsadzonych teraz
stanów energetycznych, które mogą zajmować. Jeśli więc pojawi się teraz w materiale pole
elektryczne E, to elektrony w paśmie walencyjnym będą unoszone w kierunku przeciwnym
do zwrotu tego pola (jak zresztą kaŜda ujemnie naładowana cząstka), przeskakując od luki
do luki. Bez dziur ich przemieszczanie się w polu elektrycznym nadal byłoby zablokowane.
W innym ujęciu moŜna stwierdzić, Ŝe to połoŜenia dziur będą się przemieszczać, tyle Ŝe
w przeciwnym kierunku (a więc zgodnie ze zwrotem pola elektrycznego). W rezultacie
dziury zachowują się jak dodatnio naładowane cząstki (o dodatnim ładunku
elementarnym). I w taki właśnie sposób rozpatrywany jest ruch elektronów w paśmie
walencyjnym – łatwiej jest analizować i opisywać przemieszczanie się takich luk, gdyŜ jest ich
po prostu mniej niŜ samych elektronów. W rezultacie na całkowity prąd elektryczny płynący
w półprzewodniku składa się sumaryczny przepływ swobodnych elektronów w paśmie
przewodnictwa (czyli tzw. prąd elektronowy I
e
) oraz przepływ dziur w paśmie walencyjnym
11
(czyli tzw. prąd dziurowy I
d
). Łatwo to sobie wyobrazić pamiętając, Ŝe prąd dziurowy to teŜ
ruch elektronów, tyle Ŝe w paśmie walencyjnym. Właśnie fakt, iŜ w półprzewodnikach
w paśmie walencyjnym mogą powstawać wolne stany energetyczne (dziury), czyli Ŝe
elektrony mogą się jednocześnie przemieszczać na 2 poziomach energetycznych
(przewodnictwa i walencyjnym) stał się jednym z głównych czynników rozwoju elektroniki.
5. Półprzewodniki domieszkowane
Mimo, iŜ w czystym półprzewodniku, jak wspomniano, koncentracja swobodnych
nośników prądu jest bardzo mała, to sytuacja moŜe ulec znaczącej zmianie, jeśli do
półprzewodnika (a w ogólności takŜe i do izolatora) wprowadzimy odpowiednio dobrane
obce atomy, zwane domieszkami. Taki zabieg nazywamy domieszkowaniem, a realizowany
jest albo in situ, tj. w trakcie wytwarzania monokryształu półprzewodnikowego albo później,
metodą dyfuzji (zazwyczaj) wysokotemperaturowej atomów lub implantacji jonów domieszki
(czyli wysokoenergetycznego wstrzeliwania jonów domieszki w strukturę monokryształu).
Istotne jest przy tym, aby atomy te ulokowały się w węzłach sieci krystalicznej materiału, czyli
zastąpiły (często mówimy podstawiły) w nich atomy macierzyste. Zwykle jest ich niewiele
w porównaniu z liczbą atomów macierzystych – np. jeden na milion, choć we
współczesnych strukturach moŜe być ich znacznie więcej, w skrajnych przypadkach nawet
jeden na 10 000 – ale nawet ta śladowa obecność moŜe istotnie zmienić przewodność
półprzewodnika. Praktycznie wszystkie współczesne przyrządy półprzewodnikowe bazują na
materiałach domieszkowanych. Istnieją przy tym 2 rodzaje domieszkowania, zwane
domieszkowaniem typu n oraz domieszkowaniem typu p.
5.1 Półprzewodniki typu n
Rozpatrzmy kryształ krzemu. W izolowanych atomach tego pierwiastka w stanie
podstawowym (a więc niewzbudzonym) elektrony zajmują kolejne podpowłoki
energetyczne w następujący sposób:
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
2
.
Tworząc kryształ kaŜdy atom Si „przeznacza” parę elektronów z podpowłoki 3s oraz parę
z podpowłoki 3p na uformowanie mocnych 2-elektronowych wiązań kowalencyjnych
z kaŜdym z 4 sąsiadujących atomów (kaŜde 2 elektrony tworzące to wiązanie stają się
wspólne dla obydwu atomów – nazywamy je uwspólnionymi). W skali całego kryształu
wszystkie elektrony tworzące międzyatomowe wiązania kowalencyjne tworzą pasmo
walencyjne energii. Jak pamiętamy, aby jakikolwiek z tych elektronów mógł stać się
elektronem swobodnym, tj. znaleźć się w paśmie przewodnictwa musi uzyskać energię
potrzebną „fizycznie” do zerwania któregoś z tych wiązań. Minimalna wartość tej energii jest
właśnie równa energii przerwy zabronionej E
g
.
Jeśli jednak któryś z atomów Si zastąpimy atomem pierwiastka, który ma 5 elektronów
walencyjnych (np. fosforu), to 4 z nich, analogicznie do atomów krzemu utworzą z sąsiadami
wiązania kowalencyjne. Natomiast piąty elektron będzie w takiej sytuacji „nadmiarowym”,
słabo związanym z macierzystym rdzeniem atomu fosforu. W języku modelu pasmowego
moŜemy wówczas powiedzieć, Ŝe taki elektron zajmuje zlokalizowany stan energetyczny,
który znajduje się w obszarze pasma zabronionego w pewnej odległości (E
d
) poniŜej dna
pasma przewodnictwa. PoniewaŜ ta „odległość” jest niewielka, znacznie mniejsza od E
g
(a przynajmniej dla domieszek, które chcemy wykorzystać w praktyce taka powinna być),
więc taka teŜ jest energia potrzebna do wzbudzenia takiego elektronu, czyli przeniesienia
go do pasma przewodnictwa (rys. 9). Typowo jej wartość kształtuje się na poziomie setnych
części eV (np. w przypadku domieszkowania krzemu fosforem wynosi 0,044 eV), a to
oznacza, Ŝe w temperaturze pokojowej statystycznie rzecz biorąc praktycznie wszystkie
z takich elektronów są wzbudzone, a więc są swobodnymi elektronami pasma
przewodnictwa (mówimy o takiej sytuacji, Ŝe atomy domieszki są termicznie zjonizowane).
Domieszki dostarczające dodatkowych elektronów do pasma przewodnictwa nazywamy
donorami. W materiale takim w paśmie przewodnictwa jest znacznie więcej elektronów niŜ
12
dziur w paśmie walencyjnym, więc mówimy, Ŝe elektrony są tu nośnikami większościowymi
zaś dziury – mniejszościowymi.
Rys. 9 Model pasmowy półprzewodnika typu n
5.2 Półprzewodnik typu p
Rys. 10 Model pasmowy półprzewodnika typu p
Z analogiczną poniekąd sytuacją będziemy mieli do czynienia, gdy niektóre z atomów
krzemu w sieci kryształu zastąpimy atomami pierwiastka, który ma tylko 3 elektrony
walencyjne (a więc o 1 mniej niŜ Si). Takim pierwiastkiem jest np. bor. Elektrony te w ten sam
sposób, jak opisano wyŜej utworzą 3 dwuelektronowe wiązania kowalencyjne z sąsiednimi
atomami krzemu, natomiast w czwartym wiązaniu kowalencyjnym (a więc i w paśmie
walencyjnym) z czwartym sąsiadem będzie brakować jednego elektronu, czyli będzie tam
po prostu dziura. MoŜe ona zostać zapełniona niewielkim kosztem energetycznym przez jakiś
elektron z sąsiedniego wiązania pomiędzy atomami Si-Si (czy B-Si). Powstałą w ów sposób
kolejną lukę elektronową w wiązaniu moŜe zapełnić następny elektron z kolejnego wiązania,
itd. W rezultacie taka dziura w paśmie walencyjnym półprzewodnika zachowuje się jak
wiemy, jak dodatni nośnik ładunku i moŜe się przemieszczać po całej sieci krystalicznej,
dając w przypadku obecności pola elektrycznego E przyczynek do przepływu prądu
całkowitego. W kategoriach modelu pasmowego moŜemy powiedzieć, Ŝe kaŜdy atom
takiej domieszki tworzy zlokalizowany stan energetyczny znajdujący się w obszarze przerwy
13
zabronionej w pewnej odległości (E
a
) ponad wierzchołkiem pasma walencyjnego
półprzewodnika. Jak wspomniano, elektron z sąsiedniego wiązania bardzo łatwo moŜe
obsadzić ten stan, pozostawiając dziurę w paśmie walencyjnym – energia do tego
potrzebna jest niewielka, np. w przypadku boru w krzemie wynosi 0,045 eV. A to znów
oznacza, Ŝe w temperaturze pokojowej praktycznie we wszystkich atomach takiej domieszki
owe stany są obsadzone przez elektrony z pasma walencyjnego, w efekcie czego pojawia
się w nim populacja dziur (rys. 10). Domieszki opisanego właśnie typu nazywane są z kolei
akceptorami. W takim półprzewodniku znacznie więcej jest dziur w paśmie walencyjnym niŜ
elektronów w paśmie przewodnictwa, dziury są więc nośnikami większościowymi zaś
elektrony mniejszościowymi.
W sytuacji, gdy w materiale znajdują się obydwa rodzaje domieszek, o dominującym
charakterze jego przewodnictwa (elektronowe czy dziurowe) decyduje, koncentracja której
z domieszek (donorowej czy akceptorowej) jest większa.
6. Złącze p-n
Jeśli połączymy ze sobą dwa półprzewodniki o przeciwnych typach przewodnictwa, to
otrzymamy fundamentalną dla całej elektroniki strukturę zwaną złączem p-n. Zwykłe
zetknięcie czy sklejenie takich materiałów zazwyczaj nie da oczekiwanego efektu, gdyŜ aby
takie złącze powstało pomiędzy obydwoma obszarami musi istnieć ciągłe przejście
pomiędzy ich strukturami krystalicznymi. Stąd w praktyce złącze p-n wytwarzane jest na
drodze domieszkowania materiału o danym typie przewodnictwa domieszką o typie
przeciwnym. W rezultacie w materiale powstają dwa obszary: jeden, w którym większa jest
koncentracja domieszki donorowej N
D
(materiał typu n), a tym samym i elektronów
w paśmie przewodnictwa oraz drugi obszar z większą koncentracją domieszki akceptorowej
N
A
(materiał typu p), czyli dziur w paśmie walencyjnym. Umownie obydwa obszary złącza
rozgranicza tzw. złącze metalurgiczne definiowane jako miejsce, a ściślej powierzchnia, na
której koncentracje domieszek donorowej i akceptorowej się zrównują. Rzeczywiste profile
rozkładów ich koncentracji charakteryzują pewne gradienty (tj. nie są one stałe w funkcji
odległości np. od powierzchni struktury czy teŜ powierzchni metalurgicznej złącza). W wielu
jednak przypadkach (np. w celu uproszczenia modelowania takich struktur) rzeczywiste
rozkłady aproksymuje się profilem skokowym (mówimy wtedy, Ŝe złącze p-n jest skokowe)
albo liniowym (takie złącze nazywamy liniowym złączem p-n). Przyjmuje się więc, Ŝe stały
rozkład koncentracji domieszek zmienia się albo skokowo w obszarze złącza (ma to miejsce
w złączach epitaksjalnych, płytkich złączach dyfuzyjnych i otrzymywanych w wyniku
niskoenergetycznej implantacji jonów) lub łagodnie, co moŜna przybliŜyć rozkładem
liniowym (taki charakter posiadają głębokie złącza dyfuzyjne i otrzymywane wskutek
wysokoenergetycznej implantacji jonów). Ponadto naleŜy zauwaŜyć, Ŝe koncentracje
atomów domieszek akceptorowej i donorowej po obydwu stronach złącza mogą albo być
równe, tj. N
A
= N
D
(takie struktury w rzeczywistości stosowane są stosunkowo rzadko) albo
róŜne, tj. N
A
≠ N
D
. Złącze pierwszego z wymienionych typów nazywamy symetrycznym, zaś
drugiego – niesymetrycznym. PoniewaŜ obecnie w praktyce spotykane są przede wszystkim
złącza niesymetryczne (i skokowe), dalsza dyskusja ograniczona będzie właśnie do nich.
W sytuacji, gdy koncentracje po obydwu stronach złącza róŜnią się znacząco (o rzędy
wielkości) opisujemy je jako p
+
-n albo p-n
+
, gdzie symbol „+” wskazuje właśnie silniej
domieszkowany obszar. Przekrój takiej struktury i profil rozkładu domieszek ukazano na rys. 11.
Na początek rozwaŜmy, jakie zjawiska fizyczne zajdą lub będą zachodzić w takim złączu,
na razie przy braku jakiejkolwiek zewnętrznej polaryzacji (czyli pod nieobecność
zewnętrznego pola elektrycznego).
Jak łatwo zauwaŜyć, w obszarze złącza po obydwu jego stronach mamy do czynienia
z duŜymi róŜnicami koncentracji nośników (po stronie p dominują bowiem dziury zaś po
stronie n – elektrony), co innymi słowy oznacza występowanie gradientu ich koncentracji.
Jeśli zatem materiały p i n utworzą rzeczywiste metalurgiczne złącze, to naturalną koleją
rzeczy ze względu na ów gradient koncentracji na początku wystąpi zjawisko dyfuzji
14
nośników z obszarów o ich większej koncentracji do mniejszej, czyli dziury zaczną przepływać
(dyfundować) z obszaru p do n, natomiast elektrony w kierunku przeciwnym (tj. z obszaru n
do p). W rezultacie w pewnym obszarze przyzłączowym po obydwu jego stronach
pozostaną nieruchome (bo tkwiące w sieci krystalicznej) jony domieszek, odsłonięte przez
odpływ swobodnych nośników większościowych (mówimy o tych domieszkach wówczas,
Ŝe są nieskompensowane). Będą to, odpowiednio, ujemne jony akceptorowe (N
A
-
) po
stronie p (bo dziury przepłynęły na drugą stronę, więc kaŜdy akceptor ma w ich miejsce po
nadmiarowym elektronie) oraz dodatnie donorowe (N
D
+
) po stronie n (bo ich nadmiarowe
elektrony przedyfundowały na drugą stronę złącza), które utworzą tym sposobem
tzw. obszar ładunku przestrzennego, ujemnego po stronie p i dodatniego po stronie n. Ów
obszar ładunku przestrzennego po obydwu stronach złącza określany jest jako tzw. warstwa
zuboŜona – nazwa odzwierciedla fakt, Ŝe właśnie nośników większościowych wskutek
opisanych zjawisk obszar ten jest w znacznej mierze pozbawiony. Jeśli przyjmiemy
w uproszczeniu, Ŝe w warstwie zuboŜonej w ogóle nie ma swobodnych nośników prądu i jej
ładunek tworzą wyłącznie ładunki zjonizowanych domieszek, to rozkład ładunku w tym
obszarze będzie determinowany jedynie przez ich rozkład. Taki model rozkładu ładunku
nazywamy przybliŜeniem warstwy zuboŜonej. Jest on słuszny dla złączy symetrycznych
i
w
większości
przypadków
wystarczający
do
zadowalającego
opisu
złączy
niesymetrycznych słabo domieszkowanych, natomiast niewłaściwy dla złączy silnie
asymetrycznych. W nich bowiem koncentracja nośników mniejszościowych jest w pewnym
obszarze większa od koncentracji zjonizowanych atomów domieszki (podczas gdy
w złączach słabo asymetrycznych tylko porównywalna), co model przybliŜenia zuboŜenia
czyni całkiem nieadekwatnym.
p
n
elektrody
(kontakty elektryczne)
N
D
N
A
p
n
x
x
j
rzeczywisty profil
rozkładu domieszek
aproksymacja profilu
rozkładu domieszek
0
(a)
(b)
Rys. 11 Przekrój przez typową rzeczywistą strukturę złącza p-n (a) oraz profil rozkładu
domieszek rzeczywisty i aproksymowany (złącze skokowe niesymetryczne p-n
+
) (b)
W rezultacie wywołanego odpływem nośników większościowych zaburzenia równowagi
rozkładu ładunku elektrycznego, w owym obszarze pojawi się pole elektryczne, o zwrocie,
zgodnie z przyjętą w fizyce konwencją, od obszaru dodatniego (n) do ujemnego (p). To
spowoduje wyhamowanie dalszego przepływu dyfuzyjnego z obszarów macierzystych
nośników większościowych, pojawiających się wskutek fluktuacji termicznych przypadkowo
na granicy obszaru ładunku przestrzennego. Elektrony będą zawracane do obszaru n zaś
dziury do obszaru p (stąd obszar ładunku przestrzennego nazywany jest warstwą zaporową).
PoniewaŜ w tym przypadku ich ruch jest wymuszony, czyli odbywa się pod wpływem pola
elektrycznego mówimy, Ŝe nośniki takie są przez nie unoszone – w przeciwieństwie do
mechanizmu transportu dyfuzyjnego, który jest tylko i wyłącznie efektem dąŜenia układu do
równowagi (tu wyrównania koncentracji) na drodze tylko i wyłącznie przypadkowych
ruchów cieplnych nośników. Innymi słowy moŜna powiedzieć, Ŝe przepływ prądów
15
dyfuzyjnych w jedną stronę będzie skompensowany przepływem prądów unoszenia
w przeciwną i w efekcie złącze znajdzie się w stanie równowagi termodynamicznej.
Oczywiście zmiana temperatury, np. jej podniesienie spowoduje, Ŝe po obu stronach
pojawią się nośniki o energiach umoŜliwiających im pokonanie bariery pola elektrycznego,
lecz ich dyfuzja na drugą stronę spowoduje natychmiast dalszy wzrost ładunku
przestrzennego, czyli wzrost natęŜenia zatrzymującego ów przepływ pola, czyli ponowną
stabilizacje układu, tyle Ŝe z wyŜszą wartością pola elektrycznego.
Obecność pola elektrycznego w złączu sygnalizuje, Ŝe między obszarami ujemnego
i dodatniego ładunku przestrzennego wytworzy się jakaś róŜnica potencjałów, czyli po
prostu napięcie. Nazywamy je potencjałem (napięciem) wbudowanym (bo wytwarza się
samorzutnie, bez udziału jakichkolwiek pól przykładanych z zewnątrz) lub potencjałem
dyfuzyjnym
U
d
(gdyŜ
jest
efektem
procesu
transportu
dyfuzyjnego
nośników
większościowych). Z kolei w ramach modelu pasmowego określamy tę róŜnicę potencjałów
jako wysokość bariery, gdyŜ to ona właśnie stanowi barierę dla przepływu nośników
o energiach mniejszych od jej wysokości.
Obszary półprzewodników leŜące poza warstwą zuboŜoną określane są jako quasi
neutralne elektrycznie, gdyŜ tam rozkłady koncentracji nośników większościowych
w zasadzie pokrywają się z rozkładami koncentracji domieszek (czyli innymi słowy są one
tam po prostu skompensowane).
Model pasmowy złącza p-n w warunkach równowagi termodynamicznej ukazuje rys. 12.
Warto zwrócić uwagę na fakt, iŜ w takiej sytuacji połoŜenie poziomu Fermiego E
F
reprezentowane jest przez ciągłą linię prostą w obszarze całego złącza (czyli po obu jego
stronach jego energia ma identyczną wartość).
Zakładając jak wcześniej, Ŝe koncentracje domieszek w całym obszarze warstwy
zuboŜonej są stałe, zaś koncentracje nośników swobodnych w porównaniu z nimi pomijalnie
małe, wartości ładunku przestrzennego Q
p
i Q
n
przypadającego na jednostkową
powierzchnię moŜna wyrazić następująco:
p
A
p
Q
qN d
−
= −
(6a)
n
D
n
Q
qN d
+
=
,
(6b)
gdzie d
p
i d
n
oznaczają, odpowiednio, szerokość obszaru ładunku przestrzennego (warstwy
zuboŜonej) po stronie p oraz n złącza, zaś q jest ładunkiem elementarnym.
Rys. 12 Model pasmowy złącza p
+
-n w warunkach równowagi termodynamicznej
Przykładowe rozkłady ładunku elektrycznego w obszarze warstwy zuboŜonej oraz
natęŜenia pola elektrycznego i jego potencjału dla niesymetrycznego złącza skokowego
przedstawiono na rys. 13.
16
p
n
złącze
metalurgiczne
E
x
E
max
d
n
d
p
+
-
qN
A
qN
D
d
n
d
p
x
x
d
p
d
n
U
d
(a)
(c)
(b)
(d)
d
b
d
b
Rys. 13 Obszar ładunku przestrzennego (a) i jego rozkład (b) oraz rozkłady natęŜenia pola
elektrycznego (c) i jego potencjału (d) w niesymetrycznym złączu skokowym p-n
+
6.1 Potencjał wbudowany (napięcie dyfuzyjne)
Jak juŜ wspomniano, w warunkach równowagi termodynamicznej w złączu p-n prądy
dyfuzji i unoszenia dla dziur, jak i elektronów się równowaŜą, co moŜna zapisać, np. dla dziur
w postaci następującej:
d
0
d
p dyfuzyjny
p unoszenia
p
p
p
J
J
qD
q
pE
x
µ
+
= −
+
=
,
(7)
gdzie: kT/q = D
p
/
µ
p
(tzw. równanie Einsteina) zaś E jest natęŜeniem pola wbudowanego
w złączu. Odpowiednie przekształcenia tej zaleŜności prowadzą do wzoru na napięcie
dyfuzyjne U
d
:
ln
p
d
n
p
kT
U
q
p
=
,
(8)
co po uwzględnieniu, Ŝe p
p
≅
N
A
oraz np = n
i
2
daje ostatecznie:
2
ln
A
D
d
i
N N
kT
U
q
n
=
(9)
Prowadząc analogiczne rozwaŜania dla elektronów otrzymamy dokładnie tę samą funkcję.
NaleŜy tu podkreślić, Ŝe wartość napięcia dyfuzyjnego U
d
jest istotnie zaleŜna od:
koncentracji domieszek donorowych i akceptorowych po obydwu stronach złącza, jak
i koncentracji samoistnej nośników n
i
(a więc szerokości przerwy zabronionej E
g
w materiale
czyli jego rodzaju) oraz temperatury. Podstawiając np. N
A
= N
D
= 10
16
cm
-3
widzimy, Ŝe
w temperaturze pokojowej U
d
w Si wynosi około 670 mV, natomiast w GaAs w przybliŜeniu
1,04 V.
6.2 Szerokość obszaru zuboŜonego (warstwy zaporowej)
W ramach przyjętego wcześniej modelu przybliŜenia warstwy zuboŜonej rozkład gęstości
ładunku
przestrzennego
po
obu
stronach
złącza
odpowiada
równomiernemu
(jednorodnemu) rozkładowi koncentracji atomów domieszek. Gęstość ładunku w warstwie
zuboŜonej wynosi więc –qN
A
po stronie obszaru typu p oraz qN
D
po stronie n. PoniewaŜ
złącze jako całość zachowuje obojętność elektryczną, zatem ładunek przestrzenny po jego
jednej stronie musi być równowaŜony przez taki sam co do wartości i przeciwny co do znaku
ładunek przestrzenny po drugiej stronie złącza. MoŜemy to zapisać jako:
17
0
A
p
D
n
qN d
qN d
−
+
−
+
=
(10)
Równanie to pokazuje, Ŝe pole elektryczne w całości odkłada się tylko na warstwie
zaporowej (a poza nią jest równe zeru) oraz, Ŝe szerokości obszarów zuboŜonych po obu
stronach złącza są odwrotnie proporcjonalne do koncentracji domieszek.
Rozwiązując dla takiego przypadku równanie Poissona (wiąŜącym rozkład potencjału
pola elektrycznego z rozkładem gęstości ładunku) i korzystając z prawa Gaussa (wiąŜącym
rozkład natęŜenia pola elektrycznego z rozkładem gęstości ładunku) moŜemy teraz określić
szerokości obszaru ładunku przestrzennego d
p
i d
n
po obydwu stronach złącza, jak równieŜ
jego całkowitą szerokość d
b
, (= d
p
+ d
n
):
(
)
0
2
s
D
p
d
A
A
D
N
d
U
q
N
N
N
ε ε
=
+
,
(11a)
(
)
0
2
s
A
n
d
D
A
D
N
d
U
q
N
N
N
ε ε
=
+
,
(11b)
0
2
1
1
s
b
d
A
D
d
U
q
N
N
ε ε
=
+
,
(12)
gdzie:
ε
0
i
ε
s
to, odpowiednio, przenikalność elektryczna próŜni i względna przenikalność
elektryczna półprzewodnika (w tym przypadku Si).
Z obydwu powyŜszych równań wynika natychmiast, Ŝe w przypadku złączy
asymetrycznych (czyli o róŜnym poziomie domieszkowania obszarów p i n) szerszy jest obszar
ładunku przestrzennego po słabiej domieszkowanej stronie złącza, co odzwierciedla zgodny
z prawami elektrostatyki fakt, Ŝe pole elektryczne głębiej wnika do obszarów o mniejszej
przewodności (czyli w tym przypadku słabiej domieszkowanych).
Cała dotychczasowa dyskusja dotyczyła, przypomnijmy, sytuacji, gdy złącze p-n
znajduje się w warunkach równowagi termodynamicznej, tj. nie jest spolaryzowane Ŝadnym
zewnętrznym napięciem. W sytuacji nierównowagowej musimy oczywiście uwzględnić
wpływ dodatkowego napięcia (potencjału) zewnętrznego na zjawiska zachodzące
w złączu. Po pierwsze napięcie to praktycznie w całości będzie odkładało się na warstwie
zaporowej, podobnie jak napięcie dyfuzyjne, sumując się z nim lub redukując jego
wartość, w zaleŜności od znaku. Ze statystyki Maxwella-Boltzmanna wiadomo, Ŝe
prawdopodobieństwo przejścia cząstki ponad barierą potencjału E, czyli P(E), wynosi
exp(-E/kT).
W
rozwaŜanym
przypadku
złącza
p-n
w
warunkach
równowagi
termodynamicznej barierą dla dyfundujących przez złącze nośników większościowych jest
pole elektryczne powstałe w warstwie ładunku przestrzennego. Wysokość tej bariery
(tj. energia, jaką muszą mieć nośniki aby ją pokonać) jest więc po prostu równa energii tego
pola elektrycznego, czyli E = qU
d
. Przykładając zewnętrzne pole elektryczne (czyli róŜnicę
potencjałów, czyli napięcie U), w zaleŜności od tego, czy jego zwrot jest zgodny ze zwrotem
pola „własnego” warstwy zaporowej czy teŜ nie, spowodujemy, odpowiednio, jego
wzmocnienie, albo redukcję, czyli po prostu podwyŜszenie lub obniŜenie tej bariery. Tak więc
całkowita energia pola w warstwie ładunku przestrzennego będzie w takiej sytuacji
opisywana zmodyfikowana zaleŜnością E = q(U
d
– U), zaś dyfundujące nośniki większościowe
w mniejszej lub teŜ w większej ilości będą mogły przepływać na drugą stronę złącza. Tak czy
inaczej, dotychczasowa równowaga między prądami dyfuzyjnym i unoszenia zostanie
zakłócona (aczkolwiek przy niewielkich prądach niezbyt znacząco). Zewnętrzną róŜnicę
potencjałów (napięcie polaryzacji) U wstawiamy przy tym ze znakiem „+”, gdy jego spadek
jest przeciwny do spadku U
d
(bariera ulega obniŜeniu) i ze znakiem „-”, gdy jest zgodny
ze spadkiem U
d
(bariera ulega podwyŜszeniu). Polaryzację zewnętrzną dodatnią
w powyŜszym sensie (tj. gdy potencjał wyŜszy (+) przyłoŜony jest do obszaru p, zaś niŜszy (-)
do obszaru n) nazywamy polaryzacją w kierunku przewodzenia, natomiast polaryzację
ujemną – zaporową.
18
W związku z powyŜszym, skoro całkowita wysokość bariery potencjału w złączu p-n jest
równa sumie (względnie róŜnicy) obydwu napięć, zmieniać się będzie takŜe szerokość
obszaru ładunku przestrzennego:
(
)
0
2
1
1
s
b
d
A
D
d
U
U
q
N
N
ε ε
=
+
−
(13)
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe w przypadku złączy silnie asymetrycznych, np. p
+
-n, czyli w sytuacji, gdy
N
A
>> N
D
, powyŜszą zaleŜność moŜna uprościć do postaci:
(
)
0
2
s
b
d
D
d
U
U
qN
ε ε
≅
−
(14)
6.3 Pojemność złącza p-n
Jak pokazano wyŜej, jeśli złącze p-n będzie polaryzowane napięciem zewnętrznym U,
(albo ogólniej, jeśli jego wartość będzie ulegać zmianom) zmieniać się będzie takŜe
szerokość obszaru ładunku przestrzennego. Zmiany te mają charakter całkowicie
odwracalny, tzn. po wyłączeniu (lub ogólniej, po przywróceniu wyjściowej wartości)
napięcia polaryzacji U, szerokość warstwy zaporowej powróci do pierwotnych rozmiarów.
Obszar ten z punktu widzenia elektrostatyki stanowi kondensator płaski o okładkach
półprzewodnikowych wstępnie (tj. bez polaryzacji zewnętrznej) naładowany do napięcia
kontaktowego U
d
. Istotną rzeczą jest fakt, iŜ ze względu na półprzewodnikową naturę
materiału, kaŜdą z okładek tworzy ładunek przestrzenny (jest on znaku dodatniego w części
półprzewodnika typu n i reprezentuje jedną okładkę oraz ujemnego w części typu p
i reprezentuje drugą okładkę), a nie powierzchniowy, jak to ma miejsce w „klasycznym”
kondensatorze o okładkach metalowych. W tym drugim przypadku przyłoŜenie napięcia
zewnętrznego wpływa tylko na gęstość zgromadzonego na okładkach ładunku, natomiast
odległość między samymi ładunkami pozostaje stała (bo nie zmienia się odległość między
okładkami), dzięki czemu pojemność takiego kondensatora nie zaleŜy od przyłoŜonego
napięcia. Tymczasem w kondensatorze o okładkach półprzewodnikowych, jakim jest złącze
p-n, z kolei gęstość ładunku w kaŜdym punkcie rozkładu ładunku przestrzennego nie zaleŜy
od przyłoŜonego napięcia, natomiast zaleŜy od niego szerokość tych obszarów. Pojemność
obszaru ładunku przestrzennego moŜna sobie wyobrazić jako sumę elementarnych
pojemności (kondensatorów) połączonych równolegle, kaŜda tworzona przez parę
elementarnych ładunków: elementarny ładunek dodatni po stronie n i ujemny po stronie p.
Skoro zmianom ulega szerokość warstwy zaporowej w funkcji napięcia, to w trakcie tego
procesu będą pojawiały się kolejne albo znikały dotychczas istniejące elementarne
kondensatory, zaś odległości między tworzącymi je kolejno parami ładunków będą,
odpowiednio, coraz większe lub mniejsze. PoniewaŜ pojemność jest odwrotnie
proporcjonalna do odległości pomiędzy ładunkami, wraz ze zmianami napięcia
zewnętrznego równieŜ pojemność obszaru ładunku przestrzennego czyli złącza p-n będzie
się zmieniać. W takim razie ogólnie pojemność złącza moŜna zapisać jako:
0
T
s
b
A
C
d
ε ε
=
,
(15)
gdzie A jest powierzchnią złącza p-n.
Biorąc pod uwagę, Ŝe szerokość obszaru ładunku przestrzennego d
b
zaleŜy od napięcia
(13) ostatecznie dostajemy:
(
)
0
2
s
A
D
T
d
A
D
N N
C
A q
U
U N
N
ε ε
=
−
+
(16)
I znów, jak poprzednio, dla złącza silnie asymetrycznego, np. p
+
-n, zaleŜność tę moŜna
uprościć do postaci:
19
(
)
0
2
s
T
D
d
C
A q
N
U
U
ε ε
≅
−
(17)
Określona powyŜej pojemność nazywana jest pojemnością (róŜniczkową) złącza lub
warstwy zuboŜonej złącza (C
T
). PoniewaŜ pojemność C
T
= f[ 1/(U)
2
] to 1/C
T
2
= f(U), co ilustrują
wykresy na rys. 14.
Widać, Ŝe mierząc pojemność złącza p-n w funkcji napięcia zewnętrznego (czyli
tzw. charakterystykę pojemnościowo-napięciową C-V złącza) a następnie sporządzając
wykres 1/C
T
2
= f(U) i liniowo go aproksymując do punktu przecięcia z osią napięć, moŜna
wyznaczyć wartość napięcia dyfuzyjnego U
d
. Ponadto, gdy mamy do czynienia ze złączem
silnie asymetrycznym, którego charakterystykę C-V opisuje zaleŜność (17), to moŜna
z nachylenia wykresu 1/C
T
2
= f(U) równieŜ oszacować koncentrację domieszki po słabiej
domieszkowanej stronie złącza.
(a)
(b)
Rys. 14 ZaleŜność pojemności róŜniczkowej złącza p-n od napięcia polaryzacji (a) oraz
przebieg zaleŜności 1/C
T
2
= f(U) (b)
6.4 Charakterystyka prądowo-napięciowa (I-V) złącza p-n
Na zakończenie warto wspomnieć o charakterystyce prądowo-napięciowej I-V złącza
p-n, choć akurat w ramach tego ćwiczenia nie będzie ona mierzona.
Jak wcześniej wspomniano, polaryzowanie złącza p-n napięciem zewnętrznym moŜe
obniŜać lub podwyŜszać wysokość bariery energetycznej dla nośników większościowych
dyfundujących
na
drugą
stronę
złącza
(rys.
15).
Wspomniano
równieŜ,
Ŝe
prawdopodobieństwo przechodzenia cząstek ponad barierą (czyli de facto w ujęciu
statystycznym ich liczba) zaleŜy eksponencjalnie od jej wysokości. Wobec tego w takiŜ
sposób zmieniać się będzie prąd złącza w funkcji przykładanego napięcia.
Przy polaryzacji zaporowej prąd dyfuzyjny maleje, stając się mniejszy niŜ w warunkach
równowagi termodynamicznej (czyli przy braku polaryzacji zewnętrznej). Obok niego jednak
przez złącze płynie takŜe prąd nośników mniejszościowych – elektronów z obszaru p i dziur
z obszaru n – które pojawiając się wskutek fluktuacji termicznych na krawędzi warstwy
zaporowej są przez istniejące w niej pole elektryczne (w tym przypadku większe niŜ dla
polaryzacji przewodzenia) porywane i unoszone na drugą stronę złącza. Jak łatwo
zauwaŜyć ten prąd zasadniczo nie zaleŜy od wysokości bariery, bo dla niego ona w ogóle
nie istnieje ! PoniewaŜ jednak tworzą go nośniki mniejszościowe, których jest o rzędy wielkości
mniej niŜ większościowych (np = n
i
2
!), to jest on bardzo mały. W przypadku polaryzacji
w kierunku przewodzenia maskuje go duŜy prąd dyfuzyjny i dopiero gdy zostaje on
praktycznie wyeliminowany, co ma miejsce przy polaryzacji złącza w kierunku zaporowym,
staje się widoczny. Taki stan rzeczy skutkuje silnie asymetryczną charakterystyką I-V złącza
p-n (rys. 16), formalnie opisywaną przez wzór Shockley’a:
20
1
qU
kT
s
I
I
e
=
−
,
(18)
gdzie I
s
to tzw. prąd nasycenia.
n
p
E
F(p)
E
V(p)
E
C(p)
p
E
C(n)
E
F(n)
E
V(n)
n
q(U
d
- U)
qU
I
n(dyf)
I
p(dyf)
I
p(u)
I
n(u)
qU
q(U
d
+ U)
E
F(p)
E
V(p)
E
C(p)
E
C(n)
E
F(n)
E
V(n)
I
n(u)
I
p(u)
(a)
(b)
Rys. 15 Modele pasmowe złącza p-n i płynące przez nie prądy przy polaryzacji złącza
w kierunku przewodzenia (a) i zaporowym (b)
Nie przesadzając moŜna stwierdzić, Ŝe na tej właśnie asymetrii zbudowana jest cała
elektronika ciała stałego.
Rys. 16 Charakterystyka prądowo-napięciowa (I-V) złącza p-n
21
II
. Instrukcja wykonawcza do ćwiczenia pod tytułem:
„Kontakt półprzewodnik-półprzewodnik – złącze p-n” (Z)
Schemat
zestawu
pomiarowego
wykorzystywanego
w
niniejszym
ćwiczeniu
przedstawiono na rys. A. Na schemacie tym:
– miernik pojemności róŜniczkowej jest miernikiem typu FC-520 lub FC-522,
– C
X
oznacza gniazda (HI, LO) dla uchwytu badanej diody,
– zespół woltomierza C/U z wyświetlaczem cyfrowym pozwala odczytywać wartość
napięcia lub pojemności (opis sposobu odczytu zamieszczony na obudowie),
– zespół polaryzacji pozwala na regulację napięcia polaryzacji złącza p-n (diody)
w zakresie napięć ujemnych i dodatnich (za pomocą regulatora wieloobrotowego).
Rys. A Schemat układu pomiarowego (instrukcja obsługi u Prowadzącego)
1.
W układzie pomiarowym jak na rys. A zmierz zaleŜność pojemności róŜniczkowej C
T
badanej diody Si (tj. złącza p-n) w funkcji stałego napięcia polaryzacji U (czyli
tzw. charakterystykę pojemnościowo-napięciową (C-V) diody) w obszarze pracy
zaporowej (napięcia ujemne) w zakresie od 0 do -1,8 V co 0,1 V. Dla kaŜdego punktu
pomiarowego oblicz takŜe wartość odwrotności kwadratu zmierzonej pojemności
(tj. C
T
-2
[pF], czyli 1/ C
T
2
[pF]). Wyniki pomiarów oraz obliczeń zamieść w tabeli:
U [V]
0
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8
C
T
[pF]
C
T
-2
[pF
-2
]
CZĘŚĆ OBLICZENIOWA
2.
Na arkuszu papieru milimetrowego formatu A3 (w układzie horyzontalnym
(tj. poziomym)) sporządź wykres tej charakterystyki, tj. C
T
[pF] = f(U) [V], a następnie na
innym arkuszu wykres zaleŜności C
T
-2
[pF
-2
] = f(U) [V] (czyli 1/C
T
2
= f(U)).
Oczekiwany przebieg charakterystyk ukazuje rys. 14 (część I niniejszych materiałów).
3.
Ekstrapolując wykres charakterystyki C
T
-2
[pF
-2
] = f(U) [V] do punktu przecięcia z osią
napięcia
U
wyznacz
wartość
napięcia
dyfuzyjnego
(czyli
tzw.
potencjału
22
wbudowanego) U
d
(wartość U
d
naleŜy odczytać i podstawiać w obliczeniach
z dokładnością 0,01 V (10 mV)).
4.
Zakładając, Ŝe złącze ma charakter asymetryczny (tzn. w tym przypadku jest typu p
+
-n)
wyznacz wartość koncentracji domieszki po słabiej domieszkowanej stronie złącza (czyli
w tym przypadku po stronie n, a więc domieszki donorowej N
D
) z dokładnością 2 cyfr po
przecinku z zaleŜności:
( )
2
3
0
0
2
cm
T
d
D
r
C
U
N
q
A
ε ε
−
=
,
gdzie:
U
d
– napięcie dyfuzyjne [V],
q – ładunek elementarny (tj. elektronu) = 1,6×10
-19
[C],
ε
0
– przenikalność elektryczna próŜni = 8,85×10
-14
[F/cm],
ε
r
– względna przenikalność elektryczna krzemu = 11,7,
C
T
(0) – pojemność złącza [F] przy U = 0 V,
A – pole powierzchni złącza [cm
2
] (wartość poda Prowadzący ćwiczenie)
5.
Korzystając z otrzymanej powyŜej wartości N
D
wyznacz połoŜenie poziomu Fermiego E
F
po stronie n złącza (czyli E
F
= E
F(n)
) z dokładnością 0,01 eV (czyli 10 meV) z następującej
zaleŜności:
( )
ln
[eV]
D
F
i n
i
N
E
E
kT
n
−
≅
⋅
,
gdzie:
( )
( )
( )
2
C n
V n
i n
E
E
E
+
=
[eV] – poziom środka pasma zabronionego E
i(n)
(tzw. poziom
samoistny),
n
i
– koncentracja nośników w krzemie samoistnym (koncentracja samoistna)
= 10
10
[cm
-3
],
kT = 2,53×10
-2
[eV].
Szerokość przerwy zabronionej E
g
krzemu w temperaturze pokojowej (T = 293 K)
E
g
= E
C
– E
V
= 1,1 eV.
6.
W oparciu o znajomość połoŜenia poziomu Fermiego E
F
po stronie n złącza (czyli
E
F
= E
F(n)
) oraz wyznaczoną uprzednio wartość napięcia dyfuzyjnego U
d
określ róŜnicę
E
F(p)
– E
V(p)
(czyli E
F
– qU
d
) (patrz rys. B), w stanie równowagi termodynamicznej (tj. przy
braku zewnętrznego napięcia polaryzującego (U = 0 V)), tzn. gdy E
F(p)
= E
F(n)
)
z dokładnością 0,01 eV (czyli 10 meV).
7.
Następnie, równieŜ dla stanu równowagi termodynamicznej (patrz pkt. 6), wyznacz
połoŜenie poziomu środka pasma zabronionego E
i
po stronie p złącza, czyli E
i(p)
(patrz rys.
B) z dokładnością 0,01 eV (czyli 10 meV). ZauwaŜ, Ŝe:
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
eV
2
2
C p
V p
C n
V n
i p
d
E
E
E
E
E
qU
+
+
=
=
+
8.
Oblicz koncentrację domieszki po silniej domieszkowanej stronie złącza (czyli w tym
przypadku po stronie p, a więc domieszki akceptorowej N
A
) z dokładnością 2 cyfr po
przecinku z zaleŜności:
( )
( )
-3
cm
i p
F p
E
E
kT
A
i
N
n e
−
=
23
Rys. B Model pasmowy złącza p-n w warunkach równowagi termodynamicznej (tj. przy
braku zewnętrznego napięcia polaryzującego (U = 0 V))
9.
Wyznacz głębokości wnikania (tj. szerokości) warstw zaporowych do obszarów typu n
i typu p badanego złącza korzystając z zaleŜności:
[ ]
0
2
cm
r
d
n
D
U
d
qN
ε ε
=
,
[ ]
cm
D
p
n
A
N
d
d
N
=
.
10.
Na podstawie uzyskanych wyŜej wyników sporządź na papierze milimetrowym
w formacie A4 (w układzie wertykalnym (tj. pionowym)) model pasmowy badanego
krzemowego złącza p-n w stanie równowagi termodynamicznej. Przyjmij, Ŝe odległość
wierzchołka pasma podstawowego (walencyjnego) obszaru n (E
V(n)
) od osi x znajduje się
na poziomie 0 eV.
11.
Na końcu sprawozdania zamieść zestawienie wyników końcowych:
C(0) [pF]
U
d
[V] (z dokładnością 0,01 V)
N
D
[cm
-3
] (z dokładnością 2 miejsc po przecinku)
E
F
– E
i(n)
[eV] (z dokładnością 0,01 eV)
E
F
[eV] (z dokładnością 0,01 eV)
E
(p)
– E
V(p)
[eV] (z dokładnością 0,01 eV)
E
i(p)
[eV] (z dokładnością 0,01 eV)
N
A
[cm
-3
] (z dokładnością 2 miejsc po przecinku)
d
n
[nm]
d
p
[nm]