Klasa 3c 

Planimetria 

Powtórzenie 

 
1.  Ramiona trapezu połączono odcinkiem równoległym do podstaw i dzielącym je w stosunku 2:3 licząc od górnej 

podstawy. Oblicz długość tego odcinka, jeśli wiadomo, że podstawy trapezu mają długości a i b,  

a

b

>

. 

2.  Dany jest czworokąt o kolejnych bokach długości 3, 4, 5 oraz kącie 

α

między bokami długości 3 i 4 takim, że 

1

cos

11

α

= −

. Wyznacz długość czwartego boku, jeśli wiadomo, że na czworokącie można opisać okrąg. 

3.  W trójkącie ABC dane są kąty 

30

α

=

D

, 

45

β

=

D

 i długość boku leżącego naprzeciw kąta 

α

. Oblicz dokładne 

długości pozostałych boków. 

4.  W trójkąt równoboczny wpisane są 3 koła o równych promieniach r styczne do boków trójkąta i do siebie. Oblicz 

stosunek sumy pól tych kół do pola trójkąta. 

5.  Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby  n

∈ N takie, że trójkąt o bokach n, n + 2, n + 3 jest rozwartokątny. 

6.  Wykaż, że pole trójkąta o bokach a, b, c i promieniu R okręgu opisanego na nim można obliczyć ze wzoru 

4

abc

P

R

=

. 

7.  Krótsza przekątna równoległoboku tworzy z bokami kąty 

α

i 

β

. Oblicz stosunek długości boków tego 

równoległoboku. 

8.  Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt  2

α

, a z ramieniem kąt 

α

. Wykaż, że 

stosunek pól trójkątów, na które trapez został podzielony tą przekątną jest równy 

sin 5

sin

k

α

α

=

. 

9.  W trójkąt równoramienny o ramieniu 10 i podstawie 12 wpisano prostokąt o stosunku boków 1:4 w ten sposób, że 

krótszy bok prostokąta jest zawarty w podstawie trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta. 

10. Wykaż, że jeśli 

α

i 

β

 są kątami trójkąta takimi, że 

sin

sin

cos

cos

α

β

β

α

=

, to jest to trójkąt równoramienny lub 

prostokątny. 

11. Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach R i r,  R r

>  i środkach 

1

2

,

S S . Do tych kół poprowadzono 

wspólną styczną. Oblicz pole trójkąta 

1

AOS , gdzie punkt A to punkt styczności z większym okręgiem, 

1

S  – 

środek większego okręgu, O – punkt przecięcia się stycznej i prostej 

1 2

S S . 

12. Dane jest koło o promieniu r. W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r, w narysowanym 

kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o promieniu 

1
2

r

 itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie 

wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół. 

13. Dany jest trójkąt równoramienny ABC opisany na okręgu o środku S i promieniu r. Kąt przy podstawie trójkąta 

jest równy 

α

. Oblicz długość odcinka AD, gdzie D jest punktem przecięcia się prostych AS i BC. Wynik 

przedstaw w najprostszej postaci. 

14. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w 

stosunku 1:3. Oblicz kąty tego trójkąta. 

15. Wysokość CD trójkąta ostrokątnego ABC dzieli kąt trójkąta w stosunku 1:2 i bok AB na odcinki, z których krótszy 

AD ma długość 3. Oblicz długość odcinka BD, jeśli wiadomo, że 

5

AC

= . 

16. Wykaż, że trójkąt o bokach 6, 8,  2 37  jest rozwartokątny, Oblicz miarę największego kąta. 
17. W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość CD i środkową CE. Oblicz 

stosunek 

CD

CE

 jeśli wiadomo, że stosunek przyprostokątnych jest równy 1:2. 

18. Oblicz pole trójkąta o kątach 

α

i 

β

i promieniu R okręgu opisanego na tym trójkącie. 

19. Udowodnij twierdzenie sinusów dla trójkąta ostrokątnego. 
20. Prostokąt ABCD o bokach a, b ( a b

< ) przekształcono przez symetrię osiową względem przekątnej i otrzymano 

prostokąt  A B C D

′ ′ ′ ′ . Oblicz długość krótszej przekątnej części wspólnej prostokątów ABCD i  A B C D

′ ′ ′ ′ . 

21. Dany jest kwadrat ABCD, w którym przekątne przecinają się w punkcie O. Punkt K jest środkiem odcinka AO, a 

punkt L – środkiem boku CD. Wykaż, że kąt LKB jest prosty. 

Klasa 3c 

Planimetria 

Powtórzenie 

 
22. Dane są długości podstaw trapezu 7 i 16 oraz długości ramion 5 i 8. Oblicz pole tego trapezu. 
23. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 10. Na boku BC obrano punkt P dzielący ten bok w stosunku 2:3 

licząc od punktu B. Oblicz sinus kąta BAP. 

24. Wspólne styczne dwóch okręgów stycznych zewnętrznie przecinają się pod kątem 60

D

. Wykaż, że stosunek 

promieni tych okręgów jest równy 

1
3

. 

25. W kwadracie połączono środki boków otrzymując kwadrat wpisany. We wpisanym kwadracie znów połączono 

środki boków otrzymując kwadrat itd. w nieskończoność. Wykaż, że stosunek sumy pól wszystkich kwadratów do 
pola koła opisanego na danym kwadracie jest większy od 1. 

26. W trójkącie jeden z kątów ma miarę 120

D

. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu 

arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu na tym trójkącie do 
długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. 

27. Wykaż, że jeżeli długości boków trójkąta ABC spełniają warunek 

2

2

AB

BC

AC

AC

=

⋅

+

, to kąt przy 

wierzchołku C ma miarę dwa razy większą niż kąt przy wierzchołku B. 

28. W trójkącie prostokątnym dany jest kat ostry o mierze 

α

 oraz pole S tego trójkąta. Oblicz długość  środkowej 

poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. 

29. W trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość a, a przeciwległy do niej kąt ma miarę  2

α

, wpisano 

okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności tego okręgu z ramionami trójkąta. 

30. Udowodnij, że jeżeli między kątami trójkąta zachodzi związek 

1 cos

cos

2cos

γ

α

β

−

=

, to trójkąt jest równoramienny. 

31. W trapezie równoramiennym ABCD przekątna AC jest prostopadła do boku BC i ma długość p, a kąt przy 

podstawie trapezu wynosi  60

D

. Oblicz pole tego trapezu. 

32. Długość boku rombu jest średnią geometryczną długości jego przekątnych. Wyznacz kąt ostry rombu. 
33. Na okręgu opisano trapez prostokątny. Odległości środka okręgu od końców tego boku, który nie przylega do 

żadnego kąta prostego wynoszą 2 i 4. Oblicz pole trapezu. 

34. Na danym odcinku o długości a oraz na jego połowie jako na średnicach zatoczono trzy okręgi. Znajdź długość 

promienia okręgu stycznego do tych trzech okręgów. 

35. Środki czterech kół o promieniu a znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku a. Znajdź pole części wspólnej 

danych czterech kół. 

36. W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej poprowadzonych z wierzchołka kąta prostego oraz 

długość przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny, którego iloczyn wyrazów jest równy 8. Oblicz promień 
okręgu wpisanego w ten trójkąt. 

37. W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy 

dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe  3 3 . 

38. Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem punkt przecięcia 

przekątnych trapezu, są równe 

1

S  i 

2

S . Oblicz pole trapezu. 

39. W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka 

łączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD. 

40. W kąt o mierze 

α

wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta, a 

każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę 
pól kół tego ciągu.