Wprowadzenie
9
Dla skutecznej realizacji celów gospodarczych
przedsiębiorstwa istotna jest odpowiedź na pytanie,
przy jakim poziomie sprzedaży (zarówno w ujęciu
ilościowym jak i wartościowym) przedsiębiorstwo
zacznie generować zyski
.
9
Na to pytanie odpowiedź pomaga znaleźć
analiza
progu rentowności
(określana również skrótem z j.
angielskiego jako BEP – break even point).
Co wpływa na zysk ?
9
Ogólnie można określić, że czynniki wpływające
na osiągany przez firmę zysk to:
- wielkość produkcji i sprzedaży,
- wielkość kosztów i ich struktura z podziałem na
koszty
stałe i zmienne
,
- cena sprzedaży produktów (usług).
Koszty stałe
9
Koszty stałe
– koszty, które nie zależą od wielkości
produkcji, a ich ogólny poziom jest stały w krótkim
lub średnim okresie. Do kosztów stałych
przykładowo można zaliczyć: amortyzację, podatek
od nieruchomości, opłaty leasingowe, koszty
wynajmu.
9
Przy wzrastającej produkcji zmniejszają się koszty
stałe przypadające na jednostkę produkcji
Sprzedaż a koszty
Przy założeniu liniowych zależności między przychodami
ze sprzedaży (S), a liczbą sprzedanych jednostek (x), oraz
między kosztami ogółem (C) a liczbą wyprodukowanych
jednostek (x) możemy określić następujący układ równań:
S = p * x
C = F + x * v
Gdzie :
S - przychody ze sprzedaży (sprzedaż wartościowo),
p – cena jednostkowa,
x – liczba wyprodukowanych i sprzedanych jednostek (sztuk)
C – koszty ogółem
F – koszty stałe
v – jednostkowe koszty zmienne.
Próg rentowności - wzór
Próg rentowności znajduje się w punkcie, w którym
przychody ze sprzedaży równają
się
całkowitym
operacyjnym kosztom własnym, czyli w punkcie gdzie:
S = C
W postaci rozwiniętej można to zapisać w następującej
postaci:
p*x = F + v*x czyli x(p-v)=F
Dzięki przekształceniom matematycznym powyższego
równania, możemy wyznaczyć przy jakiej wielkości
produkcji x
0
zysk operacyjny będzie równy zeru:
v
p
F
x
−
=
0
Próg rentowności - wykres
Próg rentowności - ilościowy
Obliczony w ten sposób próg rentowności (x
0
) przedstawia
wielkość produkcji, równą wielkości sprzedaży (wyrażoną
ilościowo), dla której przychody ze sprzedaży zrównują się
z poniesionymi kosztami operacyjnymi.
Tak wyrażony próg rentowności jest
ilościowym punktem
krytycznym
, ponieważ wyraża on liczbę wyrobów, jaką
przedsiębiorstwo powinno sprzedać, aby mogło pokryć
poniesione koszty stałe i koszty zmienne.
Jednostkowa marża brutto
v
p
F
x
−
=
0
9
Ujęte w mianowniku ułamka wyrażenie (p – v) jest
nadwyżką brutto jednostkową, zwaną często
jednostkową
marżą brutto
.
9
Jednostkowa marża brutto jest różnicą pomiędzy ceną
sprzedaży wyrobu gotowego a jednostkowym kosztem
zmiennym.
9
Marża brutto służy więc pokryciu kosztów stałych i
osiągnięciu zysku. Stąd często marża brutto jest określana
mianem
marży na pokrycie
(marża pokrycia).
Próg rentowności wartościowy
9
Oprócz progu rentowności ilościowego często
posługujemy się
progiem rentowności w ujęciu
wartościowym
, który oznacza wielkość przychodów ze
sprzedaży pokrywających całkowite koszty operacyjne.
9
Próg rentowności wartościowy najprościej można
otrzymać
przez pomnożenie progu rentowności
ilościowego przez cenę wyrobu:
9
S
0
= x
0
* p
Czyli
1
=
0
p
v
F
S
−
p
v
p
F
S
*
=
0
−
Planowana wielkość zysku
Możemy obliczyć wielkość produkcji, która zapewni
planowaną wielkość zysku ze sprzedaży.
S-C=Z (sprzedaż – koszty= zysk)
p*x-( F+v*x)=Z czyli p*x- F-v*x=Z
x(p-v)=F+Z więc
9
Wielkość produkcji dla planowanego zysku
:
gdzie:
9
F – całkowite koszty stałe
9
Z – planowany zysk ze sprzedaży
9
p – cena sprzedaży
9
v – jednostkowe koszty zmienne
v
p
Z
F
x
−
+
=
Margines bezpieczeństwa (1)
9
Margines bezpieczeństwa
jest różnicą
pomiędzy
przychodem uzyskanym z faktycznej sprzedaży (można
również przyjąć planowane przychody ze sprzedaży) a
przychodem ustalonym w progu rentowności.
Można to zapisać następująco:
9
MB = S – S
0
gdzie:
MB – margines bezpieczeństwa
S– faktyczny/planowany przychód ze sprzedaży
S
0
– przychód ze sprzedaży w progu rentowności
Margines bezpieczeństwa (2)
9
Margines bezpieczeństwa możemy również wyrazić w
ujęciu ilościowym:
9
MB = x – x
0
gdzie:
MB – margines bezpieczeństwa
x– faktyczna/planowana wielkość sprzedaży
x
0
– wielkość sprzedaży w progu rentowności
9
Margines bezpieczeństwa wskazuje, o ile może obniżyć
się sprzedaż (ilościowo lub wartościowo), aby działalność
przedsiębiorstwa nie zaczęła przynosić straty.
Przykład 1a
Przedsiębiorstwo przewiduje uruchomienie produkcji
nowego wyrobu. Planowane koszty stałe związane z tym
projektem wyniosą F= 400 000 zł. Dzięki temu możliwa
będzie produkcja na maksymalnym rocznym poziomie 80
000 szt. nowego produktu. Planowane jednostkowe koszty
zmienne wyniosą v = 7 zł, a cena sprzedaży p=15 zł.
9
a) Po przekroczeniu jakiego poziomu sprzedanej
produkcji (w ujęciu ilościowym i wartościowym) firma
zacznie generować zyski operacyjne?
9
Zastosowanie wzorów:
v
p
F
x
−
=
0
1
=
0
p
v
F
S
−
Przykład 1b
b) Jaki będzie maksymalny poziom zysku operacyjnego
przy wykorzystaniu pełnych zdolności wytwórczych ?
Wyprowadzenie wzoru:
Z = S – C
Z – planowany zysk operacyjny
S – wielkość sprzedaży
C – koszty ogółem
Zgodnie z wcześniejszymi wzorami i oznaczeniami
S = p * x
C = F + x * v
więc Z = p*x – (F+v*x)
lub Z = x* (p-v) -F
Przykład 1c
c) Ile sztuk wyrobów musi sprzedać firma aby
osiągnąć zysk operacyjny na poziomie
Z= 200 000 zł ?
Zastosowanie wzoru :
v
p
Z
F
x
−
+
=
Przykład 1d
d) Jaka powinna być nowa cena wyrobu,
gwarantująca zysk operacyjny na poziomie
Z= 200 000 zł przy sprzedaży 60 000 sztuk?
Ponieważ Z = p*x – (F+v*x)
Więc
x
v
F
Z
p
x
*
=
+
+
Przykład 1e
e) Jak zmieni się ilościowy próg rentowności jeżeli
koszty stałe F wzrosną o 15%
F1=F*(1+0,15)
czyli F1=400000*1,15
nowe koszty stałe wynoszą F1= 460000
Stosujemy wzór na ilościowy próg rentowności jak
w przykładzie a:
v
p
F
x
−
=
0
Przykład 1 – o
dpowiedzi
Opis
Dane P.1
koszty stałe
F
400 000,00 zł
cena
p
15,00 zł
koszty zmienne jed.
v
7,00 zł
planowany zysk
Z
200 000,00 zł
max zdolności produkcyjne [szt]
x
max
80 000
planowana sprzedaż [szt.]
x1
60 000
zmiana kosztów stałych [%]
15,00%
Odp. P.1
próg ilościowy [szt.]
x0
50 000
próg wartościowy
S0
750 000,00 zł
maksymalny zysk operacyjny
Z
240 000,00 zł
wielkość sprzedaży dla
planowanego zysku [szt.]
x2
75 000
próg il. po zmianie kosztów [szt.]
x0
57 500
próg wart. po zmianie kosztów
S0
862 500,00 zł
nowa cena
p1
17,00 zł
Przykład 2 -
do samodzielnego rozwiązania
W przedsiębiorstwie XYZ koszty stałe wynoszą 1 000 zł/miesiąc,
koszty zmienne przypadające na jednostkę produktu wynoszą 10
zł/szt, a planowana cena sprzedaży wynosi 20 zł/szt. Proszę
policzyć:
a)
Wielkość sprzedaży (w ujęciu ilościowym i wartościowym), dla
której wielkość przychody ze sprzedaży zrównują się z
poniesionymi kosztami operacyjnymi.
b)
Maksymalny zysk operacyjny przy wykorzystaniu maksymalnych
zdolności wytwórczych na poziomie 1000 sztuk miesięcznie
c)
Wielkość sprzedaży w sztukach, która zapewni zysk w wysokości
500 zł/miesiąc
d)
Nową cenę produktu, gwarantującą zysk Z= 500 zł/miesiąc przy
sprzedaży 120 sztuk
e)
Jak zmieni się ilościowy próg rentowności jeżeli koszty stałe F
spadną o 10%
Przykład 2 – o
dpowiedzi
Opis
Dane P.2
koszty stałe
F
1 000,00 zł
cena
p
20,00 zł
koszty zmienne jed.
v
10,00 zł
planowany zysk
Z
500,00 zł
max zdolności produkcyjne [szt]
x
max
1 000
planowana sprzedaż [szt.]
x1
120
zmiana kosztów stałych [%]
-10,00%
Odp. P.2
próg ilościowy [szt.]
x0
100
próg wartościowy
S0
2 000,00 zł
maksymalny zysk operacyjny
Z
9 000,00 zł
wielkość sprzedaży dla
planowanego zysku [szt.]
x2
150
próg il. po zmianie kosztów [szt.]
x0
90
próg wart. po zmianie kosztów
S0
1 800,00 zł
nowa cena
p1
22,50 zł
Przykład 3
Firma rozważa podjęcie dwóch projektów (wzajemnie się
wykluczających), różniących się
poziomem automatyzacji i
pracochłonnością. Projekt A wymaga ponoszenia kosztów stałych na
poziomie 10.000.000 zł rocznie, przy niskich jednostkowych kosztach
zmiennych 2 zł/szt., projekt B wymaga ponoszenia kosztów stałych na
poziomie 6.000.000 zł rocznie przy wyższych jednostkowych kosztach
zmiennych tj. 7 zł/szt. Planowa cena sprzedaży wynosi 22 zł/szt., a
sprzedaż ma wynieść 850.000 sztuk. Porównaj oba projekty.
a)
Zastosowanie wzoru na obliczenie progu rentowności dla obu
projektów
b)
Znalezienie poziomu sprzedaży dla którego zysk generowany
przez oba projekty jest taki sam
c)
Graficzne przedstawienie progu rentowności dla obu projektów
d)
Analiza przedziałami opłacalności obu projektów
e)
Obliczenie marginesu bezpieczeństwa dla obu projektów
f)
Wnioski końcowe.
Przykład 3 – Rozwiązanie a
a)
Zastosowanie wzoru na obliczenie progu rentowności dla obu projektów
Projekt A generuje zysk po przekroczeniu 500.000 sprzedanych
sztuk, projekt B po przekroczeniu 400.000 sztuk
v
p
F
x
−
=
0
1
=
0
p
v
F
S
−
Opis
Projekt A
Projekt B
próg ilościowy [szt.]
x0
500 000
400 000
próg wartościowy
S0
11 000 000,00 zł
8 800 000,00 zł
Przykład 3 – Rozwiązanie b
b)
Znalezienie poziomu sprzedaży dla którego zysk generowany przez oba
projekty jest taki sam
Ponieważ Z = p*x – (F+v*x)
Z
A
=x*(p-v
A
)-F
A
Z
B
=x*(p-v
B
)-F
B
x*(p-v
A
)-F
A
=x*(p-v
B
)-F
B
x* (p- v
A
– p+v
B
)= F
A
–F
B
x= (F
A
–F
B
)/(v
B
- v
A
)
x= (10000000–6000000 )/(7 - 2)
x= 800000
Na poziomie produkcji wynoszącym 800.000 sztuk, zysk dla projektu A
i zysk dla projektu B jest taki sam
Przykład 3 – Rozwiązanie c
c)
Graficzne przedstawienie progu rentowności
0
5000000
10000000
15000000
20000000
25000000
50 000
15
0 0
00
250
00
0
350 000
45
0 0
00
550 00
0
650 000
75
0 0
00
850
00
0
950 000
Kos zty P rojekt A
Kos zty P rojekt B
S przedaż
Przykład 3 – Rozwiązanie d
d)
Analiza przedziałami opłacalności obu projektów
-
od 0 do 400.000 sztuk oba projekty generują straty
-
dla sprzedaży na poziome 400.000 szt. projekt B osiąga próg
rentowności (zysk=0), projekt A generuje straty,
-
400.000 do 500.000 projekt A generuje straty, projekt B generuje zyski,
-
500.000 szt. Projekt A osiąga próg rentowności (zysk=0), projekt B
generuje zyski
-
od 500.000 do 800.000 oba projekty generują zyski, ale zyski projektu B
są wyższe niż zyski projektu A
-
dla 800.000 szt. oba projekty generują taki sam zysk
-
powyżej 800.000 szt. zysk generowany przez projekt A jest wyższy niż
zysk generowany przez projekt B,
-
dla sprzedaży na poziomie 850.000 szt. projekt A jest lepszy
Przykład 3 – Rozwiązanie e
e)
Obliczenie marginesu bezpieczeństwa dla obu projektów
MB = x – x
0
gdzie:
MB – margines bezpieczeństwa
x – planowana wielkość sprzedaży
x
0
– wielkość sprzedaży dla progu rentowności
MB
A
=850000-500000=350000
MB
B
=850000-400000=450000
Ponieważ margines bezpieczeństwa jest wyższy dla projektu B – projekt
B jest bezpieczniejszy
Przykład 3 – Rozwiązanie f
Wnioski:
-
projekt B ma niższy próg rentowności – szybciej generuje
zyski
-
projekt B ma wyższy margines bezpieczeństwa – jest więc
bezpieczniejszy
-
dla planowanej sprzedaży na poziomie 850.000 szt. zyski
generowane przez projekt A są wyższe niż generowane przez
projekt B – jeżeli pewny jest poziom sprzedaży powyżej
800.000 szt. (gdy zrównują się zyski obu projektów) to należy
wybrać projekt A, jeżeli takiej pewności nie ma należy wybrać
projekt B.
Próg rentowności dla kilku produktów
Do samodzielnego opracowania:
Sytuacja gdy firma produkuje więcej niż jeden produkt
(Określenie sposobu tworzenia produktu umownego dla
którego liczony jest próg rentowności, obliczania marży brutto
i progu rentowności).
Literatura:
A. Rutkowski, Zarządzanie finansami, Polskie
Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2003