Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
1
Środek masy figury płaskiej
y
x,
—
układ osi dowolnych
i
i
y
x ,
—
układ osi centralnych i-tej figury regularnej (lokalne osie centralne)
)
,
(
C
i
i
i
y
x
—
środek masy i-tej figury regularnej
i
A
—
pole
powierzchni
i-tej figury regularnej
c
c
y
x ,
—
układ osi centralnych figury złożonej
)
,
(
C
C
C
y
x
—
środek masy figury złożonej
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
2
Środek masy figury płaskiej
Współrzędne środka masy C (
C
C
,y
x
) figury złożonej:
∑
∑
i
i
i
A
x
A
x =
C
[m]
(1.1)
∑
∑
i
i
i
A
y
A
y =
C
[m]
(1.2)
gdzie:
i
A
—
pole
powierzchni
i-tej figury regularnej,
i
x
—
odległość środka masy i-tej figury regularnej
od osi x dowolnego układu współrzędnych,
i
y
—
odległość środka masy i-tej figury regularnej
od osi y dowolnego układu współrzędnych.
Wielkości
∑
i
i
x
y
A
S =
∫
=
A
A
y d
[m
3
]
(1.3)
∑
i
i
y
x
A
S =
∫
=
A
A
x
d
[m
3
]
(1.4)
nazywamy
momentami statycznymi figury złożonej względem osi
odpowiednio
x oraz y
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
3
Środek masy figury płaskiej
Wielkość
∑
i
A
A =
∫
=
A
A
d [m
2
]
(1.5)
jest polem powierzchni figury złożonej
Współrzędne środka masy C (
C
C
,y
x
) figury złożonej:
A
S
x
y
=
C
∫
∫
=
A
A
A
A
x
d
d
[m]
(1.6)
A
S
y
x
=
C
∫
∫
=
A
A
A
A
y
d
d
[m]
(1.7)
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
4
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Moment bezwładności
O
I
figury płaskiej względem punktu O
(biegunowy moment bezwładności):
∫
=
A
A
ρ
I
d
2
O
[m
4
]
(1.8)
gdzie:
ρ
—
odległość elementu powierzchni od punktu O,
A
d
— element powierzchni.
Momenty bezwładności
x
I
,
y
I
figury płaskiej względem osi
odpowiednio
x oraz y:
∫
=
A
x
A
y
I
d
2
[m
4
]
(1.9)
∫
=
A
y
A
x
I
d
2
[m
4
]
(1.10)
gdzie:
y
x
,
— odległość elementu powierzchni od osi odpowiednio
y oraz x,
A
d — element powierzchni.
y
x
A
A
A
A
I
I
A
y
A
x
A
y
x
A
ρ
I
+
=
+
=
+
=
=
∫
∫
∫
∫
d
d
d
)
(
d
2
2
2
2
2
O
(1.11)
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
5
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Moment dewiacji (moment zboczenia, moment odśrodkowy)
xy
I
figury płaskiej dla układu współrzędnych Oxy:
∫
=
A
xy
A
xy
I
d
[m
4
]
(1.12)
gdzie:
y
x
,
— odległość elementu powierzchni od osi odpowiednio y oraz x,
A
d
— element powierzchni.
Momenty bezwładności przyjmują tylko wartości dodatnie, natomiast momenty dewiacji
mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Znak momentu dewiacji zależy od położenia figury.
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
6
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Momenty bezwładności prostokąta o bokach bh względem
osi dowolnych y
x
,
:
3
3
d
d
d
d
d
d
d
3
0
3
0
2
0
0
2
0
0
2
2
2
h
b
b
y
y
b
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
A
y
I
h
h
h
b
h
b
A
x
=
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
3
3
h
b
I
y
=
Moment dewiacji prostokąta o bokach bh względem
osi dowolnych
y
x,
:
4
4
d
2
d
2
d
d
d
d
d
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
h
b
b
y
y
b
y
y
x
y
y
x
xy
y
x
xy
A
xy
I
h
h
h
b
h
b
A
xy
=
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
7
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Momenty bezwładności prostokąta o bokach bh względem
osi centralnych
c
c
y
x ,
:
12
24
24
3
d
d
2
2
d
d
d
d
d
d
3
3
3
2
/
2
/
3
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
2
h
b
h
h
b
y
b
y
y
b
y
b
b
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
A
y
I
h
h
h
h
h
h
h
h
b
b
h
h
b
b
A
x
c
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
12
3
h
b
I
y
=
Moment dewiacji prostokąta o bokach bh względem
osi centralnych
c
c
y
x ,
:
0
d
0
d
8
8
d
2
d
d
d
d
d
2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2
/
2
/
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
y
y
b
b
y
y
x
y
y
x
xy
y
x
xy
A
xy
I
h
h
h
h
h
h
b
b
h
h
b
b
A
y
x
c
c
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
8
Twierdzenie Steinera
Momenty bezwładności
x
I
,
y
I
oraz moment dewiacji
xy
I
figury płaskiej względem osi dowolnych y
x,
:
∫
=
A
x
A
y
I
d
2
,
∫
=
A
y
A
x
I
d
2
,
∫
=
A
xy
A
xy
I
d
Momenty bezwładności
c
x
I
,
c
y
I
oraz moment dewiacji
c
c
y
x
I
figury płaskiej względem osi centralnych
c
c
y
x
,
(momenty centralne):
∫
=
A
x
A
b
I
c
d
2
,
∫
=
A
y
A
a
I
c
d
2
,
∫
=
A
y
x
A
ab
I
c
c
d
Podstawiamy
a
x
x
+
=
C
,
b
y
y
+
=
C
, przy czym
C
C
,
y
x
— stałe,
b
a
y
x
,
,
,
— zmienne:
2
C
2
C
0
C
2
2
C
d
d
2
d
d
)
(
y
A
I
A
y
A
b
y
A
b
A
y
b
I
c
x
A
A
A
A
x
+
=
+
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
=
43
42
1
2
C
y
A
I
I
c
x
x
+
=
(1.13)
2
C
x
A
I
I
c
y
y
+
=
(1.14)
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
9
Twierdzenie Steinera
C
C
C
C
0
C
0
C
C
C
d
d
d
d
d
)
)(
(
y
x
A
I
A
y
x
A
b
x
A
a
y
A
ab
A
y
b
x
a
I
c
c
y
x
A
A
A
A
A
xy
+
=
=
+
+
+
=
+
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
43
42
1
43
42
1
C
C
y
x
A
I
I
c
c
y
x
xy
+
=
(1.15)
Moment bezwładności figury płaskiej względem dowolnej osi równoległej do osi centralnej
jest równy momentowi centralnemu zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury
przez kwadrat odległości między osiami.
Odwrotne twierdzenie Steinera
2
C
y
A
I
I
x
x
c
−
=
(1.16)
2
C
x
A
I
I
y
y
c
−
=
(1.17)
C
C
y
x
A
I
I
xy
y
x
c
c
−
=
(1.18)
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
10
Twierdzenie Steinera
W przypadku figury złożonej z figur regularnych twierdzenie
Steinera dla i-tej figury składowej możemy zapisać w następującej
postaci:
2
C
)
(
)
(
y
y
A
I
I
i
i
x
i
x
i
c
−
+
=
(1.19)
2
C
)
(
)
(
x
x
A
I
I
i
i
y
i
y
i
c
−
+
=
(1.20)
)
)(
(
C
C
)
(
y
y
x
x
A
I
I
i
i
i
y
x
i
y
x
i
i
c
c
−
−
+
=
(1.21)
gdzie:
)
(
)
(
)
(
,
,
i
y
x
i
y
i
x
c
c
c
c
I
I
I
— momenty bezwładności i moment dewiacji
i-tej
figury regularnej względem osi centralnych
c
c
y
x
,
figury złożonej,
i
i
i
i
y
x
y
x
I
I
I
,
,
— centralne momenty bezwładności i moment dewiacji
i-tej figury regularnej względem osi
i
i
y
x
,
,
i
A
—
pole
powierzchni
i-tej figury regularnej,
i
i
y
x
,
—
odległości lokalnych osi centralnych
i
i
x
y
,
od osi dowolnego układu współrzędnych
x
y
,
,
C
C
,
y
x
—
odległości centralnych
c
c
x
y
,
figury złożonej
od osi dowolnego układu współrzędnych
x
y
,
.
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
11
Obrót osi centralnych
Centralne momenty bezwładności
c
x
I
,
c
y
I
oraz centralny moment dewiacji
c
c
y
x
I
są równe:
∫
=
A
x
A
y
I
c
d
2
,
∫
=
A
y
A
x
I
c
d
2
,
∫
=
A
y
x
A
xy
I
c
c
d
Momenty bezwładności
ξ
I
,
η
I
oraz moment dewiacji
ξη
I
względem osi obróconych o kąt
φ
:
∫
=
A
ξ
A
η
I
d
2
,
∫
=
A
η
A
ξ
I
d
2
,
∫
=
A
ξη
A
η
ξ
I
d
Podstawiamy
φ
y
φ
x
ξ
sin
cos
+
=
oraz
φ
x
φ
y
η
sin
cos
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
−
=
=
+
−
=
=
−
=
A
A
A
A
A
A
A
ξ
A
x
φ
A
xy
φ
φ
A
y
φ
A
φ
x
A
φ
φ
y
x
A
φ
y
A
φ
x
φ
y
I
d
sin
d
cos
sin
2
d
cos
d
sin
d
cos
sin
2
d
cos
d
)
sin
cos
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
φ
I
φ
φ
I
φ
I
I
c
c
c
c
y
y
x
x
ξ
2
2
sin
cos
sin
2
cos
+
−
=
φ
I
φ
φ
I
φ
I
I
c
c
c
c
y
y
x
x
η
2
2
cos
cos
sin
2
sin
+
+
=
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
12
Obrót osi centralnych
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
=
−
+
−
=
=
−
+
=
A
A
A
A
A
A
A
A
ξη
A
xy
φ
φ
A
x
A
y
φ
φ
A
φ
xy
A
φ
φ
y
A
φ
φ
x
A
φ
xy
A
φ
x
φ
y
φ
y
φ
x
I
d
)
sin
(cos
d
d
cos
sin
d
sin
d
cos
sin
d
cos
sin
d
cos
d
)
sin
cos
)(
sin
cos
(
2
2
2
2
2
2
2
2
)
sin
(cos
cos
sin
)
(
2
2
φ
φ
I
φ
φ
I
I
I
c
c
c
c
y
x
y
x
ξη
−
+
−
=
Podstawiamy
φ
φ
φ
2
sin
cos
sin
2
=
,
2
2
cos
1
sin
2
φ
φ
−
=
,
2
2
cos
1
cos
2
φ
φ
+
=
φ
I
φ
I
I
I
I
I
c
c
c
c
c
c
y
x
y
x
y
x
ξ
2
sin
2
cos
)
(
2
1
)
(
2
1
−
−
+
+
=
(1.22)
φ
I
φ
I
I
I
I
I
c
c
c
c
c
c
y
x
y
x
y
x
η
2
sin
2
cos
)
(
2
1
)
(
2
1
+
−
−
+
=
(1.23)
φ
I
φ
I
I
I
c
c
c
c
y
x
y
x
ξη
2
cos
2
sin
)
(
2
1
+
−
=
(1.24)
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
13
Obrót osi centralnych — główne centralne osie i momenty bezwładności
Wyznaczmy takie położenie układu osi ξη
O
(taki kąt
0
φ
), dla którego moment dewiacji
ξη
I
jest równy zeru:
0
2
cos
2
sin
)
(
2
1
0
0
=
+
−
=
φ
I
φ
I
I
I
c
c
c
c
y
x
y
x
ξη
0
0
2
cos
2
sin
)
(
2
1
φ
I
φ
I
I
c
c
c
c
y
x
y
x
−
=
−
c
c
c
c
x
y
y
x
I
I
I
φ
−
=
2
2
tg
0
(1.25)
c
c
c
c
x
y
y
x
I
I
I
φ
−
=
2
arctg
2
1
0
(1.26)
Osie (
η
ξ ,
) układu obróconego o kąt
0
φ
nazywamy
głównymi centralnymi osiami bezwładności i ozna-
czamy cyframi 1 i 2. Momenty bezwładności względem tych osi osiągają wartości ekstremalne —
maksymalną
1
I
oraz minimalną
2
I
:
2
2
min
max
2
,
1
4
)
(
2
1
)
(
2
1
c
c
c
c
c
c
y
x
y
x
y
x
I
I
I
I
I
I
I
+
−
±
+
=
=
(1.27)
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
14
Główne centralne osie i momenty bezwładności
Każda oś symetrii figury płaskiej jest jej główną centralną osią bezwładności.
Drugą główną centralną osią bezwładności jest oś prostopadła do osi symetrii
i przechodząca przez środek masy figury płaskiej.
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
15
Centralne momenty bezwładności wybranych figur regularnych
Tabela 1.1. Charakterystyki geometryczne wybranych figur regularnych
Figura
Pole
powierzchni
Współrzędne
środka masy
Centralne momenty
bezwładności
Centralny moment
dewiacji
2
a
A =
2
C
a
x =
2
C
a
y =
12
4
a
I
c
x
=
12
4
a
I
c
y
=
0
=
c
c
y
x
I
h
b
A =
2
C
b
x =
2
C
h
y =
12
3
h
b
I
c
x
=
12
3
h
b
I
c
y
=
0
=
c
c
y
x
I
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
16
Centralne momenty bezwładności wybranych figur regularnych
Tabela 1.1. Charakterystyki geometryczne wybranych figur regularnych
2
h
b
A =
3
C
b
x =
3
C
h
y =
36
3
h
b
I
c
x
=
36
3
h
b
I
c
y
=
72
2
2
h
b
I
c
c
y
x
−
=
2
h
b
A =
2
C
b
x =
3
C
h
y =
36
3
h
b
I
c
x
=
36
3
h
b
I
c
y
=
0
=
c
c
y
x
I
2
r
π
A =
0
C
=
x
0
C
=
y
4
4
r
π
I
c
x
=
4
4
r
π
I
c
y
=
0
=
c
c
y
x
I
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich. Główne centralne osie i momenty bezwładności
BIBLIOGRAFIA
Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.,
Wytrzymałość materiałów, tom I, WNT, Warszawa 1999.
Klasztorny M.,
Skrypt do wytrzymałości materiałów [w przygotowaniu].