Algebra II - zadania seria II

1. Wykaż, że zbiór form kwadratowych określonych na przestrzeni V tworzy przestrzeń wektorową.

2. Zbadaj określoność macierzy:

a)





1

0

−2

0

3

1

−2

1

2





b)





2

1

−1

1

α

0

−1

0

2





c)





0

0

−2

0

−1

3

−2

3

2





3. Zbadaj określoność form kwadratowych:

a) f : R

3

→ R. f(x) = −x

2

1

− 2x

2

2

− x

2

3

− x

1

x

3

+ 2x

1

x

2

;

b) f : R

3

→ R. f(x) = 5x

2

1

+ x

2

2

+ λx

2

3

+ 4x

1

x

2

− 2x

1

x

3

− 2x

2

x

3

.

4. Udowodnij, że macierze Gramma A

T

A, AA

T

są nieujemnie określone, a jeśli A - kwadratowa nieosobliwa to określoność

jest ściśle dodatnia.

5. Udowodnij, że macierz symetryczna A jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy istnieje macierz B taka, że

A = B

T

B.

6. Udowodnij, że forma kwadratowa f : R

n

→ R jest nieujemnie lub niedodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

{x ∈ R

n

: f (x) = 0}

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R

n

.

7. Wykaż, że jeśli macierz A jest dodatnio określona , to istnieje macierz odwrotna A

−1

, która jest dodatnio określona.