1 Algebra liniowa
Zadanie 1.1. Wykonaj dziaªania
a)
(1
− 3i) + (4 − 5i)
b)
(1 +
√
2i)
− (
√
3
− 6i)
c)
(
√
7
−
√
3i)
· (
√
7 +
√
3i)
d)
2+3i
1+i
e)
z
· ¯
w,
z
2
w
,
z
− w
¯
z + ¯
w
,
Rez + iImw
z + w
dla z = 5 − 2i, w = 3 + 4i
Zadanie 1.2. Znale¹¢ liczby rzeczywiste x, y speªniaj¡ce podane równania:
a)
x(2 + 3i) + y(5
− 2i) = −8 + 7i
b)
(2 + yi)
· (x − 3i) = 7 − i
c)
1+yi
x
−2i
= 3i
− 1
d)
x+yi
x
−yi
=
9
−2i
9+2i
Zadanie 1.3. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡za¢ podane równania:
a)
z
2
= 4¯
z
b)
1+i
z
=
2
−3i
¯
z
c)
z
2
− 4z + 13 = 0
d)
(z + 2)
2
= (¯
z + 2)
2
e)
2z + ¯
z = 6
− 5i
f )
(1 + i)z + 3(z
− i) = 0
Zadanie 1.4. Oblicz moduªy podanych liczb zespolonych:
a)
−
√
3i
b)
6
− 8i
c)
4
√
2 +
4
√
3i
d)
1 + i
tgα, α ∈ (−
π
2
,
π
2
)
e)
1+3i
3
−4i
Zadanie 1.5. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb z speªniaj¡cych podane wa-
runki:
a)
|z| = 2
b) arg z =
π
4
c)
|z| = 3 i
π
3
< arg z < π
d)
|z| < 4
e)
|z| < 2 i 0 < arg z <
1
2
π f )
|z − 3 + 4i| < 5
g)
Re(iz + 2) 0
h)
Imz
2
< 0
i) (z
− i) = z − 1
j)
4
z
= ¯
z
k)
Im
1+iz
1
−iz
= 1
l) z ¯
z + (5 + i)z + (5
− i)¯z + 1 = 0
m)
|z − 3 + 4i| = 1
n)
z
−2i
z+1
= 1
o)
|z + 1 − 2i| 3 i |z − 3| < 4
p) 2
¬ |iz − 5| < 3
r)
z+i
z
2
+1
1
Zadanie 1.6. Podane liczby zespolone zapisa¢ w postaci trygonometrycznej:
a)
− 5
b)
2i
c)
1 + i
d)
√
3 + i
e)
7 + 7i
f )
− 5 + 5
√
3i
g)
1 + i
tgα, 0 < α <
π
2
h)
sin α + i cos α, 0 < α <
π
2
Zadanie 1.7. Obliczy¢ warto±ci podanych wyra»e« (wynik poda¢ w postaci algebraicznej):
a)
(1
− i)
12
b)
(1 +
√
3i)
8
c)
(2
√
3
− 2i)
30
d)
(cos
π
4
− i sin
π
4
)
10
e)
(1+i)
22
(1
−i
√
3)
6
f )
(sin
π
6
+ i cos
π
6
)
24
1
Zadanie 1.8. Obliczy¢ (wynik poda¢ w postaci algebraicznej):
a)
(1 + i)
10
b)
(2 + i
√
12)
5
c)
(1 + cos
1
3
π + i sin
1
3
π)
6
d)
(
1+i
√
2
)
26
e)
(
√
3
−i
2
)
26
f )
(1+i)
n
(1
−i)
n
−2
,
n
∈ N g)
3
√
−1 + i
h)
√
3 + 4i
i)
6
√
−27
j)
3
√
(3 + 4i)
3
k)
4
√
−8 + 8i
√
3
l)
√
−11 + 60i
m)
4
√
−4
n)
5
√
32i
o)
√
−1 +
√
3i
p)
3
√
(2
− i)
6
Zadanie 1.9. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki równa«:
a)
z
4
− 1 = 0
b)
z
4
− i = 0
c)
z
6
+ 64 = 0
d)
z
5
− 1024 = 0
e)
z
4
+ 4 = 0
f )
z
3
+ 8 = 0
g)
2z
2
+ 2
(
−1 + i
√
3
)
z +
2+i2
√
3
1
−i
√
3
= 0 h)
z
|z| = 2¯z
Zadanie 1.10. Wyznaczy¢
6
√
−1 = {w
0
, w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, w
5
} oraz obliczy¢:
w
0
+ w
1
+ w
2
+ w
3
+ w
4
+ w
5
,
w
0
· w
1
· w
2
· w
3
· w
4
· w
5
.
Zadanie 1.11. Rozwi¡za¢ równania:
(a) z
2
+ (3
− 2i)z + 1 − 3i = 0
(e)
z
4
+ 5z
2
+ 4 = 0
(b)
iz
2
+ (1 + i)z
−
1
2
= 0
(f ) z
2
− (3 − 2i)z + (5 − 5i) = 0
(c)
z
4
− iz
2
+ 2 = 0
(g)
z
4
+ 8z
2
+ 15 = 0
(d) z
2
+ 2iz + 3 = 0
(h) z
4
− 3iz
2
+ 4 = 0
Zadanie 1.12. Znaj¡c niektóre z pierwiastków równa« zespolonych, znale¹¢ ich pozostaªe pier-
wiastki.
(a) z
4
+ 2z
3
+ 5z
2
+ 6z + 6 = 0
, z
1
=
−1 + i
(b) z
4
+ z
3
+ 2z
2
+ z + 1 = 0
, z
1
= i
(c) z
5
− 5z
4
+ 18z
3
− 18z
2
+ 17z
− 13 = 0, z
1
= 2
− 3i, z
2
= i
Posta¢ algebraiczna liczby zespolonej: z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, i =
√
−1
Cz¦±¢ rzeczywista liczby zespolonej z = x + iy: Re z = x;
cz¦±¢ urojona: Im z = y
Sprz¦»enie liczby zespolonej z = x + iy: ¯z = x − iy
Moduª liczby zespolonej z = x + iy: |z| =
√
x
2
+ y
2
Argumentem arg z liczby zespolonej z = x + iy ̸= 0 nazywamy ka»d¡ liczb¦ φ ∈ R speªniaj¡c¡ ukªad równa«
{
cos φ =
x
|z|
sin φ =
y
|z|
Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej z = x + iy: z = |z|(cos φ + i sin φ), gdzie φ = arg z
Wzór de Moivre'a:
Niech z = |z|(cos φ + i sin φ), wtedy z
n
=
|z|
n
(cos(nφ) + i sin(nφ))
Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej: e
iφ
= cos φ + i sin φ
Wzór na pierwiastki z liczby zespolonej: Ka»da liczba zespolona z = |z|(cos φ + i sin φ) ma dokªadnie n
pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma posta¢
n
√
z =
{z
0
, z
1
, . . . , z
n
−1
}, gdzie
z
k
=
n
√
|z|
(
cos
φ + 2kπ
n
+ i sin
φ + 2kπ
n
)
dla k = 0, 1, . . . , n − 1.
2
2 Algebra liniowa
Zadanie 2.1. Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ podanych ukªadów wektorów w odpowiednich prze-
strzeniach liniowych:
1. (2, 0, 6), (0, 1, 0), (1, −1, 3) w przestrzeni R
3
2. (2, 0, 6), (0, 1, 0), (1, 1, 1) w przestrzeni R
3
3. (0, 2, 3), (−1, 1, 1), (2, 0, 1) w przestrzeni R
3
4. (3, 2, 3), (2, 0, 2), (1, −1, 5) w przestrzeni R
3
5. (1, 0, 0, . . .), (1, 1, 0, . . .), (1, 1, 1, . . .), . . . w przestrzeni R
∞
6. (1, 2, 0, 4), (−1, 0, 5, 1), (1, 6, 10, 14) w przestrzeni R
4
Zadanie 2.2. Uzasadni¢ liniow¡ zale»no±¢ podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach
liniowych przedstawiaj¡c jeden z tych wektorów jako kombinacj¦ liniow¡ pozostaªych
1. (1, 2), (2, 3), (3, 4) w przestrzeni R
2
2. (1, 2, 3), (2, 3, 4), (1, 1, 1) w przestrzeni R
3
Zadanie 2.3. Sprawd¹, czy zbiór V jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni liniowej P nad
ciaªem R, je»eli
1. P = R
3
,
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x > 0
},
2. P = R
3
,
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x + y + z = 0
},
3. P = R
3
,
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x + 2y
− z = 1},
4. P = R
3
,
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x
∈ Q},
5. P = R
3
,
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: yz
¬ 0},
6. P = R
3
,
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x + y + z = x
− y = 0},
7. P = R
4
,
V =
{(x, y, z, t) ∈ R
4
: x = z
lub y = t},
8. P = R
4
,
V =
{(x, y, z, t) ∈ R
4
: x = z
i y = t},
9. P = R
5
,
V =
{(2x, x + y, 7, 13, x − y) ∈ R
5
: x, y
∈ R}
Zadanie 2.4. Sprawdzi¢, czy podane zbiory wektorów s¡ bazami wskazanych przestrzeni linio-
wych:
1. {(2, 5), (3, 1), (6, −7)}, R
2
2. {(2, 3, −1), (1, −3, 2)}, R
3
3
3. {(1, −1, 4), (3, 0, 1), (2, 1, −2)}, R
3
4. {2x + 4, 3x − x
2
,
−2x
2
+ 4x
− 4}, R
2
[x]
5. {(1, 1, 2, 1), (1, −1, 0, 1), (0, 0, −1, 1), (1, 2, 2, 0)}, R
4
6. {(1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)}, R
5
Zadanie 2.5. Wyznaczy¢ generatory podanych przestrzeni liniowych
1. V = {(x, y, z) ∈ R
3
: 4x
− y + 2z = 0}
2. V = {(2r + s − t, t − u, r + 3s + u, s + u, t − u): r, s, t, u ∈ R}
3. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: x
− y = y − z = z − t}
Zadanie 2.6. Poda¢ przynajmniej dwa ró»ne ukªady wektorów rozpinaj¡ce podan¡ przestrze«
liniow¡
1. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: y = 2x, z = 0
}
2. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: x + 2y
− z + t = 0}
Zadanie 2.7. Udowodnij, »e czwórka (R, V, +, ·), gdzie
V =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x + 2y + 3z = 0
} ⊂ R
3
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni (R, R
3
, +,
·). Sprawd¹, »e wektory e
1
= (
−2, 1, 0) oraz
e
2
= (
−3, 0, 1) nale»¡ do V , s¡ liniowo niezale»ne i tworz¡ baz¦ przestrzeni V . Jaki jest wymiar
przestrzeni V ?
Zadanie 2.8. Niech dane b¦d¡ wektory
e
1
= (1, 2, 0),
e
2
= (2, 1,
−1), e
3
= (
−4, −5, −1), e
4
= (3,
−3, 1)
Znajd¹ dim Lin(e
1
, e
2
, e
3
, e
4
)
oraz jak¡kolwiek baz¦ przestrzeni Lin(e
1
, e
2
, e
3
, e
4
)
.
Zadanie 2.9. Znajd¹ baz¦ przestrzeni wektorowej W = Lin(v
1
, v
2
, v
3
, v
4
)
, gdzie
v
1
= (1, 2, 3, 4),
v
2
= (4, 7, 10, 13),
v
3
= (2, 3, 4, 5),
v
4
= (3, 5, 7, 9)
oraz sprawd¹, czy wektor v = (2, 1, 1, 2) jest elementem przestrzeni W .
Zadanie 2.10. Wskaza¢ bazy i okre±li¢ wymiary podanych przestrzeni liniowych:
1. V = {(x + y + z, x − y, x − z, y − z): x, y, z ∈ R}
2. V = {(x + 2y + z, 3x − y + 2z, 5x + 3y + 4z): x, y, z ∈ R}
3. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: 2x
− y = z − t = 0}
4. V = {(2x, x + y, 3x − y, x − 2y): x, y ∈ R}
4
5. V = {(x − 2y − z, 2x + y − 3z, 3x + 4y − 5z): x, y, z ∈ R}
6. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: x + y = z
− y}
Zadanie 2.11. Znale¹¢ z de nicji wspóªrz¦dne podanych wektorów we wskazanych bazach od-
powiednich przestrzeni liniowych
1. ⃗v = (1, 4) ∈ R
2
, B =
{(1, 5), (1, 6)};
2. ⃗v = (0, 1) ∈ R
2
, B =
{(1, 2), (2, 6)};
3. ⃗v = (8, 1, 7, 5) ∈ R
4
, B =
{(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)};
4. p = x
2
− 3x + 3 ∈ R
2
[x], B =
{x
2
+ 3x
− 1, −x
2
+ x + 3, 2x
2
− x − 2};
Zadanie 2.12. Obliczy¢ wspóªrz¦dne wektorów w wybranych bazach podanych przestrzeni
liniowych:
1. V = {(x − 5y, x + y, 2x + y, x + y): x, y ∈ R}, ⃗v = (−2, 4, 7, 4)
2. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: x
− 2y = y − 2z = 0}, ⃗v = (8, 4, 2, 9)
3. V = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: x + y = z + t = 0
}, ⃗v = (1, −1, −1, 1)
Zadanie 2.13. (E) Znale¹¢ wektor v ∈ R
3
taki, »e ci¡g (2, 1, 0), (1, 1, 1), v jest baz¡ przestrzeni
R
3
.
Zadanie 2.14. (E) Pokaza¢, »e wektory e
1
= (1, 1, 1)
, e
2
= (1, 1, 2)
, e
3
= (1, 2, 3)
tworz¡ baz¦
przestrzeni R
3
oraz znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora x = (6, 9, 14) w tej bazie.
Zadanie 2.15. (E) Znale¹¢ wektory u, v ∈ R
3
takie, »e ci¡g (2, 0, 1), u, v jest baz¡ przestrzeni
R
3
, wektor (0, 1, 0) ma w tej bazie wspóªrz¦dne −1, 1, 2, za± wektor (0, −1, 5) ma w tej bazie
wspóªrz¦dne 2, −1, 2.
Zadanie 2.16. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ⃗v w podanej bazie B
′
pewnej przestrzeni li-
niowej maj¡c dane jego wspóªrz¦dne w bazie B.
1. [4, −3], B = {⃗b
1
,⃗b
2
}, B
′
=
{2⃗b
1
−⃗b
2
,⃗b
1
+ 2⃗b
2
}
2. [1, 1, −2], B = {x, x + 1, x
2
+ 1
}, B
′
=
{1, 1 + x
2
, x + x
2
}
Y
⊂ X nazywamy podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni X je±li (Y, +, ·) jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad K.
Y
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ wtedy i tylko wtedy, gdy
∧
x,y
∈Y
x + y
∈ Y
∧
x
∈Y
∧
a
∈K
a
· x ∈ Y
Liniowa niezale»no±¢ wektorów
5
Niech X b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ nad ciaªem K. Wektory x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ X s¡ liniowo niezale»ne, je±li:
∧
a
1
,...,a
n
∈K
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
= 0
⇒ a
1
= a
2
= . . . = a
n
= 0
Je±li wektory x
1
, x
2
, . . . , x
n
nie s¡ liniowo niezale»ne to mówimy, »e s¡ one liniowo zale»ne.
Baza przestrzeni liniowej
Kombinacj¡ liniow¡ wektorów x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ X nazywamy dowolny wektor postaci x = a
1
x
1
+a
2
x
2
+. . .+a
n
x
n
,
gdzie a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈ K.
Zbiór wszystkich mo»liwych kombinacji liniowych oznaczamy przez lin {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} i nazywamy otoczk¡ linio-
w¡ tych wektorów (x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Jest to podprzestrze« liniowa przestrzeni X.
Mówimy, »e przestrze« wektorowa (liniowa) X jest sko«czenie wymiarowa, je±li istniej¡ x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ X takie,
»e
X = lin
{x
1
, x
2
, . . . , x
n
} .
Baz¡ przestrzeni wektorowej X która jest sko«czenie wymiarowa nazywamy ci¡g wektorów e
1
, e
2
, . . . , e
n
∈ X taki,
»e
1. X = lin {e
1
, e
2
, . . . , e
n
}
2. e
1
, e
2
, . . . , e
n
s¡ liniowo niezale»ne.
Wymiar przestrzeni liniowej
Je»eli X ̸= {0} jest sko«czenie wymiarowa to liczb¦ wektorów dowolnej bazy X nazywamy wymiarem X i ozna-
czamy przez dim X.
Przyjmujemy, »e dim {0} = 0 i dim X = ∞, je±li X nie jest sko«czenie wymiarowa.
6
3 Algebra liniowa
Zadanie 3.1. Obliczy¢
2
0
4
5
−1
−
1
−1
3
−2
,
0 3
1 1
1 0
− 4
0 0
0 2
1 1
,
1 3
−1
4 0
2
0 1
0
+ 2
1
0
1
0
3
−2
3
−2 −1
Zadanie 3.2. Obliczy¢ (je±li jest to mo»liwe) iloczyny macierzy
3
−2
5
−4
·
3 4
2 5
,
1 5 0
3 2 1
·
5 7
2 3
,
4 3
7 5
·
−28
93
38
−126
·
7 3
2 1
1 0 2
3 5 1
·
1 3
7 5
0 2
,
2 2
−2 3
6 4
−3 5
9 2
−3 4
7 6
−4 7
·
2
2
2
2
−1 −5 3 11
16
24
8
−8
8
16
0
−16
Zadanie 3.3. (E) Obliczy¢ AB
−1
− 2C
T
dla macierzy
A =
−1 2
0
1
, B =
2 5
1 3
, C =
1
0
2
−3
.
Zadanie 3.4. (E) Obliczy¢ 2A
T
B
− C
−1
dla macierzy
A =
1 0
2 1
, B =
−1 1
3
0
, C =
1 2
2 5
.
Zadanie 3.5. Rozwi¡za¢ podane równania macierzowe
X +
1 0 0
0 2 0
=
1
2
X
−
0 0 2
0 4 0
2Y
·
3 0 1
0 4 0
1 0 2
=
1 0 1
0 1 0
1 0 1
+ Y
·
2 0 2
0 4 0
2 0 0
Zadanie 3.6. Obliczy¢ wyznaczniki:
a)
1 3 4 5
3 0 0 2
5 1 2 7
2 0 0 3
b)
0 5 0 2
8 3 4 5
7 2 1 4
0 4 0 1
c)
0 a
b
c
1 x 0 0
1 0 y 0
1 0 0 z
d)
2 1 4 3 5 3
5 6 7 8 4 2
8 9 7 6 0 0
2 3 5 4 0 0
4 3 0 0 0 0
6 5 0 0 0 0
e)
7 6 5 4 4 2
9 7 8 9 3 3
7 4 9 7 0 0
5 3 6 1 0 0
0 0 5 6 0 0
0 0 6 8 0 0
f )
2
3
0
0
1
−1
9
4
0
0
3
7
4
5
1
−1 2 4
3
8
3
7
6
9
1
−1 0 0 0 0
3
7
0
0
0
0
7
g)
2
1
2
3
2
3
−2 7
5
−1
3
−1 −5 −3 −2
5
−6 4
2
−4
2
−3 3
1
−2
h)
3
4
−3 −1 2
−5 6
5
2
3
4
−9 −3 7 −5
−1 −4 1
1
−2
−3 7
5
2
3
i)
1
1
1
0
0
1
2
3
0
0
0
1
1
1
1
0 x
1
x
2
x
3
x
4
0 x
2
1
x
2
2
x
2
3
x
2
4
j)
1
i
1 + i
−i 1
0
1
− i 0
1
k)
i
1 + i
2
1
− 2i
3
−i
−4
1
− i 3 + i
l)
−1 2 −3 4
0
5
3
−7
1
3
−5 9
2
−2 4
6
m)
3
−2 0 5
−2 1 −2 2
0
−2 55 0
5
0
3
4
n)
3 2 0 0 0
0 3 2 0 0
0 0 3 2 0
0 0 0 3 2
2 0 0 0 3
o)
2
7
−1 3 2
0
0
1
0 1
−2 0
7
0 2
−3 −2 4 5 3
1
0
0
0 1
Zadanie 3.7. (E) Obliczy¢ wyznacznik macierzy
a)
0 4
7
0
0 7 13
0
5 0
0
13
4 0
0
11
b)
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 2
.
Zadanie 3.8. (E) Znale¹¢ wszystkie warto±ci x ∈ R, dla których
det
x
1
1
1
1 x + 2
1
1
1
1
x
− 1 1
1
1
1
1
= 0.
Zadanie 3.9. Obliczy¢ macierze odwrotne podanych macierzy:
a)
a b
c d
b)
2
4
9 18
c)(E)
1
i
−i
1
−1 −1
1
1
1
d)
1
1
1
1
1
1
−1 −1
1
−1 1 −1
1
−1 −1 1
8
Zadanie 3.10. Rozwi¡za¢ równania macierzowe:
a)
X
·
3
−2
5
−4
=
−1 2
−5 6
b)
4 6
6 9
· X =
1 1
1 1
c)
X
·
3 6
4 8
=
2
4
9 18
d)
1 1 0
0 1 0
·
0 2 1
1 1 0
T
· X =
2 2
2 1
e)
X = X
T
·
1
2
−2 −3
f )
X
− iX
T
=
4i
0
6
− 2i −2
g)
1 1
2 1
3 1
· X =
−1
0
0
h)
1 1 2
0 1 1
· X =
7 3
4 1
i)
X
2
=
0 0
0 0
j)
3 1
0 1
· X = X ·
4 1
3 0
k)
1
2
·
[
2, 1
]
−
4
−3
−2 6
· X ·
2
−3
−1 6
1
0
1 + i
0
1
i
1
− i −i
1
=
=
2
1
3
3
−7 5
·
4 1
−1
2 0
1
T
+ 2
·
0
2
3
−5
Zadanie 3.11. Stosuj¡c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznacz-
ników (powoduj¡c obni»enie ich stopnia) obliczy¢:
a)
2
1
−1 2
−1 2
1
4
1
0
1
−1
3
−1 4
0
b)
1 0
1
2
12
2 0
1
1
4
2 1
1
−1 3
3 2
−1 1
8
1 1
1
0
6
c)
1
−1 0
2
3
5
−4 0 6
d)
−1 4 0
2
5
−2
−3 0 3
e)
4
2
1 1
1
−1 0 2
3
0
1 3
2
2
0 3
f )
1
0
1
−1
2
1
−1 2
−1 2
1
3
3
−1 4
0
9
g)
1
2
−1 0
3
2
4
5
1
−6
−1 −2 3
0
−2
−2 −2 1 −1 1
2
4
−2 0
3
h)
2
7
−1 3 2
0
2
1
3 1
−2 4
7
2 2
−3 −2 4 5 3
1
2
0
1 1
Zadanie 3.12. Korzystaj¡c z metody bezwyznacznikowej wyznaczy¢ macierze odwrotne do
podanych
a)
1
2
0
2
3
0
1
−1 1
b)
2
0 0 4
0
0 0 1
0
2 0 0
−1 0 1 0
c)
1
2
2
2
1
−2
2
−2 1
d)
1 0 0 1
0 0 2 1
0 1 1 1
2 1 1 2
e)
1 2
3
4
2 3
1
2
1 1
1
−1
1 0
−2 −6
Zadanie 3.13. Obliczy¢
(a)
v
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
t
0
0
2 0
3
0
2
12 4 2
7
3
1
0
4 0
9
0
1
12 5 3
7
6
2
0
8 0 27
0
−3 12 5 4 3 10
+
1
0
2 0
3
0
3
12 4 2
7
3
0
0
4 0
9
0
7
12 5 3
7
6
−1 0 8 0 27 0
12
12 5 4
3
10
(b)
12547 13447
28523 28423
+
35 59 71 52
42 70 77 54
43 68 72 52
29 49 65 50
+
24 11 13 17 19
51 13 32 40 46
61 11 14 50 56
62 20
7
13 52
80 24 45 57 70
−1
(c)
1 2
3
4
2 3
1
2
1 1
1
−1
1 0
−2 −6
·
22
−6 −26 17
−17 5
20
−13
−1
0
2
−1
4
1
5
3
2009
(d)
1 2009
2008
2008
2009
0 2009
2009
2009
2009
0
0
2009
1
2009
2009
·
2
−1 3
4
−5
4
−2 7
8
−7
−6 4 −9 −2 3
3
−2 4
1
−2
−2 6
5
4
−3
Zadanie 3.14. Rozwi¡» równania macierzowe
(a)
1
2
−3
3
2
−4
2
−1 0
· X +
0
1
0
−5 −1 −3
−4 −3 −3
=
1
−2 0
5
1
4
6
4
5
10
(b)
1
2
·
[
2 1
]
+
0
0
−6 −2
· X ·
−2 3
−1 1
T
=
1 0
0 0
+ 2
0
−1
0
0
(c)
1 2
0 1
+
0 0
3 3
· X =
3 5
5 9
T
(d) X
·
5
3
1
1
−3 −2
5
2
1
=
−8 0 −2
0
9
15
1
0
1
T
+
0
3
−1
−5 0 0
0
0
−1
Zadanie 3.15. Wyznaczy¢ rz¡d macierzy
(a)
2
1
1
2
1
−1
2
−2 1
;
(b)
0
2
−2 4
2
3
−4 6
−4 0 2 0
; (c)
3 2 1
2 1 1
;
(d)
1
3
5
−1
2
−1 −3 4
5
1
−1 7
7
7
9
1
;
(e)
2
1 1 1
−3 2 0 1
1
4 2 3
2
1 1 4
; (f )
1 1 1
1
2 2 3
−1
0 0 1
−3
3 3 5
−3
;
(g)
2
−4 3
1
−2
3
2
; (h)
3
−1 3 2 5
5
−3 2 3 4
1
−3 −5 0 −7
7
−5 1 4 1
.
Zadanie 3.16. Dla jakich warto±ci parametru a ∈ R rz¡d macierzy
(a)
−2 −1 − a 1
a
0
−a
−1 a + a
2
1
,
(b)
a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a
jest
a)
najmniejszy?
b)
najwi¦kszy?
Zadanie 3.17. Wyznaczy¢ warto±ci i wektory wªasne macierzy:
(a)
1 5
0 3
;
(b)
a 0 0
0 b 0
0 0 c
;
(c)
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
;
(d)
1
−1 −1
1
1
0
3
0
1
; (e)
2
−2 0
−2 1 −2
0
−2 0
; (f )
2
−1 −1
3
−2 −3
−1 1
2
.
11
5 Algebra liniowa z geometri¡
Zadanie 4.1. Dla jakiej warto±ci parametru p ∈ R podane ukªady równa« s¡ ukªadami Cra-
mera?
a)
(p + 1)x
−
py
=
1
2x
+ (p
− 1)y = 3p
b)
2px
+ 4y
− pz = 4
2x
+
y
+ pz = 1
(4 + 2p)x + 6y + pz = 3
c)
px
+ 3y + pz = 0
−px
+ 2z = 3
x
+ 2y + pz = p
d)
x
− y − z − t = px
−x + y − z − t = py
−x − y + z − t = pz
−x − y − z + t = pt
Zadanie 4.2. Korzystaj¡c ze wzorów Cramera znale¹¢ rozwi¡zania podanych ukªadów równa«:
(a) 5x
− 2y = 6, 3x + y = 4
(b) x + 2y + 3z = 14,
3x + y + 2z = 11,
2x + 3y + z = 11
(c) 2x
− y + z = 1, 3x + y − 2z = 0, x − 3y − z = 2
(d) 5x
− 3y + 2z = 3, 4x + 5y − 3z = 21, 5x − 2y − 3z = −12
(e) 3x + 12y + 5z + 43 = 0,
5x
− 3y − 10z + 76 = 0, 4x − 17y + 2z − 23 = 0
(f ) x + 2y + 3z = 1,
2x + 3y + z = 3,
3x + y + 2z = 2
(g) x + 2y + 3z = 14,
4x + 3y
− z = 7, x − y + z = 2
(h) x + 2y
− 4 = 3y + 4z − 6 = 5z + 6s = 7s + 8t = x + y + z + s + t − 2 = 0
(i)
3x + 7y + 2z + 4t = 0
2y +
z
= 0
x
+ 4y +
z
= 1
5x + 3y + 2z
= 0
(j)
x
+ 3y + 3z + 3t = 1
3x +
y
+ 3z + 3t = 1
3x + 3y +
z
+ 3t = 1
3x + 3y + 3z +
t
= 1
(k) 12 + x + y = 10 + y + z = 8 + z + u = 6 + u + v = 10x + v = 15
(l) 9x
− 8y = 4, 7x + 2y = 3
(m) x + 2y
− z = 1, 3x + y + z = 2, x − 5z = 0
Zadanie 4.3. Rozwi¡za¢ podane ukªady równa« wykorzystuj¡c macierz odwrotn¡
a)
2x
− y = 3
3x + y = 2
b)
x
+
y
+ z = 5
2x + 2y + z = 3
3x + 2y + z = 1
12
c)
x
+
y
+
z
=
4
2x
− 3y + 5z = −5
−x + 2y − z = 2
d)
y + z + t =
4
x
+ z + t =
−1
x + y
+ t =
2
x + y + z
=
−2
e)
x
+ 7y = 2
2x
− y = 9
f )
x
− 2y + 3z = −7
3x +
y
+ 4z =
5
2x + 5y +
z
=
18
Zadanie 4.4. Rozwi¡za¢ podane ukªady równa« metod¡ eliminacji Gaussa
a)
2x + 3y = 1
3x +
y
= 0
b)
x
+
y
=
1
x
+ 2y
− 3z = −3
2x + 4y +
z
=
1
c)
3x +
y
+
z
=
−1
x
+ 2z =
−6
3y + 2z =
0
d)
x
+
y
+
z
+
t
= 1
2x + 2y +
z
+
t
= 0
3x + 2y + 3z + 2t = 3
6x + 4y + 3z + 2t = 2
e)
2x + 3y + 2z = 1
3x + 4y + 2z = 2
4x + 2y + 3z = 3
f )
x
− 2y
+ 3s +
t
=
1
2x
− 3y + z + 8s + 2t = 3
x
− 2y + z + 3s − t = 1
y
+ 3s + 5t =
0
x
− 2y
+ 5s + 8t =
−1
Zadanie 4.5. Rozwi¡za¢ podane ukªady równa« stosuj¡c "metod¦ kolumn jednostkowych":
a)
5x + 2y
− 2z = 5
3x +
y
+ 2z = 1
2x + 3y + 2z = 5
b)
2x + 3y + 2z
− t = 3
2x +
y
+
z
+ 2s + 3t = 6
3x
− z + s + t = 3
y
+ 4s +
t
= 1
2x +
y
+
z
− 2s + 5t = 8
c)
x
− 2y + z − t = −4
2x
− y − z + t = 1
x
+
y
+ 2z
− t = 5
x
+
y
− z + t = 4
d)
2x + y + z
+ t = 0
y + z
= 0
2x + y + z + s
= 0
y + z + s + t = 4
x
+ z
+ t = 0
13
Ukªady m równa« liniowych o n niewiadomych
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego: Warunkiem koniecznym i wystarczaj¡cym rozwi¡zalno±ci ogólnego ukªadu
równa« m liniowych o n niewiadomych jest równo±¢ rz¦du macierzy W wspóªczynników ukªadu i rz¦du macierzy
uzupeªnionej U:
r = r(W ) = r(U )
Gdy wspólny rz¡d r tych macierzy równa si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad równa« ma dokªadnie jedno rozwi¡-
zanie, gdy za± wspólny rz¡d r jest mniejszy od liczby niewiadomych n, to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«,
które zale»¡ od n − r dowolnych parametrów.
Zadanie 4.6. Rozwi¡za¢ ukªad równa«
a)
x
+ 3y
− 4z = 4
3x + 2y
− z = 1
x
− 4y + 7z = 5
b)
x
+
y
+ 3z
− 2t + 3u = 1
2x + 2y + 4z
− t + 3u = 2
3x + 3y + 5z
− 2t + 3u = 1
2x + 2y + 8z
− 3t + 9u = 2
c)
5x + 3y
− z = 3
2x +
y
− z = 1
3x
− 2y + 2z = −4
x
− y + 2z = −2
d)
x
+ 2y + 3z
− 2t + u = 4
3x + 6y + 5z
− 4t + 3u = 5
x
+ 2y + 7z
− 4t + u = 11
2x + 4y + 2z
− 3t + 3u = 6
e)
4x
− y = 7
3x +
y
= 14
2x + 3y =
0
f )
3x + 2y + 2z + 2t = 2
2x + 3y + 2z + 5t = 3
9x +
y
+ 4z
− 5t = 1
2x + 2y + 3z + 4t = 5
7x +
y
+ 6z
− t = 7
g)
2x +
3y
+
z
+ 2t = 4
4x +
3y
+
z
+
t
= 5
5x + 11y + 3z + 2t = 2
2x +
5y
+
z
+
t
= 1
x
− 7y − z + 2t = 7
h)
8x + 6y + 5z + 2t = 21
3x + 3y + 2z +
t
= 10
4x + 2y + 3z +
t
=
8
3x + 5y +
z
+
t
= 15
7x + 4y + 5z + 2t = 18
i)
3x
− 2y + 5z + 4t − 2 = 0
6x
− 4y + 4z + 3t − 3 = 0
9x
− 6y + 3z + 2t − 4 = 0
j)
6x
+ 2y + 3z
= 2
4x
+ 2y
− z + 3t = 2
10x + 4y + 2z + 3t = 4
k)
4x
− 2y + 8z = −6
2x
− y + 4z = −3
−6x + 3y − 12z = 9
14
l)
6x + 4y + 5z + 2t + 3u =
1
3x + 2y + 4z +
t
+ 2u =
3
3x + 2y
− 2z + t
=
−7
9x + 6y +
z
+ 3t + 2u =
2
m)
6x
+ 2y + 3z
= 2
4x
+ 2y
− z + 3t = 2
10x + 2y + 2z + 3t = 4
n)
3x
− 7y − z = 4
x
− 2y + 3z = −1
x
− 3y − 7z = 6
3x
− 6y + 9z = −3
Zadanie 4.7. Rozwi¡za¢ ukªad równa« liniowych jednorodnych
a)
3x
− y + 2z = 0
4x + 2y
− 5z = 0
2x
− 7y + 11z = 0
b)
x
+
2y
+
z
− s + 6t = 0
3x +
8y
+ 5z + 3s + 10t = 0
5x + 12y + 7z +
s
+ 22t = 0
c)
3x + 2y
− z = 0
x
+ 3y
− 4z = 0
2x
− 4y + 7z = 0
d)
x
− y + 2z − s + t = 0
3x + y +
z
+ s + 2t = 0
5x
− y + 5z − s + 4t = 0
e)
x
+
2y
− z = 0
4x
−
y
+ 2z = 0
x
+ 11y
− 7z = 0
f )
x
+ 2y +
3z
− 4s = 0
−x + 8y + 11z + 12s = 0
2x
− y −
z
= 0
Zadanie 4.8. Znale¹¢ wymiary i wyznaczy¢ bazy przestrzeni rozwi¡za« podanych ukªadów
równa« liniowych:
a) 2x
− y + 5z + 3t = 0
b)
x + 2y = 2x
− y = x + z + t = 0
c) x + y = y + z = z + t = t + z
d)
x + y = y + z = z + s = s + t = t + y = 0
e)
x
− 3y − z − t = 0
2x +
y
+ z + t = 0
3x + 2y
− z
= 0
6x + 2y
− z
= 0
f )
x
+ 2y +
z
= 0
3x
− y
+ t = 0
4x +
y
+
z
+ t = 0
5x + 3y + 2z + t = 0
g)
4x + y
− z + s − 2t = 0
x
− y + z − s − 3t = 0
3x
− y + z − s − 5t = 0
h)
x
− 3y + z + t = 0
2x +
y
+ z
− 7t = 0
x
− y − z − 5t = 0
i)
2x +
2y
− z + s
= 0
5x +
6y
+ z + 2s + t = 0
9x + 10y
− z + 4s + t = 0
15
Zadanie 4.9. Okre±li¢ liczby rozwi¡za« podanych ukªadów równa« w zale»no±ci od parametru
rzeczywistego p
(a) (p
− 1)x + (2 − p)y = p, (1 − 3p)x + (p − 1)y = −6
(b)
(p + 1)x
− y + pz = 1
(3
− p)x + 4y − pz = −4
px
+ 3y
=
−3
(c)
px +
y
+
2z
= 1
x
+ py +
2z
= 1
x
+
y
+ 2pz = 1
(d)
2x + py + pz + pt = 1
2x + 2y + pz + pt = 2
2x + 2y + 2z + pt = 3
2x + 2y + 2z + 2t = 4
(e)
x
+ (p
− 2)y −
2pz
= 4
px
+ (3
− p)y +
4z
= 1
(1 + p)x +
y
+ 2(2 + p)z = 7
Zadanie 4.10. Rozwi¡za¢ podane ukªady równa« liniowych w zale»no±ci od warto±ci rzeczy-
wistego parametru p:
1.
px + 3y +
z
+
t
=
1
2x
− pz + t = −2
7x + py
− 5z + pt = −p
2.
px
+
y
+ pz =
1
x
+
y
+
z
=
1
(2
− p)x + (2 − p)y + z = 1
px
+
y
+ pz = p
2
3.
px +
y
− 2z + t = p
x
+ py +
z
= 3
2x + 2y + 2z + pt = 2
Zadanie 4.11. Rozwi¡za¢ ukªady równa« z niewiadomymi x, y, z i parametrem λ ∈ R
a)
λx +
y
+
2z
= 1
x
+ λy +
2z
= 1
x
+
y
+ 2λz = 1
b)
x + λ
2
y +
z
=
−λ
x +
y
− λz = λ
2
x +
y
=
1
c)
λx +
y
+
z
=
1
x
+ λy +
z
=
λ
x
+
y
+ λz = λ
2
Zadanie 4.12. (E) Rozwi¡za¢ ukªad równa«:
x
1
+ 2x
2
+
x
3
= 1
x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
= 1
2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 2
x
1
+ 4x
2
+ 7x
3
= 1
16
Zadanie 4.13. (E) Zbada¢ dla jakich warto±ci parametru a ∈ R ukªad równa«
2x
1
+
x
2
− x
3
= 1
ax
1
+ ax
2
+
x
3
= 1
x
1
+
x
2
+ ax
3
= 1
ma rozwi¡zania. Znale¹¢ te rozwi¡zania.
Zadanie 4.14. (E) Znale¹¢ ogólny wzór na rozwi¡zanie ukªadu równa« liniowych wiedz¡c, »e
macierz¡ tego ukªadu jest
A =
1
−2 0 1
2
−3 1 3
1
0
3 4
i jednym z rozwi¡za« tego ukªadu jest x
1
= 1
, x
2
= 0
, x
3
=
−1, x
4
= 3
.
17