Algebra II - zadania seria I 1. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest funkcjonałem dwuliniowym, to dla dowolnych ~x, ~y ∈ V oraz α ∈ R zachodzi g( α~

x, α~

y) = α 2 g( ~

x, ~

y).

2. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest antysymetrycznym funkcjonałem dwuliniowym, to g( ~x, ~x) = 0 dla dowolnego ~x ∈ V .

3. Udowodnić, że dowolny funkcjonał dwuliniowy g : V × V → R można przedstawić w postaci g = g 1 + g 2, gdzie g 1 jest funkcjonałem symetrycznym, a g 2 funkcjonałem antysymetrycznym.

4. Niech g :

2

2

R × R → R będzie funkcjonałem dwuliniowym okreslonym jako g( ~

x, ~

y) = 2 x 1 y 1 + x 1 y 2 − 4 x 2 y 2. Wyznacz macierz g w bazie

a) kanonicznej

1 1

b)

,

2

1

− 1 1

c)

,

0

1

5. Oblicz wartość funkcjonału dwuliniowego g( ~

x, ~

y), który w bazie kanonicznej przestrzeni 3

R ma macierz A, jeśli



1 



0 



2

0

− 1 

a) ~

x =

2

1

1

0

3



, ~

y = 

, A = 

.

0

1

2

1

− 2



1 



2 



2

0

− 1 

b) ~

x =

0

0

1

0

3



, ~

y = 

, A = 

.

− 1

1

2

1

− 2

6. Niech

4

R [ x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 4 o współczynnikach rzeczywistych. Niech funkcjonał

dwuliniowy g :

4

4

R [ x] × R [ x] → R będzie określony jako Z

1

g( w( x) , p( x)) =

w( x) p( x) dx.

0

Znajdź macierz tego funkcjonału w bazach a) (1 , x, x 2 , x 3 , x 4) b) (1 , x − 1 , x 2 − x, x 3 − x 2 , x 4 − x 3) 7. Wykaż, że g( ~

x, ~

y) = 3 x 1 y 1 + 2 x 1 y 2 − 2 x 1 y 3 + 2 x 2 y 1 − 2 x 3 y 1 jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. Wyznacz tę bazę przestrzeni

3

R , w której ma on macierz diagonalną.

8. Wykaż, że g :

n

n

R × R

→ R, określony jako g( ~x, ~y) = ~xT ~y jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym. Wyznacz macierz tego funkcjonału w bazach: a) ( ~

e 1 , ~e 2 , . . . , ~en) b) ( ~

e 1 , ~e 1 + ~e 2 , . . . , ~e 1 + ~e 2 + . . . + ~en).