2009-10-19
1
Geodezja i astronomia geodezyjna
Ćwiczenie 1
Trójkąty sferyczne
Podstawy trygonometrii sferycznej
LITERATURA
•
Janusz Śledziński: „Geodezja satelitarna”. PPWK, Warszawa, 1978.
•
Rocznik Astronomiczny na rok 2008 (
www.igik.edu.pl
).
•
Jan Kryński, Jerzy Rogowski: „Systemy i układy współrzędnych w
y
,
y
g
„ y
y
y
p
ę
y
geodezji, geodynamice i astronomii”
•
Eugeniusz Rybka: „Astronomia ogólna”
•
Wiesław Opalski, Ludosław Cichowicz: „Astronomia Geodezyjna”
•
Barbara Kołaczek: „Astronomia sferyczna z ćwiczeniami”
•
Ludosław Cichowicz: „Astronomia sferyczna”
„
y
•
Tadeusz Jarzębowski: „Elementy astronomii”
•
Internet (n.p. www.geoforum.pl,
www.nauticalissues.com/astronomy.html)...
2009-10-19
2
Trójkąt sferyczny – figura powstała z trzech łuków kół wielkich (kąty i boki
mierzone w mierze kątowej)
W każdym z trójkątów rozważa się sześć elementów:
3 kąty A, B, C i 3 boki (kąty środkowe oparte na łukach kół wielkich) a, b, c.
2009-10-19
3
GEOMETRIA SFERY
GEOMETRIA SFERY
2009-10-19
4
GEOMETRIA SFERY
GEOMETRIA SFERY
Pomiędzy elementami trójkąta danego
(bokami a, b, c i kątami A, B, C),
a elementami trójkąta biegunowego
(bokami a’, b’, c’ i kątami A’, B’, C’)
zachodzą zależności:
a + A’ = 180°;
A + a’ = 180°
b + B’ = 180°; B + b’ = 180°
c + C’ = 180°;
C + c’ = 180°
2009-10-19
5
Wzory sinusowe:
sin b · sin A = sin a · sin B
(1a)
sin c · sin B = sin b · sin C
(1b)
sin a · sin C = sin c · sin A
(1c)
Wzory cosinusowe:
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
(2a)
TRYGONOMETRIA SFERYCZNA
( )
cos b = cos c · cos a + sin c · sin a · cos B
(2b)
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C
(2c)
Wzory mieszane:
sin a · cos B = cos b · sin c – sin b · cos c · cos A (3a)
sin b · cos C = cos c · sin a – sin c · cos a · cos B (3b)
sin c · cos A = cos a · sin b – sin a · cos b · cos C (3c)
sin a · cos C = cos c · sin b – sin c · cos b · cos A (3d)
sin b · cos A = cos a · sin c – sin a · cos c · cos B (3e)
sin c · cos B = cos b · sin a – sin b · cos a · cos C (3f)
Wzory na podstawie zależności trójkąta biegunowego (przykłady):
sin A · sin b = sin a · sin B (4a)
cos A = - cos B · cos C + sin B · sin C · cos a (4b)
sin A · cos b = cos B · sin C + sin B · cos C · cos a (4c)
sin A · cos c = cos C · sin B + sin C · cos B · cos a (4d) …….
ROZWIĄZYWANIE TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH
DANE
OPIS DANYCH
WYZNACZANE
Wariant 1
a, b, c
3 boki
A, B, C
Wariant 2
a, b, C
2 boki i kąt między nimi
A, B, c
Wariant 3
a, b, A
2 boki i kąt przyległy do jednego z nich
B, C, c
Wariant 4
B, C, c
2 kąty i bok przyległy do jednego z nich
A, a, b
Wariant 5
A, B, c
2 kąty i bok pomiędzy nimi
C, a, b
, ,
ą y
p
ę y
, ,
Wariant 6
A, B, C
3 kąty
a, b, c
WARIANT 1
DANE: a, b, c
WYZNACZANE: A, B, C
Wzór cosinusowy:
c
b
c
b
a
A
A
c
b
c
b
a
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
Wzór cosinusowy:
Wzór cosinusowy:
a
c
a
c
b
B
B
a
c
a
c
b
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
b
a
b
a
c
C
C
b
a
b
a
c
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
2009-10-19
6
WARIANT 2
DANE: a, b, C
WYZNACZANE: a, b, C
Wzór cosinusowy:
cos
cos cos
sin sin cos
c
a
b
a
b
C
Wzory sinusowo-cosinusowe
sin cos
cos sin
sin cos cos
cos
cos sin
sin cos cos
sin
sin cos
cos sin
sin cos cos
cos
cos sin
sin cos cos
sin
c
B
b
a
b
a
C
B
b
a
b
a
C
c
c
A
a
b
a
b
C
A
a
b
a
b
C
c
=
-
WARIANT 3
DANE: a, b, A
WYZNACZANE: B, C, c
Wzór sinusowy:
a
A
b
B
a
A
b
B
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
Wzory sinusowo-cosinusowe
sin cos
cos sin
sin cos cos
sin cos
cos sin
sin cos cos
cos
cos sin cos
cos sin cos
sin cos cos
sin cos cos
c
A
a
b
a
b
C
c
B
b
a
b
a
C
C
a
b
B
b
a
A
b
B
b
A
Warunek:
b > a
B > A
lub
b < a
B < A
sin cos cos
sin cos cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin cos cos
cos sin cos
a
b
B
b
a
A
c
a
b
a
b
a
b
B
a
b
A
2
2
2
2
Warunek:
C > B
c > b
lub
C < B
c < b
2009-10-19
7
WARIANT 4
DANE: B, C, c
WYZNACZANE: a, b, A
Wzór sinusowy:
sin
sin
sin
sin
sin
sin sin
sin
B
b
C
c
b
B
C
c
Wzory sinusowo-cosinusowe
Warunek:
B > C
b > c
lub
B < C
b < c
sin cos
cos sin
sin cos cos
sin cos
cos sin
sin cos cos
cos
cos sin cos
cos sin cos
i
i
a
B
b
c
b
c
A
a
C
c
b
c
b
A
A
c
b
B
b
c
C
b
B
b
C
sin cos cos
sin cos cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin cos cos
cos sin cos
c
b
B
b
c
C
a
b
c
b
c
b
c
C
b
c
B
2
2
2
2
Warunek:
A > C
a > c
lub
A < C
a < c
WARIANT 5
DANE: A, B, c
WYZNACZANE: C, a, b
Wzór na ‘trójkąt biegunowy’:
cos
cos sin sin
cos cos
C
c
A
B
A
B
Wzory sinusowe:
C
c
A
a
c
C
a
A
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
C
c
B
b
c
C
b
B
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
Warunek:
A > C
a > c
lub
A < C
a < c
Warunek:
B > C
b > c
lub
B < C
b < c
2009-10-19
8
WARIANT 6
DANE: A, B, C
WYZNACZANE: a, b, c
Wzory na ‘trójkąt biegunowy’:
cos
cos sin sin
cos cos
sin sin
cos
cos sin sin
cos cos
cos
cos
cos cos
sin sin
cos
cos sin sin
cos cos
cos
cos
cos cos
sin sin
A
a
B
C
B
C
B
C
B
b
C
A
C
A
b
B
C
A
C
A
C
c
A
B
A
B
c
C
A
B
A
B
cosa =
cosA + cosBcosC
TRYGONOMETRIA SFERYCZNA - PRZYKŁADY
Przykład 1:
Dane: b, c, A
Szukane: a, B
Korzystamy ze wzorów:
sin b · sin A = sin a · sin B (1a)
s b s
s a s
( a)
sin a · cos B = cos b · sin c – sin b · cos c · cos A (3a)
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
(2a)
Przykład 2:
Wzory sinusowe:
sin b · sin A = sin a · sin B
sin c · sin B = sin b · sin C
Ze wzorów sinusowych korzystamy, gdy
znamy trzy elementy trójkąta, z których dwa
są do siebie przeciwległe
sin c · sin B = sin b · sin C
sin a · sin C = sin c · sin A
są do siebie przeciwległe.
Dane:
a = 61º 42’
b = 81º 33’
A = 39º 10’
sin B = sin b * sin A / sin a
sin B = 0,989144*0,631578/0,880477 = 0,709527
B = arcsin (0,709527)
B = 45º 12’ lub B = 134º 48’
Z analizy
wielkości trójkąta
wynika, że obie
wartości są
poprawne
2009-10-19
9
Przykład 3:
Wzory cosinusowe:
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
TRYGONOMETRIA SFERYCZNA - PRZYKŁADY
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos b = cos c · cos a + sin c · sin a · cos B
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C
Ze wzorów cosinusowych korzystamy, gdy
mamy trzy boki trójkąta lub gdy znamy dwa
boki i kąt między nimi zawarty (wtedy
znajdujemy trzeci bok)
Dane:
a = 59º 13’
znajdujemy trzeci bok).
b = 117º 45’
C = 76º 23’
cos c = 0,511793*(-0,465615)+0,859109*0,884988*0,235425 = -0,059305
c =93º24’ (c2 = 266º36’)