1

Przedmiot:

.................................................................................. 

 

............................................................................................................ 
 

Temat 1:   

 

Rozwiązanie trójkąta sferycznego na kuli o promieniu  R = 6371000 m 

 

1. Rozwiązać duży trójkąt sferyczny znając współrzędne prostokątne przestrzenne XYZ jego 

wierzchołków. Obliczyć współrzędne geograficzne (

ϕ,λ) 

Dane: 
Współrzędne XYZ trójkąta ABC:  A(5200000.00 m,   455000.00 m, 3655000.00 m),  

B(3850000.00 m, 1400000.00 m, 4880000.00 m),  
C(2650000.00 m,   470000.00 m, 5775000.00 m) 

 
Współrzędne (X,Y) zróżnicować wg. wzoru: (XY)

N

 = (XY) + G

×10m + N×1000m 

G-numer grupy, N-numer z dziennika 
 

2. Rozwiązać mały trójkąt sferyczny (metodami przybliżonymi Legendre’a i 

addidamentów), w którym dane są wszystkie kąty oraz jeden bok. Rozwiązanie poprzedzić 
wyrównaniem kątów, zakładając, że są one jednakowo dokładne. 

Dane: 

Trójkąt KLM: kąty:    K(58

°52′21.540″) 

 

 

 

L(65

°28′39.150″) 

 

 

 

M(55

°39′02.280″) 

 

 

 

Bok LM = 35000.00 m +N

×10m + G×1000m 

W obu zadaniach wielkości kątowe podać z dokładnością 0.001

″, a liniowe z dokładnością 0.01m 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Obliczenia wykonał (a):  ........................................................................  Grupa .........   Nr  ............ 
...... rok,  studia....................................................       

 

data, ................................... 

 

1. Rozwiązanie dużego trójkąta sferycznego metodą ścisłą 

 

Dane współrzędne XYZ wierzchołków trójkąta ABC: 

 

Punkt 

X [m] 

Y [m] 

Z[m] 

A 

   

B 

   

C 

   

 

a) obliczenie współrzędnych geograficznych 

ϕ,λ oraz h na kuli o promieniu R=6371 km: 







−

=

=

+

=

→

R

Z

h

X

Y

arctg

Y

X

Z

arctg

h

Z

Y

X

ϕ

λ

ϕ

λ

ϕ

sin

,

,

:

)

,

,

(

)

,

,

(

2

2

 

 

Wierzchołek 

ϕ [° ′ ″] 

λ [° ′ ″] 

h [m] 

A 

   

B 

   

C 

   

Zaliczenie: 

 

2

b) Szkic położenia trójkąta względem bieguna G kuli 

(na podstawie współrzędnych 

ϕ,λ) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) rozwiązanie trójkąta AGC i obliczenie boków i kątów w tym trójkącie na podstawie 
współrzędnych geograficznych wierzchołków. 
 

Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
 
 

 
d) rozwiązanie trójkąta CGB i obliczenie boków i kątów w tym trójkącie na podstawie 
współrzędnych geograficznych wierzchołków. 
 

Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
 
 

 

e) rozwiązanie trójkąta AGB i obliczenie boków i kątów w tym trójkącie na podstawie 
współrzędnych geograficznych wierzchołków. 

 

Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
Wzór .......................................... dla ...................  wynik: ............................ 
 
 
 

 

Szkic trójkąta AGC 

 

Szkic trójkąta CGB 

 

Szkic trójkąta AGB 

 

3

f) obliczenie kątów w trójkącie ABC z odpowiednie różnicy kątów uzyskanych w wyniku 
rozwiązania trójkątów AGC, BGC i AGB 
 
kąt A = kąt ............. – kąt ............. = ...................................................... 
 
kąt B = kąt ............. – kąt ............. = ...................................................... 
 
kąt C = kąt ............. – kąt ............. = ...................................................... 
 
g) zestawienie długości i kątów w trójkącie sferycznym ABC 
 

Wierzchołek 

kąt [

° ′ ″] 

bok [m] 

A  

--- 

 --- 

 

B  

--- 

 --- 

 

C  

--- 

 --- 

 

A --- 

--- 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
2. Rozwiązanie małego trójkąta sferycznego KLM metodami przybliżonymi 
 

Dane kąty i bok w małym trójkącie sferycznym KLM: 

 

 

Wierzchołek 

kąt [

° ′ ″] 

K  

L  

M  

 
Bok LM = ............................... [m] 

 
a) Obliczenie nadmiaru sferycznego 

ε, poprawki ν do kąta i wyrównanych kątów: 

 
 
wzór: .............................................................................................................  

ε = ........................... [″] 

 
wzór: .............................................................................................................  

ν = ........................... [″] 

 
Kąty wyrównane: 

Wierzchołek 

kąt [

° ′ ″] 

K  

L  

M  

 
 

 

4

b) rozwiązanie metodą Legendre’a: 
„redukcja trójkąta sferycznego do płaskiego odbywa się poprzez ...................................................... 
.............................................................................................................................................................. 
przy zachowaniu ..................................................................................................................................” 
 
Kąty w trójkącie płaskim 

Wierzchołek 

kąt [

° ′ ″] 

K

′ 

 

L

′ 

 

M

′ 

 

 
Rozwiązanie trójkąta płaskiego wzorem ............................ 
 

Obliczone boki w trójkącie sferycznym KLM: 

 

bok długość [m] 

KL 

 

KM 

 

 
c) rozwiązanie metodą addidamentów: 
„redukcja trójkąta sferycznego do płaskiego odbywa się poprzez ...................................................... 
.............................................................................................................................................................. 
przy zachowaniu ..................................................................................................................................” 
 
addidament boku LM: 
     
wzór ............................................................................. 
 
 
wartość 

δ

LM

 = ............................ m 

 
 
bok LM

′ w trójkącie płaskim = ........................................... m 

 
Pozostałe boki w trójkącie płaskim obliczone wzorem ................................................................... 
Wartości ich addidamentów wynoszą: 

Bok  

długość boku [m] 

addidament 

δ [m] 

KL

′ 

 

 

KM

′ 

 

 

 

Obliczone boki w trójkącie sferycznym KLM: 

 

bok  

długość [m] 

KL 

 

KM