O czym mówią stałe

fundamentalne

Tadeusz Paszkiewicz

Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Politechniki Rzeszowskiej

Rozmowa

Wilhelma z Baskerville

z nowicjuszem

w zakonie Benedyktynów

Adso z Melku

(Imię róży, Umberto Eco)

To być może. Ale jak widzisz, pracuję nad spra-
wami natury. I również w śledztwie, które pro-
wadzimy, nie chcę wiedzieć, kto jest dobry, a kto
zły, ale tylko to, kto był wczoraj wieczorem w
skryptorium, kto zabrał okulary, kto pozostawił
odcisk ciała ciągnącego inne ciało i gdzie jest
Berengar. To są fakty, które spróbuję powiązać ze
sobą, jeśli okaże się to możliwe, bo trudno jest
powiedzieć, jaki skutek wyniknie z takiej czy
innej przyczyny; wystarczyłoby, że wmiesza się
anioł, by zmienić wszystko, nie ma się przeto
czemu dziwić, jeżeli nie sposób pokazać, że jedna
rzecz jest przyczyną innej. Aczkolwiek należy
próbować, jak właśnie czynię.

Twoje życie nie jest łatwe – rzekłem.
Ale znalazłem Brunellusa! Wykrzyknął
Wilhelm, czyniąc aluzję do wypadku z
koniem sprzed dwóch dni.
Więc istnieje porządek w świecie –
oznajmiłem tryumfalnie.
Więc jest odrobina porządku w mojej
biednej głowie – odparł Wilhelm.

Tablica stałych fundamentalnych

Stała

Wielkość

Plancka h

6,62

×

10

-27

erg

×

s =6,62

×

10

-34

J

×

s

Masa elektronu m

e

9,11

×

10

-28

g = 9,11

×

10

-31

kg

Ładunek elektronu e

5

×

10

-10

CGSE = 1,6

×

10

-19

C

Prędkość światła c

2,997925

×

10

10

cm/s

≅

3

×

10

8

m

×

s

-1

Grawitacyjna stała
Newtona

Stała Boltzmanna k

B

8

3

1

2

6,67 10 cm g s

−

−

−

≈

×

G

−

16

23

1.4 10

erg/K

1.4 10

J/K

B

k

−

−

≈

×

≅

×

Obserwacja

W XIX w. wszystkie wielkości fizyczne
wyrażano w jednostkach odpowiadających
codziennemu doświadczeniu ludzi z epoki
dyliżansów. Dlatego wartości stałych
fundamentalnych są albo bardzo duże (prędkość
światła) albo bardzo małe (wszystkie pozostałe
wielkości).

Arbitralność wyboru jednostek długości (np.
powiązanie miary długości z długością równika
Ziemi), czasu i masy powoduje obecność
dziwnych mnożników potęg dziesiątki.

Wybrane jednostki miar dawnych

stopa chełmińska =12
albo 10 cali

stopa rosyjska=12
cali

foot (ang)=12 inches

0,288 m

0,3048 m

0,3048 m

mila chełmińska=180
sznurów=13 500 łokci

mila=7 wiorst

mile=8 furlongs=320
poles

7776,0 m

7467,6 m

1609,3 m

kamień (1796-1818) =32
funty=64 grzywny

pud=40 funtów

quarter=28 punds

12,967 kg

16,38 kg

12,70 kg

Konew (okres przedroz-
biorowy)=5 garncy

wiedro

Wine gallon

18,8 l

12,299 l

3,77853

Za: Vademecum ucznia i studenta, Wydawnictwo Naukowe PWN i Gazeta Wyborcza

Rozmowa

Wilhelma z Baskerville

z klucznikiem klasztoru

Remigiuszem z Varagine

(Imię róży, Umberto Eco)

Wielkość bezwymiarowa

Stała struktury subtelnej

( )

2

/

1 / 137.

e

c

α

≡

≈

ℏ

Jest to dla elektrodynamiki kwantowej

bardzo ważna wielkość.

Wymiar fizyczny energii i pracy

Wykonując pracę nad układem
zwiększamy jego energię.

Praca FL (F – siła, L – przesunięcie)
ma taki sam wymiar fizyczny jak
energia E.

[E]=[FL].

Sposób konstrukcji wielkości

o wymiarze ciśnienia

Energia/objętość

3

2

E

F L

F

V

L

L

×

 









=

=

 









 









Ciśnienie jest równe sile działającej
na element powierzchni o jednostko-
wym polu. Wymiar pola L

2

.

Sposób konstrukcji

o wymiarze siły

Energia/długość

[ ]

E

F L

F

L

L

×

 





=

=

 





 





Iloraz energii i długości ma wymiar
siły.

Gęstość masy

Średnia masa zawarta w obszarze
o jednostkowej objętości jest gęstością
masy

ρ

.

Średnia liczba cząstek znajdujących
się w obszarze o jednostkowej jest
gęstością cząstek

ρ

c

. jest średnią

liczbą cząstek w obszarze o
jednostkowej objetości.

c

ρ

Sposób konstrukcji wielkości

o wymiarze pędu

Wykorzystamy relację de Broglie’a

p

/ L .

=

ℏ

h/ 2 .

=

π

ℏ

L jest wielkością o wymiarze długości,
np. długością fali, – stała Diraca.

h

Druga relacja de Broglie’a

E

h

h / T.

= ω = ν =

ℏ

E jest energią cząstki, T – wielkością
o wymiarze czasu,

ω

– wielkością typu

częstości kołowej,

ν

– typu częstości

liniowej.

ν

=T

-1

.

Natężenie prądu I

Jeżeli w interwale czasu t przepłynął
ładunek q to:

I=q/t.

Wielkości o wymiarze długości

11

/

3.86 10

cm,

c

e

m c

−

≡

≈

×

Ż

ℏ

( )

2

2

13

/

2.5 10

cm.

e

r

e

m c

e

−

≡

≈ ×

Długość Bohra (rząd wielkości – rozmiar

niewzbudzonego atomu H):

( )

2

2

8

/

10 cm

1Å

0.1 nm,

B

e

a

m e

−

≡

≈

=

=

ℏ

długość fali Comptona:

klasyczny promień elektronu (rozmiar nukleonu):

Związki pomiędzy

charakterystycznymi długościami

,

e

c

r

α

=

Ż

,

c

B

a

α

=

Ż

2

.

e

c

B

r

a

α

α

=

=

Ż

3

33

Pl

G / c

1.616 10

cm.

−

λ ≡

≈

×

ℏ

Długość Plancka

Długość Plancka charakteryzuje
rozmiar superstruny.

Istnieją wskazówki, że przestrzeń jest
kwantowana i

λ

Pl

jest „kwantem”

długości.

Wielkości o wymiarze pędu

pęd Fermiego

18

/ 2

2 10

g cm / s,

F

B

p

a

−

≡

≈ ×

ℏ

prędkość Fermiego

8

/

2.4 10 cm/s .

F

F

e

v

p

m

≡

≈

×

,

u

e

p

m c

≡

Pęd relatywistycznego elektronu

Wielkości o wymiarze energii

(elektromagnetyzm)

energia Fermiego

2

12

1

/ 2

10

erg

1.36 10 eV,

F

F

e

p

m

ε

−

≡

≈

≈

×

temperatura Fermiego

4

/

10 K .

F

F

B

T

k

ε

≡

≈

Energia spoczynkowa elektronu

2

6

2

2

5

10

g × cm /s

5 10 eV,

e

e

m c

ε

−

≡

≈

≈ ×

Związki pomiędzy

charakterystycznymi pędami i

energiami (elektromagnetyzm)

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

1

.

2

e

e

F

B

e

e

m e

m e c

p

a

c

e

m c

m c

c

α

=

=

=

=





=

∝









ℏ

ℏ

ℏ

ℏ

ℏ

Związki pomiędzy

charakterystycznymi

energiami (elektromagnetyzm)

(

)

(

)

2

2

2

4

2

4

2

4

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

4

8

.

F

F

e

e

B

e

e

e

e

e

p

m

m

a

e

m e

m c

m

c

m c

m c

ε

α





=

=

=













=

=

∝









∝

<<

ℏ

ℏ

ℏ

ℏ

Związek prędkości Fermiego

z prędkością światła

(elektromagnetyzm )

2

2

2

/

2

1

.

2

2

F

F

e

e

B

e

e

v

p

m

m a

m e

e

c

c

m

v

α

=

=

=





=

=

∝









ℏ

ℏ

ℏ

ℏ

Wielkości o wymiarze

pędu, energii, i prędkości

(kwantowa grawitacja)

energia Plancka

2

28

9

1.22 10

eV

10 J ,

Pl

Pl

E

m c

≡

≈

×

≈

Masa Plancka

5

19

/

2.18 10

g

2 10

mas protonu ,

Pl

m

c G

−

≡

≈

×

≈ ×

ℏ

pęd Plancka

5

/

~ 6.25 10 g cm / s .

Pl

Pl

p

λ

≡

×

⋅

ℏ

Inne wielkości

związane ze stałą G

Wielkość

Związek ze stałymi

fundamentalnymi

Przybliżona

wielkość

liczbowa

Czas Plancka

Natężenie Plancka prądu

Siła Plancka

Moc Plancka

Gęstość Plancka

Częstość Plancka

Ciśnienie Plancka

5

P

Pl

/ c

/ c

l

t

l

G

≡

=

ℏ

5

Pl

Pl

I

e/t

e/

G/c

≡

=

ℏ

44

1, 2 10

N

×

52

3, 6 10 W

×

( )

3

5

2

Pl

Pl

Pl

m /

c /

G

l

ρ ≡

=

ℏ

96

3

5,1 10

kg / m

×

1

5

Pl

Pl

t

c / G

−

ν ≡

=

ℏ

43

1,85 10

Hz

×

( )

3

2

7

2

Pl

PL

Pl

Pl

Pl

p

/

F /

c /

G

l

l

≡ ε

=

=

ℏ

113

4,6 10 Pa

×

44

5,4

10 s

−

×

P

Pl

=

ε

Pl

/t

Pl

=c

5

/G

3

×

10

24

A

4

Pl

Pl

Pl

F

/

c / G

≡ ε

=

l

Inne charakterystyczne wielkości

uzyskane

ze stałych fundamentalnych

13

10

J / gauss ,

2

B

e

e

m c

µ

−

≡

≈

ℏ

jednostka oporu elektrycznego (kwantowy
efekt Halla):

Magneton Bohra

2

/

25812.8 omów ,

q

e

Ω ≡

≈

ℏ

jednostka ciśnienia:

(

)

2

0

12

12

0

3

3

2

0

0

/ 2

1

N

/

4.35 10

4.35 10

.

m

e

a

Ry

B

Pa

a

a

≡

=

≈

⋅

=

⋅

Ciśnienie Plancka

( )

3

7

2

114

-5

2

113

/

/

~

~ 2 10

10 N / cm

2 10

Pa .

Pl

Pl

Pl

B

E

c

G

λ

≡

=

×

= ×

ℏ

Pl

B

Wprowadzimy ciśnienie Plancka

Jest to niewyobrażalnie wysokie
ciśnienie charakterystyczne dla
wczesnych etapów ewolucji
Wszechświata.

Obserwacje

•

Masa Plancka jest wielkością charakterysty-

czną dla średniej kolonii bakterii – olbrzymią
w skali mikroskopowej.
•Energia Plancka jest wielkością typową dla
początkowych etapów ewolucji Wszechświata

.

•

Klasyczny promień elektronu jest wielkością

rzędu rozmiaru nukleonu (świat cząstek
elementarnych).

• Z otaczającą nas materią związane są: długość
Bohra, energia i pęd Fermiego, jednostki oporu
i ciśnienia .

Działanie

Niech cząstka o pędzie p przebywa drogę x to z
jej ruchem związane jest działanie S:

q

/ 2S .

=

ℏ

Parametr kwantowości:

.

S

p x

∝

[ ]

h

[ ]

px

Wymiar fizyczny stałej Plancka = = [S].

Inna definicja działania

Jeżeli proces związany z energią E trwa
przez interwał czasu t, to związane jest
z nim działanie:

S

∝

Et .

Klasyfikacja układów fizycznych

1

<<

⇒

>>

q

S

η

1

≥

⇒

≤

q

S

η

v/c

1

∝

v /

1

c

<<

• Układy klasyczne

•

Układy kwantowe

• Układy relatywistyczne

•

Układy nierelatywistyczne

v/c

1

1

mechanika
relatwisty-
czna

mechanika
nierelatywi-
styczna

relatyw.
mech.
kwant.

nierelatyw.
mechanika
kwant.

q

„Mapa” Świata

Sześcian Bronsteina

G

–
gr

aw

ita

cyj

na
s

ta

ła

N

ew

tona

Sześcian Bronsteina

Kryształy

Najprostsze kryształy zbudowane są z atomów.

Można przyjąć, że te atomy stykają się.

Odległość 2a

0

pomiędzy sąsiednimi cząstkami jest

w przybliżeniu równa odległości pomiędzy ich
środkami, czyli równa jest średnicy atomu 2a

B

.

a

0

2a

0

≈

2a

B

Przyjmijmy, że kryształ zbudowany jest z atomów
wodoru.

Oszacowanie średnicy atomu wodoru

p=m

e

v

F

odśr

F

el

×

a

0

Atom wodoru uważamy za
kulę o promieniu a

0

.

Elektron porusza się po
orbicie, która jest okręgiem,
który jest dowolnym
centralnym przekrojem tej
kuli. Zmiana orientacji
orbity wymaga zmiany

orientacji momentu pędu, czyli działania czynnika
zewnętrznego

.

Siły działające na elektron poruszający

się po orbicie kołowej o promieniu a

0

z prędkością liniową v i o pędzie p

• Warunek równowagi:

(

)

2

2

2

2

2

el

odsr

0

e

0

0

e

F = F

e /a = p / m a

e /a = p /m .

⇒

→

•

Siła przyciągania elektrostatycznego:

•

Siła odśrodkowa:

2

2

el

0

F = e /a

2

odsr

e

0

F

= m v /a

Zależność a

0

od stałych

fundamentalnych

Cząstce o pędzie p przypisać można falę o
długości λ = 2π / p

ℏ

Zastąpimy w warunku równowagi pęd przez

0

/ a

ℏ

Otrzymamy równanie pozwalające określić a

0

.

Jego rozwiązanie:

( )

2

2

0

/

.

e

B

a

m e

a

=

≡

ℏ

Warunek kwantowania Sommerfelda

,

wtedy

0

= 2

a

λ

π

0

/

.

p

a

=

ℏ

2

2

2

2

2

0

e

0

0

e

e / a = p / m

e / a

/ (a m ).

→

=

ℏ

Związek promienia atomu Bohra

z energią wiązania elektronu

Oznaczymy energię wiązania elektronu w
atomie wodoru literą |

∆

|

2

0

B

e

.

8

a

∆ = −

πε

Można wyrazić promień atomu Bohra a

B

przez

energię wiązania:

B

v

a

.

2

=

∆

ℏ

Pary Coopera w nadprzewodniku

Leon Cooper – amerykański fizyk i laureat nagrody
Nobla, zaproponował model wyjaśniający własność
nadprzewodnictwa: elektrony przewodnictwa łączą
się w pary o przeciwnych momentach magnetycznych
– pary Coopera.

Rozmiar pary Coopera

w nadprzewodniku

Wykorzystamy związek otrzymany dla atomu
wodoru do opisu par Coopera w nadprzewod-
niku. |

∆

| tym razem jest energią wiązania dwóch

elektronów w parę. W grę wchodzą elektrony
o przeciwnie skierowanych momentach
magnetycznych poruszające się z prędkością
Fermiego v

F

.

( )

F

v / 2

.

ξ =

∆

ℏ

Rozmiar pary Coopera

ξ

(długość korelacji)

Wniosek

Średnia odległość pomiędzy sąsiednimi
atomami kryształu jest rzędu średnicy atomu
Bohra czyli 2a

B

:

W rzeczywistości typowa stała sieci jest rzędu
5 Å.

27

27

2

2

8

20

27

10

10

erg

s

2

2

10 cm

1Å

0.1 nm

25 10 10

B

a

a

g

−

−

−

−

−

×

×

≈

≈

≈

=

=

×

erg = 10

-7

J.

Wielkości charakteryzujące

kryształy metali

2

19

1

F

F

e

p / 2m

10

J

1.36 10

eV

−

ε =

≈

≈

×

8

F

F

e

v = p /m

2.4 10 cm/s

≈

×

• Pęd Fermiego

• Prędkość Fermiego

• Energia Fermiego

• Temperatura Fermiego

K

10

/

4

≈

≈

B

F

F

k

T

ε

18

F

B

p

/ 2a

2 10

gcm / s

−

=

≈ ×

ℏ

Metale: indywidualna

charakterystyka - promień r

s

N elektronów zajmuje obszar Ω

V

o objętości V.

Na jeden elektron przypada średnio objętość v

0

Przyjęliśmy, że każdy elektron metalu otacza
kula o promieniu r

s

i objętości v

0

Energia, pęd, prędkość Fermiego i promień r

s

pozwalają całkiem dobrze opisać najważniejsze
własności metali.

(

)

3

0

v

/

4 / 3

s

V N

r

π

=

≡

2

2

3

/

,

/

,

=

∝

c

B

m

B

B

U

e a U

a

µ

2

2

2

/

B

B

e

e

e

e

e

ea

m c

e m

c

µ

α



 







≈

=

=



 









 

 



ℏ

ℏ

ℏ

27

10

J / gauss .

2

B

e

e

m c

µ

−

=

≈

ℏ

Porównanie oddziaływania momentów

magnetycznych cząstek kryształu

i oddziaływania Culomba

Obserwacja:

Rola oddziaływań magnetycznych

w kryształach niemagnetycznych

2

2

2

2

2

1

137

c

C

c

B

B

B

e

U

U

U

U

m

a

ea

ea

µ

µ

α













=

=

=

≈

























(

)

2

2

/

1/137

m

c

U

U

α

=

≈

Wniosek: w kryształach

niemagnetycznych

oddziaływania magnetyczne są

znacznie słabsze od kulombowskich.

Konkluzje

W stałych fundamentalnych
służących do kwantowego opisu
zjawisk związanych z oddziaływa-
niami elektromagnetycznymi
zakodowana jest cenna informacja
o własnościach metali.

Konkluzje

Chociaż własności materii
skondensowanej są zjawiskami
nierelatywistycznymi stała c –
prędkość światła – gra
w podanym ich opisie istotną rolę.

Oczywiście bardzo wielu

własności materii

skondensowanej nie można

opisać w tak prosty sposób –

np. drgań sieci krystalicznej.