Funkcje trendu

Dekompozycja szeregu czasowego

Przykład 2:

Liczba urodzeń żywych w Polsce

Rok	Urodzenia żywe
1995	436312
1996	431211
1997	415166
1998	398103
1999	384379
2000	380476
2001	370247
2002	355526
2003	352785

Żródło: www.stat.gov.pl

Przykład:

Żródło: www.stat.gov.pl

W tym szeregu można wyodrębnić wahania sezonowe i losowe wokół średniego poziomu (nie ma wyraźnej tendencji rozwojowej).

Przykład:

Źródło: Aczel „Statystyka w zarządzaniu”

W tym szeregu występuje tendencja rozwojowa, wahania losowe i sezonowe.

Wyodrębnianie tendencji rozwojowej

• Tendencja rozwojowa - ogólny kierunek rozwoju zjawiska w czasie

• Wyodrębnianie tendencji rozwojowej - oczyszczanie szeregu z wszelkich wahań (wygładzanie szeregu)

• Metoda:

• Funkcje trendu

Funkcje trendu

• 
  Funkcja trendu to funkcja regresji, w której za zmienną objaśniającą przyjmujemy upływ czasu.

• Upływ czasu oznaczany jest kolejnymi liczbami naturalnymi:

• lub

• lub

• Parametry funkcji trendu wyznacza się metodą najmniejszych kwadratów

Rodzaje funkcji trendu

• Liniowa

• Potęgowa

• 
  Wykładnicza

• Hiperboliczna

Liniowa funkcja trendu

Parametry liniowej funkcji trendu

Wraz z upływem czasu o 1 okres poziom zjawiska wzrośnie (b>0) / zmaleje (b<0) średnio o b jednostek.

W okresie t=0 teoretyczny poziom zjawiska wynosi a jednostek.

Dopasowanie funkcji trendu

• Reszty

przedstawiają wpływ czynników o charakterze przypadkowym (i/lub pominiętych

zmiennych objaśniających) zniekształcających obserwowany związek

• Miarą wahań przypadkowych jest wariancja resztowa:

nie posiada interpretacji

• Odchylenie standardowe reszt (średni błąd szacunku)

Pokazuje o ile średnią różnią się wartości rzeczywiste od teoretycznych - oszacowanych liniową funkcją trendu.

• Współczynnik zmienności przypadkowej

przedstawia natężenie wahań przypadkowych

Współczynnik indeterminacji (zbieżności)

Pokazuje w jakim procencie zmiany poziomu zjawisku nie są wyjaśnione funkcją trendu.

Współczynnik determinacji

Pokazuje w jakim procencie zmiany poziomu zjawisku są wyjaśnione funkcją trendu.

Przykład

Wyznaczyć parametry i ocenić dopasowanie liniowej funkcji trendu.

Rok	Urodzenia żywe
1995	436312
1996	431211
1997	415166
1998	398103
1999	384379
2000	380476
2001	370247
2002	355526
2003	352785

Rok	y	t	t^2	ty
1995	436312	1	1	436312
1996	431211	2	4	862422
1997	415166	3	9	1245498
1998	398103	4	16	1592412
1999	384379	5	25	1921895
2000	380476	6	36	2282856
2001	370247	7	49	2591729
2002	355526	8	64	2844208
2003	352785	9	81	3175065
suma	3524205,00	45	285	16952397

Dopasowanie funkcji regresji

Rok
1995	436312	436153,50	25122,25	2001100933
1996	431211	425009,70	38456122	1570748267
1997	415166	413865,90	1690260	556378019
1998	398103	402722,10	21336085	42571275,1
1999	384379	391578,30	51829920	51830400,4
2000	380476	380434,50	1722,25	123261805
2001	370247	369290,70	914509,69	455025782
2002	355526	358146,90	6869116,8	1299770739
2003	352785	347003,10	33430368	1504922711
suma	3524205,00	3524204,7	154553226	7605609932

Przykład

Wyznaczyć parametry liniowej. Oszacować wielkość rynku usług telekomunikacyjnych w roku 2006.

Potęgowa funkcja trendu

Transformacja logarytmiczna funkcji potęgowej

Parametry potęgowej funkcji trendu

Wraz z upływem czasu o 1 % poziom zjawiska wzrośnie (b>0) / zmaleje (b<0) średnio o b %.

W okresie t=1 teoretyczny poziom zjawiska wynosi a jednostek.

Hiperboliczna funkcja trendu

Parametry hiperbolicznej funkcji trendu

Brak interpretacji

Z upływem czasu poziom zjawiska dąży do wielkości a jednostek.

Przykład

Na podstawie najlepiej dopasowanej funkcji trendu oszacować wartość wyniku netto w roku 2001

+

+

Wahania

losowe

Tendencja

rozwojowa

Wahania

sezonowe

=

Szereg czasowy

W tym szeregu można wyodrębnić tendencję rozwojową i wahania losowe.

b<0

b>0

yt

b>1

b=-1

0<b<1

t

yt

a

b<0

b>0

yt

t

---